Построение экономико-математических моделей
Графический метод типовой задачи оптимизации. Аппарат теории двойственности и экономико-математический анализ оптимального плана задачи линейного программирования. Балансовый метод планирования и модель Леонтьева. Анализ одномерного временного ряда.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.11.2010 |
| Размер файла | 1,1 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
3
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине " Экономико-математические методы
и прикладные модели"
Москва 2008
Содержание
- Задача № 1. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
- Задача № 2. Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования
- Задача № 3. Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий
- Задача № 4. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда
Задача № 1. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы.
|
Питательное вещество |
Количество питательных веществ в 1 кг корма |
||
|
1 |
2 |
||
|
А |
2 |
1 |
|
|
В |
2 |
4 |
|
|
Цена 1 кг корма,тыс. руб. |
0,2 |
0,3 |
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?
Решение:
1. Целевая функция для данной задачи будет выглядеть следующим образом:
2. Функциональные ограничения для данной функции:
?6
?12
х1,2?0
Решив систему, найдем значения: х2=2; х1=2;
1. Вычислим значение целевой функции в точке пересечения (2;2):
3.
4. Построим график решения задачи:
Ответ: Ответ: и достигается при х1=2; х2=2.
Если задачу решать на максимум, то целевая функция неограниченная и ЗЛП не имеет решения.
Задача № 2. Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы, каждого вида продукции приведены в таблице.
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
||||
|
А |
Б |
В |
Г |
|||
|
I |
1 |
0 |
2 |
1 |
180 |
|
|
II |
0 |
1 |
3 |
2 |
210 |
|
|
III |
4 |
2 |
0 |
4 |
800 |
|
|
Цена изделия |
9 |
6 |
4 |
7 |
Требуется:
1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
· проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
· определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;
· оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Решение:
1. Целевая функция для задачи:
2. Функциональные ограничения:
?180
?210
?800, х1,2,3,4?0
3. С помощью надстройки Excel "Поиск решения" найдем оптимальный план задачи (значения всех х и значение функции).
4. Сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Min (x) =
?9
?6
?4
?7
?0
По второй части второй теоремы двойственности, поскольку y1 и y2 >0 второе и третье ограничения содержат знаки равно между правой и левой частью, т.е. правомерно решить систему уравнений:
=9,=6; y1=0; y2=1,5; y3=2,25.
Можно сделать вывод:
y1 = 0 - это самый не дефицитный ресурс, а y3 = 2,25 - самый дефицитный.
5. Для анализа воспользуемся свойствами двойственных оценок:
Если увеличить запасы второго сырья на 120 единиц, третьего сырья на 160 единиц, и уменьшении первого сырья на 60 единиц, то выручка увеличится на 700 единиц, а план выпуска продукции изменится.
|
Тип сырья |
Запасы сырья |
Увеличение запасов сырья (Х) |
Ресурсы (Y) |
XY |
|
|
I |
180 |
-60 |
0 |
0 |
|
|
II |
210 |
120 |
1,5 |
180 |
|
|
III |
800 |
160 |
2,25 |
360 |
|
|
540 |
|||||
|
F (x) |
2115 |
+ |
540 |
2655 |
Из таблицы видно, что при увеличении запасов сырья (1-го на - 60, 2-го на 120, 3-го на 160) целевая функция увеличилась на 540 ед.
max f (x) = 120y1+310y2+960y3=2655
5. Отчет по устойчивости:
|
Изменяемые ячейки |
||||||||
|
Результ. |
Нормир. |
Целевой |
Допустимое |
Допустимое |
||||
|
Ячейка |
Имя |
значение |
стоимость |
Коэффициент |
Увеличение |
Уменьшение |
||
|
$B$12 |
x1 |
75 |
0 |
9 |
0,333333334 |
9 |
||
|
$C$12 |
x2 |
330 |
0 |
6 |
1E+30 |
0,166666667 |
||
|
$D$12 |
х3 |
0 |
-0,500000001 |
3,999999999 |
0,500000001 |
1E+30 |
||
|
$E$12 |
х4 |
0 |
-5 |
7,000000001 |
5 |
1E+30 |
||
|
Ограничения |
||||||||
|
Результ. |
Теневая |
Ограничение |
Допустимое |
Допустимое |
||||
|
Ячейка |
Имя |
значение |
Цена |
Правая часть |
Увеличение |
Уменьшение |
||
|
$F$15 |
75 |
0 |
120 |
1E+30 |
45 |
|||
|
$F$16 |
330 |
1,5 |
330 |
150 |
90 |
|||
|
$F$17 |
960 |
2,25 |
960 |
180 |
300 |
Можно сделать вывод, что запасы дефицитных ресурсов, 2-го и 3-го видов сырья могут быть, как уменьшены, так и увеличены. Увеличение запаса
1-го ресурса на план выпуска продукции не влияет. Новый план выпуска составляет 75 изделий первого вида и 330 изделий второго вида. Изменение общей стоимости продукции на 540 ед. (2655-2115=540) получено за счет уменьшения плана выпуска на 20ед. продукции первого вида по цене 9 ед. (9* (75-95) =-180 ед.) и увеличении на 120 ед. продукции второго вида по цене 6 ед. (6* (330-210) =720 ед.).
Можно сделать вывод, что запасы дефицитных ресурсов, 2-го и 3-го видов сырья могут быть, как уменьшены, так и увеличены. Увеличение запаса
1-го ресурса на план выпуска продукции не влияет. Новый план выпуска составляет 75 изделий первого вида и 330 изделий второго вида. Изменение общей стоимости продукции на 540 ед. (2655-2115=540) получено за счет уменьшения плана выпуска на 20ед. продукции первого вида по цене 9 ед. (9* (75-95) =-180 ед.) и увеличении на 120 ед. продукции второго вида по цене 6 ед. (6* (330-210) =720 ед.).
6. С помощью оценок двойственности можно понять эффективно или не эффективно было бы производить изделие Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие (Д) |
Оценки ресурсов |
|
|
I |
2 |
0 |
|
|
II |
2 |
1,5 |
|
|
III |
2 |
2,25 |
|
|
Цена изделия |
12 |
m
?j=?aij yi - cj =2*0+2*1,5+2*2,25-12=-4,5 < 0
i=1
это значит что изделие выгодно для включения в план, т.к. затраты на его изготовление покрываются полученной прибылью.
Задача № 3. Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий
Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске; продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i=1,2, 3; j= 1, 2,3) элементов технологической матрицы A (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов уi вектора конечной продукции Y.
Требуется:
1. Проверить продуктивность технологической матрицы A = (аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
|
Предприятия (виды продукции) |
Коэффициенты прямых затрат аij |
Конечный продукт Y |
|||
|
1 |
2 |
3 |
|||
|
1 |
0,0 |
0,1 |
0,2 |
180 |
|
|
2 |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
200 |
|
|
3 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
200 |
Решение:
1. Модель Леонтьева:
Подставляем значения:
0 0,1 0,2 1 0 0
A= 0,1 0,2 0,1 Е= 0 1 0
0,2 0,1 0,2 0 0 1
Е-А = 0 0,1 0,2 1 0 0 1 -0,1 -0,2
0,1 0,2 0,1 ? 0 1 0 = -0,1 0,8 -0,1
0,2 0,1 0,2 0 0 1 -0,2 -0,1 0,8
Вектор конечной продукции:
Y = Y1 Y = 180
Y2 => 200
Y3 200
Вектор валовой продукции:
X = X1
X2
X3
X=AX+Y
X-AX=Y
EX-AX=Y
(E-A)X=Y - Матричная модель Леонтьева
X=(E-A)-1*Y = X=BY , отсюда следует:
B=(E-A)-1 - матрица коэффициентов полных затрат. Она же является обратной к матрице (Е-А).
1,07 0,17 0,29
В = 0,17 1,29 0,20
0,29 0,20 1,34
285.66
331.058
X = 362.799
2. Баланс производства и распределения продукции предприятий
|
Производящие структуры |
Потребляющие структуры |
Конечный продукт Y |
Валовой продукт X |
|||
|
1 |
2 |
3 |
||||
|
1 |
0 |
33,105802 |
75,559727 |
180 |
285,66 |
|
|
2 |
28,5665529 |
66,2116041 |
36,2798635 |
200 |
331,058 |
|
|
3 |
57,1331058 |
33,105802 |
72,559727 |
200 |
362,798 |
|
|
Итого |
85,6996587 |
132,423208 |
181,399317 |
580 |
979,522 |
Задача № 4. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y (t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y (t) этого показателя приведен ниже в таблице.
|
Номер варианта |
Номер наблюдения (t = 1, 2,.,9) |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
|
2 |
43 |
47 |
50 |
48 |
54 |
57 |
61 |
59 |
65 |
Требуется:
2. Построить линейную модель Y (t) = a0+а1t, параметры которой оценить МНК (Y (t)) - расчетные, смоделированные значения временного ряда.
4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
Решение:
2. Введем обозначения:
i= 1. n (n= 9) - номер наблюдения
Yi - значение спроса при наблюдении 1
Формула для вычисления среднего значения: Y?= 1/n*?* Y i
Формула для вычисления среднеквадратического отклонения:
S=SY= v? (Yi - Y?) 2/n-1
Находим суммы всех значений t, Y, их произведений t* Y, а также значений t2, Y2. Находим средние значения величин t, Y и их произведений t* Y.
Чтобы получить выражение для вычисления а0 и а1 и найти min S от двух переменных, необходимо производные этой функции по каждой переменной приравнять к нулю. В рамках решения полученной системы уравнений получим следующие выражения для а0 и а1:
а1= (tY - t* Y) / у2t= (286,11-5*53,78) /6,67=2,58
а0= Y - а1* t = 53,78-2,58*5=40,86
Таким образом, уравнение имеет вид:
Y= а0+ а1* t;
Y=40,86+2,58* t
4. Оценка начальных значений параметров модели:
Модель с параметром сглаживания =0,4
Составим таблицу расчетных значений с параметром сглаживания =0,4, вычисленная с помощью Excel, мастер функций.
Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия пиков (поворотных точек). Точки пиков отметим в столбце "F", их количество равно четырем (р=4).
Правая часть неравенства p>q равняется в нашем случае двум, т.е. это неравенство выполняется. Следовательно, свойство случайности ряда остатков подтверждается.
Проведем проверку соответствия остаточной последовательности нормальному закону распределения. Воспользуемся RS-критерием.
=2,425+4,626=7,051
Модель с параметром сглаживания =0,7
Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия пиков (поворотных точек).
Точки пиков отметим в столбце "F", их количество равно четырем (р=4).
Правая часть неравенства p>q равняется в нашем случае двум, т.е. это неравенство выполняется. Следовательно, свойство случайности ряда остатков подтверждается. Проведем проверку соответствия остаточной последовательности нормальному закону распределения. Воспользуемся RS-критерием.
=2,216+3,556 =5,772
3,734
Можно сделать вывод, что остаточная последовательность удовлетворяет не всем свойствам случайной компоненты временного ряда, следовательно, построенная линейная модель является не адекватной.
5. Для характеристики точности модели воспользуемся показателем средней относительной ошибки аппроксимации, который рассчитывается по формуле:
?З = ??Е/n* 100%.
Средние относительные ошибки не должны превышать 5%, в нашем случае ?Е (0,4) =0,124<5% и ?Е (0,7) =0,101<5%. Полученные значения средних относительных ошибок говорят о достаточно высоком уровне точности обоих построенных моделей.
Таблица в Excel "Средние относительные ошибки"
7. Моделирование и прогнозирование
1) Модель с параметром сглаживания =0,7
2) Модель с параметром сглаживания =0,4
Результаты вычислений
|
Время (t) |
Шаг (L) |
Точечный прогноз |
Доверительный интервал прогноза |
U |
|||
|
Нижняя граница. |
Верхняя граница |
||||||
|
10 |
1 |
66,628 |
59,78 |
73,48 |
4,267 |
6,850 |
|
|
11 |
2 |
69, 199 |
62,56 |
75,83 |
6,636 |
Подобные документы
Графическое решение и оптимальный план задачи линейного программирования. Свойства двойственных оценок и теорем двойственности. Адаптивная модель Брауна. Свойства независимости остаточной компоненты, соответствия нормальному закону распределения.
контрольная работа [556,2 K], добавлен 17.02.2010Построение экономико-математической модели задачи, комментарии к ней и получение решения графическим методом. Использование аппарата теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.
контрольная работа [2,2 M], добавлен 27.03.2008Теоретические основы экономико-математических методов. Этапы принятия решений. Классификация задач оптимизации. Задачи линейного, нелинейного, выпуклого, квадратичного, целочисленного, параметрического, динамического и стохастического программирования.
курсовая работа [2,3 M], добавлен 07.05.2013Решение задач линейного программирования с применением алгоритма графического определения показателей и значений, с использованием симплекс-метода. Использование аппарата теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана ЗЛП.
контрольная работа [94,6 K], добавлен 23.04.2013Пример решения типовой задачи оптимизации графическим методом. Получение оптимального плана выпуска продукции при помощи теории двойственности. Применение метода Леонтьева для построения баланса производства и распределения продукции предприятий.
контрольная работа [2,2 M], добавлен 23.04.2013Основные понятия моделирования. Общие понятия и определение модели. Постановка задач оптимизации. Методы линейного программирования. Общая и типовая задача в линейном программировании. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
курсовая работа [30,5 K], добавлен 14.04.2004Экономико-математическая модель оптимального плана выпуска продукции. Оптимальная организация рекламной компании. Решение транспортной задачи: нахождение суммарных затрат на перевозку. Задача об оптимальном назначении (линейного программирования).
контрольная работа [812,0 K], добавлен 29.09.2010Прямые и двойственные задачи линейного программирования, особенности и методика их решения. Основные положения теоремы двойственности. Виды математических моделей двойственных задач. Разработка программы планирования работы швейной мастерской в Excel.
курсовая работа [177,8 K], добавлен 26.07.2009Исследование методом Жордана-Гаусса системы линейных уравнений. Решение графическим и симплексным методом задач линейного программирования. Экономико-математическая модель задачи на максимум прибыли и нахождение оптимального плана выпуска продукции.
контрольная работа [177,8 K], добавлен 02.02.2010Построение экономической модели по оптимизации прибыли производства. Разработка математической модели задачи по оптимизации производственного плана и её решение методами линейного программирования. Определение опорного и оптимального плана производства.
дипломная работа [311,3 K], добавлен 17.01.2014
