Размещено на http://www.allbest.ru/

Доверительные интервалы прогноза

Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:

1) субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

2) погрешностью оценивания параметров кривых;

3) погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:

где n - длина временного ряда;

L - период упреждения;

-точечный прогноз на момент n+L;

t _a - значение t-статистики Стьюдента;

S_p - средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд характеризуется прямой:

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра a0 приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a1 - к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию S²_p можно представить в виде:

доверительный интервал прогноз погрешность

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).

В таблице 4.1 приведены значения K* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n) значения K* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения K* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n: чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L.

Таблица 4.1.

Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).

Проверка адекватности выбранных моделей

Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу (в частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе случайной компоненты. Случайная остаточная компонента получается после выделения из исследуемого ряда систематической составляющей (тренда и периодической составляющей, если она присутствует во временном ряду). Предположим, что исходный временной ряд описывает процесс, не подверженный сезонным колебаниям, т.е. примем гипотезу об аддитивной модели ряда вида:

При использовании кривых роста y_t вычисляют, подставляя в уравнения выбранных кривых соответствующие последовательные значения времени. Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если значения остаточной компоненты удовлетворяют свойствам случайности, независимости, а также случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения.

При правильном выборе вида тренда отклонения от него будут носить случайный характер. Это означает, что изменение остаточной случайной величины не связано с изменением времени. Таким образом, по выборке, полученной для всех моментов времени на изучаемом интервале, проверяется гипотеза о зависимости последовательности значений e_t от времени, или, что то же самое, о наличии тенденции в ее изменении. Поэтому для проверки данного свойства может быть использован один из критериев, рассматриваемых в разделе I, например, критерий серий.

Если вид функции, описывающей систематическую составляющую, выбран неудачно, то последовательные значения ряда остатков могут не обладать свойствами независимости, т.к. они могут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция ошибок. В условиях автокорреляции оценки параметров модели, полученные по методу наименьших квадратов, будут обладать свойствами несмещенности и состоятельности (с этими свойствами знакомятся в курсе математической статистики). В то же время эффективность этих оценок будет снижаться, а, следовательно, доверительные интервалы будут иметь мало смысла в силу своей ненадежности.

Существует несколько приемов обнаружения автокорреляции. Наиболее распространенным является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном. Критерий Дарбина-Уотсона связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка, т.е. автокорреляции между соседними остаточными членами ряда. Значение этого критерия определяется по формуле:

Можно показать, что величина d приближенно равна:

где r₁ - коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя рядами e₁, e₂,.,e_n-1 и e₂, e₃,., e_n).

Из последней формулы видно, что если в значениях e_t имеется сильная положительная автокорреляция (r₁ ~1), то величина d=0, в случае сильной отрицательной автокорреляции (r₁ ~ - 1) d=4. При отсутствии автокорреляции (r ₁ ~ 0) d=2.

Для этого критерия найдены критические границы, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции. Авторами критерия границы определены для 1, 2,5 и 5% уровней значимости. Значения критерия Дарбина-Уотсона при 5% уровне значимости приведены в таблице 4.2 В этой таблице d₁ и d₂ - соответственно нижняя и верхняя доверительные границы критерия Дарбина-Уотсона; k| - число переменных в модели; n - длина временного ряда.

Применение на практике критерия Дарбина-Уотсона основано на сравнении величины d, рассчитанной по формуле (4.10.), с теоретическими значениями d₁ и d₂, взятыми из таблицы. Отметим, что большинство программных пакетов статистической обработки данных осуществляет расчет этого критерия (например, ППП "Олимп", "Мезозавр", "Statistica" и др.).

При сравнении величины d с d₁ и d₂, возможны следующие варианты:

1) Если d < d₁, то гипотеза о независимости случайных отклонений (отсутствие автокорреляции) отвергается;

2) Если d > d₂,, то гипотеза о независимости случайных отклонений не отвергается;

3) Если d_{1_}< d<_ d₂, то нет достаточных оснований для принятия решений, т.е. величина попадает в область "неопределенности".

Рассмотренные варианты относятся к случаю, когда в остатках имеется положительная автокорреляция. Когда же расчетное значение d превышает 2, то можно говорить о том, что в e_t существует отрицательная автокорреляция.

Для проверки отрицательной автокорреляции с критическими значениями d₁, и d₂, сравнивается не сам коэффициент d, а 4-d.

Для определения доверительных интервалов модели свойство нормальности распределения остатков имеет важное значение. Поскольку временные ряды экономических показателей, как правило, невелики (<50), то проверка распределения на нормальность может быть произведена лишь приближенно, например, на основе исследования показателей асимметрии и эксцесса.

При нормальном распределении показатели асимметрии (А) и эксцесса (Э) равны нулю. Так как мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из некоторой генеральной совокупности, то можно определить выборочные характеристики асимметрии и эксцесса, а также их среднеквадратические ошибки.

где А - выборочная характеристика асимметрии;

Э - выборочная характеристика эксцесса;

среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики асимметрии;

среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики эксцесса.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты не отвергается. Если выполняется хотя бы одно из неравенств

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается.

Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более мощных критериев.

Пример 4.1.

Программа выдала следующие характеристики ряда остатков:

длина ряда n=20; коэффициент асимметрии А=0,6; коэффициент эксцесса Э=0,7.

На основании этих характеристик можно считать, что:

а) случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения;

б) случайная компонента не подчиняется нормальному закону распределения;

в) требуется дополнительная проверка характера распределения случайной компоненты.

Решение

Определим:

Т.к. одновременно выполняются оба неравенства

можно считать, что случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения - вариант ответа а).

Характеристики точности моделей