Балансовая модель

БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

ВВЕДЕНИЕ

Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель - проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.

ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление (конечный продукт), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции (первый столбец таблицы 1) и как ее потребитель (первая строка таблицы 1).

Таблица 1

Обозначим через x_i валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через y_i - конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление (средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д.).

Таким образом, разность x_{i -} y_i составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

Обозначим через x_ik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере х_k.

Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами:

х_{1 -} (х₁₁ + х₁₂ + + х_1n) = у₁

х₂ - (х₂₁ + х₂₂ + … + х_2n) = у₂ (1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x_n - (x_n1 + x_n2 + … + x_nn) = y_n

Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихом (х'_ik , y'_i и т.д.) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха - аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства (1) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будем называть совокупность значений y₁ , y₂ , … , y_n , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором:

, (2)

а совокупность значений x₁ , x₂ , … , x_n ,определяющих валовый выпуск всех отраслей вектор-планом:

, (3)

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами (1). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных х_k , содержат n² неизвестных x_ik , которые в свою очередь зависят от x_k.

Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины a_ik из соотношений:

(4)

Величины a_ik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты a_ik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

Исходя из этого предложения имеем

x_ik = a_ikx_k , (5)

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска x_k. Поэтому равенство (5) называют условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат a_ik по формуле (4), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы a_ik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А > 0 и называют такую матрицу неотрицательной.

a₁₁ a₁₂ … a_1k … a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2k … a_2n

A = …………………………

a_i1 a_i2 … a_ik … a_in

a_n1 a_n2 … a_nk … a_nn

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1

Подставляя значения x_ik = a_ik = x_k во все уравнения системы (1), получим линейную балансовую модель:

x₁ - (a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n) = y₁

x₂ - (a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n) = y₂ (6)

……………………………………

x_n - (a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n) = y_n ,

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1. Система уравнений (6) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

,

или окончательно

, (6)

где Е - единичная матрица n-го порядка и

1-a₁₁ -a₁₂ … -a_1n

E - A = -a₂₁ 1-a₂₂ … -a_2n

…………………………..

-a_n1 -a_n2 … 1-a_nn

Уравнения (6) содержат 2n переменных (x_i и y_i). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы (6) найти остальные n - переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = (y₁ , y₂ , … , y_n) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = (х₁ , х₂ , … х_n).

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:

Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл.2.

Таблица 2

Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:

Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток. Теперь может быть записана балансовая модель (6), соответствующая данным табл.2.

х₁ - 0.2х₁ - 0.4х₂ = у₁

х₂ - 0.55х₁ - 0.1х₂ = у₂

Эта система двух уравнений может быть использована для определения х₁ и х₂ при заданных значениях у₁ и у₂, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.

Так, например, задавшись у₁ = 240 и у₂ = 85, получим х₁ = 500 и х₂ = 400, задавшись у₁ = 480 и у₂ = 170, получим х₁ = 1000 и х₂ = 800 и т.д.

РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ

Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения (6). Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У > 0 неотрицательного решения х > 0, т. е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения (6) допустимым решением.

Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.

Так, например, если

запишется в виде

или в развернутой форме

Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение

-0.5х₁ - 0.7х₂ = у₁ + у₂,

которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х₁ и х₂, если только у₁ > 0 и у₂ > 0 (кроме х₁ = х₂ = 0 при у₁ = у₂ = 0).

Наконец уравнение вообще может не иметь решений (система (6) - несовместная) или иметь бесчисленное множество решений (система (6) - неопределенная).

Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.

Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х > 0, удовлетворяющий неравенству (Е - А)х > 0, т.е. если уравнение (6) имеет неотрицательное решение x > 0, хотя бы для одного У > 0, то оно имеет для любого У > 0 единственное неотрицательное решение.

При этом оказывается, что обратная матрица (Е - А) будет обязательно неотрицательной. Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство (Е - А)х = У, где вектор-план х и ассортиментный вектор У определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У > 0.

Таким образом, уравнение (6) имеет одно неотрицательное решение x > 0. На основании теоремы заключаем, что уравнение (6) всегда имеет допустимый план и матрица (Е - А) имеет обратную матрицу.

Обозначив обратную матрицу (Е - А)^-1 через S = || s_ik+ ||, запишем решение уравнения (6) в виде

(7)

Если будет задан вектор - конечный продукт У и вычислена матрица S = (E - A)^-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.

Решение (7) можно представить в развернутой форме:

x₁ = S₁₁y₁ + S₁₂y₂ + … + S_1ny_n

x₂ = S₂₁y₁ + S₂₂y₂ + … + S_2ny_n (8)

………………………………

x_n = S_n1y₁ + S_n2y₂ + … + S_nny_n

ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ЗАТРАТЫ

Выясним экономический смысл элементов S_ik матрицы S. Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е.

Подставляя этот вектор в равенство (7), получим

задавшись ассортиментным вектором , получим:

Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, составит

т.е. k-й столбец матрицы S.

Из равенства (9) вытекает следующее:

Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х₁ = S_1k, во 2-й х₂ = S_2k и т.д., в i-й отрасли выпустить x_i = S_ik и, наконец, в n-й отрасли выпустить x_n = S_nk единиц продукции.

Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта, то величины S_1k, S_2k, …, S_ik, …, S_nk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a_1k, a_2k, …, a_ik, …, a_nk на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве a_ik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли (a_1k), 2-й отрасли (a_2k) и т. д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли (a_i1, a_i2, … и т. д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2

Пусть нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли (k = 2) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли (х₂ = 1) затрачивается: продукции 1-й отрасли a₁₂ = 0.4 и 2-й отрасли a₂₂ = 0.1.

Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у₂ = 100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х₁ = 0.4 100 = 40 ? Конечно, нельзя, т. к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама (а₁₁ = 0.2), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х₁ = 40 + 0.2 40 = 48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли - х₁ = 48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у₂ = 100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив у₁ = 0 и у₂ = 1 (см п.2):

0.8х₁ - 0.4х₂ = 0

-0.55х₁ + 0.9х₂ = 1

Решив эту систему, получим х₁ = 0.8 и х₂ = 1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х₁ = 0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S₁₂. Таким образом, если а₁₂ = 0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли (почему они и были названы прямые затраты), то S₁₂ учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые (а₁₂), так и косвенные затраты, реализуемые через другие (в данном случае через 1-ю же) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S₁₂-a₁₂ = 0.8-0.4 = 0.4

Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а₁₂ = 0.4 при х₂ = 1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.

Итак, величина S_ik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые (a_ik), так и косвенные (S_ik - a_ik) затраты.

Очевидно, что всегда S_ik > a_ik.

Если необходимо выпустить у_k единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы (8):

x₁ = S_1ky_k, x₂ = S_2ky_k, …, x_n = S_nky_k ,

что можно записать короче в виде:

(10)

Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортиментным вектором У = _ у₁: у_n, то валовый выпуск k-й отрасли x_k, необходимый для его обеспечения, определится на основании равенств (10) как скалярное произведение столбца S_k на вектор У, т.е.

, (11)

а весь вектор-план х найдется из формулы (7) как произведение матрицы S на вектор У.

Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат S, можно по формулам (7) - (11) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.

Можно также определить, какое изменение в вектор-плане х = (х₁, х₂, …, х_n) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта У = (у₁, у₂, …, у_n) по формуле:

, (12)

Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:

Следовательно,

Определитель этой матрицы

Построим присоединенную матрицу (Е - А)^*. Имеем:

откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей:

Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли, составляет S₁₁ = 0.8 и S₂₁ = 1.5. Сравнивая с прямыми затратами а₁₁ = 0.2 и а₂₁ = 0.55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1.8-0.2 = 1.6 и 1.1-0.55 = 0.55.

Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы конечного продукта 2-й отрасли равны S₁₂ = 0.8 и S₂₂ = 1.5, откуда косвенные затраты составят 0.8-0.4 = 0.4 и 1.6-0.1 = 1.5.

Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й и 170 единиц 2-й отраслей.

Тогда необходимый валовый выпуск х = х₁ найдется из равенства (7):

ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА, КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д.

Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат x_ik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки.

Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через x_n+1,k, и затраты капиталовложений - через x_n+2,k (где k = 1, 2, …, n). Подобно тому как вводились прямые затраты a_ik, введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда , капиталовложений , представляющих собой расход соответствующего ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу (т.е. дописав их в виде дополнительных строк), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:

При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы (структурная матрица А). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки. Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т.е.

Для этого требуется валовый выпуск продукции

Подсчитаем необходимые при этом затраты труда S_n+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов a_n+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S₁₁, S₁₂, …, S_1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как a_n+1,1S₁₁, во 2-ю - a_n+1,2S₂₁ и т.д., наконец в n-ю отрасль a_n+1,nS_n1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:

,

т.е. равны скалярному произведению (n+1)-й строки расширенной матрицы А, которую обозначим a_n+1, на 1-й столбец матрицы S.

Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят:

(13)

Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:

(14)

Теперь можно дополнить матриц S строками, состоящими из элементов S_n+1,k и S_n+2,k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:

Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х (для чего используется матрица S), но и необходимые суммарные затраты труда x_n+1, капиталовложений x_n+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У.

Очевидно,

x_n+1 = S_n+1,1y₁ + S_n+1,2y₂ + … + S_n+1,ny_n , (16)

x_n+2 = S_n+2,1y₁ + S_n+2,2y₂ + … + S_n+2,ny_n ,

т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S вектор У.

Наконец, объединяя формулу (7) с формулами (16), приходим к следующей компактной форме:

 (17)

Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты труда x_n+1,k (в тыс. человеко-часов) и капиталовложений x_n+2,k (в тыс. руб.), которые записаны в табл.3

Таблица 3

Переходя к коэффициентам прямых затрат a_ik, получим расширенную матрицу:

Обратная матрица S = (E - A)^-1 была уже подсчитана в предыдущем пункте. На основании (13) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда (S_n+1,k = S_3,k):

и капиталовложений S_n+2,k = S_4,k:

Таким образом, расширенная матрица S коэффициентов полных затрат примет вид:

Если задаться на планируемый период прежним ассортиментным вектором У = 240 , то рассчитав по формулам (16) суммарные затраты труда x_n+1 и 85 капиталовложений x_n+2, получили бы

x_n+1 = x₃ = 1,12 240 + 0.72 85 = 268.8 + 61.2 = 330 тыс. чел.-ч. и x_n+2 = x_n = 4.9 240 + 4.4 85 = 1176 + 374 = 1550 тыс.руб.,

что совпадает с исходными данными табл.3. Однако в отличие от табл.3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям (250 и 80 или 750 и 800), здесь они распределены по видам конечной продукции: на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й отрасли 61.2; соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.

При любом новом значении ассортиментного вектора У все показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы (17).

Так, пусть задан ассортиментный вектор У = 480. Тогда

Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х₁ = 1000 и х₂ = 800, при суммарных затратах труда х₃ = 660 тыс. чел.-ч. и при затратах капиталовложений х₄ = 3100 тыс. руб.

Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях.

ЗАДАЧА

В таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел.-ч.

Таблица

Определить:

а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы;

б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждого цеха;

в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;

г) производственные затраты по цехам (в руб.) и на всю производственную программу завода;

д) производственные затраты на единицу конечной продукции.

Решение:

а) Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю строку второй таблицы на вектор х, т.е.

Аналогично можно получить расход сырья II и т.д.

Все это удобно записать в виде произведения:



б) Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха (у₁ = 1) найдем из выражения 1.4S₁₁ + 2.4S₂₁ + 0.8S₃₁. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения матрицы:

Таким образом, например, для изготовления у₁ = 1 необходимо затратить 1.97 единиц сырья I, 0.17 единиц сырья II, 2.53 единиц топлива и 15.2 чел.-ч.

в) Расход сырья, топлива и т.д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по цехам. В результате получим матрицу полных расходов:

г) Производственные расходы по цехам можем получить путем умножения слева строки стоимостей (5; 12; 2; 1.2) на последнюю матрицу:



д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п.б., на строку цен:

Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции I, II и III цехов соответственно составляют: 35.3 руб., 59.6 руб., 75.7 руб.