Размещено на http://www.allbest.ru/

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»

Вариант - 5

Барнаул 2009

Задача 1

1.5. Продукция двух видов (краска для внутренних (І) и наружных (E) работ) поступают в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта - A и B. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов A и B на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на тонну краски, т	Максимально возможный запас, т
	Краска E	Краска I
A	1	2	6
B	2	1	8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску E более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3000ден.ед. для краски E и 2000ден.ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

РЕШЕНИЕ:

Пусть х1-краска Е

х2-краска I

max (3000x1+2000x2)

x1+2x2?6

2x1+x2?8

x2?2

x1 - x2?1

x1?0

x2?0

1. Строим ОДР

Берем первое ограничение

x1+2x2?6 -полуплоскость с границей x1+2x2=6 (I)

х1 =0х1=6

х2=3х2=0

подставляем координаты (0;0) в неравенство, получаем 0?6 => областью решения неравенства служит нижняя полуплоскость.

2x1+x2?8 - полуплоскость с границей 2x1+x2=8 (II)

х1=4х1=0

х2=0х2=8

подставляем координаты (0;0) в неравенство, получаем 0?8 => областью решения неравенства служит нижняя полуплоскость.

x2?2- полуплоскость с границей х2=2 (III)

х2=2

x1 - x2?1 -полуплоскость с границей x1 - x2=1 (IV)

х1=0х1=4

х2=1х2=5

подставляем координаты (0;0) в неравенство, получаем 0?1=> областью решения неравенства служит нижняя полуплоскость.

Заштрихуем общую область для всех неравенств, обозначим вершины многоугольника латинскими буквами и определим их координаты, решая систему уравнения двух пересекающихся соответствующих прямых. Например, определим координаты точки D, являющейся точкой пересечения первой и второй прямой.

x1+2x2=6

D= 2x1+x2=8

х1= 3,3

х2= 1,4

Вычислим значение ЦФ в этой точке:

F(х)=3000х1+2000х2=9900+2800=12700

Аналогично поступим для других точек, являющихся вершинами.

Координаты этих вершин имеют следующие значения:

т. А(0;1)=>F(x)=2000

т.Е(4;0)=>F(x)=12000

т.В(1;2)=>F(x)=7000

т.С(2;2)=>F(x)=10000

Приравниваем ЦФ к нулю

3000х1+2000х2=0

х1=0х1=3

х2=0х2=-2

через эти две точки проведем линию 3000х1+2000х2=0 (пунктирная прямая).

Построим вектор-градиент

Координаты вектора являются частными производными функции F(х), т.е (3000; 2000). Для удобства можно строить вектор, пропорциональный вектору 1/500 =(6;4)

Максимум ЦФ находится в точке ОДР D, в направлении вектора-градиент maxF(х)=12700 достигается при х1=3,3; х2 = 1,4.

Ответ: Для максимального дохода 12700, фабрика должна производить 3,3т. краски Е и 1,4т. краски I.

Если решить задачу на минимум, то минимум ЦФ будет достигаться в точке О(0;0),=>min F(x)=0 достигается при х1=0; х2=0.

Задача 2

2.5. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации продукции.



Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на ед. продукции	Запасы ресурсов
	I вид	II вид	III вид
Труд	1	4	3	200
Сырье	1	1	2	80
Оборудование	1	1	2	140
Цена изделия	40	60	80

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

а) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

б) определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план её выпуска при увеличении запаса сырья на 18 единиц;

в) оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

РЕШЕНИЕ:

Решение:

1. Пусть: х1 шт. - продукции I вида;

х2 шт. - продукции II вида;

х3 шт. - продукции III вида.

F(x)=40x1+60x2+80x3>max

при ограничениях:

1x1+4x2+3x3<=200;

1x1+1x2+2x3<=80;

1x1+1x2+2x3<=140;

х1>=0;

х2>=0;

х3>=0.

2. Решение задачи в Excel:

Вводим исходные данные :

Опишем целевую функцию с помощью функции - СУММПРОИЗВ.



Вводим зависимости для ограничений.

Далее в строке МЕНЮ выбираем СЕРВИС>ПОИСК РЕШЕНИЯ и вводим следующие данные:



Вводим параметры:

В итоге получим:

Отчет об устойчивости:

Получаем,

X1 =40;

X2 =40;

X3 = 0.

Таким образом, оптимальный план выпуска продукции, с максимальной выручкой 4000ед. выглядит так:

40 шт. - продукции I вида,

40 шт. - продукции II вида.

0 шт. - продукции ІІІ вида.

2. Т. к. число переменных двойственной задачи равно числу функциональных ограничений простой задачи, следовательно, в двойственной задачи будет 3 переменных.

Матрица коэффициентов левых частей функциональных ограничений двойственной задачи получается из матрицы коэффициентов левых частей функциональных ограничений исходной задачи. Путем транспонирования.

Значение целевой функции изменяется на противоположное. В результате, получаем:

F(x)=200y1+80y2+140y3>min

при ограничениях:

1у1+1у2+1у3>=40;

4y1+1y2+1y3>=60;

3y1+2y2+2y3>=80;

y1>=0;

y2>=0;

y3>=0;

Т. к. оптимальный план равен

х = (40,40,0), то

y1 (1*40+4*40+3*0-200) = 0

у1 (0) = 0, => информации нет

у2 (1*40+1*40+2*0-140) = 0

у2 (0) = 0, => информации нет

у3 (1*40+1*40+2*0-140) = -60

у3 (-60) ?0, => y3 = 0 => ресурс используется не полностью

40 * (1у1+1у2+1у3-40) = 0;

40* (4y1+1y2+1y3-60) = 0;

0 * (3y1+1y2+2y3-80) = 0.

Если компоненты исходной задачи не равны 0, то соответственные ограничения двойственной задачи превращаются в равенство:

у1+у2+у3=40

4y1+y2+y3=60

y3 = 0

Выражаем у1

y1 = 40- y2

выражаем y2

4*(40- y2)+ y2=60

160-4y2+y2=60

-3y2=-100

y2=100/3

y1 =40-100/3=> y=20/3

Оптимальный план : y =(20/3; 100/3; 0)

min (200*20/3+80*100/3+140*0) = 4000

Оптимальный запас ресурсов, при минимальной выручке, равной 4000ед. выглядит так:

Труд = 20/3;

Сырье = 100/3;

Оборудование = 0 ед.

3. y3 =0, следовательно, запасы оборудования не дефицитны, т.е. используются не полностью.

4. а) у1, у2 > 0, следовательно, труд и сырье дефицитны, т. е. полностью вырабатываются при реализации оптимального плана.

у1 > у3 (20/3>100/3), следовательно, запас трудового ресурса более дефицитен, чем запас сырья.

б) ЦФ=40*40+60*40+60*0=4000

Если увеличить запасы сырья на 18ед., то выручка изменится:

18*100/3=600

х1+4х2+3х3=200

х1+х2+х3=80+18

находим х1

х1=200-4х2

находим х2

200-4х2+х2=98

х2=34 =>х1=200-4*34

х1= 64

Новый оптимальный план х =(64;34;0)

ЦФ=40*64+60*34+80*0=4600

в) ?aij*у - Сj

аij = (2;2;2);

y = (20/3; 100/3; 0)

Cj = 70

2*20/3+2*100/3+2*0-70=10

10 > 0, следовательно, включение в план изделия четвертого вида не выгодно

Задача 4

4.5. В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос (t) Y(млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд (Y t) этого показателя приведен ниже в таблице.

Номер наблюдения (t = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
1	2	3	4	5	6	7	8	9
5	7	10	12	15	18	20	23	26

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель Y(t) = a0+a1t, параметры которой оценить МНК (Y(t)) - расчетные, смоделированные значения временного ряда.

3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения ( при использовании R/S - критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитывать при доверительной вероятности p = 70%).

6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями). модель графический линейный спрос

Решение:

Аномальных точек нет.

2.

t	Yi	t-tср	Yi-Yср	(t-tср)^2	(t-tср)*(Yi-Yср)
1	5	-4,00	-10,11	16	40,44
2	7	-3,00	-8,11	9	24,33
3	10	-2,00	-5,11	4	10,22
4	12	-1,00	-3,11	1	3,11
5	15	0,00	-0,11	0	0,00
6	18	1,00	2,89	1	2,89
7	20	2,00	4,89	4	9,78
8	23	3,00	7,89	9	23,67
9	26	4,00	10,89	16	43,56
				60	158,00

a1=?(t-tср)(y-yср)/ ? (t-tср)=2,63

а0=yср-а1tср=1,94

Y(t)=a0+a1t

Y(t)=2,63+1,94t

3.



d=?(?t-?t-1)?/ ??t?

d=1,88/0,8222=2,28

т.к 2,28>2 это значит, что автокорреляция отрицательная>необходимо преобразовать:

d?= 4-d=4-2.28=1.72.

Данное значение сравниваем с двумя критическими табличными значениями критерия, которые для линейной модели можно принять равными d1=1,8 и d2=1,36. так как расчетное значение попадает в интервал от d2 до 2, то делаем вывод о независимости уровней остаточной последовательности, => остаточная последовательность удовлетворяет всем свойствам случайной компоненты временного ряда =>построенная линейная модель является адекватной.

Используем критерий поворотных точек

Et считается поворотной точкой если:

Et-1< Et >Et+1 или Et-1 >Et< Et+1.

Модель считается адекватной если выполняется неравенство:



Где p - общее число поворотных точек.

Квадратные скобки означают целую часть числа.

pср = 2/3 (n - 2) =2/3 (9-2) = 4,7;

?? = (16n - 29)/90 = (16*9 - 29)/90 = 1,3.

5 >2 => свойство случайности ряда остатков подтверждается => модель является адекватной.

Воспользуемся RS-критерием.

R=?max-?min=0.42-(-0.48)=0.9

Среднее квадратическое отклонение Sy=v??/(n-1)= v0.8222/8=0.32=>

Критерий RS=0,9/0,32=2,8 это значение попадает в интервал (2,7-3,7) =>выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

4.

Eотн.ср. = 2,5 => уровень точности построенной модели достаточно высокий.

5. Рассчитаем прогноз спроса на следующие две недели (доверительная вероятность p = 70%):

Y10 = a0 + a1t = 1,94 + 2,63*10 = 28,24;

Y11 = a0 + a1t = 1,94 + 2,63*11 = 30,87

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

Где: ?(ti - tср.)? = 60,00;

Получаем:

Далее вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза:

6.

Размещено на Allbest.ru