Математична модель перешкод при роботі АСУ газотурбінні електростанції

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ПЕРЕШКОД ПРИ РОБОТІ АСУ ГАЗОТУРБІННОЇ ЕЛЕКТРОСТАНЦІЇ

ВСТУП

Розвиток електростанцій малої потужності (до кількох десятків МВт) для вирішення енергетичних проблем в останній період відбувається більш інтенсивніше у порівнянні з розвитком традиційних потужних електростанцій. Це, в першу чергу, пояснюється такими фактами: більш високий коефіцієнт корисної дії, короткі терміни будівництва, використання компактних модульних конструкцій при створенні електростанцій, кращі екологічні показники та інші. В електростанціях малої потужності можуть бути використані газотурбінні двигуни судового або авіаційного типів. Прикладом реалізації таких електростанцій є енергетичні установки, які розроблені і експлуатуються ВАТ “Сумське МНВО ім. М.В. Фрунзе” (Україна). Потужність таких електростанцій 16 МВт, а як паливо є газ.

При роботі газотурбінної електростанції виникають інтенсивні електромагнітні, віброакустичні, акустичні, теплові поля. Такі поля у сукупності створюють так звані “промислові перешкоди (завади)” або просто перешкоди, які суттєво впливають на роботу самої газотурбінної електростанції, на стан і здоров'я обслуговуючого персоналу, і особливо на роботу автоматизованої системи управління (АСУ). Фізичний механізм формування таких полів полягає у дії значної кількісті джерел випромінювання енергії, розміщених у різних просторових точках, з різними часовими інтервалами дії, а також з неперервними та імпульсними компонентами. За своєю природою такі поля є просторово-часовими випадковими полями. Наявність таких полів, тобто сукупна дія електромагнітних, віброакустичних і теплових полів викликає відповідні перешкоди в електронних ланках АСУ газотурбінної електростанції. Тому однією з основних властивостей АСУ є перешкодостійкість. Це, в першу чергу, зумовлене широким діапазоном важливих задач АСУ, без науково-технічного розв'язання яких неможливе функціонування газотурбінної електростанції. До основних задач АСУ відносять такі [1-4, 9-11]:

задачі вимірювань та контролю характеристик параметрів сигналів широкого кола підсистем вимірювальних перетворювачів (давачів, сенсорів);

(1)

де - стохастично неперервний випадковий процес з незалежними приростами, який називають породжуючим Щодо процесів, які задано на всій дійсній осі, будемо вважати, що вони дорівнюють нулеві при t=0 і стохастично еквівалентні на додатній та від`ємній півосях.; - невипадкова числова функція, для якої виконується , де - кумулянт p-го порядку процесу ; - заданий інтервал часу, елементарна подія з простору .

Інтеграл у виразі (1) розуміється у середньоквадратичному сенсі.

Відзначимо, що стохастично неперервні випадкові процеси з незалежними приростами є безмежно подільними. Відомо три форми зображення характеристичної функції процесу , які називають формами Леві, Леві-Хінчина та Колмогорова (остання застосовується лише для гільбертових випадкових процесів) [5]. Всі згадані форми зображення характеристичної функції процесу однозначно взаємозв`язані і застосування будь-якої з них визначається умовами конкретної задачі.

Одновимірна характеристична функція стохастично неперервного випадкового процесу з незалежними приростами у формі Леві має вигляд

,(2)

де і - дійсні функції, а функція в нулі не визначена та

Інтеграл у виразі (2), а також у наступних подібних виразах є інтегралом Стільт`єса. Функції та при будь-якому задовольняють такі умови:

- неперервна зліва неспадна у , - неперервна зліва неспадна у , в нулі ці функції не визначені;

;

для будь-якого скінченого >0.

Відповідність між та набором взаємно однозначна.

Будь-який стохастично неперервний процес з незалежними приростами може бути зображений сумою двох необов`язково одночасно присутніх стохастично незалежних компонент, які називають процесами гауссівського та пуассонівського типів [5]. Усі реалізації процесів першого типу з ймовірністю 1 є абсолютно неперервними функціями часу. Процеси пуассонівського типу, навпаки, мають ступінчасті реалізації. Функції описують наявність та властивості згаданих компонент. Так, якщо спектральна функція , то пуассонівська компонента відсутня і є гауссівським процесом з незалежними приростами. У випадку, коли , відсутньою є гауссівська компонента і процес - суто стрибкоподібний. Якщо говорити про зображення Леві, то функції та є відповідно математичним сподіванням і дисперсією гауссівської компоненти процесу , а спектральна функція стрибків характеризує виключно пуассонівську компоненту, маючи зміст інтенсивності стрибків величини x.

Таким чином, маємо

(3)

дві незалежні компоненти стохастично неперервного випадкового процесу з незалежними приростами .

У формі Леві n-вимірна характеристична функція лінійного випадкового процесу в моменти часу має такий вигляд [6]:

(4)

де - ядро інтегрального зображення (1), а функції визначені у (2) і задають породжуючий процес .

Таким чином, лінійний випадковий процес (1) є нестаціонарним і негауссівським випадковим процесом, який допускає адитивну суміш двох компонент

,(5)

де гауссівська компонента породжена гауссівською компонентою породжуючого процесу з характеристиками і , а компонента породжена пуассонівською компонентою з пуассонівським спектром стрибків у формі Леві .

Крім того, конструктивна форма (1) дає можливість дати чітку фізичну інтерпретацію при побудові математичної моделі перешкоди.

Припущення, що перешкода формується сумарною дією значної кількості імпульсів, які генеруються відповідними джерелами випромінювання енергії і розповсюджуються в лінійному середовищі, можна вважати до деякої міри результатами багатьох теоретичних і експериментальних досліджень [8]. Імпульси за своєю фізичною природою є випадковими, тобто виникають у випадковий момент часу з випадковими параметрами: тривалістю за часом спостереження і обмеженою енергією.

Тепер зупинимось на конкретизації статистичної гіпотези про сумарну дію випадкових імпульсів, базуючись на конструктивній формі задання лінійного випадкового процесу (1).

Припустимо, що в момент у лінійному середовищі виникає випадковий імпульс . Послідовність таких імпульсів є послідовністю незалежних випадкових величин, тобто випадковий процес є процесом білого шуму у вузькому сенсі з дискретним часом. Тоді випадковий процес

(6)

є процесом з незалежними приростами.

Функцію можна інтерпретувати як імпульсну перехідну функцію лінійного середовища розповсюдження випадкових імпульсів. При цьому розглядається найбільш загальний випадок лінійного середовища як лінійна система зі змінними в часі параметрами. Для більшості випадків така система розглядається як система із постійними в часі параметрами і тоді маємо

. (7)

При цьому, як правило, виконується умова фізичної реалізованості системи , при , тобто . Тоді маємо сумарний ефект від випадкових імпульсів, які виникли за часом в моменти з інтенсивністю і які розповсюджуються в лінійному середовищі з відповідною імпульсною перехідною функцією і накопичуються в точці спостереження

. (8)

При граничному переході до неперервного випадку отримуємо уявлення лінійного випадкового процесу у вигляді (1).

Перейдемо до опису конкретних математичних моделей перешкод в електронних ланках АСУ, базуючись на наведених вище результатах з теорії лінійних випадкових процесів.

1 Одновимірні випадкові моделі перешкод мають дві компоненти (5), які породжені гауссівською та пуассонівською компонентами (3) породжуючого процесу з незалежними приростами .

1.1 Стаціонарна негауссівська перешкода з гауссівською компонентою описується лінійним процесом вигляду

, (9)

де вінеровський процес - однорідний випадковий процес з гауссівським законом розподілу і

, (10)

а однорідний пуассонівський процес з законом розподілу Пуассона і

, (11)

де іменується інтенсивністю стрибків процесу за одиницю часу (в 1 секунду).

Одновимірна характеристична функція перешкоди (9) має вигляд

. (12)

Використовуючи (4) формулу (12) можна узагальнити на вимірний випадок.

Таким чином, на основі стаціонарної моделі перешкоди (9) маємо два окремих випадки, а саме:

а) стаціонарну гауссівську перешкоду, коли

;

б) стаціонарну негауссівську перешкоду без гауссівської компоненти, коли

.

1.2 Нестаціонарна випадкова перешкода (5) по суті визначається лінійним випадковим процесом (1), але має такі окремі випадки:

а) ядро стаціонарне, а породжуючий процес є неоднорідним;

б) ядро нестаціонарне, а породжуючий процес є однорідним;

в) ядро нестаціонарне, а породжуючий процес є неоднорідним;

г) гауссівська нестаціонарна компонента відсутня, коли відсутня відповідна гауссівська складова породжуючого процесу ;

д) нестаціонарний випадковий процес має гауссівську компоненту за присутності відповідної компоненти у процесі .

Вираз (4) у загальній формі визначає вимірну характеристичну функцію нестаціонарної випадкової перешкоди (5) на базі лінійного випадкового процесу.

2 Векторну випадкову перешкоду вигляду

(13)

можна використати як математичну модель перешкод в багатоканальних електронних трактах АСУ. Так, наприклад, число вимірювальних трактів АСУ досягає тисячі каналів. Можна навести й інші приклади багатоканальних трактів передачі та обробки сигналів в АСУ.

На основі прийнятої концепції розробки математичних моделей перешкод в електронних трактах АСУ кожну компоненту векторного випадкового процесу (13) подано у вигляді адитивної суміші (5), тобто

, (14)

де відповідно складові та є лінійними випадковими процесами вигляду

(15)

і

. (16)

Таким чином, складові (15) і (16) лінійного випадкового процесу (14) як породжуючий процес мають відповідні компоненти (3) стохастично неперервного випадкового процесу з незалежними приростами .

Тоді вимірна сумісна характеристична функція векторного лінійного процесу - векторної випадкової перешкоди (13) з урахуванням (3) записується у вигляді

(17)

Характеристична функція (17) дає можливість проводити статистичний аналіз різних компонент векторного процесу перешкод (13) як у рамках кореляційної теорії, так і з урахуванням вищих моментних функцій, враховуючи сумісні. Так, наприклад, можна визначити кореляційну матрицю компонент (13), сумісні функції четвертого порядку та інші. З іншого боку, використовуючи результати аналізу одновимірного випадкового процесу перешкод, можна розглянути різні варіанти компонент (13), які є частинними випадками наведеної векторної моделі перешкод (13).

ВИСНОВКИ

Розробка математичних моделей перешкод в електронних трактах АСУ газотурбінної електростанції основана на використанні концепції створення конструктивної моделі лінійного випадкового процесу. Такий підхід при побудові моделі перешкод дає можливість:

врахувати сумарну дію таких фізичних полів, як електромагнітні, віброакустичні, акустичні і теплові, які виникають при роботі газотурбінних електростанцій;

описати у повному ймовірному сенсі різні види компонент моделі перешкод, в тому числі стаціонарні, стаціонарно зв'язані, нестаціонарні, гауссівські і негауссівські.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ