Алгоритм решения прямой задачи для определения турбулентных характеристик потока в проточной части и повышения технико-экономических показателей гидравлических машин

Алгоритм решения прямой задачи для определения турбулентных характеристик потока в проточной части и повышения технико-экономических показателей гидравлических машин

А.С. Косторной, доц.;

А.А. Волик, асп.

Сумский государственный университет

Известно, что все течения жидкостей и газов делятся на два резко различные типа: спокойные и плавные течения, называемые ламинарными, и их противоположность - так называемые турбулентные течения, при которых скорость, давление, температура и другие гидродинамические величины беспорядочно пульсируют, крайне нерегулярно изменяясь в пространстве и во времени [1,2,3,4]. Сложный характер колебаний скорости и температуры при турбулентном течении, множество пульсаций различных периодов и амплитуд, наблюдающееся на графиках и фотографиях (рис.1), иллюстрируют сложную внутреннюю структуру турбулентных течений, резко отличающихся в этом отношении от ламинарных течений. Эта сложная структура сказывается на многих свойствах течения, оказывающихся весьма различными в ламинарном и турбулентном случаях. Так, турбулентные течения обладают гораздо большей способностью к передаче количества движения (образно говоря, турбулентная среда имеет огромную эффективную вязкость) и поэтому во многих случаях оказывают гораздо большее силовое воздействие на обтекаемые жидкостью твердые тела. Аналогичным образом турбулентные потоки обладают повышенной способностью к передаче тепла и пассивных примесей, к распространению химических реакций (в частности, горения), к переносу взвешенных частиц. Благодаря наличию внутренних неоднородностей, турбулентные течения способны рассеивать проходящие сквозь жидкость или газ звуковые и электромагнитные волны.

Атмосферная турбулентность в земной атмосфере определяет распространение примесей в воздушной среде, зарождение ветровых волн на поверхности моря и образование ветровых течений в океане типа «Торнадо», болтанку самолетов и других летательных аппаратов и вибрации многих наземных сооружений и обтекаемых тел.

Турбулентные течения воды в реках, морях и океанах, а также практически все имеющие прикладное значение течения в трубах -в водопроводах, газопроводах, нефтепроводах, соплах реактивных двигателей, движения в пограничных слоях, образующихся около поверхности движущихся летательных аппаратов, в струях жидкости или газа, вырывающихся с большой скоростью из сопла, в следах за быстро перемещающимися твердыми телами - лопастями пропеллера, лопастями турбин и насосов, пулями, снарядами, ракетами и т.д. - буквально окружают нас и в природе, и в технических устройствах.

Перечисленные свойства и характерные особенности турбулентных течений являются весьма существенными для многих задач естествознания и техники.

Поэтому вопрос об изучении турбулентности представляет несомненный практический и теоретический интерес, а использование свойств турбулентности в математических моделях является очень важной практической задачей вообще и, в частности, для повышения технико-экономических показателей гидравлических машин. И хотя этой проблеме уделяется много внимания и имеется огромное количество опубликованных работ, все же можно считать, что и до настоящего времени не удалось решить ее в полной мере. В данной работе предлагается алгоритм решения прямой задачи теории гидравлических машин, в основу которого положены модели течения жидкости, позволяющие наиболее полно учитывать особенности турбулентного течения.

Общие соображения о моделировании турбулентности

Считается, что нестационарные уравнения Навье - Стокса полностью описывают турбулентные течения. Если это так, то почему нельзя рассчитывать на ЭВМ турбулентные течения столь же эффективным образом, как и ламинарные. Ведь тогда можно было бы раз и навсегда демонтировать аэродинамические трубы и не проводить физический эксперимент. Дело в том, что временной и пространственный масштабы турбулентного движения столь малы, что требуемое количество узлов расчетной сетки и малый размер шагов по времени делают эти вычисления практически нереализуемыми на современных ЭВМ ввиду ограниченности ресурсов последних.

Авторитеты расходятся во мнениях, когда компьютерная техника достигнет в своем развитии этапа, на котором расчет турбулентных течений станет возможно проводить «в лоб». Некоторые считают, что никогда не удастся рассчитать мелкомасштабную структуру турбулентности на основе нестационарных уравнений Навье - Стокса в задачах, представляющих практический интерес.

В настоящее время основное направление численных методов расчета турбулентных течений состоит в решении осредненных уравнений Навье - Стокса. Эти уравнения называют также уравнениями Рейнольдса. При осреднении по времени в уравнениях возникают новые члены, которые можно интерпретировать как градиенты «кажущихся» (добавочных) напряжений тепловых потоков, связанных с турбулентным движением. Эти новые величины должны быть связаны с характеристиками осредненного течения посредством моделей турбулентности, что приводит к новым гипотезам и аппроксимациям. Таким образом, уравнения Рейнольдса не вытекают полностью из основополагающих принципов: законов сохранения массы, количества движения и энергии, так как для замыкания системы уравнений привлекаются дополнительные гипотезы.

На первый взгляд уравнения Рейнольдса выглядят довольно сложно, и мы вправе задаться вопросом, продвинулись ли мы вперед по пути решения практических задач расчета турбулентных течений. Главная трудность в задачах механики жидкости состоит в том, что мы имеем большее число неизвестных, чем количество уравнений. Уравнения Рейнольдса описывают осредненное по времени течение жидкости и наряду с обычными членами, описывающими перенос импульса и ламинарноподобные напряжения, имеют шесть новых членов с пульсациями величин. Таким образом, произведя сглаживание и тем самым улучшив уравнения, мы за это заплатили дорогую цену: в них появились новые неизвестные функции.

Уравнения Рейнольдса не могут быть решены, так как кажущиеся турбулентные напряжения следует считать новыми неизвестными. Необходимо установить дополнительные уравнения для этих новых неизвестных или принять какие-то допущения о связи между кажущимися турбулентными величинами и параметрами осредненного потока. Эта процедура известна как задача замыкания, которая рассматривается в моделях турбулентности. На сегодняшний день их около 100.

Все существующие модели турбулентности имеют недостатки. Окончательная модель турбулентности еще не создана. Некоторые авторы считают уравнения Навье - Стокса системой уравнений для описания турбулентных течений, являющихся одновременно и точной, и общей. Поэтому надеяться на то, что удастся получить при помощи моделирования турбулентности некую альтернативную систему с сохранением прежней точности и общности, но проще решаемую, было бы слишком оптимистично и согласиться с точкой зрения Лайтхила,что наука о турбулентности-это кладбище теорий, на котором каждая новая теория добавляет еще одну могилу. Если принять эту точку зрения, то наши ожидания умерятся и от поисков окончательного решения этой проблемы мы перейдем к поиску моделей, которые имеют приемлемую точность в ограниченном диапазоне условий течения.

Общий подход к созданию замкнутых моделей турбулентности при отрывном обтекании тел

Как было уже сказано выше, исследование турбулентных течений базируется на полуэмпирических теориях, которые используют информацию о корреляциях турбулентной скорости и приближенные представления о механизме турбулентной вязкости.

Эти теории оказались очень ценными и позволили решить целый ряд важных практических задач. Однако целый ряд новых задач требует накопления большого объема экспериментального материала и новых подходов к их решению.

Создание замкнутых моделей турбулентности и решение указанных задач на ЭВМ открывают новые возможности в данной области. Одной из краеугольных при этом оказывается проблема правильного понимания и описания механизма турбулентного перемешивания и замыкания уравнений Рейнольдса вследствие появления дополнительных неизвестных функций - турбулентных напряжений (нормальных и сдвиговых) [5]. В настоящее время сложилось общепринятое представление о турбулентности как иерархии вихрей разных порядков и о двух принципиально разных видах турбулентности: крупномасштабной и мелкомасштабной. При этом первый вид соответствует характерным размерам вихревых образований порядка течения в целом, а второй - существенно меньшим. Параметры крупномасштабной турбулентности определяются конкретными условиями течения - формой обтекаемого тела и состоянием внешней среды, а характеристики мелкомасштабной турбулентности в значительной степени описываются более сложными закономерностями. Первый вид турбулентности в основном определяется силами инерционной природы. Поэтому для достаточно больших чисел Рейнольдса вязкостью среды при анализе ближнего следа или участка течения можно пренебречь. Изучение мелкомасштабной турбулентности и диффузии вихрей необходимо производить с учетом сил вязкости.

Для понимания явления и построения его эффективного математического описания (математической модели турбулентности) принципиальное значение имеет вопрос о природе турбулентности, о главном ее источнике. Мы придерживаемся следующей концепции.

Основным источником турбулентных движений являются вихри. Турбулентное течение представляет собой существенно нестационарное движение жидкости или газа, порожденное потерей устойчивости и распадом упорядоченных вихревых образований - пелен, превращением их в вихревые ансамбли. Последние, двигаясь вместе со средой, видоизменяются, вращаются, захватывают друг друга и распадаются, образуя как новые макроструктуры, так и выделяя мелкие вихри.

Изучение турбулентности связанно с двумя крупными задачами. В первой происходят рассмотрение процесса образования вихрей, выявление и моделирование причин, генерирующих вихри, описание их появления и начального этапа развития.

Во второй производятся анализ «жизни» этих вихрей, моделирование их движения, потери устойчивости, образования новых устойчивых форм (ансамблей), превращения крупных ансамблей в мелкие, диффузии вихрей и т.д.

Обе задачи, конечно, взаимосвязаны. Они базируются на изучении разных сторон проблемы.

Основные механизмы зарождения и появления вихрей в изучаемых гидроаэродинамических задачах таковы:

Образование вихревых пелен, связанное с огибанием острых кромок и изломов на поверхности обтекаемого тела при местных дозвуковых скоростях течения.

Жидкость и газ не могут плавно огибать их, что можно объяснить и с позиции идеальной, и вязкой среды. В первом случае возникнут бесконечные скорости и разряжения, во втором - предпосылки для отрыва пограничного слоя. Здесь не обязательно привлекать модель вязкой среды для моделирования процесса образования вихрей.

Образование вихревых следов, вызванное отрывом пограничного слоя с поверхности гладкого тела. Если на теле возникли условия, когда пограничный слой уже не может далее развиваться и существовать и он отрывается от тела, то в поток за телом сходит система вихрей.

Для описания этого явления требуется как минимум модель идеальной среды и пограничного слоя.

Алгоритм решения

Первым этапом решения задачи является численный расчет на ЭВМ развития картины течения в рамках схемы идеальной среды или идеальной среды и пограничного слоя. Есть серьезные основания считать, что получаемые при этом результаты дают в целом достоверную информацию о явлении. Так они правильно описывают макроструктуру обтекания тела, ближнего следа, крупномасштабную турбулентность и т.д.

Подобные утверждения основаны на глубокой научной интуиции и общем теоретическом анализе проблемы, на результатах многолетних теоретических и экспериментальных исследований авторов работы [6] и др., и наших, основанных на систематическом численном моделировании с помощью ЭВМ и сопоставлении полученных результатов с экспериментальными.

Основные черты и макроэффекты отрывного обтекания тел при больших числах Рейнольдса, в том числе ближний аэрогидродинамический след и его статистические турбулентные характеристики при известных местах отрыва на теле, фиксированных на острых кромках обтекаемых поверхностей, изломах, уступах и срезах тел и т.д., не зависят от вязкости среды и определяются инерционным взаимодействием в жидкостях и газах, описываемым нестационарными уравнениями идеальной среды.

Процесс зарождения, развития и последующего угасания вихревого следа за телом можно в целом обрисовать следующим образом. Тело, возмущая поток, придает частицам жидкости ускорения; при обтекании тела образуется также вихревой след. Вблизи тела (кроме жидкости, непосредственно прилегающей к поверхности тела) силы молекулярной вязкости малы по сравнению с силами инерционной природы (последние превышают первые на несколько порядков). Поэтому роль вязкости на начальном этапе формирования отрывного обтекания сводится к определению места отрыва и циркуляции отрывающегося пограничного слоя. Если же изучается обтекание тела с угловыми точками, когда места отрыва фиксированы, влияние вязкости вообще можно не учитывать.

По мере удаления от тела начинается процесс угасания следа, причем непосредственное влияние тела на это невелико, а в дальнем следе им можно вообще пренебречь. Образно говоря, тело создает ближний вихревой след и уходит от него, а дальнейшее развитие следа, диффузия вихрей в нем регулируются уже иными механизмами. Инерционное воздействие поддерживается оставшимся вихревым следом, а молекулярное трение в среде вызывает угасание вихрей, приводит к постепенному вовлечению все новых частиц жидкости в вихревое движение.

Таким образом, на первом этапе исследования будет решение полной нестационарной задачи в рамках схемы идеальной среды или идеальной среды и пограничного слоя.

Соответствующие алгоритмы вычислений, основанные на методе гидродинамических особенностей применительно к гидравлическим машинам уже имеются [7,8]. Затем на основе полученных вихревых макроструктур и других количественных данных следует перейти к изучению нестационарных характеристик потока [9], более мелких вихревых образований и дальнего следа.

Для этого все пространство, занятое жидкостью, можно разбить на три области: первую (она включает в себя тело и ближнюю часть следа); вторую (переходная часть следа) и третью (дальний участок) (рис.2).

Область течения I представляет собою все пространство возмущенного течения перед телом, само тело и ближний участок следа. Она характеризуется сильными возмущениями, вызываемыми телом и следом. Основная модель среды здесь (при больших числах Рейнольдса) - схема идеального газа или жидкости (иногда с добавлением схемы пограничного слоя на теле). Макроструктура следа обладает определенной упорядоченностью, скорости в потоке изменяются по закону, близкому к периодическому.

По мере удаления от тела (область II) возмущения, вызванные им, убывают, его воздействие на поток ослабевает. Основным источником инерционного воздействия становятся свободные вихри следа. Упорядоченность вихревых ансамблей нарушается, крупные образования деформируются, создают новые сочетания, выделяют мелкие вихри и т.д. Начинают проявляться явления диффузии как связанные с взаимным объединением вихрей разных знаков, так и вызванные вязкостью среды.

В дальнем участке следа (область III) влиянием тела вообще можно пренебречь. Здесь возмущения идут только от свободных вихрей средней (область II) и дальней (область III) частей следа. Структура следа становится распадающейся, нерегулярной, хаотической.

Таким образом, картина течения в каждой из областей обладает своей спецификой, которую целесообразно учитывать при моделировании явления. В частности, в разных областях следует применять разные уравнения для описания течений.

На втором этапе исследования, используя теорему о рассеивании энергии, можно определить работу всех сил, действующих на массу жидкости в конечном объёме. Она определяется скалярным произведением тензора напряжений и тензора скоростей деформации. Для несжимаемой жидкости имеет место выражение [4]:

. (1)

Выражение в правой части (1) всегда положительно, за исключением случая, когда все производные от скоростей по координатам обращаются в ноль. Следовательно, движение вязкой несжимаемой жидкости будет происходить без рассеивания механической энергии лишь в том случае, когда не будет происходить деформаций частиц, т.е. когда жидкость будет перемещаться как твердое тело. Во всех других случаях движения вязкой несжимаемой жидкости будет происходить потеря механической энергии.

Умножая левую и правую части на элемент объёма и проводя интегрирование по всему объёму, получим количество механической энергии, рассеваемой за единицу времени в конечном неподвижном объёме :

.(2)

Здесь - проекции вектора вихря скорости.

Следовательно, при движении несжимаемой жидкости, заключенной в неподвижном объёме, полное количество рассеиваемой механической энергии за секунду будет зависеть только от интенсивности вихрей внутри объёма, включая свободные.

Диссипированная энергия как форма квадратов является величиной существенно положительной, что соответствует ранее отмеченной необратимости переноса механической энергии потока вязкой жидкости в тепло.

Необратимость процесса диссипации механической энергии обусловливает тот факт, что приведенная в движение и представленная сама себе вязкая жидкость рассеивает (диссипирует) сообщенную ее механическую энергию до тех пор, пока не придет в состояние покоя.

Дисперсия завихренности в потоке вязкой несжимаемой жидкости определяется выражением [4]

(3)

Это общее уравнение распространения (дисперсии) завихренности в вязкой жидкости.

Рассмотрим процесс диффузии прямолинейной вихревой линии.

Пусть при t=0 в несжимаемую вязкую жидкость введена бесконечная вихревая нить с циркуляцией Г и соответствующим ей полем скоростей

.

Такое поле может одинаково существовать как в идеальной, так и в вязкой жидкости. В самом деле, это движение безвихревое, а следовательно, повсюду вокруг вихревой линии = 0; уравнения вязкой жидкости при этом не отличаются от уравнений идеальной жидкости, а единственное граничное условие V 0 при r одинаково выполняется в обоих случаях. Разница лишь в том, что в идеальной жидкости, где нет диссипации энергии за счет работы сил внутреннего трения, такой вихрь не диффундирует в толщу всего объема жидкости и может сохраняться бесконечно долго, поддерживая указанное только что установившиеся круговое движение частиц без притока энергии извне. В вязкой же жидкости для поддерживания такого движения необходимо сообщение энергии от источника завихренности, а если такой источник исчезнет, то постепенно затухнет и движение жидкости.

Рассмотрим нестационарный процесс, который произойдет, если в некоторый момент времени t=0 удалить источник завихренности.

В этом случае уравнение (3) будет иметь вид, соответствующий уравнению теории распространения тепла:

.(4)

Интеграл его, удовлетворяющий начальному условию =0 при t=0 и r>0 и граничному условию при r, будет

, (5)

а величина индуцируемой скорости

.(6)

Проанализируем полученные результаты.

В начальный момент времени t=0 движение повсюду (r0) было безвихревым . После удаления источника завихренности, т.е. при t0, во всем пространстве мгновенно возникло некоторое распределение завихренности, которое представляется быстроубывающей с возрастанием расстояния r функцией (5). Завихренность в центре (r=0) монотонно убывает с ростом времени, а в точке, находящейся на некотором расстоянии о центра, сначала возрастает, а затем убывает до нуля при t=.

Рассмотрим окружность радуса r=a. Изменение со временем завихренности в точках этой окружности представится в виде

Исследуя на максимум эту функцию, установим, что в момент времен

завихренность достигает своего максимального значения

.

При дальнейшем возрастании времени завихренность будет убывать.

Об общем характере зависимости от времени завихренности в точках, находящихся на разных расстояниях от центра, можно судить по кривым рис.3.

Кривые распределения скоростей в различные последовательные моменты времени приведены на рис.4.

Таким образом, используя модель потенциального течения жидкости, можно оценить отдельные характеристики турбулентного потока, а следовательно, и улучшить технико-экономические показатели.

ВЫВОДЫ

Приведен алгоритм решения прямой задачи теории гидравлических машин на основе 3Д модели нестационарного течения идеальной жидкости, позволяющий количественно определять турбулентные характеристики потока в проточной части с целью повышения ее технико-экономических показателей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Ашурст В.Т. Численное моделирование турбулентных слоев смешения через динамику вихрей. Турбулентные сдвиговые течения. - М.: Машиностроение, 1. - 1972. - 235с.

Белоцерковский О.М. Численные модели в гидродинамике. Н.Е. Кочин и развитие механики. - М.: Наука. - 1984. - 112 с.

Белоцерковский О.М., Белоцерковский С.М., Давыдов Ю.М., Ништ М.И. Моделирование отрывных течений на ЭВМ. М.: АНССИ "Кибернетика". - 1984. - 122с.

Давиденко А.К., Косторной А.С., Волик А.А. Численное моделирование течения жид кости в проточной части центробежного насоса с целью получения требуемой формы рабочей характеристики // Сб. научн.трудов ”Совершенствование турбоустановок методом математического и физического моделирования”. - Харьков: ИПМаш НАНУ. 2003. - Т.2.- С.577-581.

Косторной С.Д. и др. Моделирование течения жидкости в проточной части гидравлической турбины. - Харьков: Изд-во «Основа» при ХГУ «Гидравл. машины», 1990. - Вып. 24. - С.10-16.

Лойцянский Л.Г. Механика жидкостей и газов. - М. :Наука, 1970.- 904 с.

Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. - М.: Наука. - 1965. - Том 1.-639 с.

Хатунцев А.Ю., Мартынова Н.С. Иследование нестационарных характеристик потока за лопастями рабочего колеса поворотнолопастной гидротурбины // Сб. научн.трудов ”Совершенствование турбоустановок методом математического и физического моделирования”. - Харьков: ИПМаш НАНУ. - 2003 - Т.2.- С.582-584.

Хинце И.О. Турбулентность. - М.: ГИФ-МЛ. - 1963. - 680с.