Модель авторегрессии

Модель авторегрессии

1. Уравнение модели авторегрессии

Описывает связь между текущим отсчетом и предыдущими отсчетами дискретного случайного процесса.

где - коэффициенты авторегрессии;

- порядок модели авторегрессии (1-40);

- текущее значение отсчета случайного процесса;

- независимые отсчеты СП (белый шум).

Если мы перемножим:

и усредним во времени, то получим отсчеты дискретной АКФ сигнала.

Как известно, независимые отсчеты случайного процесса имеют АКФ=0, т.е. являются некоррелированными. Тогда усреднение во времени:

где - дисперсия ошибки предсказания на выходе модели авторегрессии.

Таким образом модель АР описывает корреляционные связи между отсчетами случайного процесса (СП).

Для большей наглядности распишем уравнение АР для нескольких порядков:

.

На основании уравнения авторегрессии можно синтезировать цифровой генератор процесса АР:

Перепишем уравнение модели авторегрессии в виде:

.

и синтезируем на основании полученного выражения обеляющий фильтр (ОФ) модели АР.

Основное назначение ОФ состоит в декорреляции коррелированного СП. Если на вход такого фильтра подать информационный сигнал, то на выходе получаем некоррелированный случайный процесс типа белого шума лишь в том случае, если параметры обеляющего фильтра будут соответствовать статистике входного сигнала.

Рассмотрим применимость модели АР для моделирования НЧ и ВЧ процессов:

Для порядка модели уравнение АР записывается в виде:

.

В идеальном случае ошибка . Тогда

.

В случае низкочастотного процесса , поскольку амплитуда сигнала медленно изменяется во времени и соседние отсчеты как правило имеют одинаковый знак.

В случае высокочастотных процессов

Видно, что даже при порядке модели АР , уже можно описывать простейшие спектры сигналов. В дальнейшем будет показано, что моделью АР второго порядка можно описать спектр вида:

Необходимо заметить, что чем сложнее по своей форме спектр входного сигнала, тем больший порядок модели АР требуется для его точного описания.

Итак, параметрами обеляющего фильтра (ОФ) и генератора процесса авторегрессии являются порядок модели АР, т.е. число звеньев фильтра, а также коэффициенты модели АР (коэффициенты усиления цифрового фильтра).

При синтезе ОФ необходимо подобрать такие его параметры, чтобы получить на выходе БШ. Зачем? Да затем, чтобы после в приемнике можно было по этим параметрам из белого шума воссоздать исходный сигнал.

2. Система уравнений Юла-Уолкера

Основная задача при построении модели линейного предсказания (в частности модели АР) состоит в том, чтобы правильно отыскать параметры этой модели. Для этой цели используется система уравнений Юла-Уолкера.

где .

.

Поскольку - это белый шум, то усреднение (мат. ожидание) его произведения на даст 0.

Здесь - это по сути отсчеты дискретной АКФ случайного процесса.

Тогда для порядка модели АР :

,

где - дисперсия входного сигнала.

Аналогично для порядка модели АР :

3. Матричная форма системы уравнений Юла-Уолкера

Пусть вектор-столбец отсчетов АКФ СП записывается в виде:

А вектор-столбец коэффициентов модели АР записывается в виде:

Корреляционную матрицу входного случайного процесса запишем в виде:

Тогда уравнения Юла-Уолкера в матричной форме можно представить как:

,

где - обратная корреляционная матрица.

Очевидно, что зная корреляционные свойства сигнала можно найти коэффициенты модели АР.

4. Уравнение для дисперсии СП

Домножим уравнение модели АР само на себя:

,

где - дисперсия белого шума.

5. Минимизация дисперсии ошибки предсказания

.

.

Для вещественных СП

Видим, что пытаясь минимизировать ошибку предсказания на выходе обеляющего АР фильтра, мы снова получили уравнение Юла-Уолкера. Таким образом, если коэффициенты модели АР находятся из системы уравнений Юла-Уолкера, то это гарантирует минимизацию дисперсии ошибки предсказания. Это свойство очень важно при синтезе обеляющих фильтров, т.к. сигнал на выходе будет иметь минимальную мощность помехи.

6. Методы определения порядка модели АР

Для оценки порядка модели АР можно воспользоваться свойством модели АР минимизировать дисперсию ошибки предсказания. Если с повышением порядка модели дисперсия практически не уменьшается, то нужно брать предыдущий порядок модели.

Для оценки порядка модели АР используется критерий Бартлетта:

.

где - число отсчетов временного окна, по которым были получены оценки функций корреляции.

Согласно критерию Бартлетта, если данное неравенство выполняется, то необходимо брать предыдущий -й порядок модели АР.

Пусть , .

Порядок модели АР свой для каждой фонемы, поэтому параметры модели необходимо обновлять для каждого временного окна, т.е. в течение каждых 10-20 мс.

7. Характеристическое уравнение модели АР

Модель авторегрессии, описываемая выражением

,

может быть представлена в операторной форме.

Для этого договоримся, что оператор сдвига , действуя на отсчет сигнала , сдвигает его на отсчетов назад:

.

Тогда в операторном виде уравнение АР:

или

где - оператор модели авторегрессии:

(1)

Модель АР является чисто полюсной моделью, поскольку функция передачи генератора процесса АР имеет лишь полюсы.

Приравняем (1) нулю:

(2)

Данное уравнение называется характеристическим уравнением модели АР. Еще одна форма этого уравнения может быть получена путем умножения обеих частей равенства (2) на :

(3)

Условие стационарности модели АР состоит в том, чтобы корни (2) лежали вне единичного круга на комплексной плоскости. Для уравнения (3) корни должны лежать внутри единичного круга.

Условие стационарности модели авторегрессии определяет устойчивость генератора авторегрессии.

Отметим, что корни (2, 3) полностью описывают модель АР. Найдем связь между коэффициентами модели АР и корнями характеристического уравнения (3) для нескольких значений порядка модели АР:

, .

, .

В этом случае имеем два корня:

.

Аналогичным образом были получены выражения для больших порядков:

,

.

,

.

Данные формулы используются для определения коэффициентов модели АР по заданным характеристикам случайного процесса. Свойства модели АР зависят от того действительные или комплексные корни характеристического уравнения.

Если корни действительные, то их можно представить в виде экспоненциальной функции:

,

Здесь - коэффициент демпфирования,

- ширина полосы -го пика спектральной плотности мощности (СПМ) по уровню 0.5,

- время дискретизации (интервал стробирования) случайного процесса.

Наличие действительных корней в характеристическом уравнении модели АР свидетельствует о том, что случайный процесс имеет пик СПМ вблизи нулевой частоты (НЧ процесс) или вблизи частоты, вдвое меньшей частоты стробирования (ВЧ процесс).

Комплексные корни описывают пики СПМ на частотах, отличных от нулевой и максимальной, и могут быть представлены выражениями:

.

Как видно, для описания одного пика СПМ на ненулевой частоте требуется как минимум два комплексно сопряженных корня.

Таким образом, задавая частоты пиков спектра и ширину их полос можно определить коэффициенты модели АР.

Для примера найдем коэффициенты модели АР второго порядка для случая одного пика на частоте :

.

Следует заметить, что чем шире максимум спектра СП, тем больший порядок модели АР необходим для его точного описания.

8. Спектр процесса авторегрессии

Уравнение модели АР может быть записано в операторном виде:

,

где

,

это функция передачи цифрового обеляющего фильтра модели АР (оператор модели АР).

Для случая генератора процесса авторегрессии данное выражение переписывается в виде:

Тогда мощность сигнала на выходе генератора процесса АР:

.

Делая подстановку получаем выражение для спектральной плотности мощности СП на выходе генератора модели АР:

. (4)

Здесь - дисперсия (мощность) белого шума на входе генератора. От частоты она разумеется не зависит.

Оценка спектра модели АР относится к так называемому параметрическому спектральному оцениванию и имеет ряд достоинств:

1) Высокую разрешающую способность при коротких реализациях (малом числе отсчетов временного окна).

2) Наличие аналитических выражений.

3) Отсутствие боковых лепестков в спектре.

4) Возможность описания малым числом параметров.

Итак, с помощью модели АР можно получать спектральные оценки (параметры модели АР) процессов со сложной формой СПМ. Кроме этого на основе модели АР легко синтезируются обеляющие фильтры и фильтры подавления помех, согласованные не только по частоте и полосе спектра, но и по форме спектра полезного случайного процесса или помехи. Имеется возможность анализировать СПМ в аналитическом виде (4), что невозможно сделать при использовании традиционных методов спектрального оценивания на основе Фурье-преобразований.