Новый подход к решению задачи анализа спектров обратного рассеяния

Новый подход к решению задачи анализа спектров обратного рассеяния

А.И. Кульментьев*, вед. научн. сотр;

О.П. Кульментьева, доцент

*Институт прикладной физики НАН Украины

В [1] в общем виде было получено уравнение выхода в спектрометрии резерфордовского обратного рассеяния (POP). Было показано, что в случае многокомпонентной мишени оно представляет собой систему нелинейных интегральных уравнений. Сложность решения этой задачи приводит к необходимости рассмотрения упрощенного варианта уравнения выхода, который соответствует идеальному спектру. Подобный спектр рассматривается и в традиционной процедуре [2]. Отличительной особенностью предложенного в [1] подхода является введение представления о проекции внутрь мишени шкалы многоканального анализатора.

На множестве рассеянных ионов всегда можно ввести отношение эквивалентности, при котором в один класс попадают все ионы, детектируемые в данном канале анализатора. В [1] показано, что это отношение эквивалентности можно распространить на всю плоскость "глубина образца x - энергия рассеянного иона E" (плоскость (x,E)). При этом плоскость (x,E) разбивается на сумму дизъюнктных (т.е. попарно непересекающихся) подмножеств, каждое из которых однозначно связано с определенным каналом анализатора. Это разбиение обладает рядом интересных и достаточно общих свойств.

В данной работе рассмотрены свойства этого разбиения и показано, как с его помощью сформулировать процедуру решения уравнения выхода в методе РОР. Изложение иллюстрируется на примере системы Si - Fe.

Проекция шкалы энергетического анализатора

Как показано в [1], i-й элемент фактормножества относительно рассматриваемого отношения эквивалентности геометрически представляет собой полоску в плоскости (x,E), ограниченную двумя кривыми - Eiu(x) и Eid(x), которые являются решением уравнения

(1)

с начальными условиями соответственно

. (2)

Здесь е(E) - поперечное сечение торможения; E1,i - верхняя граница i-го канала шкалы реального анализатора; ?E1 - энергетическая ширина канала, которая предполагается одинаковой для всех каналов; в - угол между осью детектора и нормалью к поверхности мишени.

Совокупность подобных подмножеств (полосок) и формирует разбиение плоскости (x,E). Поскольку ион, попавший после рассеяния в i-е подмножество, будет в конечном счете детектирован в i-м канале, то сечение подмножеств на данной глубине можно интерпретировать как проекцию внутрь мишени шкалы многоканального анализатора. Однако в отличие от обычной шкалы ее проекция не является равномерной, поскольку энергетическая ширина i -го канала

(3)

будет существенно и немонотонно изменяться с глубиной. При этом только для x=0 ширины всех каналов одинаковы и равны ?E1. Иллюстрацией этого утверждения является рис.1, на котором изображено, как меняется с глубиной энергетическая ширина каналов, которые заполняют в реальном многоканальном анализаторе интервал от 100 до 1000 кэВ. В работе рассматривался следующий эксперимент: на однородную мишень из Si под углом б = 0є падает пучок ионов 4He+. Детектор расположен под углом 170є (в =10°). Ширина канала ?E1 = 4 кэВ. Сечение торможения е(E) задавалось в рамках модели [3]. Уравнение (1) решалось с высокой точностью с помощью алгоритма, основанного на концепции Ричардсона [4] о граничном переходе к нулю и является частью более общей расчетной процедуры.

Рисунок 1 - Зависимость от глубины мишени энергетической ширины каналов в проекции шкалы многоканального анализатора

Энергетическая ширина канала (1) измеряет для данного x расстояние вдоль оси энергий между соседними кривыми проекции {Eid(x), Eiu(x)}. Можно определить аналогичную характеристику - пространственную ширину канала, которая для данного E измеряет вдоль оси глубин расстояние между соседними кривыми проекции (рис.2).

Рисунок 2 - Интегральные кривые уравнения (1), проходящие через нижнюю (Eid(x))и верхнюю (Eiu(x)) границы i-го канала многоканального анализатора. В однородной мишени пространственная ширина канала не зависит от x (длины всех горизонтальных отрезков одинаковы)

Из рис.2 видно, что ?xi(E) задает толщину того слоя мишени, из которого в i-й канал приходят ионы, имеющие сразу после рассеяния энергию E . Формально пространственная ширина канала ?xi(E) является корнем следующего уравнения:

, (4)

и в случае мишени переменного состава она будет зависеть от E.

В многокомпонентной мишени сечение торможения иона зависит не только от его энергии, но и от локального состава мишени. Обычно такая зависимость описывается с помощью правила Брэгга, согласно которому среднее сечение торможения в точке x имеет вид

, (5)

где суммирование идет по всем L, входящим в состав образца компонентам, а еl(E) - сечения торможения данного иона при энергии E в однокомпонентной мишени, состоящей из атомов сорта l.

Для однородной мишени зависимость ?xi(E) от E исчезает. Проще всего это можно доказать с помощью поля направлений [5]. Состав однородной мишени (который может быть сколь угодно сложным) не зависит от глубины. Поэтому для однородной мишени изоклинами будут прямые, параллельные оси x, и если любую интегральную кривую уравнения (1) сместить как целое вдоль оси x, то в результате получим также интегральную кривую. Следовательно, пространственная ширина i-го канала не зависит от x.

Как видно из (1) и (5), для однородной мишени переменные в уравнении (1) разделяются. Поэтому интегральная кривая, проходящая через точку (о, з), получается решением относительно y следующего уравнения [5]:

. (6)

Из этого уравнения вытекает, что в однородной мишени каждый канал проекции характеризуется двумя постоянными:

1) пространственной шириной;

2) интегралом от функции 1/е(E), взятым по интервалу [Eid(x), Eiu(x)].

Поскольку в однородной мишени величина интеграла в правой части этого уравнения не зависит от x, то удобнее всего его вычислять при x = 0. При этом интеграл в левой части для всех i берется по фиксированному энергетическому интервалу шириной ?E1. Следовательно, пространственная ширина канала будет минимальной для канала, соответствующего максимуму сечения торможения. Иллюстрацией этого может служить рис.3, на котором для тех же условий эксперимента, что и на рис.1, показана зависимость пространственной ширины канала от положения этого канала на энергетической шкале реального многоканального анализатора. Заметим, что пространственные ширины каналов являются еще одной характеристикой введенной выше совокупности дизъюнктных подмножеств.

В определенном смысле в методе РОР образец можно рассматривать как "прибор", который производит развертку рассеянных частиц по энергии. С этой точки зрения совокупность дизъюнктных подмножеств представляет способ описания интегральной системы "анализатор + образец". Характеристики этой системы зависят от анализатора, типа ионов пучка и состава мишени, но не зависят от энергии пучка.

Рисунок 3 - Пространственные ширины каналов в проекции шкалы многоканального анализатора (толстая кривая) и толщины субслоев для ряда значений энергии пучка (тонкие кривые). Вертикальная пунктирная прямая отмечает энергию, для которой сечение торможения ионов He в Si максимально

Назовем субслоем интервал глубин мишени, в котором все процессы рассеяния ионов заканчиваются попаданием их в один и тот же канал. Формально определение толщины ?x субслоя на глубине x сводится к решению системы уравнений

(7)

где K - кинематический множитель [2], а Ein(x) - функция, описывающая зависимость энергии иона пучка от глубины и являющаяся решением уравнения

, (8)

где б - угол между осью пучка и нормалью к поверхности мишени. Эта процедура проиллюстрирована на рис.4, из которого видно, что в отличие от пространственной ширины канала ширина соответствующего ему субслоя определяется еще и энергией E0 иона в исходном состоянии. Однако эта зависимость является весьма слабой. На рис.3 для ряда значений E0 показана зависимость толщины субслоя от энергии соответствующего этому субслою канала анализатора. Если исключить из рассмотрения наиболее высокоэнергетический частично заполненный канал, то, как видно из рисунка, для всех значений E0 рассматриваемые кривые близки друг к другу. Более того, из рисунка видно, что их форма практически повторяет форму кривой для пространственной ширины канала. Заметим, что толщины субслоев имеют непосредственное отношение к пространственному разрешению в методе РОР.

Процедура решения уравнения выхода в методе РОР

На основе представления о проекции шкалы анализатора энергии можно сформулировать процедуру решения уравнения выхода в методе РОР. Эта процедура состоит из следующих шагов:

Последовательно, начиная с поверхности мишени, перебираем отдельные субслои. Границы субслоев определяют дискретную неравномерную сетку на оси глубин {xj}, j = 0, 1, 2, … .

Допустим, что после анализа n - 1 субслоя в точках {xj}, j = 0, 1, …, n - 1 известны значения функций {Ein(x); Eid(x), Eiu(x)} и значения искомых концентрационных профилей. С учетом уравнений (1), (8) экстраполируем вперед функции {Ein(x); Eid(x), Eiu(x)} и находим корни системы уравнений (7). Определяем толщину следующего, n-го субслоя.

Для заданной толщины субслоя формируем систему элементарных уравнений выхода (19) из [1] и дополняем ее условием связи

. (9)

Решаем расширенную систему уравнений и определяем состав n-го субслоя.

Зная состав n-го субслоя, решаем уравнения (1), (8), т.е. определяем в точке xn энергию налетающего иона и проекцию шкалы анализатора.

Стоп при выполнении некоторого критерия окончания расчета.

Предлагаемая процедура имеет некоторые общие черты с традиционным подходом, но в некоторых отношениях существенно отличается от него. Рассмотрим вначале, в чем состоят эти различия для однокомпонентной мишени.

Зависимость энергии иона от глубины. В обеих процедурах зависимость энергии иона от глубины получается в результате решения аналогичных дифференциальных уравнений. Конкретные реализации отличаются друг от друга выбором метода решения, или способа определения шага по глубине. Широко распространенная поверхностная аппроксимация соответствует методу Эйлера, в котором погрешность усечения на каждом шаге имеет порядок h2.

В методе Эйлера наименее благоприятной является ситуация, когда вторая производная функции E(x) имеет один и тот же знак вдоль всей траектории движения иона. В этом случае локальные ошибки на каждом шаге складываются, что приводит к монотонному росту глобальной ошибки. В такой ситуации предлагаемая процедура должна приводить к меньшим глобальным ошибкам по сравнению с традиционным подходом. Действительно, в последнем энергия иона отслеживается от исходной энергии E0 вплоть до той энергии, с которой рассеянная частица будет детектирована на выходе из мишени. В предлагаемой же процедуре аналогичные зависимости отслеживаются с двух концов: от E0 для функции Ein(x) и от Eid(u)(0) - для функций Eid(u)(x). Как следствие, число последовательных шагов уменьшается вдвое, что должно приводить также к уменьшению глобальной ошибки.

Толщина субслоя мишени. Получим вначале точное выражение для толщины субслоя, а затем сравним его с аналогичными приближенными выражениями в предлагаемой процедуре и в традиционном подходе. Результат дискретизации оси глубин после шага рассматриваемой процедуры показан на рис.4. Границы следующего n-го субслоя определяются решением системы уравнений (7):

(10)

Поскольку границы (n - 1)-го субслоя уже определены, то для этого субслоя система уравнений (7) представляет собой к данному моменту систему двух тождеств

(11)

На любой глубине проекция шкалы анализатора плотно заполняет соответствующий энергетический интервал. Поэтому верхняя граница данного канала всегда совпадает с нижней границей следующего, т.е. Eiu(x) ? Ei+1d(x) для x [0, xmax]. Следовательно, первое уравнение в (10) совпадает со вторым уравнением системы (11), и, как и последнее, к данному моменту является тождеством. Для решения второго уравнения системы (10) заметим, что Eid(x) является решением следующей задачи Коши:

(12)

Определим функцию

. (13)

Рисунок 4 - Иллюстрация процедуры проецирования шкалы многоканального анализатора и дискретизации оси глубин в задаче анализа идеального спектра

Поскольку для заданных условий эксперимента кинематический множитель является постоянной величиной, то из (8) следует, что ?in(x) будет решением задачи Коши

 (14)

Проинтегрируем обе части уравнений (13), (14) по x от xn-1 до xn. В результате получим

,

,

где при вычислении интегралов была использована теорема о среднем, а точки E1* и E2* принадлежат показанным на рис.5a интервалам. С учетом второго уравнения из системы (10) отсюда вытекает выражение для толщины ?xn = xn-xn-1 n-го субслоя

, (15)

которое является точным при соответствующем выборе точек E1* и E2*.

В предлагаемой процедуре приближенное выражение для толщины субслоя получается в результате экстраполяции вперед функций ?in(x) и Eid(x). Из всех вариантов метода Рунге-Кутта только метод Эйлера определяет в явном виде зависимость от h функции y(x + h). Поэтому воспользуемся этим методом для решения дифференциальных уравнений (12) и (14). Тогда

,

.

Подставляя эти выражения во второе уравнение системы (10), получим

. (16)

Из рис.5b видно, что используемое приближение состоит в замене функций ?in(x) и Eid(x) на рассматриваемом интервале линейными функциями, проходящими соответственно через точки (xn-1, Eiu(xn-1)) и (xn-1, Eid(xn-1)). При этом наклон линейных функций совпадает с наклоном касательных к кривым ?in(x) и Eid(x) в этих точках. Из уравнения (16) следует, что предлагаемая процедура соответствует выбору в точном выражении (15) в качестве E1* и E2* точек на границах соответствующих разрешенных интервалов.

Выражение для толщины субслоя в традиционном подходе (уравнения (3.41) и (3.42) в [2]) с учетом используемых обозначений можно записать в виде

. (17)

Уравнение (17) соответствует следующему выбору точек E1* и E2* в точном выражении (15)

.

При этом точка E1* совпадает с границей разрешенного интервала, тогда как E2* выходит за пределы допустимых значений.

Таким образом, выражение для толщины субслоя в традиционном подходе содержит систематическую погрешность и поэтому является менее точным, чем аналогичное выражение в предлагаемой процедуре.

Элементарное уравнение выхода для многокомпонентной мишени. Как следует из (5), в многокомпонентной мишени сечение торможения в отдельном субслое зависит от его состава. Поэтому от состава субслоя будет зависеть и его толщина. Действительно, изменение любой из функций cn(x) приведет к изменению правых частей уравнений (12), (14), а, следовательно, и взаимного расположения кривых ?in(x) и Eid(x) (рис.5а). При этом уравнения (12) и (14) описывают процесс потери энергии, который происходит при взаимодействии иона с электронной подсистемой любого атома. Поэтому в выражение для толщины субслоя должны входить неизвестные концентрации всех компонент.

Напротив, высота спектра Hik определяется ионами, рассеянными в пределах n-го субслоя только на атомах сорта k и поэтому Hik ~ ck. Таким образом, элементарное уравнение выхода (23) из [1]

(18)

содержит два сомножителя, зависящих от неизвестных концентраций атомных компонент в пределах n-го субслоя. Подставляя (5) в (16), а результат - в уравнение выхода (18) и выделяя в явном виде зависимость лишь от искомых концентраций, получим

. (19)

Здесь Ak,Bl и Cl- постоянные величины, значения которых к началу анализа n-го субслоя уже определены. Из (19) следует общий вид искомого уравнения для концентрации k-й компоненты

. (20)

Рисунок 5 - Процедура определения толщины ?xn n-го субслоя мишени (а);

в предлагаемом подходе приближенное выражение для ?xn получается в результате линейной экстраполяции вперед (пунктирные прямые) кривых Eid(x) и KEin(x) (b).

Аналогичные (20) уравнения могут быть записаны для всех атомных компонент. В результате получаем квадратную систему линейных уравнений, размер которой равен числу входящих в состав мишени компонент. Дополнив ее условием связи (9), окончательно получим переопределенную систему, которая может быть решена, например, с помощью разложения по сингулярным числам.

Таким образом, в предлагаемой процедуре система элементарных уравнений выхода сводится к системе линейных уравнений относительно неизвестных концентраций.

Иначе обстоит дело в традиционном подходе. Уравнение выхода в нем остается тем же самым, а выражение для толщины субслоя (17) формально имеет ту же структуру, что и предложенное выше выражение (16). Однако, в отличие от разрабатываемой процедуры, в традиционном подходе ширина энергетического канала ?Ei(xn-1) в точке xn-1 к началу анализа n-го субслоя неизвестна. Для ее оценки, как правило, используется приближенная формула (3.47) из [2], которая в используемых обозначениях принимает вид

. (21)

Поскольку ?Ei(0)??E1, то

. (22)

С помощью введенного представления о проекции шкалы анализатора легко можно выяснить границы применимости этого приближения. Оно вполне оправдано для однородных мишеней, поскольку, как было показано выше, для такой мишени интеграл

(23)

не зависит от x. Поэтому

. (24)

Так как , а ,

то из (24) непосредственно следует, что

, (25)

где , .

Заменяя и конкретными значениями из этих интервалов, получим приближенную формулу (22).

Однако для неоднородных многокомпонентных мишеней сечение торможения зависит как от энергии иона, так и от глубины мишени. Поэтому в этом случае в уравнении (1) переменные не разделяются и уравнение (24), строго говоря, несправедливо. Другими словами, пространственная симметрия однородных систем приводит к сохранению величины Ii(x) - обстоятельство, которое и положено в традиционном подходе в основу выражения для энергетической ширины канала. Переход к неоднородной мишени нарушает эту симметрию и делает некорректным формальное обобщение этого выражения.

Для оценки величины вносимой при этом погрешности был выполнен расчет отношения Ii(x)/Ii(0) для ряда двухкомпонентных мишеней на основе Si - Fe. В результате было получено, что для однородных мишеней это отношение действительно равно единице для всех каналов, а для неоднородных мишеней отклонение от единицы достигает ±15% (рис.6). Такая же погрешность будет характерна для оценки энергетической ширины канала ?Ei(x) в традиционном подходе.

Однако кроме количественных неточностей, традиционный подход имеет и качественный недостаток, поскольку приводит к системе нелинейных уравнений для концентраций компонент в отдельном субслое. Действительно, подставив (22) в (17), получим следующее выражение для толщины -го субслоя

. (26)

Подставив далее в него выражение (5) для сечения торможения, а результат - в элементарное уравнение выхода (18) и выделив в явном виде зависимость лишь от искомых концентраций, получим аналогичное (19) уравнение

, (27)

из которого вытекает общий вид уравнения для концентрации -й компоненты

. (28)

Здесь, как и в уравнении (20), Akl и Гl - постоянные величины, значения которых к началу анализа n-го субслоя уже определены.

Рисунок 6 - Концентрационные профили в модельной неоднородной двухкомпонентной мишени Si-Fe. (а); зависимость от глубины отношения Ii(x)/Ii(0) (b)

Таким образом, в традиционном подходе элементарное уравнение выхода для k-го компонента сводится к нелинейному уравнению (28), а для n-го субслоя в целом получаем квадратную систему нелинейных уравнений, дополненную линейным уравнением связи (9).

Хорошо известно (см., например, [4]), что для системы нелинейных уравнений общего вида существующие алгоритмы позволяют в лучшем случае лишь уточнить удачно выбранное начальное приближение к решению. Однако с их помощью, как правило, ничего нельзя сказать ни о самом факте существования решения, ни о возможном числе таких решений, ни об устойчивости найденного решения. С этой точки зрения традиционный подход плохо приспособлен для анализа особенностей уравнения выхода в методе РОР.

Данная работа является продолжением начатого в [1] анализа математической природы уравнения выхода в методе РОР. Важность такого анализа связана с тем, что метод РОР является одним из немногих неразрушаюших методов анализа, дающих полное описание распределения атомных компонентов по глубине. Современные технологии и, в первую очередь, те, которые используются в области микроэлектроники, выдвигают постоянно возрастающие требования к точности и достоверности получающихся в методе РОР результатов. В то же время в литературе практически отсутствует систематический анализ тех математических проблем, которые возникают при обработке данных в этом методе.

В работе предложен новый метод решения уравнения выхода в методе РОР, основанный на введенном в [1] представлении о проекции внутрь мишени шкалы многоканального анализатора. Продемонстрировано, что в основе такого представления лежит отношение эквивалентности, вводимое на множестве всех рассеянных ионов, и проанализированы различные характеристики соответствующей этому отношению совокупности дизъюнктных подмножеств. Показано, что предлагаемый подход эквивалентен рассмотрению некой интегрированной системы "анализатор + образец". Характеристики этой системы зависят от рассматриваемой мишени, условий эксперимента и типа ионов, но не зависит от энергии последних в исходном состоянии.

В рамках такого представления можно в очень наглядном виде сформулировать те свойства рассматриваемой задачи, которые определяются дискретизацией различных непрерывных переменных в плоскости глубина - энергия. Поэтому использование данной проекции представляется весьма перспективным при исследовании таких характеристик метода POP, как пределы разрешения различных величин и изменение этих пределов с глубиной мишени.

На основе введенных представлений предложена новая процедура решения уравнения выхода и проведено ее сравнение с имеющимися в литературе подходами. Показано, что она обладает рядом преимуществ, к числу которых можно отнести то, что в пределах каждого субслоя решение уравнения выхода сводится к решению системы линейных уравнений, а приближения, лежащие в ее основе, более обоснованы и согласованы друг с другом, чем в традиционном подходе.

Дополнив модель идеального спектра необходимым аналитическим аппаратом, например, методом разложения по сингулярным числам, можно получить процедуру решения уравнения выхода в задаче анализа спектра, позволяющую исследовать вопросы существования и устойчивости ее решения. Что касается однозначности решения, то можно показать, что предположение о возможности выделения в суммарном спектре вкладов от отдельных компонент в некоторых случаях эквивалентно выбору одного решения из множества возможных. Поэтому отказ от такого предположения может приводить к неоднозначности интерпретации спектра обратного рассеяния. Систематическое исследование этого вопроса требует привлечения дополнительных методов, к примеру тех, которые разработаны в области искусственного интеллекта.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Chu Wei-Kan, Mayer J., Nicolet M.-A. Backscattering Spectrometry. - New-York: Academic Press, 1981. - 364 p.

Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T. et al. Numerical Recipes in Fortran. - Cambridge: Cambridge University Press, 1992. - 438 р.

Ziegler J.F., Biersack J.P., Littmark U. The Stopping and Range of Ions in Solids. - New-York: Pergamon Press, 1985. - 315 р.

Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1976. - 576 с.

Кульментьев А.И., Кульментьева О.П. Исследование математической природы уравнения выхода в спектрометрии обратного рассеяния // Вiсник СумДУ. Серія Фізика, математика, механіка. - 2002. - №13(46). - С. 27-39.