Основы эконометрики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).

Требуется

1. Для характеристики Y от X построить следующие модели:

-- линейную,

-- степенную,

-- показательную,

-- гиперболическую.

2. Оценить каждую модель, определив:

-- индекс корреляции,

-- среднюю относительную ошибку,

-- коэффициент детерминации,

-- F-критерий Фишера.

3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

4. Рассчитать прогнозные значения результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 10 % относительно среднего уровня.

5. Результаты расчетов отобразить на графике.

Y	36	38	46	44	48	42	40
X	70	78	74	82	88	84	80

Решение

А) Линейная регрессия

Параметры а и b рассчитаем с помощью системы нормальных уравнений (относительно а и b)

По исходным данным найдем , , , , (результаты представим в таблице 1а).

	х	у	ху	х2	у2
1	70	36	2520	4900	1296	37,91755	-1,91755	0,053265	5,326519
2	78	38	2964	6084	1444	41,38147	-3,38147	0,088986	8,898597
3	74	46	3404	5476	2116	39,64951	6,350493	0,138054	13,80542
4	82	44	3608	6724	1936	43,11343	0,886573	0,020149	2,014939
5	88	48	4224	7744	2304	45,71137	2,288633	0,04768	4,767985
6	84	42	3528	7056	1764	43,97941	-1,97941	0,047129	4,712874
7	80	40	3200	6400	1600	42,24745	-2,24745	0,056186	5,618618
?	556	294	23448	44384	12460	294,0002	-0,00017	0,45145	45,14495
Ср.	79,42857	42	3349,714	6340,571	1780	42,00002	-2,4E-05	0,064493	6,449279

Система нормальных уравнений имеет вид

Решая ее, получаем следующие значения параметров а и b:

а= 7,608247;

b= 0,43299

Получаем уравнение регрессии:

Величина коэффициента регрессии b= 0,43299, означает, что с ростом объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпуска продукции увеличивается на 0,43299%-х пункта.

Линейный коэффициент корреляции (показатель тесноты связи)

Это означает, что связь между признаками средняя.

Коэффициент детерминации

Т.е. вариация у на 37,113% объясняется вариацией х. На долю прочих факторов, не учитываемых в регрессии, приходится 62,887%.

* F-критерий Фишера.

Табличное значение F-критерия при числе степеней свободы 1 и 7-2=5 и уровне значимости 0,05 составляет F_табл = 6,61, т.е. F_факт<F_табл. Следовательно, уравнение регрессии статистически не значимо.

Средний коэффициент эластичности.

Т.е. с ростом на 1% увеличивается в среднем на 0,8189%.

Средняя ошибка аппроксимации (средняя относительная ошибка).

Ошибка аппроксимации показывает нормальное соответствие расчетных () и фактических (у) данных: среднее отклонение составляет 6,449279%.

Все данные подставляемые в расчетах берутся из вспомогательных (расчетных) таблиц.

Б) Степенная регрессия

Преобразуем модель путем логарифмирования

, обозначим:

.

Тогда:

Y=А+bX

Запишем систему нормальных уравнений (данные берем из расчетной таблицы 1б -последний лист приложение).

Получаем b=0,822276, А=0,137851

Уравнение регрессии:

Следовательно

, т.е.

Параметры b=0,822276 означает коэффициент эластичности, который показывает, что с ростом объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпуска продукции возрастает на 0,822276%-х пункта.

Индекс корреляции (показатель тесноты связи)

Коэффициент детерминации

т.е. 36,9075% вариации у объясняется вариацией х, на долю прочих факторов приходится 63,0925%.

F-критерий Фишера.



F_факт<F_табл. Следовательно, уравнение регрессии статистически не значимо.

Средняя ошибка аппроксимации.

Среднее отклонение расчетных () данных от фактических (у) составляет 6,384335%, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

В) Регрессия в виде показательной кривой

Для оценки параметров приведем уравнение к линейному виду

Система нормальных уравнений

Значения , , , возьмем из таблицы 1 в (приложение).

Получаем

а= 18,091587

b= 1,010602

В итоге уравнение регрессии имеет вид

или

Индекс корреляции (показатель тесноты связи).

Т.е. можно сказать о том, что связь между признаками средняя.

Коэффициент детерминации

т.е. 37,6% вариации у объясняется вариацией х, на долю прочих факторов приходится 62,3999%.

F-критерий Фишера.

F_факт<F_табл. Следовательно, уравнение регрессии статистически не значимо.

Средняя ошибка аппроксимации.

Соответствие фактических и расчетных значений хорошее, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

Г) Гиперболическая модель

Приведем модель к линейному виду, заменив

, тогда

Система нормальных уравнений имеет вид



Подставим данные из расчетной таблицы 1г

	х	у		yz	z2
1	70	36	0,014286	0,514286	0,000204	37,8358	-1,8358	3,370169	0,050995	5,09945
2	78	38	0,012821	0,487179	0,000164	41,57669	-3,57669	12,79272	0,094123	9,412346
3	74	46	0,013514	0,621622	0,000183	39,80735	6,192648	38,34889	0,134623	13,46228
4	82	44	0,012195	0,536585	0,000149	43,17341	0,826587	0,683246	0,018786	1,878607
5	88	48	0,011364	0,545455	0,000129	45,29633	2,703674	7,309853	0,056327	5,632654
6	84	42	0,011905	0,5	0,000142	43,91475	-1,91475	3,666258	0,045589	4,558923
7	80	40	0,0125	0,5	0,000156	42,39501	-2,39501	5,736079	0,059875	5,987528
?	556	294	0,088583	3,705127	0,001127	293,9993	0,000657	71,90722	0,460318	46,03179
Сp	79,42857	42	0,012655	0,529304	0,000161	41,99991	9,38E-05	10,27246	0,06576	6,57597

Получим

Решив систему, получаем

а= 74,309475

b=-2553,157105

Уравнение регрессии имеет вид

Индекс корреляции.

следовательно связь между признаками средняя.

Коэффициент детерминации

Т.е. 35,7971% вариации у связано объясняется вариацией х, на долю прочих факторов приходится 64,2029% и свидетельствует о низком качестве модели.

F-критерий Фишера.

F_факт<F_табл, следовательно уравнение регрессии статистически не значимо.

Средняя ошибка аппроксимации.

что в целом говорит о хорошем соответствии и у.

выпуск продукция прибыль кредит

ВЫВОД

Выберем наилучшую модель, для чего объединим результаты построения парных регрессий в одной таблице.

Уравнение регрессии	Индекс корреляции	Коэффициент детерминации	F-критерий Фишера	Средняя ошибка аппроксимации, %
	0,609206	0,37113	2,95078	6,449279
	0,607515	0,369075	2,925	6,384335
	0,613189	0,376001	3,0128	6,332874
	0,598307	0,357971	2,7878	6,57597

Так как у всех моделей F_факт<F_табл, то они являются статистически не значимыми, т.е.плохо описывающими исходные данные; также у всех достаточно низкий коэффициент детерминации, что свидетельствует о достаточно низком качестве моделей.

Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего значения (уровень значимости = 0,05).

Полученное среднее значение фактора по данным: =79,42857, увеличенное на 10%:

=87,371427

объем капиталовложений (млн. руб.). Тогда точечный прогноз объема выпуска продукции составит:

=7,608247+0,43299*87,371427=45,439

Чтобы получить интервальный прогноз, найдем стандартную ошибку предсказываемого значения объема капиталовложений

S - стандартная ошибка регрессии

Предельная ошибка прогнозируемого объема выпуска продукции равна

, t - определяем по таблице.

= 0,05, число степеней свободы 7-2=5, следовательно t=2,5706

Доверительный интервал прогнозируемого объема выпуска продукции составит

45,439-11,647??45,439+11,647

33,792??57,086

80
70
60
50
40
														ур
30
20
10
		10		20		30		40		50		60		70					х

Задача 2

По десяти кредитным учреждениям получены данные, характеризующие зависимость объема прибыли (Y) от среднегодовой ставки по кредитам (X₁), ставки по депозитам (X₂) и размера внутрибанковских расходов (X₃).

Требуется

1. Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.

2. Рассчитать параметры модели.

3. Для характеристики модели определить:

-- линейный коэффициент множественной корреляции,

-- коэффициент детерминации,

-- средние коэффициенты эластичности,

-- бета-, дельта-коэффициенты.

Дать их интерпретацию.

4. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии.

5. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.

6. Построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя.

7. Отразить результаты расчетов на графике.

Y	22	30	20	32	44	34	52	56	66	68
X1	176	170	156	172	162	160	166	156	152	138
X2	150	154	146	134	132	126	134	126	88	120
X3	86	94	100	96	134	114	122	118	130	108

Решение

1) Пусть У - объем прибыли

Х₁ - среднегодовая ставка по кредитам

Х₂ - ставка по депозитам

2) Линейное уравнение множественной регрессии у от х₁ и х₂ имеет вид

Найдем коэффициенты уравнения a, b₁, b₂ с помощью системы уравнений

Рассчитанные показатели находятся в приложении (таблица 2). Решим систему методом Крамера



Вычислим определители

Таким образом

Получаем уравнение

=202,365-0,555X₁-0,539Х₂.

С увеличением среднегодовой ставки по кредитам на 1 ед. объем прибыли снижается на 0,555 ед. при фиксированной ставке по депозитам; с увеличением ставки по депозитам на 1ед. объем прибыли снижается на 0,539 ед. при фиксированной среднегодовой ставке по кредитам.

3)

- коэффициент множественной корреляции

Вычислим парные коэффициенты корреляции

Таким образом, зависимость у от х₁ и х₂ характеризуется как тесная по силе влияния.

Коэффициент детерминации:

=(0,841413)² = 0,707975

Вариация зависимости объема прибыли на 70,7975% определяется вариацией учтенных в управлении факторов - среднегодовой ставки по кредитам и ставки по депозитам. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют 29,2025% общей вариации у.

Средние коэффициенты эластичности (определяют относительную силу влияния _х1 и х₂ на у)

Таким образом, с увеличением среднегодовой ставки по кредитам на 1% от среднего уровня объем прибыли снижается на 2,105% от своего среднего уровня при фиксированном значении ставки по депозитам. С увеличением ставки по депозитам на 1% от среднего уровня объем прибыли снижается на 1,665% от своего среднего уровня при фиксированном значении среднегодовой ставки по кредитам.

-коэффициенты

4) F-критерий Фишера (оценка надежности)

Проверим нулевую гипотезу Н₀ о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R²=0)



Найдем критическое значение F-статистики:

Fc=F(k-1; n-k)=F(3-1; 10-3)=F(2; 7)

По таблице распределения Фишера при 95% уровне доверия Fс=4,74

Fфакт>Fс следовательно уравнение регрессии статистически значимо.

5) Оценка с помощью t-критерия Стьюдента статистической значимости коэффициентов уравнения множественной регрессии.

На уровне значимости 95% () проверим гипотезы:

Н₁ : =0

Н₂ : =0

Н₃ : =0

Составим t-статистики

Где

? - определитель матрицы системы:

?=n³*22217,984=10³*22217,984

Найдем их значения

Таким образом

Сравнивая полученные значения t-статистик с критическим tс=2,3646, получим, что t₁>tc, t₂<tc, t₃<tc, т.е. с вероятностью 95% коэффициент: a, статистически значим, а коэффициенты b₁, b₂ - статистически не значимы.

6) так как условия прогноза не заданы, нет возможности его осуществить и построить графически.

Таблица 1б

	х	у	lnx=X	lny=Y	XY	X2	Y2
1	70	36	4,248495	3,583519	15,22456	18,04971	12,84161	3,631287	37,76137	-1,76137	3,102431	0,048927
2	78	38	4,356709	3,637586	15,8479	18,98091	13,23203	3,720268	41,27546	-3,27546	10,72863	0,086196
3	74	46	4,304065	3,828641	16,47872	18,52498	14,65849	3,67698	39,52686	6,47314	41,90155	0,14072
4	82	44	4,406719	3,78419	16,67586	19,41917	14,32009	3,76139	43,00819	0,991814	0,983694	0,022541
5	88	48	4,477337	3,871201	17,33267	20,04654	14,9862	3,819458	45,57948	2,42052	5,858919	0,050428
6	84	42	4,430817	3,73767	16,56093	19,63214	13,97017	3,781205	43,86889	-1,86889	3,492734	0,044497
7	80	40	4,382027	3,688879	16,16477	19,20216	13,60783	3,741086	42,14375	-2,14375	4,595653	0,053594
?	556	294	30,60617	26,13169	114,2854	133,8556	97,61643	26,13167	293,164	0,836011	70,66361	0,446903
Сp	79,42857	42	4,37231	3,733098	16,32649	19,12223	13,9452	3,733096	41,88057	0,11943	10,0948	0,063843

Таблица 1в

	х	у	lny=Y	xY	x2
1	70	36	3,583519	250,8463	4900	3,633667	37,85136	-1,85136	3,427546	0,051427	5,142676
2	78	38	3,637586	283,7317	6084	3,718035	41,18339	-3,18339	10,13397	0,083773	8,37734
3	74	46	3,828641	283,3195	5476	3,675851	39,48224	6,517758	42,48117	0,14169	14,16904
4	82	44	3,78419	310,3035	6724	3,760219	42,95783	1,042167	1,086113	0,023686	2,368562
5	88	48	3,871201	340,6657	7744	3,823495	45,76387	2,236126	5,00026	0,046586	4,658596
6	84	42	3,73767	313,9642	7056	3,781311	43,87352	-1,87352	3,510086	0,044608	4,460767
7	80	40	3,688879	295,1104	6400	3,739127	42,06125	-2,06125	4,248771	0,051531	5,153137
?	556	294	26,13169	2077,941	44384	26,13171	293,1735	0,826522	69,88791	0,443301	44,33012
Сp	79,42857	42	3,733098	296,8488	6340,571	3,733101	41,88193	0,118075	9,983987	0,063329	6,332874

Таблица 2

	х1	х2	у	х12	х22	у2	х1х2	х1у	х2у
1	176	150	22	30976	22500	484	26400	3872	3300	23,71027	-1,71027	2,925037
2	170	154	30	28900	23716	900	26180	5100	4620	24,88555	5,114446	26,15756
3	156	146	20	24336	21316	400	22776	3120	2920	36,97617	-16,9762	288,1905
4	172	134	32	29584	17956	1024	23048	5504	4288	34,56119	-2,56119	6,559715
5	162	132	44	26244	17424	1936	21384	7128	5808	41,19414	2,805856	7,872828
6	160	126	34	25600	15876	1156	20160	5440	4284	45,54095	-11,541	133,1936
7	166	134	52	27556	17956	2704	22244	8632	6968	37,89377	14,10623	198,9856
8	156	126	56	24336	15876	3136	19656	8736	7056	47,76267	8,237326	67,85354
9	152	88	66	23104	7744	4356	13376	10032	5808	70,47874	-4,47874	20,05915
10	138	120	68	19044	14400	4624	16560	9384	8160	60,99636	7,003636	49,05092
?	1608	1310	424	259680	174764	20720	211784	66948	53212	423,9999	0,00015	800,8485
Сp	160,8	131	42,4	25968	17476,4	2072	21178,4	6694,8	5321,2	42,39999	1,5E-05	80,08485

Размещено на Allbest.ru