Вибіркові характеристика основних розподілів, що застосовують при параметричному оцінюванні

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

ВИБІРКОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОСНОВНИХ РОЗПОДІЛІВ, ЩО ЗАСТОСОВУЮТЬ ПРИ ПАРАМЕТРИЧНОМУ ОЦІНЮВАННІ

1. Біноміальний розподіл

Біноміальним називають закон розподілу дискретної випадкової величини , що приймає значення кількості появ події в незалежних ідентичних випробуваннях (тобто вона приймає можливі значення з множини 0, 1, 2, ..., .), якщо в кожному з них ймовірність її появи дорівнює . Біноміальний закон розподілу визначається за формулою Бернуллі:

, (1)

Де, ,

- число сполучень з елементів по ().

Серед усіх законів розподілу випадкових величин біноміальний закон займає особливе місце. Він часто зустрічається безпосередньо (у широко розповсюдженому випадку суми дискретних випадкових величин, кожна з яких може приймати тільки два значення: нуль і одиниця). Крім того, у граничних випадках він породжує інші важливі закони розподілу.

Біноміальний розподіл ймовірностей має наступні числові характеристики:

- математичне сподівання: ;

- дисперсію: .

Параметрами цього розподілу є:

- число випробувань: ;

- ймовірність появи події в одному випробуванні: (поява одиниці).

Для прикладу біноміального розподілу розглянемо вибірку з поверненням обсягу з великої партії виробів. При дотриманні випадкового добору вона відповідає схемі Бернуллі. Роль ймовірності тут відіграє частка бракованих виробів в усій партії. Припустимо, що . При цьому розрахунки з формули (1) дають результати, що наведено в табл. 1 і на рис. 1.

Таблиця 1

Рисунок 1 - Многокутник розподілу Бернуллі

2. Розподіл Пуассона

При переході в біноміальному законі (1) до границі при фіксованому математичному сподіванні випадкова величина (кількість появ події в ідентичних випробуваннях) буде визначатися законом Пуассона (рідких подій):

,

де - середня кількість появ події (параметр розподілу).

Особливістю цього розподілу є наявність тільки одного параметра , а також рівність між собою значень його математичного сподівання і дисперсії:

, .

Розподіл Пуассона є гарною математичною моделлю законів розподілу наступних випадкових величин, що зустрічаються у природі та в технічній практиці:

- кількості елементарних часток, що випускаються у визначеному напрямку радіоактивною речовиною;

- кількості викликів, що надходять на телефонну станцію за одиницю часу;

- кількості відмов, що виникають у технічній системі за визначений проміжок часу і т.д.

Крім того, розподіл Пуассона добре апроксимує біноміальний розподіл при великих значеннях і малих значеннях ймовірності . Похибка апроксимації стає припустимою, якщо параметр .

На рис. 2 зображено криві розподілу Пуассона при декількох значеннях параметра .

Рисунок 2 - Родина кривих розподілу Пуассона при: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3. Нормальний розподіл

біноміальний закон розподіл дисперсія

Нормальний розподіл (Гаусса), є найважливішим серед усіх законів розподілу неперервної випадкової величини. Звичайно його записують у так званій диференціальній формі для щільності ймовірності:

, (2)

де два параметри нормального розподілу мають наступний вигляд:

- математичне сподівання;

- середнє квадратичне відхилення

нормально розподіленої випадкової величини.

Очевидно, що крива функції має вісь симетрії та у цій точці має єдиний максимум, що дорівнює ; зміна параметра зсуває всю цю криву уздовж осі , не змінюючи її форми, а висота її максимального підйому є обернено пропорційною до параметру .

З огляду на те, що площа під кривою функції дорівнює 1 (властивість нормування щільності ймовірності ), можна зробити висновок, що при зменшенні і збільшенні підйому кривої в точці , вона адекватно знижується по сторонах. І навпаки, при зростанні крива сплющується і розповзається, що наочно продемонстровано на рис. 3, де зображено нормальні криві при і різних значеннях .

Рис. 3.

Нормованим називають нормальний розподіл з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією. Його можна отримати із загального нормального розподілу (2) за допомогою лінійного перетворення

.

При цьому , і

.

Для нормально розподіленої випадкової величини часто використовують також інтегральну функцію розподілу, що у загальному та у нормованому випадках має, відповідно, такий вигляд:

,

.

Остання функція пов'язана з функцією Лапласа

: (3)

формулою

.

Цей взаємозв'язок функцій і випливає з умови нормування і парності функції .

Відповідно до граничної теореми Ляпунова нормальним є розподіл нескінченної суми незалежних однаково розподілених випадкових величин з кінцевими дисперсіями. Ця теорема була узагальнена також на випадок залежних випадкових величин, що мають різні закони розподілу. Тому нормальний закон є гарною апроксимацією для широкого класу емпіричних розподілів у різних сферах науки і техніки.

Розрахунок імовірностей влучення випадкової величини , яка має нормальний розподіл, в інтервал проводиться за формулою:

.

4. Гамма-розподіл і розподіл "хі-квадрат"

Неперервна випадкова величина має гамма-розподіл з параметрами і (, ), якщо щільність ймовірності її має вигляд:

де - гамма-функція, що визначається за формулою

. (4)

Її таблиці можна знайти, зокрема, у довіднику.

Можна показати, що математичне сподівання і дисперсія випадкової величини, що має гамма-розподіл, дорівнюють, відповідно:

; .

Практичне значення гамма-розподілу обумовлене тим, що воно узагальнює ряд важливих розподілів, розповсюджених у різних областях науки і техніки. Зокрема, при , гамма-розподіл зводиться до експоненційного розподілу, що застосовується в теорії масового обслуговування, теорії надійності і теорії інформації.

При , де , і гамма-розподіл породжує розподіл "хі-квадрат" з ступенями волі:

, (5)

типові криві які наведено на рис. 4.

Рисунок 4 - Родина кривих розподілу "хі-квадрат" при: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Цей розподіл має випадкова величина, яка дорівнює сумі квадратів випадкових величин, кожна з яких підкоряється нормальному розподілу з параметрами , . Розподіл "хі-квадрат" набув широкого застосування в математичній статистиці при інтервальному оцінюванні параметрів і статистичній перевірці гіпотез про параметри і закони розподілів.

5. Бета-розподіл і рівномірний розподіл

Неперервна випадкова величина зі щільністю ймовірності, що визначається формулою

(6)

називається підлеглою "бета-розподілу". Цей розподіл має два параметри і , через які знаходяться його математичне сподівання і дисперсія у такий спосіб:

; .

На рис. 5 приведено графіки функції (6) при деяких значеннях її параметрів і .

Рисунок 5 - Родина кривих "бета-розподілу" при: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

У разі "бета-розподіл", як очевидно, вироджується в рівномірний розподіл на інтервалі , що називають стандартним. При деякому перетворенні щільність ймовірності рівномірного розподілу на довільному інтервалі приймає вигляд:

(7)

Як легко вбачається, шляхом лінійного перетворення

розподіл (7) перетворюється в стандартний. Випадкові числа, обрані на інтервалі , можна використовувати для одержання реалізацій випадкових величин із заданим відомим розподілом.

6. Розподіл Стьюдента і -розподіл Снедекора-Фішера

Окрім розглянутих раніше основних розподілів випадкових величин у математичній статистиці застосовуються також їхні комбінації, тобто функції від них.

Зокрема, якщо та - незалежні випадкові величини і має стандартний нормальний розподіл ( , ), а підкоряється розподілу "хі-квадрат" з ступенями волі, то випадкова величина , що є скомпонованою з величин і наступним чином:

,

підкоряється розподілу Стьюдента ( -розподілу) з ступенями волі, щільність якого має вигляд:

. (8)

З рис. 6, де зображено типову криву розподілу Стьюдента при значенні параметра , очевидно, що вона є симетричною щодо вертикальної осі і подібна кривим нормального розподілу, до якої наближаються за умови (точніше наближаються до стандартного нормального розподілу з параметрами , ). Розподіл Стьюдента часто використовується в теорії статистичного оцінювання параметрів розподілу.

Рисунок 6 - Крива -розподілу Стьюдента при значенні параметра: 1) ; 2) .

Ще одним прикладом комбінації основних розподілів випадкових величин є -розподіл Снедекора-Фішера . Якщо випадкова величина має розподіл "хі-квадрат" з ступенями волі, а випадкова величина підкоряється розподілу "хі-квадрат" з ступенями волі, то випадкова величина

називається підлеглої -розподілу Снедекора-Фішера з двома параметрами і , щільність ймовірності якого має вигляд:

 (). (9)

На жаль, один і той же символ тут довелося вжити у двох різних якостях: зліва, як традиційне позначення функції щільності ймовірності, і з правої сторони, як значення , що приймається відповідною випадковою величиною, яку традиційно позначають символом .

Для наочності на рис. 7 зображено криві - розподілу при різних значеннях параметрів і .

Рисунок 7 - Родина кривих - розподілу Снедекора-Фішера при: 1) ; 2) ; 3) .

- розподіл застосовується в основному під час перевірки статистичних гіпотез про дисперсії, а також у дисперсійному і регресійному аналізі.

Размещено на Allbest.ru