Значущість економетричної моделі

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Міністерство освіти і науки України

Київський Національний Університет Технологій та Дизайну

Інститут Післядипломної Освіти

Контрольна робота

з дисципліни “Економетрія”

Виконала: студентка

гр. ЗФ 1-09

Мільошина Інна Олександрівна

Перевірив викладач:

Бондаренко Світлана Михайлівна

Київ 2010

Перевірка значущості та довірчі інтервали економетричної моделі,

коефіцієнта кореляції та параметрів моделі

1. Значущість економетричної моделі. Гіпотезу про рівень значущості зв'язку між залежною і пояснювальними змінними можна перевірити за допомогою F-критерію:

.

Зауважимо, що ми виходимо з того, що залишки u розподілені нормально, тобто користуємося фундаментальною теоремою про те, що для нормально розподіленої випадкової величини u з нульовою середньою і одиничною дисперсією сума квадратів її n випадково вибраних значень має розподіл з n ступенями свободи.

Фактичне значення F-критерію порівнюється з табличним для ступенів свободи m і n - m і вибраного рівні значущості. Якщо F_факт > F_табл, то гіпотеза про істотність зв'язку між залежною і пояснювальними змінними економетричної моделі підтверджується, у протилежному випадку - відхиляється.

Приклад 1. Обчислимо F-критерій для економетричних моделей (табл. 1).

Таблиця 1

Економетрична модель	Кількість ступенів свободи	F-критерій
1.		90,10
2.		55,63
3.		34,98

F_1табл (0,95) для першої моделі дорівнює 4,41.

F_2табл (0,95) для другої моделі дорівнює 3,59.

F_3табл (0,95) для третьої моделі дорівнює 3,24.

Отже, при рівні значущості б = 0,05:

F_1факт > F_1табл,

F_2факт > F_2табл,

F_3факт > F_3табл.

Це означає, що відповідні економетричні моделі є статично значущими, тобто підтверджується гіпотеза про те, що кількісна оцінка зв'язку між залежною і пояснювальними змінними в моделях є істотною.

Скориставшись виразами дисперсій, які наведено в табл. 4.4:

;

,

а також формулою для обчислення коефіцієнта детермінації

,

запишемо альтернативну форму F-критерію:

.

Згідно з цим критерієм перевіряється значущість коефіцієнта детермінації, а отже, й усієї моделі.

Цей результат підводить базу під традиційно дисперсійний аналіз, який застосовується для перевірки нульових гіпотез.

2. Значущість коефіцієнта кореляції. Оскільки коефіцієнт кореляції є також вибірковою характеристикою, яка може відхилятись від свого «істинного» значення, значущість коефіцієнта кореляції також потребує перевірки. Базується вона на t-критерії

,

де - коефіцієнт детермінації моделі; - коефіцієнт кореляції; - кількість ступенів свободи.

Якщо , де - відповідне табличне значення t-розподілу з ступенями свободи, то можна зробити висновок про значущість коефіцієнта кореляції між залежною і пояснювальними змінними моделі.

Приклад 2. Для множинних коефіцієнтів кореляції, які наведено в табл. 1, обчислимо значення t-критерію:

Таблиця 2

Економетрична модель	без урахування кількості ступенів свободи	з урахуванням кількості ступенів свободи	без урахування кількості ступенів свободи	з урахуванням кількості ступенів свободи
	0,833	0,801	0,913	0,895
	0,867	0,842	0,931	0,918
	0,868	0,843	0,932	0,918

Табличні значення цього критерію при рівні значущості = 0,05 і відповідних ступенях свободи такі:

t_1табл = 2,10;

t_2табл = 2,11;

t_3табл = 2,12.

Порівнюючи їх із фактичними, де

t₁ > t_1табл,

t₂ > t_2табл,

t₃ > t_3табл,

доходимо висновку, що коефіцієнти кореляції, які характеризують тісноту зв'язку між залежною і пояснювальними змінними в моделях, є достовірними.

3. Значущість оцінок параметрів моделі. Перевіримо значущість оцінок параметрів і знайдемо для них довірчі інтервали, припускаючи, що залишки нормально розподілені, тобто Тоді параметри моделі задовольняють багатовимірний нормальний розподіл:

.

Коли відома величина , то цей результат можна буде використати для перевірки значущості елементів вектора та оцінювання довірчих інтервалів елементів цього вектора. Проте дисперсія невідома, а отже, потрібно розглянути методи її знаходження.

Для цього визначимо залишки:

Отже, залишки, які можна дістати на підставі експериментальних даних, записано у вигляді лінійних функцій від невідомих залишків u. Тоді суму квадратів відхилень подамо у вигляді

де N - симетрична ідемпотентна матриця.

У цих перетвореннях ми виходили з того, що N є симетричною ідемпотентною матрицею, оскільки E_n - одинична матриця, а - симетрична, розміром n n.

Знайдемо математичне сподівання для обох частин рівняння (3.3), застосувавши спочатку властивість, яка полягає в тому, що

,

де - слід матриці N, а далі - властивість комутативності добутку матриць відносно операцій обчислення сліду матриці.

З огляду на сказане маємо:

У цьому співвідношенні матриця має порядок добуток дорівнює а її слід дорівнює Звідси

.

Співвідношення (4.53) дає нам незміщену оцінку дисперсії залишків.

Лишилося показати, що сума квадратів залишків розподілена незалежно від . Для цього знайдемо коваріацію між залишками і :

Оскільки u і - лінійні функції від нормально розподілених змінних, то вони також розподілені нормально і, як було показано, їх коваріації дорівнюють нулю.

Це дає нам змогу скористатися t-розподілом для перевірки гіпотез відносно статистичної значущості кожної з оцінок параметрів економетричної моделі

.

Перевірку гіпотези виконаємо згідно з t-критерієм:

,

де - діагональний елемент матриці Знаменник відношення (3.6) називається стандартною похибкою оцінки параметра моделі.

Обчислене значення t-критерію порівнюється з табличним при вибраному рівні значущості і ступенях свободи. Якщо t_факт > t_табл, то відповідна оцінка параметра економетричної моделі є статистично значущою.

На основі t-критерію і стандартної похибки побудуємо інтервали довіри для параметрів a_j:

.

Приклад 3. Перевіримо гіпотези щодо статистичної значущості оцінок параметрів моделі

побудованої на основі вихідних даних, наведених у табл. 3:

Таблиця 3

Місяць	Прибуток Y, гр. од.	Інвестиції Х1, гр. од.	ОВФ Х2, гр. од.	ФРЧ Х3, людино-днів
1-й	39	62	22	104
2-й	41	65	25	109
3-й	38	57	17	99
4-й	42	66	27	114
5-й	44	69	28	116
6-й	49	58	20	110
7-й	44	72	32	119
8-й	45	70	30	116
9-й	48	75	34	114
10-й	51	79	35	120
11-й	49	77	33	124
12-й	54	82	37	119
13-й	55	80	37	129
14-й	57	75	39	129
15-й	56	83	38	132
16-й	54	81	36	130
17-й	59	87	40	124
18-й	61	92	42	134
19-й	62	95	43	137
20-й	64	97	42	139

Табличне значення t-критерію для ступеня свободи n - m = 16 і рівні значущості = 0,05 дорівнює 2,12. Порівнюючи розраховані значення t-критерію для оцінок параметрів моделі з табличними, можна зробити висновок, що з імовірністю 0,95 жодна з оцінок моделі не є статично значущою.

Знизимо ступінь довіри з 0,95 до 0,90. Тоді t_{(0,1)табл} = 1,746. У цьому випадку оцінка параметра є статистично значущою з імовірністю 0,9.

Інтервали довіри кожної оцінки можна визначити, знайшовши граничні похибки. Так, інтервали довіри для оцінки запишуться:

; ; ;

Зазначимо, що відповідно можна знайти інтервали довіри інших оцінок параметрів моделі. Коли стандартні похибки параметрів більші за абсолютні значення оцінок їх параметрів, то це може означати, що оцінки параметрів є зміщеними.

Поняття про системи одночасних рівнянь

Багато економічних взаємозв'язків допускають моделювання одним рівнянням. Однак деякі економічні процеси моделюються не одним, а кількома рівняннями. Співвідношення між економічними показниками можуть мати стохастичний і детермінований характер. Стохастичні зв'язки між змінними описуються регресійними рівняннями, а детерміновані визначаються тотожностями й не містять невідомих параметрів.

У системах рівнянь через наявність прямих і зворотних зв'язків залежна змінна одного рівняння може бути незалежною змінною в інших рівняннях. Змінні, що стоять у лівій частині рівнянь, називаються ендогенними, причому їх кількість не перевищує загальної кількості всіх рівнянь. Інші змінні, що входять до моделі, називаються екзогенними.

Наприклад, повна кейнсіанська модель доходу складається з двох співвідношень:

де Ct - витрати на споживання; Yt - дохід; a₀, a₁ - невідомі параметри; u_t - залишки моделі; Z_t - неспоживчі витрати (інвестиції).

Перше співвідношення - це регресійна функція споживання, а друге - тотожність доходу. Величина доходу Yt для першого рівняння є незалежною змінною, для другого - залежною, а величина Ct - навпаки: у першому рівнянні вона є залежною змінною, у другому -незалежною. Для системи загалом змінні Yt і Ct є ендогенними, а змінна Zt - екзогенною.

Означення 1. Для систем одночасних рівнянь усі змінні, що можуть бути визначені із системи рівнянь, називаються ендогенними, причому їх кількість не перевищує загальної кількості рівнянь.

Означення 2. Для систем одночасних рівнянь усі змінні, які задаються за межами моделі або є заздалегідь відомими, називаються відповідно екзогенними або предетермінованими.

У розглянутій кейнсіанській моделі доходу величини Ct і Yt є ендогенними змінними, що визначаються всередині моделі. Змінна Zt задається (визначається) поза моделлю, отже, вона є екзогенною.

Із першого співвідношення цієї моделі видно, що змінна Ct залежить від доходу Yt і від залишків ut, а з другого співвідношення очевидна залежність доходу Yt від споживчих Ct і неспоживчих витрат Zt. Неважко помітити, що обидві змінні Ct і Yt можуть бути виражені через Zt і залишки ut.

Приклади систем одночасних рівнянь

1. Модель “попит - пропозиція”.

Одна з найпростіших систем одночасних рівнянь, що використовується при моделюванні попиту та пропозиції в ринковій економіці, має вигляд

Припускається, що обсяг попиту qD і обсяг пропозиції qS певного товару в момент часу t є лінійними регресійними функціями від ціни цього товару pt у цей самий момент часу. Останнє співвідношення в цій моделі - функція рівноваги - є тотожністю.

Наявність випадкових відхилень ut і ut у даній моделі пов'язана передусім з відсутністю ряду важливих пояснюючих змінних (прибутку споживачів, цін на супутні товари, цін на ресурси, податків тощо).

Зміна одного з цих факторів може відбитися на моделі. Наприклад, зростання прибутку споживачів може зсунути лінію попиту вгору (рис.) Це призведе до зміни рівноважної ціни та рівноважної кількості.

Модель “попит - пропозиція” можна вдосконалити. Наприклад, якщо до функції попиту додати прибуток споживачів yt, дістанемо систему

2. Модель рівноваги на ринку товарів (модель IS).

Однією з можливих не стохастичних форм моделі IS (рівноваги на ринку товарів) є така модель:

де ct, yt, фt, it, gt, rt, y (d) t - відповідно значення в момент часу t споживання (ct), національного доходу (yt), обсягу податків (фt), бажаного обсягу чистих інвестицій (it), процентної ставки (rt), розміщеного прибутку (y(d)t), державних витрат (gt), у даному разі gt=gt= const.

Щоб отримати в явному вигляді співвідношення між процентною ставкою й рівнем прибутку при якому ринок товарів перебуває у стані рівноваги. Підставивши отримане співвідношення, дістанемо

3. Модель рівноваги на ринку грошей (модель LM).

Рівновага на ринку грошей задається таким співвідношення між процентною ставкою та рівнем доходу, при якому попит на гроші дорівнює їх пропозиції. Наведемо одну із нестохастичних форм такої моделі:

Співвідношення можна записати у вигляді

Співвідношення відоме як рівняння LM. Спільну модель IS-LM зображено на рис.

Точка перетину ліній IS і LM визначає співвідношення між процентною ставкою й рівнем доходу, при якому обидва ринки перебувають у стані рівноваги. Ця точка визначається як розв'язок системи рівнянь

Структурна форма економетричної моделі

економетрична модель кореляція споживчий

Структурна форма економетричної моделі описує одно- та багатосторонні стохастичні причинні співвідношення між економічними величинами в їх безпосередньому вигляді. Вона містить усю суттєву інформацію про залежності між економічними явищами та процесами. Кожне співвідношення такої системи (рівняння чи тотожність) має певну економічну інтерпретацію. Структурні рівняння системи описують окремо економічні явища з урахуванням економічних, технологічних, демографічних, соціологічних та інших факторів, що спричинюють змінювання залежних змінних. Характерною особливістю структурних рівнянь є їх певна автономність щодо визначених змінних, оскільки зміна останніх в одному структурному рівнянні не обов'язково зумовлює зміну залежних змінних в інших рівняннях.

Для адекватного відображення реальної дійсності та повного охоплення економічних показників одночасними співвідношеннями в системах застосовують також тотожності - детерміновані залежності економічних величин. Тотожності не містять випадкових складових, а параметри їх заздалегідь відомі (найчастіше вони дорівнюють одиниці), тому вони не підлягають оцінюванню. Отже, справедливим буде таке означення.

Означення 3. Економетрична модель, що відображає структуру зв'язків між змінними, називається структурною формою моделі. У загальному випадку структурна форма моделі має вигляд

де yt - вектор залежних (ендогенних) змінних; xt - вектор незалежних (екзогенних) змінних; ut - вектор залишків, t = 1,2,..., T.

Задача 1

Маємо дані про роздрібний товарообіг і доходи населення в умовних грошових одиницях в деякій країні за 1991-2002 рр. (табл. 4).

Таблиця 4

Рік	Роздрібний товарообіг, млн. ум. од.,	Доходи населення, млн. ум. од., X
1	2	3
1991	232	251
1992	250	269
1993	263	287
1994	277	303
1995	286	313
1996	307	331
1997	321	344
1998	331	358
1999	351	379
2000	371	399
2001	397	431
2002	427	463

Завдання:

· Розрахувати методом найменших квадратів оцінки параметрів споживчої функції.

· Перевірити достовірність вибраної лінії регресії методом аналізу дисперсій.

· Оцінити лінійний коефіцієнт кореляції.

· Визначити довірчі інтервали для та .

Для виконання завдання студентові потрібно до значення параметру гр. 2 табл. 2 добавити число , а до параметру гр. 3 число , - шифр студента, який дорівнює останній цифрі номеру залікової книжки (студентського квитка).

Методичні вказівки до розв'язання задачі №1

1. Зв'язок між роздрібним товарообігом та доходом населення носить прямолінійний характер, тому споживча функція має вигляд:

(1)

де - роздрібний товарообіг;

- особисті доходи громадян;

- константа;

- кутовий коефіцієнт кореляції;

- стохастична складова (залишки).

Для оцінювання параметрів та в рівнянні (1) скористаємось методом 1МНК. Запишемо систему нормальних рівнянь:

 (2)

(3)

Для знаходження та запишемо рівняння оцінок:

(4)

(5)

де - моменти першого порядку;

- моменти другого порядку.

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Для зручності розрахунку моментів побудуємо табл. 5.

Таблиця 5

Рік
1991	232	53824	251	63001	58232	-93	8649
1992	250	62500	269	72361	67250	-75	5625
1993	263	69169	287	82369	75481	-57	3249
1994	277	76729	303	91809	83931	-41	1681
1995	286	81796	313	97969	89518	-31	961
1996	307	94249	331	109561	101617	-13	169
1997	321	103041	344	118336	110424	0	0
1998	331	109561	358	128164	118498	14	196
1999	351	123201	379	143641	133029	35	1225
2000	371	137641	399	159201	148029	55	3025
2001	397	157609	431	185761	171107	87	7569
2002	427	182329	463	214369	197701	119	14161
Всього	3813	1251649	4128	1466542	1354817	0	37861

;

;

;

;

;

;

Таким чином, маємо споживчу функцію:

2. Перевірка достовірності підібраної лінії регресії методом аналізу дисперсій за критерієм Фішера.

 (11)

- обґрунтована складова дисперсії;

- необґрунтована складова дисперсії;

- загальна дисперсія.

(12)

де, - емпіричне значення ;

- теоретичне значення ;

- середнє значення .

(13)

(14)

Виходячи з даних міркувань:

(15)

Таблиця 6. - Таблиця аналізу дисперсій

Компоненти дисперсії	Число ступенів свободи,	Сума квадратів,	Середнє значення суми квадратів,
Регресія	1
Відхилення від регресії
Всього

Стосовно даних задачі:

Таблиця 7

Компоненти дисперсії	Число ступенів свободи,	Сума квадратів,	Середнє значення суми квадратів,
Регресія	1	(0,928)2*46510=40021,86	40021,86
Відхилення від регресії	10	10*4,48=44,8	4,48
Всього	11	40066,66

(16)

Таким чином:

де - число ступенів свободи відповідно чисельника і знаменника.

Висновок: , , тобто розходження обґрунтованої та необґрунтованої складових дисперсії носить не випадковий характер і взаємозв'язок між рівнем споживання та рівнем доходу тісний.

3. Оцінку лінійного коефіцієнту кореляції здійснимо за допомогою формули:

(17)

Висновок: Високий лінійний коефіцієнт кореляції свідчить про тісний взаємозв'язок між роздрібним товарообігом та рівнем доходу.

4. Побудуємо довірчі інтервали для , та .

4.1 Побудова довірчого інтервалу для кутового коефіцієнту кореляції здійснюється за формулою:

(18)

де, - деяка похибка при оцінці ;

- довірчий коефіцієнт при рівні імовірності та ступенях свободи. Знаходиться за таблицями - розподілу Ст'юдента.

Приймається якісна гіпотеза, відповідно до якої .

Формула для розрахунку має вигляд:

(19)

;

;

Висновок: Знайдений інтервал не має значень 0 та 1, тому результати регресії відповідають якісній гіпотезі, згідно до якої , тому робимо висновок про достатню точність оцінки .

4.2. Побудова довірчого інтервалу для коефіцієнта здійснюється за формулою:

 (20)

де, - деяка похибка при оцінюванні ;

(21)

;

;

;

Висновок: До інтервалу входять як від'ємні, так і додатні значення, отже при 95% імовірності похибка при оцінюванні не істотно відмінна від нуля.

4.3. Побудова довірчого інтервалу для лінійного коефіцієнту кореляції здійснюється за формулою:

(22)

де, - деяка похибка при оцінці ;

- деяка функція при рівні імовірності , коефіцієнті кореляції та деякій точковій оцінці . Оскільки не можна визначити, а, значить, і значення всієї функції невідоме, необхідно скористатися - перетворенням Фішера. Для цього вводимо нову змінну :

(23)

Розподіл приблизно співпадає з нормальним розподілом.

Тоді за таблицею - перетворення Фішера .

Знаходимо

(24)

Визначаємо при 95% рівні імовірності довірчі інтервали для

;

;

Скориставшись знову таблицями - перетворення Фішера, знайдемо тепер граничні значення для :

Отже, .

Висновок: Оцінка лінійного коефіцієнту кореляції є досить точною, а значить, тіснота зв'язку між роздрібним товарообігом та рівнем доходу громадян є дуже високою.

Задача 2

Дослідити наявність мультиколінеарності між пояснюючими змінними, скориставшись алгоритмом Фаррара-Глобера. Для дослідження мультиколінеарності наведено статистичну сукупність спостережень (табл. 8).

Таблиця 8

Місяць	Прибуток на місяць, грн.	Фондовіддача, грн.	Продуктивність праці, грн..	Питомі інвестиції, грн.,
1	2	3	4	5
1	46	16	13	17
2	51	21	15	20
3	46	17	14	18
4	49	18	15	19
5	54	20	14	22
6	45	19	13	17
7	48	18	14	18
8	51	21	17	20
9	44	16	13	21
10	54	22	18	22
11	56	24	19	24
12	54	21	18	23
13	55	22	20	23
14	51	23	16	22
15	55	24	17	24
16	58	26	22	25
17	60	28	23	26
18	57	25	21	22
19	61	29	24	26
20	62	31	26	27

Для виконання завдання студентові потрібно до параметру гр. 2 добавити число , до параметру гр. 3 число , до параметру графи 4 число , а до параметру гр. 5 число .

Методичні вказівки до розв'язання задачі №2

1. Обчислимо середні значення та стандартні відхилення пояснюючих змінних . Для цього можна скористатись стандартними функціями . В майстер функції знайдемо категорію „статистичні” і функції „СРЗНАЧ” ТА „СТАНДВІДХИЛ”

Дані величини можна також розрахувати за формулами:

 (25)

(26)

де середнє значення -тої пояснюючої змінної;

індивідуальне значення -тої пояснюючої змінної;

- номер пояснюючої змінної;

- номер точки спостереження (місяця);

стандартне відхилення -тої пояснюючої змінної;

- число спостережень.

Додаткові розрахунки наведено в табл. 9

Таблиця 9

Місяць
1	46	16	13	17	36,6025	21,16	23,04
2	51	21	15	20	1,1025	6,76	3,24
3	46	17	14	18	25,5025	12,96	14,44
4	49	18	15	19	16,4025	6,76	7,84
5	54	20	14	22	4,2025	12,96	0,04
6	45	19	13	17	9,3025	21,16	23,04
7	48	18	14	18	16,4025	12,96	14,44
8	51	21	17	20	1,1025	0,36	3,24
9	44	16	13	21	36,6025	21,16	0,64
10	54	22	18	22	0,0025	0,16	0,04
11	56	24	19	24	3,8025	1,96	4,84
12	54	21	18	23	1,1025	0,16	1,44
13	55	22	20	23	0,0025	5,76	1,44
14	51	23	16	22	0,9025	2,56	0,04
15	55	24	17	24	3,8025	0,36	4,84
16	58	26	22	25	15,6025	19,36	10,24
17	60	28	23	26	35,4025	29,16	17,64
18	57	25	21	22	8,7025	11,56	0,04
19	61	29	24	26	48,3025	40,96	17,64
20	62	31	26	27	80,1025	70,56	27,04
	1057	441	352	436	344,95	298,8	175,2

; ; .

; ; .

2. Нормалізуємо пояснюючі змінні. Серед статистичних функцій знайдемо функцію „НОРМАЛІЗАЦІЯ” та нормалізуємо

Для цього можна також скористатись формулою:

(27)

=
	-1,42019	-1,16162	-1,58416
	-0,24648	-0,65657	-0,59406
	-1,18545	-0,90909	-1,25413
	-0,9507	-0,65657	-0,92409
	-0,48122	-0,90909	0,066007
	-0,71596	-1,16162	-1,58416
	-0,9507	-0,90909	-1,25413
	-0,24648	-0,15152	-0,59406
	-1,42019	-1,16162	-0,26403
	-0,01174	0,10101	0,066007
	0,457746	0,353535	0,726073
	-0,24648	0,10101	0,39604
	-0,01174	0,606061	0,39604
	0,223005	-0,40404	0,066007
	0,457746	-0,15152	0,726073
	0,92723	1,111111	1,056106
	1,396714	1,363636	1,386139
	0,692488	0,858586	0,066007
	1,631455	1,616162	1,386139
	2,100939	2,121212	1,716172

Транспонуємо матрицю (нормалізовану) в матрицю

	-1,42019	-0,24648	-1,18545	-0,9507	-0,48122	-0,71596	-0,9507
	-1,16162	-0,65657	-0,90909	-0,65657	-0,90909	-1,16162	-0,90909
	-1,58416	-0,59406	-1,25413	-0,92409	0,066007	-1,58416	-1,25413

Продовження матриці

-0,24648	-1,42019	-0,01174	0,457746	-0,24648	-0,01174	0,223005	0,457746
-0,15152	-1,16162	0,10101	0,353535	0,10101	0,606061	-0,40404	-0,15152
-0,59406	-0,26403	0,066007	0,726073	0,39604	0,39604	0,066007	0,726073

Закінчення матриці

0,92723	1,396714	0,692488	1,631455	2,100939
1,111111	1,363636	0,858586	1,616162	2,121212
1,056106	1,386139	0,066007	1,386139	1,716172

Перемножимо матриці та :

=	19	17,8964552	16,9413894
	17,8964552	19	16,6415575
	16,9413894	16,6415575	19

3. Знайдемо кореляційну матрицю .

Для знаходження кореляційної матриці необхідно кожний елемент матриці помножити на (у нашому випадку

	1	0,941918693	0,891652074
	0,941918693	1	0,875871449
	0,891652074	0,875871449	1

4. Знайдемо визначник матриці .

Для знаходження необхідно серед математичних функцій знайти функцію „МОПРЕД”. Скориставшись нею, дістанемо: = 0,02182033

Оскільки наближається до нуля, то в масиві пояснюючих змінних може існувати мультиколінеарність.

Прологарифмуємо визначник матриці : = -3,824913185

5. Обчислимо критерій за формулою:

(28)

Знайдене значення порівняємо з табличним значенням , коли маємо ступенів свободи та при рівні значущості .

Оскільки , то в масиві пояснюючих змінних (продуктивність праці, питомі інвестиції та фондовіддача) існує мультиколінеарність.

6. Обчислимо критерій.

Для визначення критеріїв необхідно знайти матрицю , яка є оберненою до матриці :

	10,67120467	-7,375970017	-3,05460023
	-7,375970017	9,392918454	-1,65019013
	-3,054600232	-1,65019013	5,168995053

Безпосередньо критерій обчислюється за формулою:

(29)

де - діагональний елемент матриці .

;

;

.

Обчислені критерії порівнюються з табличним значенням , коли є ступенів свободи та при рівні значущості .

У розглядуваному випадку , , . Це означає, що кожна з пояснюючих змінних мультиколінеарна з іншими.

7. Визначимо частинні коефіцієнти кореляції .

Частинні коефіцієнти кореляції показують тісноту зв'язку між двома пояснюючими змінними за умови, що всі інші змінні не впливають на цей зв'язок і обчислюються за формулою:

(30)

;

;

.

Отже, спираючись на здобуті нами значення окремих (частинних) коефіцієнтів кореляції, можна сказати, що зв'язок між фондовіддачею та продуктивністю праці є тісним, якщо не враховувати вплив питомих інвестицій, зв'язок між фондовіддачею та питомими інвестиціями є слабким, якщо не брати до уваги вплив продуктивності праці. Зв'язок між продуктивністю праці та питомими інвестиціями також є слабким, якщо не враховувати фондовіддачу.

8. Визначимо критерій.

Ці критерії застосовуються для визначення мультиколінеарності двох пояснюючих змінних і обчислюються за формулою:

(31)

;

;

.

Обчислені критерії порівнюються з табличним значенням , коли маємо ступенів свободи та при рівні значущості .

Оскільки , то продуктивність праці та фондовіддача є відповідно мультиколінеарними між собою;

, тому відповідно продуктивність праці та питомі інвестиції є мультиколінеарними між собою;

, тому продуктивність праці та питомі інвестиції не є мультиколінеарними між собою.

Висновок. Дослідження, проведені за алгоритмом Фаррара-Глобера показали, що мультиколінеарність між пояснюючими змінними даного прикладу існує. Отже, для того, щоб можна було застосувати метод 1МНК для оцінювання параметрів моделі за цією інформацію, необхідно в першу чергу звільнитися від мультиколінеарності.

Задача 3

Маємо статистичні дані про залежність витрат на рекламу від прибутку на деякому підприємстві протягом 15 років. (табл. 10)

Таблиця 10

Рік	Прибуток підприємства, млн. грн.,	Витрати на рекламу, тис. грн.,
1	2	3
1	84	104
2	82	79
3	79	55
4	82	80
5	81	73
6	82	84
7	80	68
8	83	94
9	80	74
10	79	59
11	84	102
12	82	84
13	80	68
14	84	102
15	83	93

b =8,64

a =-624.21

Економетрична модель має вигляд:

(33)

2. На основі економетричної моделі визначимо вектор збурення , який є різницею між розрахованим та фактичним значенням витрат на рекламу.

(34)

Розрахунки проведено в табл. 11

Розрахуємо критерій Дарбіна-Уотсона:

(35)

Висновок: Оскільки критерій Дарбіна-Уотсона менше двох, то можна говорити про існування додатної або прямої автокореляції.

Для прийняття рішення про присутність автокореляції залишків використаємо двохсторонній - тест для таких значень:

; ; ;

;

У нашому випадку

Цей результат вказує на те, що гіпотеза не може бути ні прийнятою ні відхиленою. Тому зробити висновок щодо наявності чи відсутності автокореляції залишків за - тестом неможливо. Для цього необхідно скористатись критерієм Фон-Неймана:

(36)

Таблиця 11

Рік
1	84	104	7056	10816	8736	101,42	2,58	6,64
2	82	79	6724	6241	6478	84,15	-5,15	26,48	-7,72	59,65	-13,26
3	79	55	6241	3025	4345	58,23	-3,23	10,44	1,92	3,67	16,63
4	82	80	6724	6400	6560	84,15	-4,15	17,19	-0,92	0,84	13,40
5	81	73	6561	5329	5913	75,51	-2,51	6,29	1,64	2,68	10,40
6	82	84	6724	7056	6888	84,15	-0,15	0,02	2,36	5,58	0,37
7	80	68	6400	4624	5440	66,87	1,13	1,28	1,28	1,63	-0,17
8	83	94	6889	8836	7802	92,78	1,22	1,48	0,08	0,01	1,37
9	80	74	6400	5476	5920	66,87	7,13	50,85	5,92	34,99	8,67
10	79	59	6241	3481	4661	58,23	0,77	0,59	-6,36	40,47	5,48
11	84	102	7056	10404	8568	101,42	0,58	0,33	-0,19	0,04	0,44
12	82	84	6724	7056	6888	84,15	-0,15	0,02	-0,72	0,52	-0,08
13	80	68	6400	4624	5440	66,87	1,13	1,28	1,28	1,63	-0,17
14	84	102	7056	10404	8568	101,42	0,58	0,33	-0,55	0,31	0,65
15	83	93	6889	8649	7719	92,78	0,22	0,05	-0,36	0,13	0,12
Разом	1225	1219	100085	102421	99926	1219,00	0,00	123,27	11,47	152,14	35,93

Це значення порівняємо з табличним при ; . Так як , можна вважати, що існує додатна автокореляція залишків.

Визначимо авторегресійний параметр :

(37)

- циклічний коефіцієнт автокореляції.

Коригування на величину заміщення:

(38)

		0	0	0	…	0	0
		1	0	0	…	0	0
	0		1	0	…	0	0
	0	0	0	0	…		1

Де перші елементи розраховуються за формулами:

(41)

(42)

А всі інші:

 (43)

(44)

Матриця перетворень буде мати вигляд (табл. 12).

b =9,748

a =-742,799

(45)

Розрахуємо критерій Дарбіна-Уотсона:

Висновок: Авторегресійний процес першого порядку відсутній, оскільки прямує до 2,0, тобто після застосування методу Ейткена прогноз моделі покращився.

Таблиця 12

Рік
1	84,95	104,95	7215,86	11014,50	8915,11	85,24	19,71	388,63
2	82,95	45,00	6880,08	2024,66	3732,27	65,74	-20,74	430,33	-40,46	1636,87
3	79,95	40,42	6391,40	1633,88	3231,52	36,50	3,92	15,40	24,67	608,53
4	82,95	66,90	6880,08	4476,08	5549,39	65,74	1,16	1,35	-2,76	7,62
5	81,95	51,32	6715,18	2634,08	4205,75	55,99	-4,67	21,81	-5,83	34,02
6	82,95	67,37	6880,08	4538,89	5588,19	65,74	1,63	2,66	6,30	39,69
7	80,95	46,17	6552,29	2131,83	3737,43	46,25	-0,07	0,01	-1,70	2,90
8	83,95	79,04	7046,97	6247,38	6635,14	75,49	3,55	12,62	3,63	13,14
9	80,95	48,39	6552,29	2341,68	3917,06	46,25	2,15	4,60	-1,41	1,98
10	79,95	43,32	6391,40	1876,74	3463,38	36,50	6,82	46,57	4,68	21,89
11	84,95	87,96	7215,86	7737,65	7472,20	85,24	2,73	7,44	-4,10	16,78
12	82,95	55,50	6880,08	3080,22	4603,49	65,74	-10,24	104,88	-12,97	168,19
13	80,95	50,02	6552,29	2501,81	4048,78	46,25	3,77	14,24	14,01	196,39
14	84,95	85,79	7215,86	7360,63	7287,89	85,24	0,56	0,31	-3,21	10,34
15	83,95	65,20	7046,97	4251,39	5473,52	75,49	-10,29	105,80	-10,84	117,59
	1239,19	937,37	102416,69	63851,41	77861,11	937,37	0,00	1156,63	14,80	2875,92

Задача 4

Оцінити модель, яка складається з двох рівнянь:

(46, 47)

Перше рівняння відображає залежність грошового обігу від оборотності грошей та грошових доходів населення . У другому рівнянні оборотність грошей визначається у вигляді функції від грошового обігу та розміру вкладу в ощадбанк . Між двома змінними - грошовим обігом та оборотністю грошей існують одночасні зв'язки, так як кожна з них в одному рівнянні виступає як факторна змінна, у другому - як результативна.

Введемо позначення:

грошовий обіг ;

оборотність грошей ;

грошові доходи населення ;

розмір вкладу в ощадбанк .

Дані про , , , представлено у вигляді відхилень від відповідних середніх (табл. 13)

Таблиця 13

1	2	3	4	5
1	-10	4	-5	11
2	-7	5	-2	8
3	-6	3	-3	2
4	-4	1	-1	5
5	0	2	0	2
6	3	0	0	-2
7	5	-2	2	-5
8	4	-4	2	-3
9	7	-5	3	-8
10	8	-4	4	-10

Для виконання завдання студентові потрібно в табл. добавити до параметра гр. 2, 5 число , до параметра гр. 3, 4 число , де - остання цифра номера залікової книжки студента.

Методичні вказівки до розв'язання задачі №4

Для оцінки моделі скористаємося методом 1МНК спочатку до першого рівняння системи, а потім до другого.

Запишемо рівняння №1 у вигляді множинної регресії:

(48)

Перша цифра біля коефіцієнтів та означає номер рівняння, друга - номер змінної. Запишемо формули для оцінки параметрів регресії:

(49)

;

Проведемо операції:

(50)

Необхідні величини розраховано в табл. 13

Таблиця 13

1	-3	12	3	18	9	144	9	324	36	-36	-9	-54	216
2	0	13	6	15	0	169	36	225	78	0	0	0	195
3	1	11	5	9	1	121	25	81	55	11	5	9	99
4	3	9	7	12	9	81	49	144	63	27	21	36	108
5	7	10	8	9	49	100	64	81	80	70	56	63	90
6	10	8	8	5	100	64	64	25	64	80	80	50	40
7	12	6	10	2	144	36	100	4	60	72	120	24	12
8	11	4	10	4	121	16	100	16	40	44	110	44	16
9	14	3	11	-1	196	9	121	1	33	42	154	-14	-3
10	15	4	12	-3	225	16	144	9	48	60	180	-45	-12
Всього	70	80	80	70	854	756	712	910	557	370	717	113	761

Розв'язок

Запишемо рівняння №1 у вигляді множинної регресії:

Перша цифра біля коефіцієнтів та означає номер рівняння, друга - номер змінної

?y2t=a*n+b*?x2t

?x2t*y2t=a*?x2t+b*x2tІ?a=0.98 ; b=-1

Необхідні величини розраховано в табл. 13

Проведемо операції:

?y1t=a*n+b*?x3t

?x3t*y1t=a*?x3t+b*x3tІ?a=0.2527 ; b=-0.256

Таким чином, запропонована у загальній формі модель має такий вигляд:

Список використаної літератури

1. Грубер Й. Економетрія: Вступ до множинної регресії та економетрії: У 2 т. - К: Нічлава, 1998-1999.

2. Джонстон Дж. Эконометрические методы. - М.: Статистика, 1980. - 444 с.

3. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 1997. - 402 с.

4. Дрейпер П., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. - М.: Финансы и статистика, 1986. - Т. 1 - 365 с; Т. 2 - 379 с.

5. Емельянов А.С. Эконометрия и прогнозирование. - М.: Экономика, 1985. - С. 82-89.

6. Єлейко В. Основи економетрії. - Львів: "Марка Лтд", 1995. - 191с.

7. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Введение в количественный экономический анализ. - М.: Статистика, 1977. - 254 с.

8. Корольов О.А. Економетрія: Навч. посіб. - К: Європейський ун-т, 2002. - 660 с.

9. Ланге О. Введение в эконометрию. - М.: Прогресс, 1964. - 360 с.

10. Лук'яненко I.Г., Краснікова Л.І. Економетрика: Підручник. - К.: Т-во "Знання", КОО, 1998. - 494 с

11. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Економетрика: Навч. курс. - М.: Дело, 1997. - 248 с.

12. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. - М.: Статистика, 1975. - 423 с.

13. Наконечний С.I., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Економетрія: Навч. посіб. - К: КНЕУ, 1997. - 352 с.

14. Тинтнер Г. Введение в эконометрию. - М.: Статистика, 1965. - 368 с.

15. Толбатое Ю. А. Економетрика: Підруч. для студ. екон. спец. вищ. навч. закл. - К.: Четверта хвиля, 1997. - 320 с.

16. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. - М.: Статистика, 1978. - 224 с.

17. Хеш Д. Причинный анализ в статистических исследованиях. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 224 с.

18. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе: Справочник. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Статистика, 1979. - 448 с.

Размещено на Allbest.ru