Математическая модель процесса нарезания внутренних резьб малых диаметров (М2–М6)

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА НАРЕЗАНИЯ ВНУТРЕННИХ РЕЗЬБ МАЛЫХ ДИАМЕТРОВ (М2-М6)

П.А. Новиков

Севастопольский национальный технический университет

В работе предлагается математическая модель нарезания внутренней резьбы малого диаметра (М2-М6). Математическая модель представлена с помощью системы неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с различными коэффициентами.

Для резьбы как объекта основными критериями качества являются конструктивные элементы такие, как: диаметры - внутренний, внешний и средний и шаг резьбы. Если же рассматривать процесс нарезания малых резьб (М2-М6), основными критериями можно назвать следующие: взаимообусловленные момент резания, возникающий на зубьях заборного участка и части зубьев калибрующего участка, и угол скручивания метчика относительно плоскости закрепления. Процесс нарезания резьб малых диаметров характеризуется совокупностью сложных механических, физических и химических процессов и явлений, обусловленными пластическими, упругими и температурными деформациями, химическим взаимодействием обрабатываемого материала, инструмента и компонентов СОЖ. Но из-за относительно малой крутильной жесткости и особенностей самого процесса наиболее значимым является изменение именно такого параметра, как угол скручивания.

В свою очередь технологический критерий качества, угол скручивания непосредственно влияет на конструкторский критерий, средний диаметр и шаг резьбы: при нарезании резьб малых диаметров за счет скручивания метчика происходит “разбиение” (увеличение) среднего диаметра резьбы и уменьшение шага [1]. Можно сделать вывод, что оптимальным параметром для описания процесса резьбонарезания является угол скручивания метчика.

Так как математическая модель есть абстрактное описание физического процесса, то необходимо детально рассмотреть физическую модель. Схема физической модели процесса нарезания резьб малых диаметров представлена на рисунках 1 и 2.

На рисунке 1 представлен поперечный разрез рабочей части метчика и, в частности, один из зубьев заборного участка. Рассмотрим моменты сил, действующие на зуб и тем самым способствующие скручиванию метчика во время резания. На инструмент, обладающий некоторым моментом инерции, действует момент сил инерции, момент сил сопротивления движению, возникающий за счет внутренних сил трения в инструменте и материале обрабатываемого отверстия, и момент сил сопротивления скручиванию, обусловленный наличием крутильной жесткости инструмента.

Рисунок 1 - Сечение метчика с действующими моментами сил

С другой стороны, в процессе резания на метчик действует момент резания, который и определяет процесс резьбонарезания. Все выше- перечисленные моменты сил представляются с помощью закона Ньютона следующим уравнением равновесия:

, (1)

Уравнение (1) выразим через физические параметры, то есть: момент сил инерции

где - момент инерции метчика от данного зуба до плоскости закрепления; - угловое ускорение данного зуба метчика; момент сопротивления движению

,

где - коэффициент сопротивления движению; - угловая скорость данного зуба метчика; момент сил жесткости

- где - коэффициент жесткости метчика от данного зуба до плоскости закрепления; - угол скручивания метчика на данном зубе. Таким образом, уравнение (1) примет вид

. (2)

Далее, выразим через угол скручивания угловое ускорение и угловую скорость . То есть - есть вторая производная по времени -

;

- первая производная по времени -

и уравнение (2) после преобразование имеет вид

. (3)

Уравнение (3) является неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами.

Для доказательства того, что коэффициенты уравнения (3) являются переменными, рассмотрим рисунок 2. На рисунке 2а изображен метчик в момент врезания зуба №N заборного участка. При этом метчик обладает некоторой жесткостью , обусловленной расстоянием от плоскости закрепления до зуба № N.

Рисунок 2 - Изменение коэффициента жесткости

Но через некоторое время, в силу особенности процесса, метчик проворачивается на некоторый угол и вступает в резание зуб №N+1. В то же самое время плоскость закрепления для зуба №N начинает смещаться, приближаясь к зубу, и скорость этого смещения равна скорости врезания зуба №N+1. После полного врезания зуба №N+1 плоскость закрепления для зуба №N характеризуется расстоянием , равным , где - шаг резьбы, а крутильная жесткость величиной . Математически данный процесс выразится следующей системой:

 (4)

Таким образом, благодаря изменению физических условий, коэффициент дифференциального уравнения - крутильная жесткость _ изменяется во времени. При этом изменяется не только коэффициент жесткости , но и момент инерции , выражающийся подобной системой

(5)

Но коэффициент демпфирования остается постояным, т.к. физические условия для этого коэффициента неизменны.

Рассмотрим правую часть неоднородного дифференциального уравнения. По Матвееву В.В. [2] момент резания можно раскрыть как

, (6)

где - суммарный крутящий момент, необходимый для нарезания резьбы; - крутящий момент, расходуемый на “чистое” резание; - крутящий момент трения боковых сторон профиля метчика о резьбу, возникающий за счет подачи метчика в осевом направлении и действия осевой направляющей от сил резания; - крутящий момент трения стружки о канавки метчика; - крутящий момент трения зубьев метчика о витки резьбы за счет скручивания тела метчика и депланации его поперечных сечений; - крутящий момент трения зубьев метчика о витки резьбы за счет разности радиальных составляющих от сил резания; - крутящий момент трения зубьев метчика о витки резьбы за счет растяжки и сжатия шагов метчика от действия изгибающего момента, приложенного к хвостовику метчика.

Кроме того, за счет скручивания метчика при входе каждого следующего зуба в обрабатываемое отверстие появляется и возрастает дополнительный момент сил резания . Суммарный момент сил трения по мере износа зубьев возрастает, и если его обозначить через , формула для будет следующей:

. (7)

Но т.к. в процессе резания участвует не один зуб, а все рабочие и часть калибрующих зубьев метчика, то для N-го зуба формула (7) примет вид

(8)

Формула (8) и рисунок 3 прекрасно взаимодополняются и объясняются. На рисунке 3 схематично представлен режущий инструмент и моменты сил резания в плоскости N - плоскости зуба, а, кроме того, эпюры этих моментов.

Рисунок 3 - Схема действия моментов сил на зубьях инструмента и эпюра нагрузки

Вышеописанный процесс возникновения и смещения плоскости закрепления представляет каждый из зубьев метчика как своеобразную плоскость закрепления, а так как это плоскость закрепления - она, а значит, и зуб должны испытывать на себе суммарный момент от предыдущих зубьев, что и раскрывается формулой (8), графически представленной эпюрой рисунка 3.

Дифференциальное уравнение (3) выразится следующей формулой:

. (9)

Формула (9) описывает динамику скручивания N - го зуба, в то время как в процессе участвует не один зуб, данная формула не может быть математической моделью процесса нарезания резьбы. Соответственно необходимо задаться условием вхождения в процессе резания N+1 зуба и последующих. Условие это выразим с помощью времени, проходящего между заходом двух соседних зубьев. Время это складывается из времени, потраченного на преодоление расстояния между зубьями при вращении, и времени на преодоление угла скручивания метчика, т.е.

, (10)

где - время для преодоления расстояния между соседними зубьями; - время на преодоление угла скручивания .

Математическая модель процесса нарезания резьб малых диаметров выразится системой

 (11)

Система уравнений (11) дает возможность определить:

в любой момент времени нагрузку на любом из зубьев, участвующих в резании;

угол, на который скручен определенный зуб;

время, потраченное на процесс резания в целом.

В результате была написана программа в математическом пакете Maple 7, моделирующая процесс резьбонарезания. В свою очередь, результатом программы является график изменения угла скручивания метчика от времени, представленный на рис. 4.

Рисунок 4 - Угол скручивания метчика от времени: I - участок врезания и нарезания резьбы в отверстии; II - участок выхода заборного конуса из обрабатываемого отверстия

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Канареев Ф.Н., Резинкина Т.В. Механизм образования погрешностей внутренних резьб малых диаметров (М2 - М6) за счет деформации кручения метчика// Технология машиностроения: проблемы и перспективы. Материалы научно-технической конференции. - Севастополь, 2000. - С. 25 - 28.

Матвеев В.В. Нарезание точных резьб. - М.: Машиностроение, 1978. - 210 с.