Основные понятия эконометрики

Содержание

1. Основные понятия эконометрики

2. Построение парной регрессионной модели

3. Построение множественной регрессионной модели

4. Временные ряды в эконометрических исследованиях. Ряд Фурье

5. Марковские цепи

Литература

1. Основные понятия эконометрики

1. Определите, на какой диаграмме показаны временные данные, а на какой пространственные.

Ответ:

- на диаграмме 1 показаны пространственные данные, т.е. набор сведений в один и тот же момент времени по разным показателям;

- на диаграмме 2 показаны временные данные, т.е. изменение какого-либо показателя за определенный период времени.

2. Дайте определение регрессии.

Регрессия - односторонняя вероятностная зависимость между случайными величинами.

Y=f(X)

3. Определите виды регрессий:

у = 12,5 - 1,44х1 + 5х2 - 2,27х3 + е - линейная;

y = 1/(11+10,45х1-9,44х2+3,33 х3-1,37х4+е) - нелинейная, гипербола;

y = e45,54+100x+е - экспоненциальная, где e - ошибка регрессии.

2. Построение парной регрессионной модели

1. Дайте определение парной регрессии.

Парная регрессия - уравнение связи между двумя переменными у и х

у=f(x).

2. По Российской Федерации за 2001 год известны значения двух признаков.

Таблица 1 - Связь между двумя переменными (у) - расходы на покупку продовольственных товаров и (х) - средним денежным доходом на душу населения

Месяц	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, (у)	Средний денежный доход на душу населения, руб., (x)
Январь	69	1964,7
Февраль	65,6	2292,0
Март	60,7	2545,8
Апрель	…	…
Май	…	…
Июнь	…	…
Июль	…	…
Август	…	…
Сентябрь	…	…
Октябрь	53,3	3042,8
Ноябрь	50,9	3107,2
Декабрь	47,5	4024,7

Для оценки зависимости у от х построена парная линейная регрессионная модель с помощью метода наименьших квадратов:

у = а + bх + е, где а = б/4, b = -1/б.

Парный коэффициент корреляции rxy=-1/б*78.

Средняя ошибка аппроксимации А = б/46+4,6.

Известно, что Fтабл = 4,96, а Fфакт = б/2+5.

Определите коэффициент детерминации. Оцените линейную модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Решение: число б = 146.

Тогда найдем коэффициенты парной линейной регрессионной модели а = 36,5 и b = -0,01. Получим уравнение регрессии:

у = 36,5 - 0,01х + е.

Значит, с увеличением среднего денежного дохода на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,01 %.

Линейный коэффициент парной корреляции rxy = - 0,53 (связь умеренная, обратная).

Найдем коэффициент детерминации, rxy2 = (-0,53)2 = 0,28. Вариация результата на 28% объясняется вариацией фактора х.

Средняя ошибка аппроксимации А = 7,77, что говорит о высокой ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 7,77 %.

Проверяем F-критерий Фишера. Для этого сравним Fтабл и Fфакт. Fтабл < Fфакт (4,96 < 78), значит Н0 - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность с вероятностью 0,95.

Вывод. Линейная парная модель хорошо описывает изучаемую закономерность.

3. Построение множественной регрессионной модели

В таблице приведены данные, формирующие цену на строящиеся квартиры в двух различных районах.

Таблица 2 - Формирование цен на строящиеся квартиры в двух различных районах

Район, a/б	Жилая площадь, м2	Площадь кухни, м2	Этаж, сред-ние/крайние	Дом, кир-пич./панел.	Срок сдачи, через сколько мес.	Стоимость квартиры, тыс. дол.
1	17,5	8	1	1	6	17,7
1	20	8,2	1	2	1	31,2
2	23,5	11,5	2	2	9	13,6
…	…	…	…	…	…	…
1	77	17	2	1	1	56,6
2	150,5	30	2	2	2	139,2
2	167	31	2	1	5	141,5

Имеется шесть факторов, которые могут оказывать влияние на цену строящегося жилья:

1) район, где расположена строящаяся квартира (а или б);

2) жилая площадь квартиры;

3) площадь кухни;

4) этаж (средний или крайний);

5) тип дома (панельный или кирпичный);

6) срок сдачи квартиры (через сколько месяцев).

Определите минимальный объем выборки Nmin. Для оценки зависимости у от х построена линейная множественная регрессионная модель с помощью метода наименьших квадратов:

у = а0 + а1х1 + а2х2 + а3х3 + а4х4 + а5х5 + а6х6 + е,

где а0 = - б/11,5, а1 = - б/8- 10, а2 = 1/б+0,79, а3 = 0,1-1/б, а4 = б/5-16;

а5 = 0,12*б, а6 = 1/б-0,4.

Какие фиктивные переменные были использованы в модели?

Дайте экономическую интерпретацию полученной модели.

Решение: Найдем минимальный объем выборки nmin. Число факторов, включаемых в модель, m = 6, а число свободных членов в уравнении n = 1.

Nmin = 5(6 + 1) = 35.

Число б = 146. Тогда найдем коэффициенты линейной множественной регрессионной модели: а0 = - 12,7, а1 = -28,25, а2 = 0,8, а3 = 0,09, а4 = 13,2, а5 = 17,52, а6 = -0,39.

Получим уравнение регрессии:

у = -12,7 - 28,25х1 + 0,8х2 + 0,09х3 + 13,2х4 + 17,52х5 - 0,39х6 + е.

Экономическая интерпретация полученной модели: квартиры в районе a стоят на 28,25 % дешевле, чем в районе b. При увеличении жилой площади на 1 % стоимость квартиры возрастает на 0,8 %. При увеличении площади кухни на 1 % стоимость квартиры увеличивается на 0,09 %. Квартиры на средних этажах стоят на 13,2 % дороже, чем на крайних. Квартиры в кирпичных домах стоят на 17,52 % дороже, чем в панельных. При увеличении срока сдачи дома на 1 % стоимость квартиры уменьшается на 0,39 %. Фиктивными переменными в данной задаче будут являться качественные признаки района (a/b), этажей (средние/крайние), домов (кирпичные/панельные), которым присвоены значения 1 или 2.

4. Временные ряды в эконометрических исследованиях. Ряд Фурье

Постройте модель сезонных колебаний дохода торгового предприятия, используя первую гармонику ряда Фурье по данным, приведенным в табл. 3, изобразите графически.

Месяц	Доход, тыс. руб.
Январь	58,33+112Ч(1/) б
Февраль	52+112Ч(1/б)
Март	43,67+112Ч(1/) б
Апрель	41,02+112Ч(1/) б
Май	42,77+112Ч(1/) б
Июнь	50,01+112Ч(1/) б
Июль	56,6+112Ч(1/б)
Август	64,74+112Ч(1/) б
Сентябрь	71,04+112Ч(1/) б
Октябрь	73,54+112Ч(1/) б
Ноябрь	72,16+112Ч(1/) б
Декабрь	66,3+112Ч(1/б)

Таблица 3 - Модель сезонных колебаний дохода торгового предприятия

Решение: число б=146.

Тогда исходная таблица будет выглядеть следующим образом:

Таблица 5 - Исходная таблица

Месяц	Периоды, t	Доход, тыс. руб.
Январь	0	59,10
Февраль	0,5236	52,77
Март	1,0471	44,44
Апрель	1,5707	41,79
Май	2,0943	43,54
Июнь	2,618	50,78
Июль	3,1416	57,37
Август	3,6652	65,51
Сентябрь	4,1888	71,81
Октябрь	4,7124	74,31
Ноябрь	5,236	72,93
Декабрь	5,7596	67,07

Если мы рассматриваем год как цикл, то n=12.

Таблица 6 - Промежуточные значения

Месяц	Периоды, t	Доход, тыс. руб.	yЧcos t	yЧsin t
Январь	0	59,10	59,10	0
Февраль	0,5236	52,77	45,91	26,38
Март	1,0471	44,44	22,22	38,66
Апрель	1,5707	41,79	0	41,79
Май	2,0943	43,54	-21,77	37,88
Июнь	2,618	50,78	-44,18	25,39
Июль	3,1416	57,37	-57,37	0
Август	3,6652	65,51	-56,99	-32,75
Сентябрь	4,1888	71,81	-35,90	-62,47
Октябрь	4,7124	74,31	0	-74,31
Ноябрь	5,236	72,93	36,46	-63,45
Декабрь	5,7596	67,07	58,35	-33,53

Параметры уравнения могут быть найдены по формулам:

а0 =Уy/n, а1 =(2/n)*Уycost, b1 =(2/n)*Уysint.

Получим а0 = 58,45.

Найдем промежуточные значения:

Уycost, Уysint (табл.6).

? yЧcos t = 5,83,

? yЧsin t = 96,42.

Найдем коэффициенты:

а1=2Ч5,83/12 = 0,97,

b1 = 2Ч(-96,42)/12 = -16,07.

Получили yt = 58,45 + 0,97Чcos t - 16,07Чsin t.

Подставим фактические значения t в полученную первую гармонику ряда Фурье.

Таблица 7

Месяц	Периоды, t	yt
Январь	0	59,42
Февраль	0,5236	51,26
Март	1,0471	45,02
Апрель	1,5707	42,38
Май	2,0943	44,05
Июнь	2,618	49,58
Июль	3,1416	57,48
Август	3,6652	65,65
Сентябрь	4,1888	71,88
Октябрь	4,7124	74,52
Ноябрь	5,236	72,85
Декабрь	5,7596	67,32

Строим график исходных данных и гармоники ряда Фурье (рис. 1).

Рисунок 1 - Первая гармоника ряда Фурье

5. Марковские цепи

В торгово-розничную сеть поступило 3 вида взаимозаменяемой продукции разных производителей: А1, А2, А3.

Предположим, что покупатели приобретают продукцию только одного из них.

Пусть в среднем они стремятся поменять её не более одного раза в год, и вероятности таких изменений постоянны.

Результаты маркетинговых исследований покупательского спроса на продукцию дали следующее процентное соотношение:

- Х1 % покупателей продукции А1 переходит на продукцию А2;

- Х2 % покупателей продукции А2 - на продукцию А3;

- Х3 % покупателей продукции А3 - на продукцию А1;

где Х1 = (б?90)/3, Х2 = (315?б)/5, Х3 = (б?90)/4.

Требуется:

1. Построить граф состояний.

2. Составить матрицу переходных вероятностей для средних годовых изменений.

3. Предположить, что общее число покупателей постоянно, и определить, какая доля из их числа будет покупать продукцию А1, А2 и А3 через 2 года.

4. Определить какая продукция будет пользоваться наибольшим спросом.

Решение: Число б=146.

Тогда Х1 = (146 - 90):3 = 18,67?18,7;

Х2 = (315 - 146):5 = 33,8;

Х3 = (146 - 90):4 = 14.

Построим граф состояний:

0,187 0,14

0,338

Составим матрицу переходных вероятностей:

1-0,187 0,187 0 0,813 0,187 0

||Pij || = 0 1-0,338 0,338 = 0 0,662 0,338

0,14 0 1-0,14 0,14 0 0,86

Зададим вектор начальных вероятностей:

1

P(0) = 1,

1

т.е. P1(0) = 1, P2(0) = 1 и P3(0) = 1.

Определим вероятности состояния Pi(k) после первого шага (после первого года):

P1(1) = P1(0)?P11 + P2(0)?P21 + P3(0)?P31 = 1?0,813+1?0+1?0,14 = 0,953;

P2(1) = P1(0)?P12 + P2(0)?P22 + P3(0)?P32 = 1?0,187+1?0,662+1?0 = 0,849;

P3(1) = P1(0)?P13 + P2(0)?P23 + P3(0)?P33 = 1?0+1?0,338+1?0,86 = 1,198.

Определим вероятности состояний после второго шага (после второго года):

P1(2) = P1(1)?P11 + P2(1)?P21 + P3(1)?P31 = 0,953?0,813 + 0,849?0 + 1,198?0,14 = 0,775 + 0 + 0,168 = 0,943;

P2(2) = P1(1)?P12 + P2(1)?P22 + P3(1)?P32 = 0,953?0,187 + 0,849?0,662 + 1,198?0 = 0,178 + 0,562 + 0 = 0,74;

P3(2) = P1(1)?P13 + P2(1)?P23 + P3(1)?P33 = 0,953?0 + 0,849?0,338 + 1,198?0,86 = 0 + 0,287 + 1,030 = 1,317.

Вывод. Через 2 года только 94,3 % покупателей будут приобретать продукцию А1, 74% покупателей - А2, число покупателей продукции А3 увеличится в 1,32 раза.

Продукция А3 будет пользоваться наибольшим спросом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М.: ЮНИТИ, 1998.

2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 368 с.

3. Елисеева И.И. и др. Практикум по эконометрике. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 192 с.

4. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. - М.: Дело, 2000. - 400 с.

5. Маленво Э. Статистические методы эконометрики. - М.: Статистика, 1975. - Т. 1; 1976. - Т. 2.