Модели в финансовой экономике

7.1. Объекты финансовой эконометрики.

Временные ряды специфических (финансовых) показателей являются объектом исследования одного из самых “древних” направлений эконометрики - финансовой эконометрики, истоки которого лежат в XVI веке. Именно в те годы стали формироваться финансовые рынки и биржи - источники исходной информации для теоретических и прикладных исследований в этой сфере. К финансовым показателям обычно относят курсы акций, облигаций и других ценных бумаг, цены на ресурсы, курсы валют и стоимостные характеристики других товаров, сделок, реализуемых и заключаемых на этих рынках и биржах.

Финансовый рынок является комплексным, многоплановым понятием. Теоретически его можно рассматривать как механизм реализации всевозможных активов по ценам, устанавливающимся на основе соотношения складывающегося на них спроса и их предложения. Часто финансовый рынок подразделяют на рынок ценных бумаг (акции, облигации, производные ценные бумаги, типа форвардных, фьючерсных контрактов, опционы и т.п.) и на рынок внебиржевых ресурсов (банковские услуги, займы, кредиты и т. д.).

По видам и составу сделок, их количеству, числу участников, значимости для экономики страны рынок ценных бумаг занимает ведущее положение. Участниками этого рынка могут быть любые коммерческие организации и частные лица практически без каких-либо ограничений по формам и видам деятельности.

Ценная бумага является особой формой существования капитала, при которой ее владелец обладает не самим капиталом, а правами на него. Ценная бумага может передаваться другому лицу, обращаться на рынке как товар, приносить доход в виде дивидендов на отражаемый ею капитал. По своей форме ценные бумаги выступают в качестве документов, свидетельствующих об инвестировании капитала.

В частности, акция представляет собой долевую ценную бумагу, которая выпускается в целях привлечения капитала, необходимого для осуществления какой-либо предпринимательской деятельности (производства, торговли и т.п.). Она закрепляет за ее держателем (в зависимости от вида акции) право на получение части прибыли акционерной компании в виде дивидендов, на участие в управлении и на часть имущества, остающегося после его ликвидации. Вместе с тем, размер дивидендов не всегда увязан с размером получаемой прибыли. Для обыкновенных акций он устанавливается на основании решения собрания акционеров. Для привилегированных - определяется уставом акционерной компании как фиксированная величина. Таким образом, выплата дивидендов по обыкновенным акциям не гарантируется.

Облигация является ценной бумагой, удостоверяющей отношения займа между ее владельцем (кредитором) и лицом, ее выпустившим (заемщиком). Она, как правило, включает в себя обязательства заемщика по истечению определенного срока вернуть кредитору оговоренную на титуле облигации сумму и выплачивать фиксированный доход (процент от ее номинальной стоимости).

Производные ценные бумаги обычно определяют права на сохранение определенных условий торговой сделки в будущем в связи с возможными изменениями рыночных цен. Эти бумаги как бы страхуют их владельца от возможных чрезмерных потерь с связи с неустойчивой рыночной конъюнктурой. Наиболее распространенными из них являются фьючерсные контракты и опционы. Фьючер представляет собой соглашение о покупке или продаже определенного количества данных товаров по согласованной цене к определенной фьючерсной дате.

Опционы - это контракты между двумя сторонами, которые предоставляют право покупателю (опционы покупателя) или продавцу (опцион продавца) купить или продать соответственно определенное количество товара (ценных бумаг) по согласованной цене на определенный момент времени в будущем, но не налагают на них обязательство исполнять условия заключенного контракта. Например, опцион на покупку золота по 300$ за унцию через 6 месяцев устанавливает право для покупателя приобрести определенное соглашением количество золота по этой цене. Если на момент совершения сделки цена за унцию золота превысит данный рубеж, то покупателю окажется выгодным купить оговоренный объем. Если же цена на золото к этому времени упадет до более низкой отметки, то покупатель вправе не пользоваться опционом и приобрести необходимое ему количество товара непосредственно на рынке. Таким образом, опцион покупателя устанавливает как бы верхний предел цены на интересующий его вид товара.

Соответственно, опцион продавца устанавливает нижний предел цены на реализуемый им товар.

В течение периода между сроками подписания и реализации опционов они сами могут стать объектами торговых сделок. Иными словами, опционы продаются и покупаются на рынке как и другие финансовые активы. При этом, естественно, что опцион покупателя ликвиден, если уровень оговоренной в нем цены ожидается ниже уровня рыночной, а опцион продавца ликвиден, когда уровень его цены выше ожидаемой рыночной цены на данный вид товара. Таким образом, очевидно, что на текущую стоимость опционов влияет целый ряд факторов - оговоренная в нем цена сделки, ожидаемый уровень рыночной цены (ее примерный закон распределения вероятностей), период времени, остающийся до реализации опциона (чем меньше его величина, тем больше вероятность правильного определения рыночной цены на товар) и т.п. В любом случае можно сказать, что цены на опцион подчиняются следующим ограничениям: цена опциона покупателя удовлетворяет соотношению

0, если RS;

У =

RУS , если RS,

а цена опциона продавца - соотношению

0, если S R;

У =

S У R , если S R,

где S - рыночная цена на товар, а R - цена, оговоренная в опционе; У - цена опциона в интервале времени между моментами его заключения и реализации.

На финансовых рынках различают “европейские” и “американские” опционы (заметим, что эти термины не имеют географического содержания). Европейский опцион может быть использован только в день, оговоренный контрактом. Американский опцион может быть реализован в любой день с момента заключения контракта до его окончания.

Здесь следует иметь в виду, что финансовые рынки как бы подразделяются на две категории - первичные и вторичные. На первичном рынке ценные бумаги приобретаются их первыми владельцами - инвесторами. На этом рынке осуществляется эмиссия (выпуск) ценных бумаг, устанавливается их первоначальная цена, оговариваются права инвесторов и т.п. Поскольку каждая ценная бумага характеризует определенное направление вложения капитала, то можно сказать, что основной функцией первичного рынка ценных бумаг является формирование первоначальной межотраслевой структуры вложения капитала путем “производства” специфического товара - ценных бумаг и его первоначального распределения между владельцами=инвесторами. Здесь предполагается, что побудительным мотивом для такой сделки является возможность получения инвесторами прибыли на вложенный капитал.

На вторичном рынке ценных бумаг осуществляется процесс их обращения путем перепродажи новым владельцам. Активными участниками этого рынка становятся спекулянты, стремящиеся получить доход за счет разницы цен на моменты покупки и продажи ценных бумаг (курсовой разницы). Обращение ценных бумаг осуществляется практически непрерывно. Цены на них складываются под влиянием соотношения спроса и предложения, размеры которых в свою очередь формируются под воздействием множества субъективных и объективных факторов. Важнейшим из них является опять же размер ожидаемой прибыли (дивидендов) на средства, вложенные в ценные бумаги.

Экономическое значение вторичного рынка ценных бумаг состоит в перераспределении первоначально сформированной первичным рынком структуры инвестиций. Вторичный рынок не влияет на общий объем инвестиций, но он обеспечивает их перераспределение из предприятий (отраслей), исчерпавших возможности получения высокой прибыли, в предприятия (отрасли) с реальной перспективой эффективного экономического роста.

Кроме того, важнейшей функцией вторичного рынка является обеспечение возможности превращения ценных бумаг в наличные деньги, что предоставляет их держателям экономическую свободу в выборе форм и способов использования накопленного капитала.

Для управления торговлей различными видами товаров и активов сформированы специальные организации, называемые биржами. Наиболее крупные из них расположены в Нью-Йорке, Чикаго, Лондоне, Амстердаме, Гонконге, Монреале, Париже, Токио и ряде других центров мировой торговли. Биржа представляет собой бесприбыльную организацию, деятельность которой финансируется за счет членских взносов и оплаты за предоставляемые услуги, информацию.

Обобщающей характеристикой любой сделки (купли-продажи) на бирже является цена (акции, единицы товара, контракта и т. п.). Финансовая эконометрика как раз и исследует закономерности, складывающиеся во временных рядах таких цен при определенных допущениях, позволяющих приблизить теоретические и прикладные предпосылки ее моделей к реалиям исходной информации. Основными из этих допущений связаны с правилами фиксации цены. Цены на реализуемые активы и товары устанавливаются по результатам сделок и могут меняться по несколько раз за день работы биржи. В целях упрощения анализа, снижения неопределенности в исходных данных и, самое главное, для удовлетворения основного допущения моделей временных рядов о равенстве интервалов между моментами фиксации их значений эти цены в финансовой эконометрике фиксируются на определенный момент работы биржи. Как правило, в качестве такого момента рассматривается время ее закрытия. Вместе с тем, теоретически и практически вместо моментных значений цены возможно использовать и усредненные за некоторый период времени цены по результатам свершившихся сделок, которые тогда должны фиксироваться на момент времени, характеризующий середину периода усреднения.

На основании этих данных можно сформировать временные ряды цен с любым промежутком времени между их значениями, т. е. с дневным, недельным, месячным и т. д. интервалом. Вместе с тем, и в этом случае необходимо ввести некоторые допущения.

Поскольку в выходные дни биржи не работают, то в реальных временных рядах финансовых показателей (в дневных сериях) имеют место пробелы, относящиеся к субботам и воскресениям. С целью соблюдения условия равенства временных интервалов между моментами фиксации соседних рассматриваемых значений зависимой переменной ее уровни в выходные дни можно установить по показателям, имевшим место на пятницу и понедельник. Это несложно сделать путем их “усреднения”. Либо для субботы принять уровень показателя пятницы, а для воскресения - понедельника и т.п.

Аналогичным образом решается проблема заполнения недельных пробелов, если такие возникают из-за перерывов в работе финансовых рынков в праздничные периоды (обычно на рождество).

Многие финансовые рынки функционируют в течение длительного периода времени (несколько лет, а некоторые и столетиями), и поэтому финансовая статистика сформировала достаточно длинные временные серии цен по целому ряду товаров, по соотношениям валют (цен на золото, нефть, на акции крупных компаний и т. п.).

Таким образом, в финансовой эконометрике не возникает особых проблем с формированием исходных данных в отношении зависимой переменной (цены), необходимых для построения описывающей закономерности ее изменения модели. Однако увязать эти изменения с вполне конкретными факторами, которые однозначно количественно могли бы быть выражены, практически невозможно. Более того, часто на финансовых рынках даже установить эти факторы чрезвычайно сложно. Многие из них неформализуемы, имеют разовый характер (смена правительства, начало военных действий обычно вызывают значительные колебания в уровне финансовых показателей).

На финансовые показатели также влияют “слухи”, т.е. неподтвержденная информация, которая также не поддается количественному выражению.

В результате этого модели финансовой эконометрики обычно не используют независимые переменные. Их “правая” часть формируется на основе других предпосылок, важнейшей из которых является предположение о том, что текущие значения рассматриваемого финансового показателя в значительной степени предопределены его предыдущими значениями. Иными словами, закономерности его изменения зависят от “характера”, “свойств” наблюдаемой временной серии.

При этом и выбор показателя для формирования временного ряда, отражающего финансовый процесс, в немалой степени определяет общий вид и свойства описывающей его эконометрической модели. Базовым финансовым показателем, как это уже было отмечено, является цена. Вместе с тем, часто она служит лишь отправной характеристикой для формирования более “подходящих” для моделирования временного ряда производных от нее показателей, динамика которых в некотором смысле обладает более ярко выраженными, более устойчивыми, теоретически нагляднее объяснимыми закономерностями. Рассмотрим некоторые из этих производных показателей более подробно.

Достаточно часто финансовая эконометрика оперирует показателями “дохода”. Обозначим через Y_t установленную на момент t цену товара, акции и любого другого продукта, реализуемого на бирже, и предположим, что за период (t-1, t) его владелец не получит дивидендов. Темп прироста цены за интервал (t-1, t), рассчитываемый как

в научной литературе получил название “простого чистого дохода” (simple net return).

Темп роста цены, определяемый как

называется “простым валовым доходом” (simple gross return).

Легко видеть, что валовый доход за k периодов от момента t-k до t, обозначенный через Q_t(k)=1+R_t(k), рассчитывается как произведение однопериодных доходов

В свою очередь, чистый доход за k периодов определяется как валовый доход за этот интервал времени минус единица, т. е.

Существует по крайней мере две причины, по которым финансовая эконометрика часто отдает предпочтение временным рядам доходов по сравнению с рядами цен. Во-первых, есть основание предполагать, что для инвесторов финансовые рынки представляются достаточно совершенными механизмами, в том смысле, что уровень цен на них не зависит от размера инвестиций. В такой ситуации привлекательность вложений капитала не зависит от вида товара и вследствие этого определяется величиной дохода, а не уровнем его цены.

Во-вторых, свойства временных рядов доходов, как правило, предпочтительнее с точки зрения статистики. Им, например, в большей мере присуща стационарность, чем рядам цен.

Однако, взаимосвязи между однопериодными доходами и доходом за объединенный период, выраженные произведением (7.3), также не очень удобны с точки зрения статистического анализа. В частности, усредненный за k периодов доход в этом случае рассчитывается как среднегеометрическое значение.

Вместе с тем, математическая статистика и эконометрика в большей степени оперирует среднеарифметическими показателями. Такую возможность представляет использование логарифмов доходов, которые называют “непрерывно составными доходами” (continuously compounded returns). Обозначим логарифмический доход в момент t через q_t=ln(1+R_t)=ln Q_t. Легко видеть, что между его уровнем q_t и исходными ценами существует достаточно простая взаимосвязь, выражаемая следующим соотношением

где у_t = ln Y_t.

Преимущества показателя q_t перед Q_t становятся очевидными при рассмотрении логарифмического дохода за k периодов.

Однако и логарифмические доходы имеют свои недостатки. Они неудобны при анализе финансовых “портфелей”, представляющих собой взвешенную (в долях) сумму различных активов (акций, инвестиций и т.п.).

Если i-я позиция такого портфеля имеет вес (долю) _i , тогда чистый доход от портфеля определяется как взвешенная сумма доходов различных активов

В то же время логарифмические доходы не представляют такой возможности для расчета логарифмического дохода портфеля, поскольку логарифмирование выражения (7.7) не приводит к взвешенной сумме логарифмов.

Между простыми и логарифмическими доходами существуют не только функциональные взаимосвязи типа (7.5), но и взаимосвязи между законами их распределений^** Напомним, что в соответствии с обычными для эконометрики предположениями значения Y_t, q_t, R_t, Q_t; t=1,2, ... рассматриваются как реализации соответствующих случайных процессов, и для каждого момента времени эти значения рассматриваются как случайные величины.. В частности, статистические исследования реальных временных рядов цен также показали, что для логарифмических доходов достаточно правдоподобным является предположение о “нормальности” их распределения в каждый момент времени t, т. е.

где и _q² - математическое ожидание и дисперсия распределения.

Это, в свою очередь, значительно упрощает процедуры анализа закономерностей распределения простых доходов, которые в этом случае имеют логарифмически нормальное распределение с параметрами

В свою очередь, при условии “нормальности” закона распределения простого дохода с математическим ожиданием т и дисперсией _R² из (7.9) и (7.10) следует, что соответствующие показатели для логарифмического дохода определяются следующими выражениями

Заметим, что, кроме предположения о “нормальности” распределения логарифмических доходов, финансовая эконометрика часто использует допущение о том, что многие переменные, являющиеся производными от основных финансовых показателей, оказываются распределенными по законам, относящимся к семейству распределений, называемому “классом стабильных распределений”. Более того, нормальное распределение также относится к этому классу. Характерная особенность класса стабильных распределений состоит в том, что сумма случайных величин, распределенных по какому-либо стабильному распределению, также распределена по этому же закону. Стабильные распределения, как правило, отличаются от нормального более медленным приближением к оси ординат их плотностей распределений. Иными словами, на их “хвостах” накапливается вероятность более значительная, чем на “хвостах” нормальных распределений с теми же параметрами.

Примером класса стабильных распределений является подкласс Гауссовых распределений. Функция плотности вероятностей для этого подкласса определяется формулой

где - математическое ожидание; - среднеквадратическое отклонение.

При =0 и =1 выражение (7.13) определяет стандартизованное Гауссово распределение.

Установить, что случайная величина х_t распределена, например, по Гауссову, а не по нормальному закону достаточно просто. На это указывает значение эксцесса (коэффициента эксцесса), которое свидетельствует о мере “размытости” распределения по оси ординат. Напомним, что на практике эксцесс рассчитывается согласно следующему выражению:

где - математическое ожидание и _х - среднеквадратическое отклонение величины х_t.

Известно, что у “нормального” распределения случайной величины К3. Большая “размытость “ Гауссова распределения приводит и к большему значению эксцесса, т. е. для Гауссова распределения с теми же параметрами, что и нормальное эксцесс больше, чем 3 (К3).

Вследствие этого коэффициент эксцесса, как и другие моменты высоких порядков, достаточно часто применяются при обосновании и построении относительно широкого класса моделей финансовой эконометрики. Здесь следует отметить, что модели финансовой эконометрики, описывающие динамические ряды финансовых показателей, разделяются на несколько классов в зависимости от тех свойств, которые присущи рассматриваемым процессам. В частности, рассмотренный в главе VI комплекс моделей авторегрессии-скользящего среднего (АРСС(k, т)) нашел широкое применение в исследованиях финансовых временных рядов, обладающих свойствами, характерными для стационарных процессов 2-го порядка. Вследствие этого, материал главы VI без каких-либо ограничений может быть использован и в сфере финансового анализа.

Однако многие реальные финансовые процессы обладают другими, отличными от “слабой” стационарности свойствами. В их отношении финансовая теория выдвигает соответственно и специфические для них предположения, гипотезы, которые легли в основу классов моделей финансовой эконометрики, отличных от моделей АРСС. Некоторые из этих гипотез рассматриваются в следующем разделе.

7.2. У финансовой эконометрики есть гипотезы.

Различные классы моделей финансовой эконометрики базируются на тех или иных предположениях относительно корреляционных взаимосвязей, характерных для наблюдаемого временного ряда определенного финансового показателя, в качестве которого могут выступать непосредственно цены, доходы (чистые, валовые, логарифмические), а также их приросты, ошибки моделей и некоторые другие характеристики. Примером этих характеристик могут являться также и функциональные преобразования финансовых показателей, например, линейные и степенные функции от них.

Значительная часть таких взаимосвязей может быть определена общим выражением, означающим отсутствие автоковариационных связей между временными рядами, образованными различными функциональными преобразованиями рассматриваемого финансового показателя, следующего вида:

Cov(f(z_t), g(z_t-k))=0, k=1, 2,... (7.15)

В выражении (7.15) в качестве аргумента z функций f и g выступает одна из перечисленных выше характеристик финансового показателя (цена, какая-либо из ее производных, функция от цены или ее производной и т. п.), рассматриваемая в моменты t и t-k соответственно.

Выражение (7.15) часто называют ортогональным условием. Различные сочетания входящих в него функций соответствуют вполне определенным предпосылкам относительно характера взаимосвязей во временном ряду финансового показателя (исходные гипотезы), которые и кладутся в основу описывающей этот ряд модели. Рассмотрим некоторые из наиболее известных предпосылок более подробно.

Одна из самых “старых” гипотез относительно взаимосвязей во временном ряду цен, лежащая в основе так называемой “мартингальной модели” (martingale model)^** Ее основные положения вытекают из результатов работы Liber de Ludo Aleae (The Book of Games of Chance), опубликованной в 1565 г. итальянским математиком Джироламо Кардано., предполагает отсутствие автокорреляционных взаимосвязей между приростом цен при любых сдвигах.

Случайный процесс Y_t, t=1,2,..., характеризующий динамику цены в этом случае удовлетворяет следующему условию:

M[Y_t+1/Y_t, Y_t-₁,...]=Y_t, (7.16)

которое эквивалентно соответствующему условию для приростов цен

M[Y_t+1-Y_t /Y_t, Y_t-₁,...]=0. (7.17)

Выражения (7.16) и (7.17) свидетельствуют о том, что условное математическое ожидание цены в момент t+1 при известных ее значениях в периоды времени t, t-1, t-2,... равно ее значению в момент t, которое , в свою очередь, предопределено предшествующей динамикой этой цены или, что эквивалентно, условное математическое ожидание прироста цены за интервал (t, t+1) при известной ее предыстории равно нулю и, таким образом, прирост цены не зависит от предшествующих уровней цен. Последнее допущение также означает, что любые (по величине лага) непересекающиеся во времени приросты цен некоррелированы между собой, что предопределяет невозможность их предсказания с помощью линейных моделей временных рядов, рассмотренных в главе VI. Таким образом, “лучший прогноз” цены на дату t+1- это ее уровень на дату t.

Условия (7.16) и (7.17) удовлетворяют предпосылкам так называемого “эффективного рынка”, одна из важнейших среди которых свидетельствует о том, что текущая цена полностью предопределена информацией, содержащейся в ценах предыдущих периодов и не существует никакой другой информации, поступившей в период (t, t+1), эксклюзивное владение которой позволяет участникам торговых сделок извлечь дополнительную прибыль. Следовательно, условное математическое ожидание прироста цены на ее предшествующие значения не может быть ни положительным, ни отрицательным, а “обязано” быть равным нулю, и изменения цены являются абсолютно случайными и непредсказуемыми.

С точки зрения “ортогонального” условия (7.15) предпосылки мартингальной модели означают, что функция f является линейной с аргументом, выражающим прирост цен в текущем периоде, а функция g может быть любой по отношению к этому аргументу, рассматриваемому в предшествующие периоды. Кроме линейной функции прироста в качестве g может рассматриваться, например, любая степенная функция от этого аргумента, т. е. g(y_t-k²), g(y_t-k³),... , k=1, 2,... .

Достаточно широкий класс моделей финансовой эконометрики базируется на предположении о том, что приросты цен эквивалентны случайному процессу по своим свойствам близкому к “белому шуму”. Это предположением отражает сущность так называемой “гипотезы случайного блуждания” (ГСБ). В научной литературе описаны три версии этой гипотезы, которые отличаются друг от друга содержанием, вкладываемым в понятие “белого шума”.

Согласно первой версии этой гипотезы - ГСБ-1, разработанной еще в начале ХХ века^** 1.Bachelier I., 1900; “Theory of Speculation” in Cootner,P.(ed). The Random Character of Stock Market Prices, pp.17-78, Massachusetts Institute of Technology Press, Cambrige, MA, 1964, Reprint.

2.Einstein, А. 1905. “ber die von der molekular-kinetischen Theorie der Wrme geforderte Bewegung von der in ruhenden Flssigkeiten suspendierten Teilchen”, Annalen der Physik, 17; 549-560., случайные приросты финансового показателя (цены) и любые их функциональные преобразования независимы и удовлетворяют условию стационарности или иначе имеют идентичные условные распределения на уровни цен в прошедшие моменты времени. Таким образом, ГСБ-1 утверждает, что динамика приростов цены по своим свойствам соответствует процессу “строгого белого шума”. Как правило, закон распределения приростов предполагается нормальным N(0, ²), в специальных случаях - стабильным^*** ГСБ-1 с распределениями приростов, отличными от нормального, рассмотрена в работе Fama,E.F.(1965) “The behaviour of stock market prices”, Journal of Business, 38, pp.34-105.^*.

С точки зрения выражения (7.15) это означает, что в качестве f(z_t) и g(z_t-k) могут рассматриваться как линейные, так и степенные функции от приростов z (например, квадраты и более высокие степени).

Вместе с тем, результаты анализа динамики многих финансовых показателей, зафиксированных на мировых рынках, свидетельствуют, что продекларованное ГСБ-1 предположение об идентичности закона распределения их приростов часто не подтверждается, особенно на продолжительных (свыше года) периодах наблюдения. В значительной степени это относится к параметрам их закона распределения (обычно к дисперсии), хотя вид этого закона может и не изменяться. Например, дисперсия не удовлетворяет условию гомоскедастичности и меняется во времени.

Процесс с независимыми, но неодинаково распределенными (имеются в виду условные распределения на уровни цены в прошлом) приращениями, вообще говоря, не относится к разряду процессов “белого шума”, поскольку в данном случае он не является стационарным (точнее, не удовлетворяет условиям стационарности 2-го порядка). Вместе с тем , отказ от идентичности закона распределения приростов является логичным развитием ГСБ-1, “смягчающим” ее достаточно строгие ограничения в отношении свойств приростов цены.

Предположение о независимости приростов цены и неидентичности их условных распределений выражает сущность второй версии ГСБ - ГСБ-2. Таким образом, ГСБ-2, как ГСБ-1, предполагает, что как сами приросты, так и любые их функции независимы между собой. С точки зрения (7.15) это означает, что функции f(z_t ) и g(z_t-k ) также не ограничены по форме. Они могут быть как линейными, так и степенными. ГСБ-2 была обоснована уже во второй половине ХХ века^** Granger,C.W.J. and O. Morgenstern (1970). Predictability of Stock market Prices (Heath, Lexington, Massachusetts). .

Смягчение условия полной независимости процесса приращений цен приводит к третьей версии ГСБ - ГСБ-3, согласно которой автокорреляционные связи между приростами отсутствуют, однако автокорреляция между их степенями может иметь место. Например, Cov(z_t²), g(z_t-k²))0, для некоторых сдвигов k0. Таким образом, с точки зрения выражения (7.15), функции f(z_t) и g(z_t-k ) являются по форме линейными от приростов z.

Формально, если при этом _z²=const, то такой процесс остается стационарным. Его свойства эквивалентны свойствам “слабого белого шума” - стационарного процесса с независимыми значениями. Такой процесс можно рассматривать как частный случай стационарного процесса второго порядка с нулевыми автокорреляциями.

Один из вариантов модели, соответствующей любой из рассмотренных версий ГСБ, может быть записан в следующем виде:

где m - ожидаемое постоянное изменение цены в период (t-1, t)^*** В более общем случае m=m_t и m_t =f(a, z) - детерминированная составляющая процесса изменения цены, выраженная уравнением с коэффициентами a и аргументами, заданными вектором z.^*, t=1, 2,...; _t - случайный прирост цены в интервале (t-1, t), свойства которого удовлетворяют одной из версий ГСБ. С целью сохранения преемственности в терминологии, по-прежнему, _t будем называть ошибкой. Обычно при всех версиях ГСБ предполагается, что _tN(0, ²), либо она распределена по стабильному закону с нулевым средним.

Для ГСБ-1 ²=const, для ГСБ-2 ²=_t², что означает изменчивость дисперсии во времени, но в то же время ряды _t², _t-1², _t-2²,... являются статистически независимыми. При ГСБ-3 в отношении ² могут быть выдвинуты различные предположения.

Рассмотрим некоторые общие закономерности динамики цены, вытекающие из выражения (7.18).

Подставляя в (7.18) последовательно значения t=1,2,... получим следующую последовательность значений цен:

В силу независимости ошибок ₀, ₁, ₂,... и равенства нулю их математического ожидания из последовательности (7.19) непосредственно вытекает, что при m условное математическое ожидание цены в момент Т на ее значение Y₀, зафиксированное в момент t=0, является линейной функцией от времени

M[Y_Т/Y₀]=Y₀+mТ. (7.20)

Аналогично, в силу независимости ошибок _t, t=1, 2,...; несложно показать, что условная дисперсия цены Y_T на ее значение Y₀ определяется как сумма квадратов ошибки .

D(Y_Т/Y₀)=M[Y_t -M(Y_t /Y₀)]²=M[ ₀+ ₁+... _Т-1 ]²=

^**Напомним, что в силу независимости _t-i и _t-j, ij, i, j=1,2, M[_t-i,_t-j]=0. . (7.21)

Для ГСБ-1, в частности, из выражения (7.21) вытекает, что в силу равенства M[₀²]=M[₁²]=...=², условная дисперсия D(Y_Т/Y₀) с ростом t также растет во времени согласно линейному закону

D(Y_Т/Y₀)=²Т. (7.22)

В случае ГСБ-2 правая часть выражения (7.22) примет вид

Из выражений (7.20)-(7.22), в частности, вытекает, что при =0 условное математическое ожидание M[Y_t/Y₀] =const, а условная дисперсия, как и в общем случае, увеличивается согласно линейной зависимости.

Неограниченность роста условной дисперсии (7.21) в общем случае противоречит очевидному условию неотрицательности цены в любой момент времени, т. е. Y_t, t=1, 2,... С целью избежания этого противоречия, там, где оно может иметь место, модели финансовой эконометрики “работают” или с логарифмами цены y_t=lnY_t, или с логарифмами доходов

В этих случаях аналогами модели (7.18) являются следующие выражения соответственно:

где показатели и _t имеют то же статистическое содержание, что и показатели m и _t в модели (7.18), т. е. являются математическим ожиданием и ошибкой соответственно. Знание специфических свойств процесса изменения финансового показателя позволяет подобрать (построить) адекватную его закономерностям математическую модель, которая более точно описывает исходный ряд Y_t, а, следовательно, и обладает лучшими предсказательными способностями в отношении его будущих значений Y_t+1, Y_t+2,... по сравнению с другими вариантами моделей. Выявление этих свойств прежде всего предполагает умение соотносить свойства рассматриваемого процесса с какой-либо из версий ГСБ. Решение этой непростой проблемы обычно осуществляется с помощью специальных тестов, которым подвергается исходный ряд цен Y_t, t=0, 1, ... или какие-либо его производные характеристики (доходы, логарифмы цен, их приросты и т. п.).

7.3. Финансовый процесс: тестирование.

Для выявления соответствия свойств реального финансового процесса какой-либо из версий гипотезы случайного блуждания, каждая из которых в свою очередь характеризуется специфической формой ортогонального условия (7.15), обычно применяются специальные тесты. Поскольку финансовые процессы являются временными рядами, то в целом, группировка таких тестов аналогична группировке, рассмотренной в главе VI. Иными словами, все множество тестов разделяется на три группы: параметрические, полупараметрические и непараметрические. Более того, многие из рассмотренных в главе VI тестов могут быть использованы и в анализе финансовых процессов, разумеется с учетом их особенностей. Основными из них являются большая продолжительность временного ряда, что позволяет использовать асимптотические оценки; не обязательно нормальное распределение приростов (ошибки), что сужает возможности применения параметрических тестов.

Как и для временных рядов в целом при тестировании финансовых процессов достаточно широкое распространение получили непараметрические тесты, основанные на анализе закономерностей формирования серий последовательных значений финансовых показателей с одинаковым знаком и частот смены знаков у этих серий. Вместе с тем, в отличие тестов временных рядов, рассмотренных в главе VI, которые были ориентированы на выявление свойств случайности, стационарности, непараметрические тесты финансовых процессов нацелены на проверку более жесткого ортогонального условия (7.15), предполагающего отсутствие во временном ряду финансового показателя или в ряду его функциональных преобразований автокорреляционных связей.

Один из базовых непараметрических тестов, разработанный еще в 1937 г. Коулсом и Джонсом^** Cowles , A., Jones, H. “Some A Posteriori Probabilities in Stok Market Action”. Econometrica, 5, 1937.pp.280-294. для проверки ГСБ-1, анализирует закономерности формирования возрастающих и убывающих по величине последовательных значений временного ряда и смены направления этих изменений. Данный тест не достаточно сильный. Более того, он в основном ориентирован на выявление автокорреляционных связей во временном ряду самого финансового показателя и, вследствие этого, даже в большей степени подходит для проверки других версий ГСБ - ГСБ-2 и ГСБ-3. Вместе с тем, его идеи оказались достаточно плодотворными и на их основе было развито целое направление тестирования ГСБ-1.

Дадим описание этого теста на примере модификации модели (7.23), оперирующей с логарифмами цен

где y_t=lnY_t; Y_t - уровень цены актива в момент t, и математическое ожидание его прироста равно нулю, =0. Тогда ошибку модели (7.25) можно представить как разность последовательных значений показателя y

Значения _t являются случайными величинами с нулевым математическим ожиданием. Они могут быть как положительными, так и отрицательными (включим в последнее множество и нулевые значения ошибки). Обозначим через I_t случайную переменную, принимающую только значения 0 или 1 при следующих условиях:

 I_t =

Тест Коулса-Джонса основан на сопоставлении числа пар значений _t, _t+1 с одинаковыми (положительными или отрицательными) знаками с количеством смен знаков во временном ряду _t . С этой целью с использованием соседних значений I_t и I_t+1 сформируем величину А_t согласно следующему выражению:

А_t=I_t I_t+1+(1- I_t)(1- I_t+1). (7.28)

Несложно убедиться, что на каждой паре I_t и I_t+1 А_t принимает значение либо 0 (если I_t и I_t+1 имеют разные значения), либо 1 (если значения I_t и I_t+1 совпадают). Тогда для любой последовательности _t, t=0,1,2,..., Т, число N_S, рассчитанное как

представляет собой количество пар значений ошибки _t и _t+1, имеющих одинаковый знак, а число N_r , определяемое как

N_r = T - N_S - (7.30)

количество смен знаков у ошибки.

Если ГСБ справедлива, то при =0 и дополнительном предположении о симметричности распределения ошибки, числа N_S и N_r должны быть приблизительно равными, а, следовательно, и их отношение

будет достаточно близким к единице. При достаточно больших значениях Т этот вывод является следствием теоремы Чебышева, вытекающим из представления (7.31) в виде отношения частот _S=N_S/Т и _r=N_r/Т, _S=1-_r, которые при Т определяют вероятности последовательностей _t и _t+1 с одинаковым знаком и смены знаков у этих значений ошибки соответственно

где символ “” означает сходимость в вероятностном смысле случайной величины SR к ее математическому ожиданию, в данном случае равному единице.

Заметим, что N_S является случайной переменной, сформированной как сумма Т случайных величин А_t, распределенных по закону Бернулли на множестве 1 и 0. Закон распределения А_t с ростом Т приближается к нормальному. Причем, поскольку для ошибки, определенной по формуле (7.26), имеем р(_t)=р(_t)=1/2, то из выражения (7.28) непосредственно вытекает, что

Из этого факта следует, что математическое ожидание величин N_S и N_r равно

а их дисперсия -



Можно показать, (см. приложение 3 к главе VII), что в этом случае с увеличением Т закон распределения отношения SR=N_S/N_r также является нормальным с математическим ожиданием, стремящимся к единице, и дисперсией отношения D(N_S/N_r), асимптотически приближающейся к следующей величине:

Таким образом, проверка ГСБ с использованием теста Коулса-Джонса при небольших значениях Т состоит в установлении факта принадлежности расчетного значения N_S /N_r следующему интервалу:

где _* (р_*, Т-1) - табличное значение критерия Стьюдента, соответствующее уровню доверительной вероятности р_* и числу степеней свободы Т-1.

При Т для этих же целей целесообразно использовать стандартизованное нормальное распределение, согласно которому ГСБ принимается, если выполняется следующее соотношение:

где пределы х₁ и х₂ находятся из равенства

р_*=

(см. выражение (6.32)).

Если соотношение (7.37) выполняется, то временной ряд у_t удовлетворяет ГСБ с вероятностью р_* .

Рассмотренный тест может быть усовершенствован и на более общий вариант модели (7.23), который, напомним, записывается в следующем виде:

где 0; _t - значение случайной ошибки, распределенной по нормальному закону, _t N(0, ²) .

В этом случае, поскольку 0, то случайная величина I_t, определенная согласно выражению, аналогичному (7.27), имеет другое соотношение вероятностей:

I_t =

где y_t=y_t-y_t-1=+_t.

Очевидно, если 0, то 1/2, а при 0, 1/2 .

В любом из этих случаев из выражения (7.28) вытекает, что вероятность _S оказывается равной

а вероятность _r определяется следующей величиной:

Тогда, очевидно, что соотношение этих двух вероятностей окажется больше единицы

Математическое ожидание случайной переменной N_S, как и в предыдущем случае определяется согласно распределению Бернулли, т. е. М[N_S ]=_S Т. Однако при определении дисперсии этой случайной величины следует учитывать, что в каждой паре переменные А_t и А_t+1 зависимы между собой. В этом случае значение определяется следующим выражением

где ковариация двух последовательных случайных величин А_t и А_t+1 рассчитывается согласно следующей формуле (см. приложение 1 к главе VII):

Коулс и Джонс показали, что случайная переменная SR из выражения (7.42) при больших значениях Т распределена приблизительно по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией, определяемыми следующими выражениями соответственно (см. приложение 3 к главе VII):

Заметим, что в тех случаях, когда в модели (7.38) постоянная составляющая прироста равна нулю, т. е. =0, параметры распределения случайной величины SR, определенные выражением (7.45), равны 1 и 4/Т соответственно (см. выражение (7.36)).

С учетом выражения (7.45) тест Коулса-Джонса для проверки ГСБ состоит в следующем. Для модели (7.23) на основании временного ряда значений у_t, t=1,2,...,Т, представляющих собой логарифм цены актива Y_t, т. е. y_t=lnY_t, определяются: а) постоянная составляющая прироста и б) временной ряд ошибки _t. Заметим, что является средним приростом значений у_t, т. е.

В предположении, что ряд ошибки _t распределен по нормальному закону с нулевым средним и дисперсией ²=², т. е. _tN(0,²) можно оценить вероятность события I_t =1, т. е. значение , согласно следующему выражению:

=р(_t 0)=

где f(х) - плотность стандартизованного нормального распределения и (/)- табличное значение интеграла вероятностей.

Подставив найденное значение в выражение (7.45) непосредственно получим теоретические значения параметров распределения отношения SR. Если его расчетная (эмпирическая) величина, определяемая как , где и A_t определено выражением (7.28), и I_t - выражением (7.27), удовлетворяет соотношению

то ГСБ принимается с вероятностью р_* , где (р_* , Т-1)- табличное значение критерия Стьюдента, соответствующее доверительной вероятности р_* и числу степеней свободы Т-1 ; (SR) определяется как корень из дисперсии , в свою очередь, рассчитанной согласно (7.45).

В научной литературе описано целое семейство тестов ГСБ, основанных на прямых методах выявления корреляционных связей при различных лагах, как в самих временных последовательностях, так и во временных рядах функциональных преобразований их значений. Такие тесты, например, предполагают оценку значимости коэффициентов автокорреляции временных последовательностей логарифмов цен y_t=lnY_t, ошибок _t в моделях типа (7.23) и других в предположении, что случайная величина, представляющая собой коэффициент автокорреляции i-го порядка, i=1, 2,... k, при больших значениях Т распределена по стандартизованному закону нормального распределения, т. е. r_i , где D(r_i ) (см. главу VI, выражения (6.25), (6.26)...). Тогда переменная распределена по стандартизованному нормальному закону с нулевым средним и единичной дисперсией . В этом случае тест заключается в проверке значимости первых k коэффициентов автокорреляции. Если в ходе тестирования подтверждается их незначимость, то ГСБ принимается.

Для этих же целей может быть использован совокупный критерий согласия Бокса-Пирса (см. выражение (6.116), глава VI). Напомним, что случайная величина Q_k , рассчитываемая как

при больших Т распределена по закону ²(k). В соответствии с этим гипотеза об отсутствии автокорреляции в рассматриваемом временном ряду принимается, если выполняется следующее соотношение

Q_k ²(p_* , k). (7.50)

Заметим, что при небольших значениях Т величину критерия Q_k рекомендуется определять согласно следующей формуле:

Учет некоторых других свойств временного ряда финансового показателя, соответствующих ГСБ, наряду с отсутствием автокорреляционных связей позволило сконструировать несколько более эффективные тесты проверки ГСБ по сравнению с “чисто автокорреляционными” тестами. Одним из основных среди этих свойств является линейная зависимость условной дисперсии временного ряда от времени (см. выражение (7.22)). Как уже отмечалось, это свойство в большей степени характерно для ГСБ-1. Однако и в случае других версий ГСБ характерно, что дисперсия суммы значений временного ряда равна сумме дисперсий каждого из них (см. выражение (7.21)).

В такой ситуации можно ожидать, что в условиях справедливости предположений ГСБ дисперсия суммы двух последовательных значений временно ряда q_t и q_t-₁ будет приблизительно равна удвоенной дисперсии значения q_t (см. выражение (7.5)). Напомним, что поскольку