Задача інтерполяції графіків енергонавантажень

Інститут електродинаміки НАН України

Тернопільський державний університет

Сумський державний університет

Задача інтерполяції графіків енергонавантажень

Марченко Н.Б.,

Мацюк О.В.,

Толбатов А.В.

Вступ

У цій роботі наведені результати розв'язання задачі інтерполяції функції потужності енергонавантажень на фіксованому інтервалі часу шляхом використання спостережень послідовності значень потужності енергонавантажень у дискретні моменти часу . Ця задача є актуальною для аналізу функціонування кожного джерела електроенергії і його основних складових підсистем, в тому числі для автоматизованої системи керування. Для опису потужності енергонавантажень будемо вживати загальновідомий термін в енергетиці “графік енергонавантажень”.

Коротко зупинимось на актуальності такої задачі.

Циклічне обертання Землі з часовим інтервалом 24 години породжує цілу низку ритмічних процесів земної цивілізації з відповідними циклами. Це: одна доба, один місяць, один квартал і так далі, але в основу таких часових інтервалів покладено значення , яке можна розглядати як найменший додатний період відповідних ритмічних процесів.

Поряд із періодичністю однією з основних властивостей графіка енергонавантажень є його стохастичність. Випадковий характер формування процесу потужності енергонавантажень обумовлюється дією значної кількості випадкових факторів, а саме: включення та виключення енергоспоживачів у різні моменти часу, з різними інтенсивностями енергоспоживання, тривалостями по часу і кількостями.

Таким чином, у загальному вигляді графік енергонавантажень описується періодичним випадковим процесом . Результати досліджень такого процесу є актуальними і мають важливе значення для ефективності роботи енергетичної галузі країни.

Сепарабельний випадковий процес , заданий як параметрична послідовність випадкових величин на відповідному ймовірнісному просторі , де простір елементарних подій; алгебра (алгебра) підмножин ; а ймовірність на , є нестаціонарним, а отже, неергодичним. Спостереження (вимірювання) графіків енергонавантажень на відрізку часу розглядаються як реалізації нестаціонарного періодичного випадкового процесу і описуються дійсною детермінованою функцією , яка задана на одному періоді. У більшості випадків маємо можливість спостерігати скінченний ансамбль таких реалізацій, тобто вимірний вектор таких реалізацій:

(1)

Але на практиці у більшості випадків спостереження проводяться дискретно в часі або отримуються за допомогою використання аналого-цифрових перетворювачів (АЦП) відповідних інформаційно-вимірювальних систем (ІВС) у вигляді числових послідовностей. Тоді спостерігається не неперервний вектор , а матриця вигляду

(2)

де

Перейдемо до основних результатів даної роботи.

ПостаВЛЕННЯ завдання

Задана матриця числових послідовностей ансамблю реалізацій графіка енергонавантажень у вигляді (2).

Необхідно методом інтерполяції знайти неперервну компоненту вимірного вектора графіка енергонавантажень.

Розв'язання. Використаємо метод тригонометричної інтерполяції. Для періодичної функції з періодом , яка спостерігається на відрізку , можна шляхом лінійної заміни змінної перейти у відрізок . Тоді всі точки “реального часу” переходять у точки .

Таким чином, всі точки “реального часу” переходять у точки

Для розв'язання задачі інтерполяції графіків енергонавантажень використаємо таке твердження, яке положено в основу методу тригонометричної інтерполяції. [ 1-3].

Твердження. Для довільної періодичної функції з періодом при довільному наборі з попарно різних вузлів при із напівінтервалу існує єдиний тригонометричний многочлен , який є інтерполяційним многочленом для з даної системи вузлів інтерполяції, тобто

(3)

Відліки потужності енергосистем спостерігають на всій осі при в моменти

при (4)

(наприклад, - беремо в годинах, години - одна доба).

Нам треба оцінити коефіцієнти інтерполяційного тригонометричного полінома за формулами ( вузли на відрізку , а отже, і на відрізку - довільні) [1].

(5)

, а для відрізка треба замість брати

,

при Всіх точок - непарне число.

У чисельнику кожного додатка в (5) маємо добуток (парне число множників) вигляду

,

а у знаменнику число (а не функція від , бо в знаменник не виходить). Добуток двох таких множників (а їх парне число, бо один з таких множників завжди не входить) є

, (6)

тобто є тригонометричним множником першого порядку.

Введемо позначення для добутку в знаменниках (5) так:

. (7)

Враховуючи, що добуток двох тригонометричних многочленів та є тригонометричним многочленом порядку , бачимо, що кожний додаток в інтерполяційному тригонометричному многочлені (5) має порядок, не вищий ( а вузлів інтерполяції ).

Вираз (5) можна з врахуванням (7) записати більш компактно:

(8)

Очевидно, що тригонометричний поліном у кожному вузлі набуває значення , тобто

.

Цей поліном (5) і (8) можна записати і з використанням амплітуд та фаз у вигляді:

де

а , де

Коротко зупининимося на обґрунтуванні (5) та (8). Маючи систему вузлових точок , можна написати систему з 2n+1 рівняннями (виходячи з умови для ):

з невідомими

Її визначник є визначником Вандермонда:

Визначник Вайдермонда складається із добутків всіх можливих синусів, в яких аргументом є можливі різниці.

Частинний випадок. Заслуговує на увагу окремий розгляд тригонометричної інтерполяції для випадку, коли гратка є еквідистантною з кроком .

У цьому випадку маємо

(9)

де

Знаменник (5) у цьому випадку має представлення

,

()()…, (10)

де ціле число, , .

За цією формулою можна підрахувати знаменник.

Для практичного застосування можна запропонувати такі формули:

(11)

Ці формули можуть бути використані при обчисленні згідно з (5) у випадку еквідистатних вузлів

Чисельник

У випадку еквідистатних вузлів інтерполяції

.

Тригонометричний інтерполяційний многочлен, для якого виконуються умови, при можна записати у вигляді

Але коли останній записати в “канонічній формі” (3)

,

то коефіцієнти і можна знаходити за формулами:

де

При .

Таким чином, можна підбити підсумки розв'язання задачі інтерполяції.

Висновки

Наведені результати розв'язання задачі інтерполяції графіків енергонаватажень тригонометричними поліномами за результатами дискретних спостережень. Розглянуто частинний випадок розв'язання задачі інтерполяції, коли результати спостережень розміщені на рівномірній часовій гратці. Отримані результати інтерполяції реалізацій випадкового періодичного процесу можуть бути використані для подальшого статистичного аналізу графіків енергонавантажень, в тому числі для автоматизованої системи керування.

SUMMARY

In this diploma were obtained results, which represent a solution to the interpolation problem of the realisations of periodical random process, by the trigonometric polynomials, for the discrete observations. In general case observations could be freely specified at the time grid, in addition were revised specific case of the equidistance time grid.

СПИСОК ЛІТЕРТУРИ

1. Гельфонд А.О. Исчисления конечных разностей. - М.: Наука. 1967. - 376 с.

2. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. - М.: Гостехиздат. 1954. - 280 с.

3. Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. - Минск: Вышейшая школа. 1968. - 320 с.