Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

УКРАИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра KТ и ВМ

Курсовая работа

Тема: “Метод двойного сглаживания Брауна”

Выполнил:

студент группы 3-IС-27 Куделя С.В.

Проверил:

Ассистент Волынец Н.С.

Днепропетровск 2010

Содержание

Введение

1. Прогнозирование

2. Классификация методов прогнозирования

3. Методы прогнозной экстраполяции

3.1 Экспоненциальное сглаживание

3.2 Модели сглаживания с трендом

4. Экспоненциальное сглаживание Брауна

4.1 Суть метода

4.2 Описание метода

5. Развитие модели Брауна

5.1 Линейное экспоненциальное сглаживание

5.2 Квадратичное экспоненциальное сглаживание

6. Примеры практического применения метода Брауна

Литература

Приложение

Введение

Реалии нынешнего этапа развития выдвигают в число первоочередных задачу перехода к стабильному, предсказуемому и эффективному развитию страны, что в свою очередь невозможно без специальных знаний в области методологии, методики и технологии составления научно обоснованных макро- и микроэкономических прогнозов социально-экономического развития.

Масштаб стоящих проблем, а также качественный уровень развития современного научно-технического потенциала требует соответствующего социально-экономического, научно-технического математического моделирования. Прогнозная информация, с одной стороны, необходима как основа планирования деятельности любого социально-экономического объекта, а с другой стороны - как предварительная оценка последствий принимаемых решений с целью их оптимизации.

1. Прогнозирование

Прогнозирование позволяет раскрыть устойчивые тенденции, или, наоборот, существенные изменения социально-экономических процессов, оценить их вероятность для будущего планового периода, выявить возможные альтернативные варианты, накопить научный и эмпирический материал для обоснованного выбора той или иной концепции развития или планового решения. Прогнозирование является специальным научным исследованием перспектив развития явлений.

В зависимости от степени конкретизации и характера воздействия на ход исследуемых процессов различают три формы предвидения: гипотезу, прогноз и план (программу).

Гипотеза характеризует научное предвидение на уровне общей теории. Исходную базу построения гипотезы составляют теория и открытые на ее основе закономерности и причинно-следственные связи функционирования и развития исследуемых объектов. На уровне гипотезы дается качественная характеристика, выражающая общие закономерности поведения объектов.

План представляет собой постановку точно определенной цели и предвидение конкретных, детальных событий в развитии исследуемого объекта. В нем фиксируются пути и средства развития в соответствии с поставленными задачами, обосновываются принятые управленческие решения. В плане предвидение получает наибольшую конкретность и определенность. Как и прогноз, план основывается на результатах и достижениях конкретно-прикладной теории.

Прогноз - вероятностное научно обоснованное суждение о перспективах, возможных состояниях того или иного явления в будущем и (или) об альтернативных путях и сроках их осуществления. Прогноз, в сравнении с гипотезой, имеет значительно большую определенность, поскольку основывается не только на качественных, но и на количественных параметрах и потому позволяет характеризовать будущее состояние объекта также и количественно.

Прогноз выражает предвидение на уровне конкретно-прикладной теории. Таким образом, прогноз отличается от гипотезы меньшей степенью неопределенности и большей достоверностью. В то же время связи прогноза с исследуемым объектом, явлением не являются жесткими, однозначными: прогноз носит вероятностный характер. "Прогноз (forecast) - вероятностное утверждение о будущем с относительно высокой степенью достоверности" (Э. Янч).

Под методом прогнозирования понимается совокупность приемов и способов мышления, позволяющих на основе анализа ретроспективных данных, внешних и внутренних связей объекта прогнозирования, а также их измерения в рамках рассматриваемого явления или процесса вывести суждения определенной достоверности относительно будущего развития объекта. "Метод прогнозирования - способ исследования объекта прогнозирования, направленный на разработку прогнозов" (Э. Янч).

Содержательная интерпретация методов определяется природой, особенностями и закономерностями исследуемых процессов. Оценка будущих состояний процессов и явлений производится на базе уже накопленных знаний о сущности, свойствах и закономерностях существующих или предполагаемых тенденций их развития.

Методы прогнозирования позволяют найти меру влияния отдельных закономерностей и причин развития, представить объект прогноза как динамическую систему измеренных с определенной степенью достоверности взаимодействий реальных явлений, факторов, сил общественной деятельности и тем самым дать возможность воспроизвести с определенной степенью вероятности поведение этой системы в будущем.

2. Классификация методов прогнозирования

В настоящее время, по оценкам ученых, насчитывается свыше 150 различных методов прогнозирования. Однако на практике используется - 15-20 основных методов. В существующих источниках представлены различные классификационные принципы методов прогнозирования. Общие методы прогнозирования можно разделить на четыре крупные группы:

методы экспертных оценок;

методы экстраполяции трендов;

методы регрессионного анализа;

методы экономико-математического моделирования.

Методы экстраполяции трендов и методы регрессионного анализа объединяют в общее понятие “методы анализа временных рядов”.

Методы регрессионного анализа и метод экономико-математического моделирования вместе составляют понятие “методы анализа причинных связей”.

Таблица 1. ? Классификация методов прогнозирования

Методы прогнозирования
Интуитивные методы	Формализованные методы
Индивидуальные экспертные оценки	Коллективные экспертные оценки	Методы прогнозной экстраполяции	Системно-структурные методы и модели	Ассоциативные методы	Методы опережающей информации
Метод "интервью"	Метод комиссии	Простая экстраполяция	Морфологический анализ	Имитационное моделирование	Анализ потоков публикаций
Аналитический метод	Метод "Дельфи"	Метод скользящих средних	Системный анализ
			Матричный метод
Построение сценария	Метод коллективной генерации идей ("мозговая атака")	Метод экспоненциального сглаживания	Регрессионные модели	Историко-логический анализ	Оценка значимости изобретений
			Эконометрические методы
Метод психо-интеллектуальной генерации идей	Метод управляемой генерации идей	Экстраполяция трендов	Функционально-иерархическое моделирование
					Оценка патентной информации
	Синоптический метод	Авторегрес-сионные модели	Сетевое моделирование

3. Методы прогнозной экстраполяции

При формировании прогнозов с помощью экстраполяции обычно исходят из статистически складывающихся тенденций изменения тех или иных количественных характеристик объекта. Экстраполируются оценочные функциональные системные и структурные характеристики.

Методы экстраполяции являются одними из самых распространенных и наиболее разработанных среди всей совокупности методов прогнозирования.

С помощью этих методов экстраполируются количественные параметры больших систем, количественные характеристики экономического, научного, производственного потенциала, данные о результативности научно-технического прогресса, характеристики соотношения отдельных подсистем, блоков, элементов в системе показателей сложных систем и др.

Сущность экстраполяции заключается в изучении сложившихся в прошлом и настоящем устойчивых тенденций развития объекта прогноза и переносе их на будущее. Различают формальную и прогнозную экстраполяцию. Формальная - базируется на предположении о сохранении в будущем прошлых и настоящих тенденций развития объекта прогноза. При прогнозной экстраполяции фактическое развитие увязывается с гипотезами о динамике исследуемого процесса с учетом изменений влияния различных факторов в перспективе.

Основу экстраполяционных методов прогнозирования составляет изучение динамических рядов. Динамический ряд - это множество наблюдений, полученных последовательно по времени. В экономическом прогнозировании широко применяется метод математической экстраполяции. В математическом смысле он означает распространение закона изменения функций из области ее наблюдения на область, лежащую вне отрезка наблюдения. Тенденция, описанная некоторой функцией от времени, называется трендом.

Под трендом понимается характеристика основной закономерности движения во времени, в некоторой мере свободной от случайных воздействий. Тренд - это длительная тенденция изменения показателей. При разработке моделей прогнозирования тренд оказывается основной составляющей прогнозируемого временного ряда, на которую уже накладываются другие составляющие. Результат при этом связывается исключительно с ходом времени. Предполагается, что через время можно выразить влияние всех основных факторов.

Другими словами, при помощи методов экстраполяции трендов, закономерности прошлого развития объекта переносятся в будущее.

3.1 Экспоненциальное сглаживание

Обычно методы экстраполяции трендов применяются в краткосрочном (не более одного года) прогнозировании, когда число изменений в среде минимально. Прогноз создается для каждого конкретного объекта отдельно и последовательно на каждый следующий момент времени. Если прогноз составляется для товара (продукта/услуги), в задачи прогнозирования, основанного на экстраполяции трендов, входят анализ спроса и анализ продаж этого продукта Результаты прогнозирования используются во всех сферах внутрифирменного планирования, включая общее стратегическое планирование, финансовое планирование, планирование производства и управления запасами, маркетинговое планирование и управление торговыми потоками и торговыми операциями.

Наиболее распространенными методами экстраполяции трендов являются:

метод скользящего среднего;

метод экспоненциального сглаживания.

Экспоненциальное сглаживание популярный метод прогнозирования многих временных рядов. Исторически метод был независимо открыт Брауном и Холтом. Броун служил на флоте США во время второй мировой войны, где занимался обнаружением подводных лодок и системами наведения. Позже он применил открытый им метод для прогнозирования спроса на запасные части. Свои идеи он описал в книге, вышедшей в свет в 1959 году. Исследования Холта были поддержаны Департаментом военно-морского флота США. Независимо друг от друга, Броун и Холт открыли экспоненциальное сглаживание для процессов с постоянным трендом, с линейным трендом и для рядов с сезонной составляющей.

3.2 Модели сглаживания с трендом

Простая и ясная линейно-аддитивная модель временного ряда имеет следующий вид:

Где а, b_t - константы и е_t - случайная ошибка. Константа b_t - относительно стабильна на каждом временном интервале, но может также медленно изменяться со временем. Один из способов выделения b_t состоит в том, чтобы использовать сглаживание скользящим средним, в котором последним наблюдениям приписываются большие веса, чем предпоследним, предпоследним большие веса, чем пред-предпоследним и т.д. Простое экспоненциальное именно так и устроено. Здесь более старым наблюдениям приписываются экспоненциально убывающие веса, но, в отличие от скользящего среднего, учитываются все предшествующие наблюдения ряда, а не те, что попали в определенное окно. Точная формула простого экспоненциального сглаживания имеет вид:



Когда эта формула применяется рекурсивно, то каждое новое сглаженное значение (которое является также прогнозом) вычисляется как взвешенное среднее текущего наблюдения и сглаженного ряда. Очевидно, результат сглаживания зависит от параметра (альфа). Если равно 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Если равно 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значения между 0, 1 дают промежуточные результаты. Эмпирические исследования показали, что весьма часто простое экспоненциальное сглаживание дает достаточно точный прогноз.

Линейный метод Холта

Холт предложил усовершенствованный метод экспоненциального сглаживания, впоследствии названный его именем. Значения уровня и тренда сглаживаются с помощью экспоненциального сглаживания. Причем параметры сглаживания у них различны.

Здесь первое уравнение описывает сглаженный ряд общего уровня.

Второе уравнение служит для оценки тренда.

Третье уравнение определяет прогноз на m отсчетов по времени вперед.

- L_t обозначает уровень временного ряда и используется для моделирования тренда.

- b_t обозначает тренд (наклон)

- Уровень ряда корректируется непосредственно с учетом тренда предшествующий период (b_t-1) путем добавления его к прошлому уровню.

- Затем сам тренд корректируется как разница между двумя последними значениями временного ряда.

- Прогноз формируется путем добавления тренда к последнему уровню ряда.

Постоянные сглаживания в методе Холта подбираются, например, путем перебора по этим параметрам с каким-то шагом. Можно использовать и менее сложные в смысле количества вычислений алгоритмы. Главное, что всегда можно подобрать такую пару параметров, которая дает большую точность модели на тестовом наборе и затем использовать эту пару параметров при реальном прогнозировании.

Частным случаем метода Холта является метод Брауна, когда .

Модель Холта

,

- p - число отсчетов по времени вперед.

- и - выбираются как показатели точности, обычно в зависимости от точности предыдущих прогнозов (чем больше средняя или ещё какая-нибудь ошибка, тем больше эти параметры).

Метод двойного сглаживания Брауна

Если , то метод называется «двойное экспоненциальное сглаживание» Брауна.

Метод предназначен для прогнозирования нестационарных рядов в случае линейно-аддитивного тренда с использованием двойного экспоненциального взвешенного среднего.

Модель Брауна

Оценивание лучшего значения с помощью данных. На практике параметр сглаживания часто ищется с поиском на сетке. Возможные значения параметра разбиваются сеткой с определенным шагом. Например, рассматривается сетка значений от = 0.1 до = 0.9, с шагом 0.1. Затем выбирается , для которого сумма квадратов (или средних квадратов) остатков (наблюдаемые значения минус прогнозы на шаг вперед) является минимальной.

4. Экспоненциальное сглаживание Брауна

прогнозирование экспоненциальное сглаживание

Часто при исследовании временных рядов используют методы экспоненциального сглаживания (модели Брауна). Это объясняется тем, что они позволяют более обоснованно и сбалансировано учитывать в текущем сглаженном уровне временного ряда его историю. Одна из основных особенностей этих методов заключается в том, для расчета сглаженного значения уровня S_t необходимо знать предыдущее сглаженное значение S_t-1 и фактическое значение временного ряда у_t.

Метод Брауна - самый распространённый метод краткосрочного прогнозирования в экономике. Скоро ему "стукнет" пятьдесят лет.

4.1 Суть метода

Пусть дан временной ряд некоторого экономического показателя S_t. Если этот ряд не имеет тенденции к росту или падению, то в случае его стационарности лучшей оценкой следующего значения будет простая средняя арифметическая, а если ряд эволюционный, то ценность текущих значений для прогноза выше, чем тех, что убывают в прошлое. В этом случае лучшей прогнозной оценкой на следующий шаг наблюдения выступает взвешенная средняя, причём веса наблюдения должны уменьшаться с убыванием наблюдений в прошлое. Что касается этих весов, то они могут быть какими угодно, главное - чтобы их сумма была равна единице.

Браун предложил задавать веса исходя из ряда бесконечной геометрической прогрессии. В результате подстановок и сокращений Брауном была получена очень удобная формула для краткосрочного прогноза: формула для расчета S_{t -} сглаженного значения для t-го уровня ряда

, (1)

где S_t - значение экспоненциальной средней в момент t;

S_t-1 - значение экспоненциальной средней в момент t-1;

y_t - текущее наблюдение показателя;

Величина (1 - a) называется коэффициентом дисконтирования;

- параметр сглаживания, т.н. сглаживающий фильтр.

Последняя была найдена с помощью признака сходимости рядов, который обосновал в своё время Даламбер, в соответствии с которым ряд сходится, если выполняется ряд обязательных условий:

- во-первых, все члены ряда должны быть положительны б (1 - б)ⁿ > 0,

- во-вторых, отношение последовательных членов ряда в пределе должно быть меньше единицы:

Сам ряд бесконечной геометрической прогрессии выглядит так:

В соответствии с указанными условиями были определены границы области определения постоянной сглаживания. Они лежат в пределах:

Вариации имеют серьезное влияние на характеристики самого сглаживания, и выбор оптимального значения зависит сразу от нескольких из них, причем противоречащих друг другу.

4.2 Описание метода

Первое, что необходимо отметить в сглаживании Брауна - это принципиально другое оценивание весов предыдущих значений ряда. Если записать значение сглаженного ряда S_t и последовательно раскрывать значения S_t-1, S_t-2, …, через предыдущие уровни ряда и так до y₀=S_0, используя рекуррентное соотношение (3.2), то в итоге легко получаем следующее представление исходного соотношения:

.

В итоге получаем следующее рекуррентное соотношение для вычисления усредненного значения ряда методом Брауна:

(3),

где t в данном случае число членов ряда;

S_{0 -} является начальным уровнем временного ряда, характеризующая начальные условия.

Р. Браун предлагает определять величину б исходя из длины сглаживаемого ряда:

.

Что касается начального параметра S₀, то в конкретных задачах его берут или равным значению первого уровня ряда У₁, или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда, например, членов у₁, у_2, у₃:

.

Также начальное значение может быть оценено исходя из уже полученной формулы, из которой следует, что начальному значению после t итераций придается вес . Правильный выбор начального уровня может иметь существенное значение, так как заведомо неверное значение при небольшом количестве наблюдений может привести к большим ошибкам прогнозов. В этой ситуации можно придать большое значение и тем самым быстро погасить влияние нулевого уровня, но при большом снижаются сглаживающие свойства модели.

Рассмотрим полученную формулу (3). Допустим, что в нашем распоряжении достаточно большой временной ряд, т.е. , тогда значение второго слагаемого формулы (3) быстро стремиться к 0 за счет свойств сглаживаемого ряда. Соответственно, приближенная оценка t-го члена сглаженного ряда может быть получена из следующего соотношения:

(4),

то есть величина S_t - сглаженное значение ряда, является взвешенной суммой всех членов ряда. При этом величины весов в зависимости от того насколько далеко отстоит уровень от сглаживаемого будут убывать экспоненциально, что очевидно из соотношения (4). Вес значения уровня (t) составит , вес для уровня (t-1)составит , для уровня

(t-2) составит и так далее, для y₀ соответственно - при бесконечно большом N.

Определим модельную дисперсию ряда, заданного соотношением (4).

,

где: - среднее квадратичное отклонение для выборки равно:

где: y_t - фактические значения показателя,

S_t - расчетные значения показателя,

n - число наблюдений,

m - коэффициент тренда (для экстраполяции на основе среднего значения временного ряда m = 1, для линейного тренда m = 2, для квадратичного тренда m = 3).

Так как значение параметра сглаживания ряда динамики колеблется в пределах , то сглаженный ряд имеет то же математическое ожидание, что и исходный, но меньшую дисперсию . Также можно заметить, что, изменяя значение сглаживающего фильтра , мы влияем на силу сглаживания. Чем больше величина приближается к единице, тем более «актуальным» становиться ряд. Чем меньше параметр сглаживания, тем больше сокращается дисперсия исходного ряда.

Реакция модели при критических значениях .

Выбор величины постоянной сглаживания требует особого внимания. Если взять , то получим , то есть адаптация модели отсутствует. Если принять , то получим , то есть модель, в которой сглаженное значение равно фактическому уровню временного ряда.

На практике подбор допустимого значения параметра сглаживания рекомендуется производить эмпирическим путем, то есть, итеративно перебирая его возможные значения и выбирая оптимальный уровень коэффициента по критерию минимизации дисперсии ошибки прогноза на тестовом наборе данных. Этот способ предлагается как наиболее достоверный. На выбор постоянной сглаживания будут влиять конкретные специфические характеристики временного ряда. Опыт исследователей показывает, что наибольшая точность при прогнозировании экономических временных рядов может быть достигнута при практически любом допустимом значении . Основываясь на опыте исследований можно отметить, что в случае, когда параметр принимает значения близкие к 1, следует подвергнуть сомнению законность выбора данной модели. Так как это может свидетельствовать о наличии в ряду ярко выраженных тенденций или сезонных колебаний. Для таких рядов следует использовать другие модели, более эффективные. Стоит отметить, что на величину постоянной сглаживания также может оказывать влияние период упреждения. При увеличении периода прогноза следует учитывать общую тенденцию за прошлые периоды, нежели последние изменения.

Под периодом упреждения при прогнозировании понимается отрезок времени от момента, для которого имеются последние статистические данные об изучаемом объекте, до момента, к которому относится прогноз.

Экстраполяция тренда

Операцию экстраполяции в общем виде можно представить в виде определения значения функции:

,

где - экстраполируемое значение уровня; L - период упреждения; у_t - уровень, принятый за базу экстраполяции.

При предположении о том, что средний уровень ряда не имеет тенденции к изменению или если это изменение незначительно, экспоненциальное сглаживание Брауна предполагает оценивание текущего значения одного коэффициента в прогнозной модели динамики временного ряда следующим образом

,

т.е. прогнозируемый уровень равен среднему значению уровней в прошлом, прогнозирование ведется на один шаг вперед, то прогнозное значение является точечной оценкой.

Границы доверительные интервального прогноза, проведенного методом простого экспоненциального сглаживания можно оценить следующим образом:

.

Здесь - коэффициент экспоненциального сглаживания, изменяется от 0 до 1.

Если 0< <0,5, то при расчете прогноза учитываются прошлые значения временного ряда, а при 0,5<<1 - значения, близкие к периоду упреждения.

Примерное значение коэффициента сглаживания определяют по формуле Р.Брауна:

где m - число уровней временного ряда, входящих в интервал сглаживания.

- табличное значение t - статистики Стьюдента с n-1 степенями и уровнем вероятности p.

Прогноз на период равен:

5. Развитие модели Брауна

Вследствие успешности практического использования этой модели она была развита Р.Г. Брауном и Р.Ф. Майером для процессов, которые описывались моделями, состоящими из многих полиномиальных членов. За исходную гипотезу принимается то, что временной ряд описывается полиномом N порядка, а прогноз на периодов вперед будет иметь вид:

,

где - коэффициенты полинома.

Таким образом, рассмотренный ранее пример простого экспоненциального сглаживания для модели общего вида может быть представлен как

,

т.е. прогноз по константе.

Приведение модели Брауна к виду (2) позволяет определить процедуру многократного экспоненциального сглаживания. Процедура многократного экспоненциального сглаживания фактически является применением простого экспоненциального сглаживания к результатам сглаживания порядка p-1. Ее можно записать так:

,

где ,

p = 1, 2, …, n - порядок сглаживания,

- начальные значения экспоненциальных средних соответствующего порядка.

Фундаментальная теорема метода экспоненциального сглаживания, доказанная Брауном и Майером, утверждает, что между коэффициентами предсказывающего полинома и экспоненциальными средними сглаживающей модели существует связь, выраженная через постоянную сглаживания следующим образом:

.

То есть, имеются n+1 уравнение, в которых сглаженные значения выражены через линейные комбинации производных уровней .

Эта идея основана на том, что исходный ряд может быть разложен в ряд Тейлора с n+1 количеством членов:

.

В общем случае предполагается, что процесс может быть представлен как:

,

,

где - случайные отклонения с математическим ожиданием равным нулю и конечной дисперсией.

В случае, когда порядок i нулевой, мы имеем простое экспоненциальное сглаживание. Для первого порядка - линейное экспоненциальное сглаживание, для второго квадратичное экспоненциальное сглаживание и т.д. В практике, как правило, используют сглаживания порядка не выше двух.

5.1 Линейное экспоненциальное сглаживание

Пусть модель сглаживающего прогноза на основе модели Брауна имеет вид:

(5),

а начальные условия для сглаживающего полинома определены как:

.

Для того чтобы выразить коэффициенты и необходимо воспользоваться коэффициентами уравнения тренда , полученными методом наименьших квадратов.

Тогда экспоненциальные средние моделей первого и второго порядков могут быть оценены как:

,

.

Оценки параметров коэффициентов модели (5) составят:

, .

Окончательно точечный прогноз по модели экспоненциального среднего первого порядка на момент времени T:

.

Оценить модельную дисперсию можем по формуле:

,

где: - среднеквадратическая ошибка отклонения от линейного тренда, которую определяем из формулы:

.

5.2 Квадратичное экспоненциальное сглаживание

Пусть модель сглаживания прогноза по модели Брауна имеет вид:

,

а начальные условия для сглаживающего полинома заданы следующим образом:

,

,

.

Тогда экспоненциальные средние первого, второго и третьего порядков могут быть подсчитаны по следующим формулам:

,

,

,

а оценки коэффициентов модели могут быть оценены из следующих соотношений:

,

,

.

Окончательно точечный прогноз по модели экспоненциального среднего второго порядка на момент времени T:

.

Ошибка модели прогноза находится по формуле:

,

где - среднеквадратическая ошибка отклонения от квадратичного тренда, которую определяем по формуле:

,

где n - количество членов в исследуемом ряду.

6. Примеры практического применения метода Брауна

1. Метод экспоненциального сглаживания представляет прогноз показателя на будущий период в виде суммы фактического показателя за данный период и прогноза на данный период, взвешенных при помощи специальных коэффициентов.

Представим, что составляется прогноз продаж на следующий месяц. Тогда:

,

где: - прогноз продаж на месяц t+1;

- продажи в месяце (фактические данные);

- прогноз продаж на месяц t,

специальный коэффициент, определяемый статистическим путем.

Рассмотрим прогнозирование продаж методом экспоненциального сглаживания на конкретном примере

Предположим, что .

Тогда, используя формулу экспоненциального сглаживания, можно заполнить графу “Прогноз продаж” в таблице 2 при условии, что известны фактические данные о продажах.

Таблица 2

Месяц	Фактические продажи	Прогноз продаж
Январь	50	65
Февраль	68	61
Март	47	53
Апрель	39	56
Май	55	46
Июнь	64	51
Июль	70	57
Август	75	62
Сентябрь	80	67
Октябрь	72	69
Ноябрь	67	68
Декабрь	75	70
Январь	58	66
Февраль	62	65

Так, если продажи в январе составили 50 единиц, а прогноз на январь был равен 65 единицам, то

=

Полученные данные можно отразить на графике (рис. 6).

Рис. 6. ? Метод экспоненциального сглаживания

Как видно из графика, кривая прогнозов представляет собой сглаженную тенденцию по сравнению с кривой фактических продаж.

2. Сглаживание при разных значениях постоянной сглаживания.

Метод экспоненциального сглаживания используемый, для краткосрочных прогнозов будущей тенденции на один период вперед, автоматически корректирует любой прогноз в свете различий между фактическим и спрогнозированным результатом.

При его применении получаются экспоненциально взвешенные скользящие средние по всему временному ряду. При экспоненциальном сглаживании учитываются все предшествующие наблюдения - предыдущее учитывается с максимальным весом, предшествующее ему - с несколько меньшим, самое ранее наблюдение влияет на результат с минимальным статистическим весом.

Как уже говорилось выше, алгоритм расчета экспоненциально сглаженных значений в любой точке ряда t основан на трех величинах:

- фактическое значение x_t в данной точке ряда t,

- прогноз в точке ряда S_t,

- некоторый заранее заданный коэффициент сглаживания б, постоянный по всему ряду.

Новый прогноз можно записать формулой:

Расчет экспоненциально сглаженных значений

При практическом использовании метода экспоненциального сглаживания возникает две проблемы: выбор коэффициента сглаживания (б), который в значительной степени влияет на результаты и определение начального условия (S_t). С одной стороны, для сглаживания случайных отклонений величину нужно уменьшать. С другой стороны, для увеличения веса новых измерений нужно увеличивать.

Хотя, в принципе, б может принимать любые значения из диапазона 0 < б < 1, обычно ограничиваются интервалом от 0,2 до 0,5. При высоких значениях коэффициента сглаживания в большей степени учитываются мгновенные текущие наблюдения отклика (для динамично развивающихся фирм) и, наоборот, при низких его значениях сглаженная величина определяется в большей степени прошлой тенденцией развития, нежели текущим состоянием отклика системы (в условиях стабильного развития рынка).

Выбор коэффициента постоянной сглаживания является субъективным. Аналитики большинства фирм при обработке рядов используют свои традиционные значения б. Так, по опубликованным данным в аналитическом отделе Kodak, традиционно используют значение 0,38, а на фирме Ford Motors - 0,28 или 0,3.

Ручной расчет экспоненциального сглаживания требует крайне большого объема монотонной работы. На примере рассчитаем прогнозный объем на 13 квартал, если имеются данные объема продаж за последние 12 кварталов, используя метод простого экспоненциального сглаживания.

Предположим, что на первый квартал прогноз продаж составил 3. И пусть коэффициент сглаживания б = 0,8.

Заполним в таблице третий столбец, подставляя для каждого последующего квартала значение предыдущего по формуле:

Для 2 квартала S₂ =0,8*4 (1-0,8)*3 =3,8

Для 3 квартала S₃ =0,8*6 (1-0,8)*3,8 =5,6

Аналогично, рассчитывается сглаженное значение для коэффициента 0,5 и 0,33.

Расчет прогноза объема продаж

Прогноз объема продаж при б = 0.8 на 13 квартал составил 13.3 тыс.руб.

Данные можно представить в графической форме:



В прогнозировании методы экстраполяционных трендов дополняются методами корреляции трендов, в рамках которых исследуется взаимосвязь между различными тенденциями в целях установления их взаимного влияния и, следовательно, повышения качества прогнозов.

Корреляционный анализ может исследовать взаимосвязь между двумя показателями (парная корреляция) или между многими показателями (множественная корреляция).

Литература

1. Exponential Smoothing. Excel Help.

2. Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов. ? М.: ЮНИТИ, 1999. - 391 с.

3. Будаев П.В. Практическое применение количественных методов прогнозирования. // Системні дослідження та інформаційні технології. Міжнародний науково-технічний журнал. - 2009. ? №2.

4. Экспоненциальное сглаживание Machine Learning.

5. Лукашов Л.В. Бизнес-прогнозирование.

6. Пеньшин Н.В. Маркетинг и оценка качества на рынке автосервисных услуг. // Вестник ТГТУ. ? 2008. - Т. 14. ? №1. ? Transactions TSTU.

7. Антохонова И.В. Методы прогнозирования социально-экономических процессов. ? Улан-Удэ: Издательство ВСГТУ, 2005.

8. Янч Э. Прогнозирование научно-технического прогресса. - М.: Прогресс, 1974.

9. Методы прогнозирования. [Электронный ресурс] Режим доступа: http://www.neuroprojekt.ru

10. Экспоненциальное сглаживание. [Электронный ресурс] Режим доступа: http://www.statsoft.ru/

11. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. - М.: Статистика, 1977. - 199 с.

12. Экспоненциальное сглаживание: [Электронный ресурс] Режим доступа: http://www.anchem.chtd.tpu.ru/edubook/math/stat_ru/modules/sttimser.html#exponential

13. Писарева О.М. Методы социально-экономического прогнозирования: Учебник. / ГУУ. - М.: НФПК, 2003.

Приложение

Функции распределения Стьюдента

В следующей таблице приведены значения функции распределения Стьюдента F_n(x) с n степенями свободы для некоторых значений аргумента x в диапазоне от 0 до 20. В заголовках строк указано значение аргумента x, а в заголовках столбцов - количество степеней свободы n. Так, например, F₅(0.9) = 0.795.

Для отрицательных x можно вычислить значение функции по формуле:

F_n(x) = 1 - F_n(-x).

Например, F₁₀(-1.2) = 1 - F₁₀(1.2) = 1 - 0.871 = 0.129.

x	1	2	5	10	20	50
0	0.500	0.500	0.500	0.500	0.500	0.500
0.1	0.532	0.535	0.538	0.539	0.539	0.540
0.2	0.563	0.570	0.575	0.577	0.578	0.579
0.3	0.593	0.604	0.612	0.615	0.616	0.617
0.4	0.621	0.636	0.647	0.651	0.653	0.655
0.5	0.648	0.667	0.681	0.686	0.689	0.690
0.6	0.672	0.695	0.713	0.719	0.722	0.724
0.7	0.694	0.722	0.742	0.750	0.754	0.756
0.8	0.715	0.746	0.770	0.779	0.783	0.786
0.9	0.733	0.768	0.795	0.805	0.811	0.814
1	0.750	0.789	0.818	0.830	0.835	0.839
1.2	0.779	0.823	0.858	0.871	0.878	0.882
1.4	0.803	0.852	0.890	0.904	0.912	0.916
1.6	0.822	0.875	0.915	0.930	0.937	0.942
1.8	0.839	0.893	0.934	0.949	0.957	0.961
2	0.852	0.908	0.949	0.963	0.970	0.975
2.5	0.879	0.935	0.973	0.984	0.989	0.992
3	0.898	0.952	0.985	0.993	0.996	0.998
3.5	0.911	0.964	0.991	0.997	0.999	1.000
4	0.922	0.971	0.995	0.999	1.000	1.000
4.5	0.930	0.977	0.997	0.999	1.000	1.000
5	0.937	0.981	0.998	1.000	1.000	1.000
6	0.947	0.987	0.999	1.000	1.000	1.000
7	0.955	0.990	1.000	1.000	1.000	1.000
8	0.960	0.992	1.000	1.000	1.000	1.000
9	0.965	0.994	1.000	1.000	1.000	1.000
10	0.968	0.995	1.000	1.000	1.000	1.000
12	0.974	0.997	1.000	1.000	1.000	1.000
14	0.977	0.997	1.000	1.000	1.000	1.000
16	0.980	0.998	1.000	1.000	1.000	1.000
18	0.982	0.998	1.000	1.000	1.000	1.000
20	0.984	0.999	1.000	1.000	1.000	1.000

Размещено на Allbest.ru