Использование пакета Maple при решении заданий

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Общие сведения MAPLE

2. Этап применения пакета программ MAPLE

3. Решение задач ЭММ с помощью программы MAPLE

3.1 Матрицы

3.2 Дифференциальное исчисление

3.3 Интегрирование

3.4 Решение задач линейного программирования с помощью программы MAPLE

3.5 Примеры решения транспортных задач в MAPLE

Заключение

Библиографический список

Введение

Для управляющих предприятиями важно знать теорию и владеть практическими инструментами ЭММ (экономико-математического моделирования), т.к. при помощи данной науки каждый, кто владеет знаниями сможет построить и рассчитать экономико-математическую модель, которая сможет помочь в любых ситуациях, когда необходимо принять правильное решение. Математическая модель может помочь учесть множество различных факторов и характеристик от которых может зависеть данная проблема. При анализировании данной модели можно найти оптимальный план решения, соответственно минимизировать затраты. ЭММ включает в себя методы различных наук, таких, как Кибернетика, Экономика, Статистика и др. За счет развития наук и техники сейчас все расчеты занимают меньше времени нежели ранее. Сильная продвинутость математических теорий (линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, корреляционный и регрессионный анализ, дифференциальные уравнения и т.д.) предоставляет к нашим услугам очень мощный и развитый математический аппарат.

Разумеется, в использовании математических методов есть свои слабые стороны. При попытке формализовать экономическую ситуацию может получиться очень сложная математическая задача. Для того чтобы ее упростить, приходится вводить новые допущения, зачастую не оправданные с точки зрения экономики. Поэтому исследователя подстерегает опасность заниматься математической техникой вместо анализа подлинной экономической ситуации. Главное и, по существу, единственное средство борьбы против этого - использование ЭВМ с набором программ. В данной курсовой роботе мы рассмотрим, как можно упростить математическую часть задач по ЭММ, при помощи пакета программ, на примере Maple.

1. Общие сведения MAPLE

maple программный пакет задача

Maple -- программный пакет, система компьютерной алгебры. Создана в компании Waterloo Maple Inc., которая основана в 1984 году и выпускает и продвигает на рынке ряд программных продуктов, ориентированных на сложные математические вычисления, визуализацию данных и моделирование. Система Maple предназначена для символьных вычислений, хотя имеет ряд средств и для численного решения дифференциальных уравнений и нахождения интегралов. Обладает развитыми графическими средствами. Имеет собственный язык программирования.

Maple состоит из ядра - процедур, написанных на языке С и в высшей степени оптимизированных, библиотеки, написанной на Maple-языке, и интерфейса. Ядро выполняет большинство базисных операций. Библиотека содержит множество команд - процедур, выполняемых в режиме интерпретации. Программируя собственные процедуры, пользователь может пополнять ими стандартный набор и, таким образом, расширять возможности Maple.

Интерфейс Maple в настоящее время разнится в зависимости от используемой техники. Приводимые примеры были опробованы на IBM PC для DOS-версии и Windows-версии, сведения об интерфейсе Windows-версии даны в приложении. Этот интерфейс основан на концепции рабочего поля (worksheet) или документа, содержащего строки ввода, вывода и текст, а также графику.

Работа в Maple проходит в режиме сессии (session) - пользователь вводит предложения (команды, выражения, процедуры и др.), которые воспринимаются Maple. Если ввод предложения завершается разделителем ";", то в строке под предложением сразу будет отклик: результат исполнения команды или сообщение об ошибке. Разделитель ":" используется для "отложенного" ввода. Нажатие Enter запускает исполнение предложения. Если введено законченное предложение, то следует выполнение, иначе Maple ожидает завершения предложения. Обнаружив ошибку, Maple печатает на следующей строке сообщение о ней; при ошибке в написании имени команды символом "^" отмечается первая неузнанная литера.

По умолчанию результаты сеанса сохраняются в файле с расширением 'ms'. Если задан режим сохранения состояния сеанса (session), то в файле с расширением 'm' будут записаны текущие назначения.

Maplesoft продаёт как студенческую, так и профессиональные версии Maple, с существенной разницей в цене.

Недавние студенческие версии (начиная с шестой) не имели вычислительных ограничений, но поставлялись с меньшим объёмом печатной документации. Так же различаются студенческая и профессиональная версии пакета Mathematica.

2. Этап применения пакета программ MAPLE

Под экономико-математической моделью понимается математическое описание исследуемого экономического процесса и объекта. Эта модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде с помощью математических соотношений. Использование математического моделирования в экономике позволяет углубить количественный экономический анализ, расширить область экономической информации, интенсифицировать экономические расчеты.

Экономико-математическое моделирование, как правило, опирается на методы линейного программирования. Линейное программированием называется нахождение оптимального плана в задачах имеющих линейную структуру. Для решения задач линейного программирования, как правило, используется симплекс метод, который в общем виде заключается в том, что при помощи последовательных итерационных процедур находится решение задачи, удовлетворяющее условию оптимальности.

В общем случае, доля решения подобных задач необходимо пройти следующие этапы

1. Выяснение экономической сущности задач и нахождении системы переменных.

2. Анализ и формализация всех ограничений задачи.

3. Нахождение целевой функции и критерия оптимальности.

4. Математическая формализация всех исходных данных и поиск решения задачи.

Четвертый этап может осуществляться двумя способами

1. Нахождения решения вручную

2. И с использование пакета программ Maple

По всем параметрам второй способ является наиболее удобным, поскольку он сокращает затраты времени на поиск решения задач, обеспечивает необходимую наглядность информации и возможность корректировки исходных данных. Современный экономический процесс характеризуется высокой интенсивностью - большим объемом сообщаемой информации в единицу времени, что предъявляет особые требования к процессам. В частности, повышение эффективности ЭММ в современных условиях невозможно без использования систем компьютерной математики.

3. Решение задач ЭММ с помощью программы MAPLE

Рассмотрим роботу программы Maple в задачах наиболее часто встречаемых при экономико-математическом моделировании.

1.Матрицы

2.Дифференциальное исчисление

3.Интегрирование

4.

5. Примеры решения транспортных задач в MAPLE

3.1 Матрицы

Определение матрицы.

Для определения матрицы в Maple можно использовать команду matrix. Числа задавать необязательно, а достаточно перечислить элементы матрицы построчно в квадратных скобках через запятую. Например:

> A:=matrix([[1,2,3],[-3,-2,-1]]);

A:=

В Maple матрицы специального вида можно генерировать с помощью дополнительных команд. В частности диагональную матрицу можно получить командой diag. Например:

> J:=diag(1,2,3);

J:=

Генерировать матрицу можно с помощью функции f(i, j) от переменных i, j - индексов матрицы: matrix(n, m, f), где где n - число строк, m - число столбцов. Например:

> f:=(i, j)->x^i*y^j;

> A:=matrix(2,3,f);

A:=

Число строк в матрице А можно определить с помощью команды rowdim(A), а число столбцов - с помощью команды coldim(A).

Арифметические операции с матрицами.

Сложение двух матриц одинаковой размерности осуществляется теми же командами, что и сложение векторов: evalm(A+B) или matadd(A,B). Произведение двух матриц может быть найдено с помощью двух команд:

1. evalm(A*B);

2. multiply(A,B).

В качестве второго аргумента в командах, вычисляющих произведение, можно указывать вектор, например:

> A:=matrix([[1,0],[0,-1]]);

> B:=matrix([[-5,1], [7,4]]);

A:=B:=

> v:=vector([2,4]);

> multiply(A,v);

> multiply(A,B);

> matadd(A,B);



Команда evalm позволяет также прибавлять к матрице число и умножать матрицу на число. Например:

> С:=matrix([[1,1],[2,3]]):

> evalm(2+3*С);

Определители, миноры и алгебраические дополнения. Ранг и след матрицы.

Определитель матрицы А вычисляется командой det(A). Команда minor(A,i,j) возвращает матрицу, полученную из исходной матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Минор Mij элемента aij матрицы А можно вычислить командой det(minor(A,i,j)). Ранг матрицы А вычисляется командой rank(A). След матрицы А, равный сумме ее диагональных элементов, вычисляется командой trace(A).

> A:=matrix([[4,0,5],[0,1,-6],[3,0,4]]);

A:=

> det(A);

1

> minor(А,3,2);

> det(%);

-24

> trace(A);

Обратная и транспонированная матрицы.

Обратную матрицу А-1 , такую что А-1А=АА-1=Е, где Е - единичная матрица, можно вычислить двумя способами:

1. evalm(1/A);

2. inverse(A).

Транспонирование матрицы А - это изменение местами строк и столбцов. Полученная в результате этого матрица называется транспонированной и обозначается А'. Транспонированную матрицу А' можно вычислить командой transpose(A).

Например, используя заданную в предыдущем пункте матрицу А, найдем ей обратную и транспонированную:

> inverse(A);

> multiply(A,%);

> transpose(A);

Выяснение типа матрицы.

Выяснить положительную или отрицательную определенность матрицы можно при помощи команды definite(A,param), где param может принимать значения: 'positive_def' - положительно определена (A>0), 'positive_semidef' - неотрицательно определенная(A?0), 'negative_def' - отрицательно определенная (A<0), 'negative_semidef' - неположительно определенная (A?0). Результатом действия будет константа true - подтверждение, false - отрицание сделанного предположения. Например:

> A:=matrix([[2,1],[1,3]]);

A:=

> definite(А,'positive_def');

true

Проверить ортогональность матрицы А можно командой orthog(A).

> В:=matrix([[1/2,1*sqrt(3)/2], [1*sqrt(3)/2,-1/2]]);

B:=

> orthog(В);

true

Функции от матриц.

Возведение матрицы А в степень n производится командой evalm(A^n). Вычисление матричной экспоненты возможно с помощью команды exponential(A). Например:

> Т:=matrix([[5*a,2*b],[-2*b,5*a]]);

T:=

> exponential(Т);

> evalm(Т^2);

1. Даны матрицы: A=, B=, C=. Найти: (AB)C .

> with(linalg):restart;

> A:=matrix([[4,3],[7,5]]):

> B:=matrix([[-28,93],[38,-126]]):

> C:=matrix([[7,3],[2,1]]):

> F:=evalm(A&*B&*C);

F=

2. Дана матрица A=, найти: detA, , A', det(M22). Наберите:

> A:=matrix([[2,5,7],[6,3,4],[5,-2,-3]]);

A=

> Det(A)=det(A);

> transpose(A);

> inverse(A);

> det(minor(A,2,2));

3. Найти ранг матрицы A=.

> A:=matrix([[8,-4,5,5,9], [1,-3,-5,0,-7], [7,-5,1,4,1], [3,-1,3,2,5]]);

> r(A)=rank(A);

4. Вычислить , где T=.

> exponential([[3,-1],[1,1]]);

5. Дана матрица A=. Найти значение многочлена .

> A:=matrix([[5,1,4],[3,3,2],[6,2,10]]):

> P(A)=evalm(A^3-18*A^2+64*A);

3.2 Дифференциальное исчисление

Большинство задач дифференциального и интегрального исчисления функций многих переменных решается в Maple теми же командами, что и для функций одной переменной, только с указанием дополнительных параметров.

Частные производные.

Для вычисления частных производных функции f(x1,…, xm) используется уже хорошо известная вам команда diff. В этом случае эта команда имеет такой формат: diff(f,x1$n1,x2$n2,…, xm$nm), где x1,…, xm - переменные, по которым производится дифференцирование, а после знака $ указаны соответствующие порядки дифференцирования. Например, частная производная записывается в виде: diff(f,x,y).

1. Найти и функции .

> f:=arctan(x/y):

> Diff(f,x)=simplify(diff(f,x));

> Diff(f,y)=simplify(diff(f,y));

.

2. Найти все частные производные 2-го порядка функции .

> f:=(x-y)/(x+y):

> Diff(f,x$2)=simplify(diff(f,x$2));

> Diff(f,y$2)=simplify(diff(f,y$2));

> Diff(f,x,y)=diff(f,x,y);

.

Локальные и условные экстремумы функций многих переменных.

Для исследования функции на локальный и условный экстремум используется команда из стандартной библиотеки extrema(f,{cond},{x,y,…},'s'), где cond - ограничения для поиска условного экстремума, которые записываются в виде равенств. После ограничений в фигурных скобках указываются все переменные, от которых зависит функция f, а затем в кавычках записывается s - имя переменной, которой будут присвоены координаты точек экстремума. Если ограничений не указывать, то будет производиться поиск локального экстремума.

К сожалению, команда extrema выдает все критические точки, то есть и те, в которых экстремума нет. Отсеять недающие экстремума критические точки можно с помощью непосредственной подстановки этих точек в функцию, например, оператором subs.

Так же, как и для функции одной переменной, наибольшее и наименьшее значения функции многих переменных вычисляются командами maximize(f,{x1,…,xn},range), и minimize(f,{x1,…,xn}, range), где следует указывать после функции в фигурных скобках список всех переменных, от которых она зависит, а затем интервалы для каждой переменной, указывающие область поиска наибольшего и наименьшего значений.

Если требуется найти переменные, при которых линейная функция многих переменных имеет максимум (или минимум) при выполнении определенных ограничений, заданных в виде линейных равенств или неравенств, то следует использовать симплекс-метод. Для этого сначала необходимо загрузит пакет simplex, а затем воспользоваться командой maximize (или minimize), где теперь в качестве range можно указывать в фигурных скобках ограничительную систему неравенств. Пакет simplex предназначен для решения задач линейной оптимизации. После его загрузки команды maximize и minimize меняют свое действие. Теперь эти команды выдают координаты точек, при которых заданная линейная функция имеет максимум или минимум. При этом допускается дополнительная опция для поиска только неотрицательных решений NONNEGATIVE.

1.Найти экстремумы функции .

> restart: readlib(extrema):

> f:=2*x^4+y^4-x^2-2*y^2:

> extrema(f,{},{x,y},'s');s;

{{x=0, y=0}, {x= y=0}, {x=, y=0}, {x=0, y=1}, {x=0, y=-1}, {x=, y=1}, {x=, y=-1}, {x=, y=1}, {x=, y=-1}}

Получилось всего два экстремума, поэтому очевидно, что fmax=0 и fmin=- 9/8, причем максимум достигается в точке (0,0). Остальные критические точки следует проверить. В силу четности функции по обеим переменным, можно ограничится проверкой критических точек только с положительными координатами.

> subs([x=1/2,y=1],f);

> subs([x=1/2,y=0],f);

> subs([x=0,y=1],f);

-1

Таким образом, функция имеет следующие локальные экстремумы: fmax=f(0,0)=0 и fmin =f =f =- 9/8.

2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике x=0, y=0, x=1, y=2.

Замечание: заданную область удобнее записывать в виде неравенств: 0<x<1, 0<y<2.

> restart: readlib(maximize):readlib(minimize):

> f:=x^2+2*x*y-4*x+8*y:

> maximize(f,{x,y},{x=0..1,y=0..2});

17

> minimize(f,{x,y},{x=0..1,y=0..2});

-4

Таким образом, функция имеет наибольшее значение fmax=17 и наименьшее значение fmin=- 4.

3.Найти условные экстремумы функции f(х,у)=xy+yz при x2+y2=2, y+z=2, x>0, y>0, z>0.

> restart: readlib(extrema): f:=x*y+y*z:

> assume(x>0);assume(y>0);assume(z>0);

> simplify(extrema(f,{x^2+y^2=2,y+z=2},{x,y,z},'s'));

Несмотря на предварительное использование команды упрощения выражения simplify, полученный результат имеет не аналитический вид, однако это можно исправить, если воспользоваться командой convert.

> convert(%,radical);

{min, max}

> convert(s,radical);

{{x~=1,z~=1,y~=1},{x~=-1,z~=1,y~=1},

{x~=, y~ =, z~=}

В этом случае команда extrema сама определила характер экстремумов, однако, в каких точках функция имеет экстремумы, можно определить подстановкой.

> subs(s[1],f);

2

> subs(s[2],f);

0

> subs(s[3],f):convert(%,radical):simplify(%);

Таким образом, функция имеет следующие условные экстремумы: fmax=f(1,1,1)=2 и fmin=f(- 1,1,1)=0; третья критическая точка является седловой.

4. При каких значениях переменных функция f(x,y,z)=- x+2y+3z имеет максимум, если требуется выполнение условий x+2y- 3zЈ 4, 5x- 6y+7zЈ 8, 9x+10zЈ 11, а все переменные неотрицательные?

> restart: with(simplex):

Warning, new definition for maximize

Warning, new definition for minimize

> f:=-x+2*y+3*z:

> cond:={x+2*y-3*z<=4, 5*x-6*y+7*z<=8, 9*x+10*z<=11}:

> maximize(f,cond,NONNEGATIVE );

{x=0, y=, z=}

3.3 Интегрирование

Аналитическое и численное интегрирование.

Неопределенный интеграл вычисляется с помощью 2-х команд:

1. прямого исполнения - int(f, x), где f - подынтегральная функция, x - переменная интегрирования;

2. отложенного исполнения - Int(f, x) - где параметры команды такие же, как и в команде прямого исполнения int. Команда Int выдает на экран интеграл в аналитическом виде математической формулы.

Для вычисления определенного интеграла в командах int и Int добавляются пределы интегрирования, например,

> Int((1+cos(x))^2, x=0..Pi)=int((1+cos(x))^2, x=0..Pi);

Если в команде интегрирования добавить опцию continuous: int(f, x, continuous), то Maple будет игнорировать любые возможные разрывы подынтегральной функции в диапазоне интегрирования. Это позволяет вычислять несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования вычисляются, если в параметрах команды int указывать, например, x=0..+infinity.

Численное интегрирование выполняется командой evalf(int(f, x=x1..x2), e), где e - точность вычислений (число знаков после запятой).

Интегралы, зависящие от параметра. Ограничения для параметров.

Если требуется вычислить интеграл, зависящий от параметра, то его значение может зависеть от знака этого параметра или каких-либо других ограничений. Рассмотрим в качестве примера интеграл , который, как известно из математического анализа, сходится при а>0 и расходится при а<0. Если вычислить его сразу, то получится:

> Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)=int(exp(-a*x),x=0..+infinity);

.

Таким способом интеграл с параметром не вычислить. Для получения явного аналитического результата вычислений следует сделать какие-либо предположения о значении параметров, то есть наложить на них ограничения. Это можно сделать при помощи команды assume(expr1), где expr1 - неравенство. Дополнительные ограничения вводятся с помощью команды additionally(expr2), где expr2 - другое неравенство, ограничивающее значение параметра с другой стороны.

После наложения ограничений на параметр Maple добавляет к его имени символ (~), например параметр a, на который были наложены некоторые ограничения, в сроке вывода будет иметь вид: a~.

Описание наложенных ограничений параметра a можно вызвать командой about(a). Пример: наложить ограничения на параметр a такие, что a>-1, a< 3:

> assume(a>-1); additionally(a<=3);

> about(a);

Originally a, renamed a~:

is assumed to be: RealRange(Open(-1),3)

Вернемся к вычислению интеграла с параметром , которое следует производить в таком порядке:

> assume(a>0);

> Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)=int(exp(-a*x),x=0..+infinity);

Основные методы интегрирования.

В Maple имеется пакет student, предназначенный для обучения математике. Он содержит набор подпрограмм, предназначенных для выполнения расчетов шаг за шагом, так, чтобы была понятна последовательность действий, приводящих к результату. К таким командам относятся интегрирование по частям inparts и замена переменной changevar.

Формула интегрирования по частям:

Если обозначить подынтегральную функцию f=u(x)v'(x), то параметры команды интегрирования по частям такие: intparts(Int(f, x), u), где u - именно та функция u(x), производную от которой предстоит вычислить по формуле интегрирования по частям.

Если в интеграле требуется сделать замену переменных x=g(t) или t=h(x), то параметры команды замены переменных такие: changevar(h(x)=t, Int(f, x), t), где t - новая переменная.

Обе команды intparts и changevar не вычисляют окончательно интеграл, а лишь производят промежуточную выкладку. Для того, чтобы получить окончательный ответ, следует, после выполнения этих команд ввести команду value(%); где % - обозначают предыдущую строку.

Не забудьте, перед использованием описанных здесь команд обязательно загрузить пакет student командой with(student).

1. Найти неопределенные интегралы: а) ;

б) .

> Int(cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x),x)=int(cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x), x);

> Int((3*x^4+4)/(x^2*(x^2+1)^3),x)= int((3*x^4+4)/(x^2*(x^2+1)^3),x);

2. Найти определенный интеграл , при условии a>0, b>0.

> assume (a>0); assume (b>0);

>Int(sin(x)*cos(x)/(a^2*cos(x)^2+b^2*sin(x)^2),x=0..Pi/2)=int(sin(x)*cos(x)/(a^2*cos(x)^2+b^2*sin(x)^2),x=0..Pi/2);

3. Найти несобственный интеграл , при a>-1

> assume(a>-1);

> Int((1-exp(-a*x^2))/(x*exp(x^2)), x=0..+infinity)=int((1-exp(-a*x^2))/(x*exp(x^2)), x=0..+infinity);



4. Численно найти интеграл

> Int(cos(x)/x, x=Pi/6..Pi/4)=evalf(int(cos(x)/x, x=Pi/6..Pi/4), 15);

5. Полностью проделать все этапы вычисления интеграла по частям.

> restart; with(student): J=Int(x^3*sin(x),x);

> J=intparts(Int(x^3*sin(x),x),x^3);

> intparts(%,x^2);

> intparts(%,x);

> value(%);

6. Вычислить интеграл с помощью универсальной подстановки .

> J=Int(1/(1+cos(x)), x=-Pi/2..Pi/2);

> J=changevar(tan(x/2)=t,Int(1/(1+cos(x)), x=-Pi/2..Pi/2), t);

> value(%);

J=2

3.4 Решение задач линейного программирования с помощью программы MAPLE

Задачи линейного программирования решаются встроенными функциями minimize и maximize, входящими в пакет simplex, вызываемый обычным образом:

> with(simplex);

[basis, convexhull, cterm, define_zero, display, dual, feasible, maximize, minimize, pivot,

pivoteqn, pivotvar, ratio, setup, standardize]

Вызов пакета обязателен, так как входящие в ядро системы Maple встроенные функции minimize и maximize отличаются от рассматриваемых наборами параметров.

Будем придерживаться такой конструкции:

minimize(целевая функция, {ограничения}, NONNEGATIVE).

Последний параметр показывает, что входящие переменные неотрицательны. Соответственно в такой конструкции включать условия неотрицательности переменных в ограничения не надо.

3.5 Примеры решения транспортных задач в MAPLE

На складах хранится единиц одного и того же груза, соответственно. Требуется доставить его трем потребителям , заказы которых составляют единиц груза, соответственно. Стоимости перевозки единиц -го склада -му потребителю указаны в левых верхних углах клеток транспортной таблицы:

Таблица

	4	2	6
	7	5	3
	1	7	6

1. Установить, является ли модель транспортной задачи, заданная таблицей, открытой или закрытой. Если модель является открытой, то ее необходимо закрыть.

2. Составить план перевозок, обеспечивающий минимальную стоимость перевозок.

Решение. 1. Суммарные запасы груза 420, а суммарные потребности 370. Следовательно, задача является задачей открытого типа и ее необходимо закрыть, вводя фиктивного потребителя с потребностями 50 единиц груза, при нулевых стоимостях перевозок. Приходим к задаче:

Таблица

	4	2	6	0
	7	5	3	0
	1	7	6	0

2. Задаем матрицу перевозок, матрицу стоимостей и целевую функцию:

> x:=matrix(3,4);

> C:=matrix([[4,2,6,0],[7,5,3,0],[1,7,6,0]]);

> z:=sum(sum(C[i,j]*x[i,j],i=1..3),j=1..4);

Решаем задачу линейного программирования:

> with(simplex);

[basis, convexhull, cterm, define_zero, display, dual, feasible, maximize, minimize, pivot,

pivoteqn, pivotvar, ratio, setup, standardize]

> minimize(z,{sum(x[1,j],j=1..4)=100,sum(x[2,j],j=1..4)=200,

sum(x[3,j],j=1..4)=120,sum(x[i,1],i=1..3)=190,sum(x[i,2],i=1..3)=120,sum(x[i,3],i=1..3)=60,sum(x[i,4],i=1..3)=50},NONNEGATIVE);

Матричный вид полученного решения:

> V:=([[0|100|0|0], [70|20|60|50], [120|0|0|0]]);

3. Минимальная стоимость перевозок:

> add(add(C[i,j]*V[i,j],i=1..3),j=1..4);

1090

Ответ: 1090, план перевозок

.

Если убрать требование перехода к задаче закрытого типа, то решение будет иметь вид:

> x:=matrix(3,3);

> C:=([[4 | 2 | 6], [7 | 5 | 3], [1 | 7 | 6]]);

> z:=add(add(C[i,j]*x[i,j],i=1..3),j=1..3);

> with(simplex):

> minimize(z,{sum(x[1,j],j=1..3)<=100,sum(x[2,j],j=1..3)<=200,

sum(x[3,j],j=1..3)<=120,sum(x[i,1],i=1..3)=190,sum(x[i,2],i=1.. 3)=120,sum(x[i,3],i=1..3)=60},NONNEGATIVE);

Рассмотрим транспортную задачу с ограничениями на пропускные способности.

Решить транспортную задачу по следующим исходным данным:

Символ ? в матрице указывает, что для данной коммуникации нет ограничений по пропускной способности.

Решение.

> x:=matrix(3,4);

> C:=matrix([[9,5,3,10],[6,3,3,2],[3,8,4,8]]);

> z:=sum(sum(C[i,j]*x[i,j],i=1..3),j=1..4);

> with(simplex);

[basis, convexhull, cterm, define_zero, display, dual, feasible, maximize, minimize, pivot,

pivoteqn, pivotvar, ratio, setup, standardize]

> minimize(z,{sum(x[1,j],j=1..4)=25,sum(x[2,j],j=1..4)=55,

sum(x[3,j],j=1..4)=20,sum(x[i,1],i=1..3)=45,sum(x[i,2],i=1..3)=

15,sum(x[i,3],i=1..3)=20,sum(x[i,4],i=1..3)=20,x[1,3]<=15,x[2,1]<=15,x[2,4]<=10},NONNEGATIVE);

Ответ: план перевозок

Транспортной задачей с фиксированными доплатами называется транспортная задача, в которой дополнительно задана матрица доплат dij за проезд от i-го поставщика к j-му потребителю и требуется минимизировать суммарные расходы. Математическая модель задачи:

Пусть числовые данные задачи:

Ввод данных:

> c:=([[7 | 5 | 12] , [4 | 6 | 8] , [10 | 9 | 6]]);

> d:=([[2 | 3 | 3] , [4 | 0 | 5] , [0 | 1 | 4]]);a:=([50 | 30 | 120]);b:=([60 | 40 | 100]);

Ввод матрицы планируемых перевозок:

>x:=([[x11 | x12 | x13] , [x21 | x22 | x23] , [x31 | x32 | x33]]);

>z:=add(add(c[i,j]*x[i,j]+d[i,j]*signum(x[i,j]),i=1..3),j=1..3);

> p:=seq(add(x[i,j],j=1..3)=a[i],i=1..3);

q:=seq(add(x[i,j],i=1..3)=b[j],j=1..3);

> r:=solve({p,q});

Тогда целевая функция принимает вид:

> w:=subs(r,z);

> m[1]:=5000:

> for v22 from 0 to 30 do

for v23 from 0 to 30 do

for v32 from 0 to 40 do

for v33 from 0 to 100 do

u:=2090+signum(v32)+4*signum(v33)+5*signum(v23)+3*signum(40-v22-v32)+3*signum(100-v23-v33)+2*signum(-90+v22+v32+v23+v33)

+4*signum(30-v22-v23)+4*v22-v23+v32-9*v33;

if 40-v22-v32>=0 and 100-v23-v33>=0 and -90+v22+v32+v23+v33>=0 and 30-v22-v23>=0 and u<m[1] then m:=[u,v22,v23,v32,v33] fi;

od od od od;

Вывод результатов:

> m;

> subs(x22=m[2],x23=m[3],x32=m[4],x33=m[5],r);

> subs(%,x22=m[2],x23=m[3],x31=20,x32=m[4],x33=m[5],x);

В частности, замена в матрице доплат d11 = 2 на d11 = 100 дает следующие результаты:

> m;

> subs(x22=m[2],x23=m[3],x32=m[4],x33=m[5],r);

> subs(%,x22=m[2],x23=m[3],x31=20,x32=m[4],x33=m[5],x);

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены примеры решения задач по моделированию при помощи пакета программ Maple. Конечно, изложенный материал является лишь базовым. А возможности математического пакета Maple намного больше, его мощности хватит для решения практически любых математических задач во всех областях наук.

Но и из выше изложенного было доказано о приемлемости применения Maple в задачах по моделированию. Несомненными плюсами его использование являются:

1. Значительное сокращает затрат времени на поиск решения задач.

2. Обеспечивает необходимую наглядность информации.

3. Возможность быстрой корректировки введенных данных.

4. Снижение возможности совершить ошибку в решении задач.

5. Постоянное обновление и программного обеспечения.

В дальнейшем развитее программного обсечения приведёт к тому что, математические пакеты программ будут использоваться не только для выполнения отдельных, наиболее трудоемких операций обработки данных, но и на всех этапах решения задач по ЭММ.

Библиографический список

1.Савотченко С. Е. Методы решения математических задач в Maple: Учеб. Пособие. - М.: Информационные технологии, 2010. - 350с.

2.Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. Пособие - М.:ЮНИТИ, 2009. - 391с.

3. Яковлев С.А. Моделирование систем. - М.: Советское радио, 1961. - 161с.

4. Математическое программирование: Учебное пособие для экономических вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: АО «Финстат информ», 2008. - 144 с.

5. Сдвижков О.А. Математика на компьютере: Maple 8. - М.: СОЛОН-Пресс, 2003. - 176 с.: ил.

Размещено на Allbest.ru