Размещено на http://www.allbest.ru/

Поняття моделі. Математичні моделі



1. Поняття моделі. Класифікація моделі

Модель - подання системи, об'єкта, поняття в деякій формі, відмінної від форми їхнього реального існування.

У кібернетичному моделюванні домінуючу роль відіграє подібність поводження структури або оригіналу і моделі, розходження в змісті не відіграє визначальної ролі, оскільки аналогічні залежності між входами і виходами можуть бути, за визначенням, реалізовані об'єктами різної природи.

Оцінка адекватності пари «оригінал - модель» може бути здійснена з використанням понять ізоморфізму і гомоморфізму.

Ізоморфізм. У строго математичному змісті ізоморфізм двох систем:

S₁ : Х₁ Y_1, S₂: X₂ Y₂

означає, що між входами і виходами обох систем існує взаємно однозначна відповідність:

р_ч Ж Х₁ Ч_2б р_н Ж Н₁ Н₂ р_ч Ж Х₂ Ч_1б р_н Ж Н₂ Н₁ (1)

де h_x, h - відношення ізоморфізму, або

h_x (Х_1,X₂) h_y (Y_1,Y₂) (2)

такі, що

р = (р_чб р_н)Ж Х₁ Н₁ Ч₂ Н₂ Х₂ Н₂ Ч₁ Н₁ ю (3)

Поняття ізоморфізму систем поширюється і на структурні, і на поведінкові характеристики систем.

Нехай

- структура систем S₁ і S_2,

,

-

безліч станів систем S₁ і S_2.

Ізоморфізм структур систем S₁ і S₂ означає, що:

(4)

Ізоморфізм станів:

(5)

Системи S₁ і S₂ між якими існує відношення ізоморфізму, називаються ізоморфними.

Так, наприклад, ізоморфна місцевість і географічна карта, об'єкт і фотографія, знімок і негатив і т.д.

Наявність ізоморфізму між системою - оригіналом і системою - моделлю характеризує дуже високий ступінь адекватності, забезпечення якого при побудові моделі сполучено з великими труднощами і, взагалі, не є необхідною. При побудові моделей дослідник, керуючись конкретними цілями, виділяє лише найбільш істотні фактори, властиві реальній системі, що у моделі повинні бути відбиті з максимальною повнотою і точністю, необхідної в даному дослідженні. Інші, несуттєві фактори, можуть відбиватися в моделі або з меншою, або можуть бути виключені. Це є перевагою моделі, оскільки дозволяє проводити дослідження на більш простому, у порівнянні з реальним, об'єкті. Відсутність повного збігу всіх характеристик моделі й оригіналу, особливо в області економіко - математичного моделювання, не дозволяє затверджувати наявність ізоморфізму між реальною системою і її моделлю.

Важливою часткою сполучення співвідношення «оригінал - модель» є відношення гомоморфізму, при якому між системами S₁ і S₂ існує однозначне пряме й неоднозначне - зворотна відповідність. Так, модель, отримана з реальної системи шляхом її спрощення (наприклад, за рахунок зменшення числа змінних шляхом їхнього об'єднання) є гомоморфною моделлю.

Гомоморфізм

Нехай

S₁ : Х₁ Y_1, S₂: X₂ Y₂

система - оригінал і її модель, а h = (h_x, h_y) - гомоморфізм із

Х₁ Y₁ X₂ Y₂,

причому відображення h_x - сюрпективно. Відображення h_x називається сюр'ективним (накриттям, або відображенням на), якщо для кожного x₂ Х₂ знайдеться таке x₁ Х_1, що h_x (х₁) = x_2. Інакше h_x (Х₁) = x_2. Тоді система S₂ називається гомоморфною моделлю S₁ у тім і тільки в тому випадку, коли

(6)

Аналогічно визначається поняття гомоморфних моделей для структурованих і динамічних систем.

Математичне моделювання

Традиційним уявленням про математичну модель є її сприйняття як інструмента для прогнозування наслідків альтернативних дій з метою вибору найбільш кращого. Однак значно важливіше те, що моделювання - це метод, що підвищує ефективність суджень і роз'вязань. Математичні моделі використовуються для формалізації цілей, властивій більшості економічних систем і наявних обмежень, що накладаються діючими економічними законами.

Однак є велика кількість проблем, які не піддаються адекватному моделюванню, наприклад: захист навколишнього середовища від забруднень, запобігання злочинності, керування розвитком і зростанням міст, і т.п. - вони характеризуються неясністю і суперечливістю цілей, альтернатив розвитку, які диктуються нестабільними політичними і соціальними факторами.

Математичні моделі багатофункціональні, їхні основні функції характеризують широту області застосування:

Моделі є важливим засобом осмислення дійсності (графічні, масштабні, мережні моделі).

Моделі виступають своєрідним засобом спілкування, оскільки в стиснутій, точній формі дозволяють організувати діалог.

Моделі виконують функцію навчання і тренажу (навчальні програми, імітаційні ігри на ЕОМ, що використовують принципово відмінні від реальних стимули і мотиви прийняття розв'язань).

Моделі широко використовуються як інструмент прогнозування і планування, дозволяючи розглянути значне число альтернатив і оцінити можливі наслідки від прийняття того або іншого розв'язання.

Моделювання є основним методом оптимізації управлінських розв'язань, відображаючи або відтворюючи умови розвитку досліджуваного процесу.

Застосування моделей як засобу побудови експериментів дозволяє здійснювати керування процесом експериментування з більшою простотою і меншими витратами, ніж якби експеримент проводився з реальною системою, одержуючи, найчастіше, більше корисної інформації про поводження системи в умовах широкого спектра факторів зовнішнього середовища, що змінюються.

Визначення економіко-математичної моделі: це сукупність математичних виражень, що описують економічні об'єкти, процеси і явища яких дозволяє одержати необхідну інформацію для реалізації цілей керування системою, яка моделюється.

Економіко-математична модель, як правило, містить три основні складові частини:

· цільову функцію або функціонал моделі - математичне вираження мети;

· систему функціональних обмежень, що визначають межі зміни досліджуваних характеристик об'єктів, процесів або явищ;

· систему параметрів моделі, що фіксують умови проведення модельного експерименту (система норм, нормативів, тимчасові параметри реального часу, системного часу, навчальні умови і т.п.).

У загальному виді статична економіко - математична модель системи може бути записана у вигляді:

Y = F (x,,), (7)

де х - екзогенні змінні керування або керовані змінні; фактори; входи;

- некеровані змінні або збурювання;

- параметр системи; будь-які дійсні числа;

Y - ендогенні або залежні змінні, відгуки;

F - визначає вид функціональної залежності, відіграє роль оператора перетворення.

Нехай, наприклад, F - лінійний оператор. Тоді за визначенням при

модель кібернетичний математичний економічний

х = х₁+х₂

Y = F(x_1, ,) + F(x_2, ,),

F (,) = F (x),

де х₁ х₂ х₃ - будь-які функції, - дійсне число.

Лінійними операторами є: оператор тотожного перетворення, диференціювання, інтегрування, правого зрушення, підсумовування, скалярний оператор.

При вивченні економічної системи в русі рівняння моделі має вид:

Y(t) = F (x(t), (t), ). (8)

При цьому часто використовують дві концепції побудови динамічних моделей: без обліку лагів, або запізнювань між входами і виходами - так називані динамічні безінерційні моделі; і з урахуванням лагів - інерційні динамічні моделі. Безінерційні інакше називають кінематичними. Варто підкреслити, що кінематична модель відрізняється від динамічної тим, що перехідні процеси в системі, обумовлені її інерційними властивостями, які демпфірують, не враховуються. В інформативному відношенні вони менш змістовні, ніж динамічні. В англійській мові для опису таких систем є терміни «dinamic» і «dinamical».

Класифікація моделей. При класифікації економіко-математичних моделей враховуються різні ознаки, кожна є визначеною метою. Деякі типові групи моделей, що можуть бути покладені в основу системи класифікації:

· статичні і динамічні;

· детерміновані і стохастичні;

· дискретні і безупинні;

· лінійні і нелінійні;

· балансові моделі;

· імітаційні моделі;

· моделі математичного програмування;

· моделі, засновані на теорії графів;

· моделі, засновані на теорії ймовірностей і математичної статистики.

При моделюванні складної системи дослідник звичайно досліджує сукупність декількох моделей з числа різновидів, згаданих вище. Система може бути подана різними способами, що відрізняються за складністю й у деталях. У міру того, як дослідник глибше аналізує і пізнає проблему, прості моделі змінюються все більш складними.

Методика моделювання. Основою успішної методики моделювання є багатоетапний процес відпрацьовування моделі. Звичайно починають з більш простої моделі, поступово удосконалюючи її, домагаючись, щоб вона відбивала систему, яка моделюється, більш точно. Доти, поки модель піддається математичному опису, дослідник може одержувати всі нові її модифікації, деталізуючи і конкретизуючи вихідні передумови. Коли ж модель стає некерованою, проектувальник вдається до її спрощення і використовує більш загальні абстракції. Процес моделювання, таким чином, має еволюційний характер і здійснюється у відповідності з такими етапами.

2. Етапи моделювання

Аналіз проблем і визначення загальної задачі дослідження.

Декомпозиція загальної задачі на ряд більш простих підзадач, що утворять взаємозалежний комплекс:

Визначення чітко сформульованих цілей і їхнє упорядкування.

- Пошук аналогій прийняття рішень про спосіб побудови підмоделей.

- Вибір системи екзогенних і ендогенних змінних, необхідних параметрів.

- Запис очевидних співвідношень між ними.

- Аналіз отриманої моделі і початок еволюційного конструювання: розширення або спрощення моделі.

Спростити модель можна, виконавши одну з перелічених нижче операцій:

- перетворення змінних величин у константи;

- перетворення імовірнісних факторів у детерміновані;

- виключення деяких змінних або їхнє об'єднання;

- використання припущень про лінійний характер залежностей між змінними;

- введення твердих вихідних передумов і обмежень;

- зменшення кількості ступенів волі шляхом накладення більш твердих граничних умов.

Розширення моделі припускає зворотне.

Позначимо, що не існує надійних і ефективних рецептів щодо того, як варто здійснювати процес моделювання, тому процес розробки моделі найчастіше має евристичний характер, що дає можливість досліднику виявити свої творчі здібності.

Творчий характер процесу моделювання визначає розмаїтість критеріїв оцінки якості моделі. З погляду розроблювача «гарною » моделлю є нетривіальна, могутня і витончена модель. Нетривіальна модель дозволяє проникнути в сутність поводження системи і розкрити деталі, не очевидні при безпосереднім спостереженні. Могутня дозволяє одержати безліч таких нетривіальних висновків. Витончена має досить просту структуру і реалізованість. З погляду користувачів, що виявляють більше прагматизму при оцінці моделі, «гарна» модель - це модель релевантна, точна, результативна, економічна. Модель є релевантною, якщо вона відповідає поставленій перед нею меті; точною, якщо її результати достовірні; результативною, якщо отримані результати дають продуктивні висновки; і економічною, якщо ефект від використання отриманих результатів перевершують витрати на її розробку і реалізацію.

У будь-якому випадку дослідник повинний обґрунтовувати необхідність використання конкретно застосовуваної моделі.

Обґрунтування моделі припускає виконання таких процедур:

Верифікація, проведення якої переконує в тім, що модель поводиться так, як було задумано.

Оцінка адекватності - перевірка відповідності між поводженням моделі і поводженням реальної системи.

Проблемний аналіз - формулювання значущих висновків на основі результатів, отриманих під час моделювання.

Як свідчить досвід, найбільша обґрунтованість моделі досягається:

- використанням здорового глузду і логіки;

- максимальним використанням емпіричних знань;

- перевіркою правильності вихідних припущень і коректності перетворень від входу до виходу;

- застосуванням на стадії доведення моделі контрольних іспитів моделі, які підтверджують працездатність моделі ;

- порівнянням відповідності входів і виходів моделі і реальної системи (якщо вони доступні) з використанням статистичних методів і іспитів типу тесту Тюрінга;

- проведенням, коли це доцільно, натурних або польових іспитів, моделі або її підмоделей;

- проведенням аналізу чутливості моделі стосовно зовнішніх умов, що змінюються;

- порівнянням результатів модельних прогнозів з результатами функціонування реальної системи, що піддавалася моделюванню.

Основні види економіко-математичних моделей, застосовуваних в керуванні економічними об'єктами

3. Використання моделювання в економічному аналізі

Існує значна розмаїтість видів, типів економіко-математичних моделей, придатних для використання в керуванні економічними об'єктами і процесами в тім або іншому ступені, застосовуваних на практиці. У попереднім викладі були виділені аналітичні і прикладні, детерміновані і схоластичні моделі. Економіко-математичні моделі поділяються також на макроекономічні і мікроекономічні в залежності від рівня моделюючого об'єкта керування, на динамічні, які характеризують зміни об'єкта керування в часі, і статичні, що описують взаємозв'язки між різними параметрами, показниками об'єкта в той саме час. Дискретні моделі відбивають стан об'єкта керування в окремі, фіксовані моменти часу, а безупинні характеризують безупинну зміну показників діяльності об'єкта в часі. Імітаційними називають економіко-математичні моделі, використовувані з метою імітації керованих економічних об'єктів і процесів із застосуванням засобів інформаційної й обчислювальної техніки. За типом математичного апарата, застосовуваного в моделях, виділяються економіко-статистичні кореляційно-регресійні моделі, моделі лінійного і нелінійного програмування, матричні моделі, мережні моделі. Можливі й інші способи класифікації економіко-математичних моделей.

У ході такого викладу окремі види економіко-математичних моделей, застосовувані і застосовуються в керуванні, виділені насамперед за ознакою області їхнього практичного додатка в задачах керування економікою і зв'язку з об'єктами керування. Короткий опис моделей, що входять у групу даного виду, дозволяє зрозуміти сутність і призначення цієї групи, сферу їхнього використання. Практична приналежність моделей окремих видів, груп ілюструється найпростішими, в основному, умовними прикладами, тому що докладний опис моделей і демонстрація їх приналежності на конкретних, реальних прикладах не входить до завдання книги, є предметом спеціальної літератури з економіко-математичного моделювання і його застосування в економіці й у керуванні економікою .

У групу економіко-математичних факторних моделей входять моделі, що включають, з одного боку, економічні фактори, від яких залежить стан і зміна керованого економічного об'єкта, і з іншого - залежні від цих факторів параметри (показники) стану об'єкта. Якщо фактори відомі, задані, то модель дозволяє визначити шукані, невідомі параметри. Можлива і зворотна постановка задачі, при якій задані бажані показники стану економічного об'єкта, а треба за допомогою моделі встановити значення факторів, що забезпечують рух необхідних показників. При подібній підстановці фактори являють шукані керуючі впливи, здатні зрадити об'єкту керування бажаний стан, перевести його в цей стан. Факторні моделі найчастіше подані досить простими в математичному відношенні лінійними або статичними функціями, що характеризують зв'язок між факторами і залежать від них параметрами економічного об'єкта (процесу).

Приклад 1. Модель у виді виробничої функції

Виходимо з положення, що валовий національний продукт стану ВНП, виражений у мільярдах грн., залежить від кількості зайнятих економічною діяльністю людей L (у тисячах чоловік) і обсягу вкладеного в економіку капіталу K, обчисленого в мільярдах грн., у такий спосіб

ВНП=AL K

Таку залежність в економіці прийнято називати виробничою функцією, в якій L і K відіграють роль факторів виробництва. Нехай відомо, наприклад, що A=0,6; =0,5; =0,5; L=60000. Потрібно знайти обсяг капіталовкладень K, що забезпечує одержання ВНП=2000 мільярдів грн. на рік. З умови випливає, що

2000=0,6 ,

звідки знаходимо, що

K= 200 мільярдів грн.

Інший варіант постановки розглянутої задачі може полягати в тім, щоб встановити, якою буде величина ВНП, якщо капіталовкладення K у три рази, тобто прийняти K=600 мільярдів грн.. Як випливає з розрахунку, у цьому випадку

ВНП=0,6 =3600 мільярдів грн.,

тобто збільшення капіталу K на 400 мільярдів грн. дозволило одержати збільшення ВНП на 3600 - 2000=1600 мільярдів грн..

Приклад 2. Факторіальна модель продуктивності праці

Виходимо з положення, що продуктивність праці працівника ПТ, обчислена у вартості виробленої їм за одну годину робочого часу продукції, виражається такою формулою у виді лінійної залежності продуктивності від трьох факторів

ПТ=а1 Т+а2 Ф+а3 3П,

де Т - стаж роботи зі спеціальності в роках;

Ф - фондооснащеність працівника, виражена у вартості використовуваних їм технічних засобів виробництва в гривнях;

3П - заробітна плата працівника в гривнях.

Коефіцієнти а₁, а₂, а₃ відповідно рівні:

а₁ = 0,5; а₂ = 0,001; а₃ = 3,0.



Застосовуючи зазначену факторіальну модель і думаючи, що працівник має стаж роботи Т=20 років, а вартість використовуваних їм технічних засобів виробництва складає Ф=16000 грн., визнаніжо, яку годинну зарплату треба сплачувати працівнику, щоб його продуктивність ПТ складала 50 грн. на годину. Підставляючи вихідні дані у формулу моделі, одержуємо:

50=0,5 ·20+0,001 ·16000+3,0 ·3П

Звідси

3П= =8 грн. на годину.

Природно, що модель дозволяє розв'язувати і ряд інших задач керування продуктивністю праці. Наприклад, можна за звітними даними фірми про значення ПТ, Т, Ф, 3П обчислювати коефіцієнти а₁, а₂, а_3, які характеризують інтенсивність впливу різних факторів на продуктивність праці в даній фірмі. Нехай на прикладі трьох працівників фірми встановлено, що:

1) для працівника, який має стаж Т=10 років, фондооснащеність Ф=20000 грн. і зарплату 10 грн. на годину, продуктивність праці ПТ дорівнює 95 грн. на годину;

2) для другого працівника, який має стаж Т=16 років, фондооснащеність Ф=15000 грн. і зарплату 8 грн. на годину, продуктивність праці ПТ склала 78 грн. на годину;

3) для третього працівника, який має стаж Т=20 років, фондооснащеність Ф=25000 грн. і зарплату 12 грн. на годину, продуктивність праці ПТ склала 120 грн. на годину.

Тоді на підставі факторіальної моделі продуктивності праці виконуються такі співвідношення:

У результаті отримана система з трьох рівнянь із трьома невідомими, вирішуючи яку, знаходимо, що

а₁ = 0,5; а₂ = 0,002; а₃ = 5,0.

Знання цих, установлених за досвідченими даними значень коефіцієнтів інтенсивності дії факторів, дозволяє менеджерам фірми прогнозувати рівень продуктивності праці на фірмі, керуючись формулою

ПТ = 0,5 Т + 0,002 Ф + 5,0 · 3П.

4. Балансові моделі

Балансові економіко-математичні моделі, як випливає з їхньої назви, виражають у математичній формі баланс визначеного виду економічного продукту, включаючи і кошти.

У самому загальному виді балансове співвідношення має вид:

Прихід = Витрата ± Зміна запасів

У цьому співвідношенні прихід розуміється як загальне надходження економічного продукту із самих різних джерел за визначений період часу, а витрата - як сумарна витрата того ж продукту на всілякі залишки за той же час. Знак плюс відповідає випадку, коли прихід більше витрати і запаси (залишки) змінилися вбік збільшення, а знак мінус - випадку, коли прихід менше витрати і запаси зменшилися, а то і зовсім виник дефіцит продукту.

Рівняння балансу або система рівнянь, якщо складається багатопродуктовий баланс, характеризують наявність, виробництво, споживання, закупівлю, продаж, експорт, імпорт продукту визначеним суб'єктом, який хазяює. Їм може бути держава (країна), регіон, підприємство, компанія, родина.

На перший погляд балансові моделі виглядають дуже простими. Однак, коли доводиться зіставляти баланси багатьох продуктів у матеріальній і грошовій формах на різні періоди часу, то співвідношення балансу, будучи в більшості випадків лінійними рівняннями стосовно вхідного в них невідомим, шуканим величинам, являють досить складні системи рівнянь.

У керуванні економікою на різних рівнях балансові моделі дають можливість суб'єкту керування визначати, які обсяги виробництва, надходження продуктів, або товарів величини і джерела грошових доходів необхідні для задоволення залишків, запитів, потреб, забезпечення витрат об'єкта керування на визначений період часу. Крім того, балансові моделі дозволяють встановити необхідні співвідношення, пропорції між обсягами виробництва, виробничого споживання різних видів продукції, ресурсів, спільно застосовуваних у виробничих процесах. Такі моделі дозволяють встановити відповідність між об'ємними показниками в матеріально-речовинному (фізичному) і грошовій зміні за допомогою цін. Балансові моделі є головний інструмент досягнення погодженості між виробництвом і споживанням, доходами і витратами, а також контролю, перевірки цільового використання ресурсів.

Випливає, щоправда, мати на увазі, що в більшості випадків балансові співвідношення можна назвати економіко-математичними моделями лише із значним ступенем умовності, тому в реальній практиці частіше говорять про балансові розрахунки, ніж про балансові моделі. Це відноситься, наприклад, до побудови планових і звітних балансів підприємств, балансів у виді державних, регіональних, місцевих, сімейних бюджетів, балансів грошових доходів і витрат населення. Разом з тим такі види балансів, як міжгалузевий баланс виробництва і використання продукції, багатопродуктові баланси, оптимізаційні баланси, що являють систему багатьох пов'язаних між собою балансових співвідношень, правомірно відносяться до економіко-математичних моделей.

Размещено на Allbest.ru