Об одном способе моделирования макроэкономических процессов

Об одном способе моделирования

макроэкономических процессов

Введение

Практическое исследование любого экономического явления базируется на глубоком анализе статистических данных. Для создания динамических моделей необходимо, опираясь на экономическую теорию, построить уравнения, однозначно определяющие эволюцию изучаемого процесса, которые адекватно согласуются с имеющимися данными. Таким образом, математическая модель - это аналитические соотношения, которые получаются из сформулированных уравнений и разработанного метода обработки статистических данных.

В данной работе описывается методика построения эконометрических моделей, описывающих эволюцию макроэкономических процессов и предназначенных для краткосрочного прогнозирования, основанная на принципе максимизации прибыли.

На данный момент достаточно сильно развита математическая теория позиционных дифференциальных игр, источником которой являются экономические задачи. В работе методы теории позиционных дифференциальных игр используются для прогнозирования будущей эволюции изучаемого макроэкономического процесса. Описывается эконометрическая процедура идентификации моделей, которая опирается на численное интегрирование и последующее оценивание неизвестных параметров методом наименьших квадратов. На основе разработанного метода строится гладкая аппроксимация решения задачи идентификации.

Прогноз по построенным моделям опирается на ретроспективный обзор экономической деятельности субъекта, и его результатом является предсказание всех базовых показателей макроэкономической деятельности.

Для иллюстрации работоспособности предлагаемого подхода приводятся результаты моделирования экономики Украины в 1970-
1985 гг.

Построение моделей

Макроэкономический потенциал. Для описания динамики развития экономики используются статистические данные об изменении основных фондов p, материальных затрат q, валового внутреннего продукта c и валового национального дохода h. В силу наличия балансового соотношения c=q+h достаточно разработать динамическую модель, связывающую величины h, p и q. В соответствии с экономической теорией можно предположить, что величина h зависит от p и q, т. е. будет выражаться зависимостью h = H(p, q).

Следуя теории производственных функций, необходимо положить, что функция H(p, q) удовлетворяет условию

H(0, q) = H(p, 0) = 0, (1)

т.е. при отсутствии совокупности материально-вещественных элементов, используемых предприятиями в процессе производства p и материальных затрат для выпуска продукции q выпуск продукции невозможен и, следовательно, национальный доход h=0.

Но, рассматривая предположения (1) в прикладном аспекте, они оказываются лишь формальностью, так как в процессе экономической деятельности страны ни один из показателей p и q априорно не может равняться нулю. Тогда от условий (1) можно отказаться, что позволит, по мнению авторов, более эффективно аппроксимировать исходные данные путем отказа от лишних ограничений.

Пусть {} - моменты времени, в которых известны значения величин {p(t)}, {q(t)} и {h(t)}. Будем аппроксимировать аналитическую зависимость H(p, q) многочленом некоторой степени с неизвестными коэффициентами, которые будем вычислять при помощи метода наименьших квадратов из условия

, (2)

где H⁽ⁱ⁾(p, q) - однородная форма i-го порядка с неизвестными коэффициентами, число m устанавливается экспериментально, но для использования метода наименьших квадратов должно выполняться условие  > 1.

Модель краткосрочного прогнозирования. Опираясь на довольно сильно развитую теорию дифференциальных игр [1], будем рассматривать макроэкономическую деятельность страны как игру двух соперников, один из которых стремится максимизировать свой доход путём наращивания основных фондов и минимизации материальных расходов, а другой преследует противоположную цель. Таким образом, мы будем рассматривать равновесную бескоалиционную дифференциальную игру, т. е. рынок, все участники которого преследуют одну цель - максимизировать собственную прибыль.

В наших обозначениях высказанный принцип означает, что государство (обобщенный производитель) выбирало объём основных фондов, цены продаж и закупок, стремясь максимизировать свою прибыль и, следовательно, национальный доход h, в то время как поставщик материальных ресурсов, соответственно стремясь максимизировать свою прибыль, напротив минимизирует величину h. Таким образом, H(p, q) - это фактический результат разрешения конфликта между двумя игроками, описанными выше.

Будем исходить из предположения о том, что деятельность обоих игроков достаточно успешна, и при любых значениях q прибыль первого Н(p, q), по крайней мере, не убывала при изменении p, а действия производителя материальных ресурсов были таковы, что для всех p функция H(p, q), по крайней мере, не возрастала при изменении q, т. е. их экономическое положение не ухудшалось. Это обоснованное предположение, так как вследствие ухудшения положения одного из игроков материальное положение другого тоже ухудшится.

В высказанных предположениях эволюция величин p(t) и q(t) в процессе игры - рыночного конфликта - происходила вдоль градиентной кривой функции H(p, q), т.е. функции p(t) и q(t) являются решением системы дифференциальных уравнений

(3)

при начальных условиях p(0) = p_o, q(0) = q_o.

Смысл функций u(t) и v(t) следующий: функция u(t) показывает? насколько успешно справлялся со своей целью производитель, т. е. скорость, с которой он наращивал производство и сбыт своей продукции, а v(t) характеризует аналогичные действия поставщика. Естественно, что в периоды, когда шел рост объёма реализованных товаров, функции u(t) и v(t) будут положительными, и напротив, в периоды, когда происходил спад в реализации, u(t) и v(t) будут отрицательными.

Записав систему (3) в дискретной форме

(4)

мы можем выполнить краткосрочный прогноз динамики развития изучаемого макроэкономического процесса.

Идентификация моделей

Опишем процедуру построения функций u(t) и v(t). Их следует определять по имеющимся статистическим данным так, чтобы при решения p(t) и q(t) системы (3) приближённо удовлетворяли исходным статистическим данным. Это обратная задача динамики, т.е. задача апостериорного оценивания неизвестных сил в динамических системах по результатам измерения фазовых координат в заданные дискретные моменты времени.

При решении системы (3) можно использовать различные математические методы, например решение маршрутной задачи оптимального управления [2], которые приводят к точным решениям.

Но будет ли точное решение лучшим? Уже при аппроксимации функции H(p, q) была допущена некоторая неточность из-за приближения методом наименьших квадратов, да и особенности экономических наблюдений и измерений не дают точных исходных статистических данных.

В связи с высказанными соображениями, по мнению авторов, для идентификации функций u(t) и v(t) следует применять аппарат эконометрики. Это позволит не только построить модели, но и провести их регрессионный и корреляционный анализ. Также мы можем

определить качество оценивания модели с помощью коэффициента детерминации R².

В рамках данного подхода будем аппроксимировать истинные значения величин u и v многочленами некоторой степени с неизвестными коэффициентами вида

(5)

Здесь степени k и m устанавливаются экспериментально, неизвестные коэффициенты оцениваются методом наименьших квадратов.

Запишем систему (3) в интегральном виде

(6)

где H(p, q) -макроэкономический потенциал, вычисленный по формуле (2); u(t) и v(t) - функции вида (5). Численно взяв интегралы в уравнениях (6), можно применить метод наименьших квадратов для оценивания неизвестных коэффициентов в (5). Оптимальные значения степеней k и m многочленов (5) находятся из эконометрических соображений [3].

Пример

Описанный подход проиллюстрируем на примере данных о динамике развития экономики Украины за 1970-1985 гг., которые приведены в табл. 1 приложения в масштабе 100 млрд. руб. = 1. Модели строятся на данных 1970-1984 гг., а на 1985 год рассчитываются прогнозные значения.

В качестве функции регрессии H(p, q) выберем многочлен второго порядка

.

Использование метода наименьших квадратов приводит к модели

,

R²=0,99640,

где под значениями оценок коэффициентов приведены их стандартные ошибки. При определении значимости оценок коэффициентов c_k в работе использовался критерий Стьюдента, согласно которому считается, что c_k ? 0, если выполняется неравенство

,

где - стандартная ошибка оценки , t_кр - критическое значение распределения Стьюдента, вычисленное при N - 6 степенях свободы и уровне значимости б = 0,05 [3]. Оценённая модель со значимыми коэффициентами приобретает вид

, R² = 0,99505. (7)

Значение коэффициента детерминации R² = 0.99505 свидетельствует о высоком качестве аппроксимации данных. Результаты расчетов приведены в табл. 2 приложения.

Теперь, используя (5) и (6) и применяя методы численного интегрирования (в работе использовался метод Симпсона), приходим к следующим оптимальным выражениям для функций u(t) и v(t):

, R² = 0.99984;

, R² = 0.99753.

Результаты расчетов приведены в табл. 3 и 4 приложения.

По известным значениям функций u(t) и v(t), воспользовавшись (4), можно сделать прогноз величин p(t) и q(t) на 1985 год (последние строки табл. 3 и табл. 4 приложения). Подставив их в (7), получим прогнозное значение величины h.

Предложенная модель даёт не только хорошее качество приближения в рассматриваемом периоде, но и позволяет с достаточной точностью давать краткосрочные прогнозы, что и было целью исследования. В данном случае относительные ошибки прогнозов составляют 0,84% для p, 1.31% для q и 6.03% для h. Очевидно, использование в качестве макроэкономического потенциала (2) многочлена третьей степени (m=3) приведёт не только к уменьшению относительной ошибки прогноза для h, но и улучшит степень прогноза для p и q.

Список литературы

2. Альбрехт Э. Г., Соболев О. Н. О связи задач оптимального управления с подвижными и закрепленными концами // Проблемы управления с гарантированным результатом. - Свердловск: УрО РАН, 1992. - C. 3-14.

3. Назаренко О. М. Основи економетрики: Підручник. - Київ: Центр навчальної літератури, 2004. - 392c.