Моделирование и взаимодействие дислокаций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

1. РАЗВИТИЕ СОВРЕМЕННЫХ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ДИСЛОКАЦИЙ И ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИОННОГО УПРОЧНЕНИЯ

1.1 Первые модели и предпосылки к построению целостных моделей

1.1.1 МОДЕЛЬ БЕККЕРА

1.1.2 РАБОТЫ ОРОВАНА

1.2Фундаментальные теории

1.2.1 ТЕОРИЯ ТЕЙЛОРА

1.2.2 ТЕОРИЯ БРАТЬЕВ БЮРГЕРСОВ

1.2.3 ТЕОРИЯ МОТА

1.2.4 ТЕОРИЯ ЗЕГЕРА

2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДИСЛОКАЦИЙ

2.1 Две одноименные краевые дислокации в параллельных плоскостях скольжения

2.2 Дислокационный диполь

2.3 Аннигиляция дислокаций

2.4 Скопление дислокаций.

3. НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ДИСЛОКАЦИИ

4. САМОДЕЙСТВИЕ ДИСЛОКАЦИЙ И МЕТОДЫ ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЯ

5. МЕТОДИКА НАХОЖДЕНИЯ РАВНОВЕСНЫХ ДИСЛОКАЦИОННЫХ ФОРМ

Выводы

Литература

Введение

Взаимодействие дислокаций является одним из источников деформационного упрочнения. Поэтому анализу процессов взаимодействия дислокаций уделяется большое внимание. Иногда исследование различных эффектов деформационного упрочнения проводится в рамках модели жестких прямолинейных дислокаций. В этом случае все трудности расчетов в основном оказываются связанными с возможностью описания поведения большого ансамбля дислокаций. Однако дислокации в кристаллах не представляют собой жестких образований, а обладают гибкостью, вследствие чего форма дислокаций при их перемещении в кристалле непрерывно эволюционирует. Это свойство дислокаций существенно осложняет рассмотрение соответствующих моделей. Возникает ряд специфических вопросов, касающихся как физических аспектов постановки указанных задач, которые требуют специального анализа.

1. РАЗВИТИЕ СОВРЕМЕННЫХ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ДИСЛОКАЦИЙ И ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИОННОГО УПРОЧНЕНИЯ

1.1 Первые модели и предпосылки к построению целостных моделей

1.1.1 МОДЕЛЬ БЕККЕРА

Одна из первых попыток построения последовательной теории взаимодействия дислокаций (не смотря на то, что в этой работе эти понятия не вводились) и установления количественных закономерностей, управляющих этим явлением, принадлежит Беккеру. Способность твёрдых тел к пластическому деформированию с точки зрения Беккера может быть объяснена лишь при учёте теплового Движения частиц твёрдого тела. Беккер раз тачает два типа пластичности; «аморфный» тип и «кристаллический». Он отмечает, что за первую разновидность пластичности, наблюдаемую у аморфных тел, ответственны перемещения отдельных атомов или молекул -- обмен их местами. Никаких более подробных представлений о механизме этого явления в работах-Беккера не содержится.

«Аморфная» пластичность Беккера представляет собой, не что иное, как обычное вязкое течение. Беккер отмечает, что, хотя явление обмена местами отдельных атомов имеет место также и в кристаллических телах, не оно, однако, определяет пластические свойства этих тел [7].

За «кристаллическую» пластичность Беккер считает ответственными также спонтанные флуктуации энергии, сопровождающие тепловые колебания частиц кристаллической решётки. В отличие от случая «аморфной» пластичности пластичность кристаллических тел согласно Беккеру определяется флуктуационными явлениями, охватывающими уже не отдельные атомы, но целые участки кристалла, содержащие достаточно большое число атомов и расположенные в области плоскостей скольжения. Беккер полагает, что в идеально правильной кристаллической решётке при температуре абсолютного нуля скольжение в некотором определённом кристаллографическом направлении не может иметь места до тех пор, пока компонента приложенного извне усилия, взятая в этом направлении, не достигнет величины теоретического предела упругости у0. В том случае, когда напряжение у0 достигнуто, скольжение становится возможным. Однако, по мнению Беккера оно неизбежно должно при этом привести к полному разделению материала вдоль плоскости скольжения: «при температуре абсолютного нуля мы не можем представить себе медленного скольжения вдоль данной плоскости, не сопровождающегося разрывом». При температурах, отличных от нуля, скольжение в данной кристаллографической плоскости становится возможным также и при значениях внешнего усилия, лежащих значитепьно ниже теоретической величины предела упругости у0.

Одним из главных недостатков этих работ является, то обстоятельство, что пластическая деформация и взаимодействие дислокаций оказывается при этом отнесённой к категории чисто термических явлений. Между тем, хорошо известно, что в случае кристаллических тел пластическое течение наблюдается даже в области температур, близких к абсолютному нулю, когда тепловые флуктуации не могут играть сколько-нибудь существенной роли.

Одним из весьма существенных недостатков рассматриваемой теории является также и то обстоятельство, что при количественном её оформлении автор совершенно игнорирует упрочнение, не наблюдающееся, правда, при остаточной деформации аморфных тел, но представляющее собой одну из специфических особенностей пластической деформации кристаллов.

Основной заслугой работ Беккера принято иногда считать то обстоятельство, что в них впервые якобы объяснено расхождение между теоретическим и практическим значениями предела упругости.

1.1.2 РАБОТЫ ОРОВАНА

Орован дополняет и совершенствует теорию Беккера. В одной из первых своих работ он использует основное соотношение теории Беккера, определяющее зависимость скорости пластического течения от температуры, для нахождения температурной зависимости практического предела упругости. Мы уже отмечали выше, что согласно модели Беккера скорость пластической деформации w оказывается отличной от нуля при любых сколь угодно малых значениях напряжения у. Доступной экспериментальному наблюдению она становится, однако, лишь начиная с некоторого определённого минимального значения у.

Орован вводит, в связи с этим, понятие практического предела упругости, понимая под ним то наименьшее значение действующего в плоскости скольжения скалывающего напряжения уmin, начиная с которого скорость пластического течения w становится возможной к измерению.

Сопоставляя дополнения Орована к работам Бгккера с теорией Беккера в её исходной форме, следует отметить, что принципиально новым является по существу только одно из них -- учёт перенапряжений, связанных с наличием дефектов кристаллической решётки. По мысли Орована эти перенапряжения должны играть значительно более существенную роль, нежели чисто термические флуктуации напряжения. Если представления, развитые Беккером, могут быть отнесены как к идеальным, так и к реальным кристаллам, то, по Оровану, пластические свойства кристалла должны быть выражены тем резче, чем больше в нём содержится различного рода дефектов. Это заключение, как известно, с опытными данными не согласуется. Что же касается представлений Орована о большом численном значении теоретического предела упругости у0, то оно представляется совершенно необоснованным. Предел упругости кристаллического материала никогда никем теоретически рассчитан не был. Предел упругости не должен, между тем, иметь ничего общего с пределом прочности, так как механизм разрыва и механизм скольжения кристаллов существенно отличны друг от друга [7].

1.2 Фундаментальные теории

1.2.1 ТЕОРИЯ ТЕЙЛОРА

Большинство современных теорий пластичности представляет собой дальнейшее развитие взглядов Тейлора.

Теория Тейлора -- первая из теорий пластической деформации, оперирующая с определённой моделью кристаллической решётки. В качестве такой модели она рассматривает плоскую атомную сетку, образуемую линейными цепочками равноотстоящих атомов одного и того же сорта. Основываясь на экспериментальных данных, Тейлор отмечает, что в кристаллической решётке пластическая деформация может осуществляться лишь в строго определённых кристаллографических плоскостях и направлениях. В рассмотрение причин кристаллографической направленности процесса сдвигообразования он при этом, однако, не вдаётся. До работ Тейлора обычно считалось, что пластическая деформация кристаллов осуществляется путём смешения части кристалла, целиком, относительно другой его части; смещение это предполагалось происходящим одновременно по всей плоскости скольжения. Обсуждая вопрос о возможном характере распространения пластической деформации, Тейлор приходит, однако, к заключению, что «скочьжение не захватывает всех атомов, распочоженных в плоскости скольжения, одновременно, но происходит в ограниченной области, которая перемещается через кристалл за конечный промежуток времени».

Он отмечает, что для осуществления одновременного скольжения вдоль всей плоскости к кристаллу потребовалось бы приложить чрезвычайно большие внешние усилия, а также что при этих, условиях не представилось бы возможным объяснить явление, упрочнения на сдвиг. При рассмотрении вопроса о механизме распространения пластической деформации Тейлор с первых же строк пользуется термином «дислокации». Не вдаваясь в пояснения, он приводит при этом схему расположения; атомов в кристаллической решётке: а) до начала сдвига, б) для некоторой промежуточной стадии его распространения, и с) по его окончании (Рис. 1).

Рис.1

Из этой схемы следует, что до сдвига атомы были расположены совершенно правильным образом и при распространении сдвига в плоскости скольжения можно было наблюдать разрежение атомов, а по окончании сдвига- верхняя часть кристалла оказалась смещённой на постоянную решётки по отношению к нижней части кристалла.

Это и означает по Тейлору, что через кристалл прошла дислокация.

Необходимо отметить, что понятие дислокации относится, не к одной только плоскости, в которой осуществляется скольжение, но к целой области, расположенной вблизи этой плоскости и охватывающей слои атомов, лежащие выше и ниже неё.

Тейлор различает «положительную» дислокацию, при которой цепочки атомов, лежащие выше плоскости скольжения, оказываются сжатыми в направлении скольжения, атомные же цепочки, лежащие ниже плоскости скольжения,--растянутыми (Рис 1 а, б, с), и «отрицательную» дислокацию, представляющую собой зеркальное изображение дислокации положительной (образование «отрицательной» дислокации иллюстрируется Рис. 1 d, e, f) .

Дистокация является как будто бы устойчивым образованием, могущим существовать в решётке независимо от действия внешних сил. Согласно Тейлору пластическая деформация осуществпяется путём перемещения дислокаций вдоль определённых кристаллографических плоскостей и направлений.

Тейлор предполагает, что существует некоторая критическая температура T0, выше которой дислокация может совершенно свободно перемещаться вдоль плоскости скольжения даже при почнэм отсутствии внешних сил.

Как мы уже отмечали, согласно Тейлору пластическая деформація осуществляется путём перемещения дислокаций вдоль плоскостей скольжения. Относительное смещение двух дислокаций разного знака может, однако, стать возможным лишь тогда, когда мы преодолеем силы их взаимного притяжения, т. е. только в том случае, когда к кристаллу будет приложено некоторое конечное усилие. Предел упругости должен быть, соответственно, отличен от нуля.

Теория Тейлора, как мы уже это отмечали в самом начале настоящей главы, представляет собой первую попытку создания определённых представлений о механизме распространения остаточной деформации в кристаллических телах.

Фактически она состоит из двух почти независимых друг от друга частей -- теории пластического течения в идеально правильной кристаллической решётке и теории пластической деформации, относящейся к кристаллам, обладающим мозаичной структурой.

Нельзя не отметить ещё раз, что в первом случае автору удаётся:

1) установить теоретическое соотношение между деформацией и напряжением, находящееся в удовлетворительном согласии с опытными данными для некоторых металлов; 2) вычислить предел упругости идеально правильной кристаллической решётки; 3) дать формальное описание явления упрочнения.

Далее, при рассмотрении пластической деформации в реальных кристаллах качественно учтено влияние температуры на вид кривых деформаций и на предел упругости материала и вычислен предел упругости при учёте мозаичной структуры. Численные его значения находятся в согласии с опытными данными для меди и алюминия. При этом в согласии с опытными данными, вся теория в целом построена в предположении конечной скорости распространения пластической деформации в кристалле.

Существенным недостатком работы Тейлора является, однако, её чрезмерная искусственность и громоздкость, а также недоработанность отдельных теоретических положений.

1. Одной из наиболее характерных черт пластической деформации кристаллов является, как известно, кристаллографическая направленность процесса скольжения. Анизотропия пластического течения из теории Тейлора, однако, не вытекает. Тейлор лишь постулирует, что дислокации могут перемещаться вдоль некоторых определённых плоскостей, а также в определённых кристаллографических направлениях.

2. Остаётся открытым весьма важный вопрос о скорости пластического

течения. В теории Тейлора не содержится никаких попыток её вычисления, вполне, между тем, возможного в рамках предложенной автороматомной модели дислокаций.

3. Представление Тейлора о существовании критической температуры Т0, ниже которой дислокация в отсутствии внешних сил не может свободно перемещаться по кристаллу, вызывает крайнее недоумение. Перемещение, дислокации в отсутствии внешних сил должно представлять собой обычный диффузионный процесс. Для диффузии никакой критической температуры, как мы знаем, не существует; она идёт с конечной скоростью при любых, отличных от нуля, значениях температуры.

4. Специфическая особенность пластического течения -- сопровождающее его упрочнение -- по существу остаётся необъяснённой.

Тейлор предполагает, что упрочнение является следствием постепенного увеличения числа дислокационных центров в процессе деформации. Причина возрастания числа дислокаций остаётся, однако, совершенно неясной и вопрос о физической природе упрочнения поэтому остаётся открытым.

5. Самый способ описания явления упрочнения приводит к противоречиям с одним из ранее выдвинутых основных положений теории. С одной стороны, в процессе пластической деформации дислокации, доходя до поверхности кристалла, должны, как мы знаем, покидать его. С другой стороны, Тейлор утверждает, что число дислокаций в кристалле должно постепенно возрастать и что именно это обстоятельство приводит к упрочнению материала.

6. Существование следов скольжения, как это отмечает и сам Тейлор, несовместимо с представлением о наличии в кристалле решёток дислокаций. Действительно, относительное смещение двух разноимённых дислокационных решёток должно происходить по всему объёму кристалла; оно не может привести к локализованной деформации.

7. Представления Тейлора о пределе упругости не могут быть признаны достаточно чёткими и последовательными.

В самом деле, в случае идеально правильной кристаллической решётки предел упругости при наличии одной лишь дислокациии при температурах, лежащих ниже То, имеет, как мы помним, конечное значение, тогда как при температурах, превышающих То, он равен нулю. Сама температура То по утверждению Тейлора может совпадать с абсолютным нулём, откуда следует, что предел упругости при любых температурах может оказаться равным нулю.

С другой стороны, Тейлор утверждает, что в кристалле присутствуют разноименные решётки дислокаций, относительное смещение которых возможно лишь под действием конечного усилия. Это положение эквивалентно утверждению о конечном значении предела упругости.При рассмотрении условий пластического течения в реальных кристаллах Тейлор получает затем конечное значение предела упругости, по порядку величины близкое к экспериментальным данным. Но при этом он совершенно игнорирует первоначально данное им определение пределаупругости и в процессе вычисления уже ни разу не пользуется представлениями, столь детально развитыми в «дислокационной» теории.

8. Основное предположение теории Тейлора о возможности существования в кристалле решётки дислокаций вызывает, наконец, большие сомнения.

1.2.2 ТЕОРИЯ БРАТЬЕВ БЮРГЕРСОВ

Бюргерсы целиком и полностью принимают представления Тейлора о «дислокационной» природе пластичности, лишь частично дополняя и развивая их.

Они отмечают, прежде всего, что в работе Тейлора отсутствуют чёткие представления о причинах зарождения дислокаций в кристаллической решётке.

Пытаясь внести ясность в этот вопрос, Бюргерсы используют представления о структуре и характере деформации реальных кристаллов, развитые в своё время Орованом они полагают, что в каждом кристалле существует система пороков строения.

Подобно Оровану они считают, что благодаря тепловым флуктуациям

при соответствующей степени концентрации напряжений в области этих пороков могут возникнуть локальные сдвиги (скачки). Именно эти локальные сдвиги и влекут за собой, по мысли Бюргерсов, образование тейлоровских дислокаций. В дальнейшем дислокации ведут себя в полном согласии с теорией Тейлора: образовавшиеся дислокации движутся по кристаллической решётке до тех пор, пока они не будут остановлены каким-либо пороком, который окажется для них непрозрачным.

1.2.3 ТЕОРИЯ МОТА

Мотт преодолел эти затруднения теории Тейлора (1952 г.). К тому времени был предложен оригинальный механизм размножения дислокаций, так называемый источник Франка - Рида. Мотт считал, что в кристалле хаотически располагаются источники дислокаций Франка - Рида, испускающие под действием внешнего напряжения V в плоскости скольжения группы дислокаций, которые после прохождения некоторого расстояния скапливаются у препятствий. Препятствиями могут быть субграницы, сидячие дислокации, и т.п. Появление в кристалле таких групп дислокаций приводит к увеличению внутреннего напряжения. Пластический сдвиг кристалла в таком случае определяется суммированием сдвигов от каждого скопления и согласно является произведением величины плотности сверхдислокации на их вектор. Эта теория так же, как теория Тейлора, дает параболическую связь между напряжением и деформацией монокристаллов.

1.2.4 ТЕОРИЯ ЗЕГЕРА

В теории, предложенной Зегером, считается, что даже хорошо отожженные кристаллы содержат дислокации, которые образуют случайную пространственную сетку, состоящую из почти прямолинейных дислокационных сегментов, соединенных между собой тройными узлами.

Большей частью сегменты сетки ростовых дислокаций неподвижны, и лишь некоторые из них при действии внешнего напряжения V прогибаются между неподвижными узлами сетки. При достижении напряжения в первичной системе скольжения соответствующие сегменты начинают действовать как источники Франка - Рида, образуя вокруг каждого систему концентрических замкнутых петель в плоскости скольжения - скопление дислокаций. Дальнейшее движение дислокаций (расширение петель) ограничивается их взаимодействием с другими дислокациями, скользящими в параллельных плоскостях и с дислокациями леса. При деформации среднеориентированных кристаллов плотность дислокаций леса почти не меняется, поэтому Зегер считает, что деформационное упрочнение обусловлено ростом плотности дислокаций в первичной системе скольжения и усилением их взаимодействия друг с другом. Следовательно, эта теория является развитием теорий деформационного упрочнения Тейлора и Мотта.

В заключение необходимо отметить, что теорию деформационного упрочнения Зегера, хотя она и является наиболее полной и детально разработанной из современных теорий, нельзя считать действительно законченной физической теорией деформационного упрочнения. В своей основе она является полуфеноменологической, так как использует экспериментально определяемые зависимости для длин пробега дислокаций, расстояния между плоскостями скольжения, числа дислокаций в скоплении. Основным результатом теории Зегера можно считать установление связи между характеристиками дислокационной структуры, определяемыми в процессе деформации по картинам следов. Полная физическая теория деформационного упрочнения должна быть способной предсказать эволюцию дислокационной структуры и рассчитать кривую деформации кристалла, используя только данные о его исходной дефектной структуре и условиях деформации. Также в єтом направленни существуют работы Кехендорфера, теория разрабонаная Френкелем и Конторовой

Остановимся на теоретических основах

2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДИСЛОКАЦИЙ

Поскольку дислокации создают внутренние напряжения, а в поле напряжений испытывают силу, между ними возникают упругие силы взаимодействия. Рассмотрим несколько важных случаев взаимодействия дислокаций.

2.1 Две одноименные краевые дислокации в параллельных плоскостях скольжения

Пусть первая дислокация расположена в начале координат (Рис. 2а), а вторая движется в параллельной плоскости скольжения на расстоянии d.

Из Рис. 2b видно, что при х>d дислокация 2 отталкивается от дислокации 1. Это вытекает также из следующего простого рассуждения. Если х<<d, то можно считать, что обе дислокации находятся практически в одной плоскости скольжения. Тогда области сжатия обеих дислокаций перекрываются и области растяжения тоже.

Рис 2. Дислокации 1 й 2 в параллельных плоскостях скольжения (а). Сила взаимодействия одноименных дислокаций(б):F>0 отвечает отталкиванию при х>0

Такое перекрытие энергетически невыгодно и дислокации отталкиваются. Эта точка отвечает неустойчивому положению равновесия двух дислокаций, а при х< d вторая дислокация притягивается к устойчивому положению равновесия х=0. Направление силы, действующей на дислокацию 2, указано на Рис. 2 стрелками.

2.2 Дислокационный диполь

Если изменить знак дислокации 2, то в точке А ее равновесие неустойчивое, а в В и С -- устойчивое. Такая устойчивая пара разноименных дислокаций называется дислокационным диполем (d -- плечо диполя). Конфигурации В и С устойчивы при отсутствии внешнего напряжения. Если же кристалл находится под однородным касательным напряжением уху=уа, условие устойчивости требует, чтобы суммарная сила, действующая на каждую дислокацию, была равна нулю. Для дислокации 2 это означает, что

или в декартовых координатах

(1)

График правой части (1) как функции х при у=d представлен на Рис.1 б. Сила отложена в единицах Db/d.. Ее максимальное значение равно 0,2500. Следовательно, при уа>у°=0,2500D/d уравнение (1) не имеет вещественного решения, т. е. под действием напряжения у>у° диполь теряет устойчивость и разрывается, дислокации расходятся в противоположные стороны. Если под действием напряжения у>у° к покоящейся или скользящей дислокации 1 приближается в параллельной плоскости дислокация 2, она проходит мимо. Если у<у°, она захватывается дислокацией и образуется диполь. Из (1) следует, что поле напряжений дислокационного диполя с центром на прямой r=0 при IrI>>d убывает как r-2.

Силы изображения. До сих пор рассматривались дислокации в неограниченной упругой среде. Найдем теперь условия равновесия дислокации вблизи поверхности тела. Чтобы поверхность с нормалью n была в равновесии, на нее не должны действовать силы: уij nj=0. Между тем, если на расстоянии l от поверхности находится параллельная ей винтовая дислокация (Рис. 2), напряжения в плоскости х=-l определяются формулами (2)

уxz=-Gb/2р*y/( x2 + y2) уyz=Gb/2р*x/( x2 + y2) (2)

и условие уij nj=0 не выполнено. Оно окажется выполненным, если на расстоянии l от поверхности в точке х=-2l поместить «мнимую» дислокацию D' обратного знака, называемую дислокацией изображения.

Рис 3. Дислокация изображения D



Рис 4. Перестройка ядер разноименных краевых дислокаций при их аннигиляции

Разноименные дислокации D и D' притягиваются, следовательно, дислокация вблизи поверхности испытывает силу, выталкивающую, ее из кристалла.

Расчет напряжений краевой дислокации вблизи свободной поверхности значительно сложнее, поскольку формулы содержат больше отличных от нуля компонент уij. Укажем лишь, что когда плоскость скольжения выходит под прямым углом на поверхность, притяжение дислокации к поверхности определяется полем дислокации изображения (см. [5]).

2.3 Аннигиляция дислокаций

Две разноименные дислокации в одной плоскости скольжения всегда взаимно притягиваются. Если никакие препятствия не мешают их встречному движению, то их ядра сближаются и происходят атомные перестройки (Рис. 4), заканчивающиеся взаимным уничтожением (аннигиляцией) обеих дислокаций. Разноименные винтовые дислокации аннигилируют, даже если они первоначально не лежат в одной плоскости скольжения (в непрерывной упругой среде любая плоскость, проходящая через винтовую дислокацию, есть плоскость скольжения, в кристаллах таких плоскостей имеется, во всяком случае, несколько).

Разноименные невинтовые дислокации, не лежащие в одной плоскости скольжения, образуют диполь, который может аннигилировать путем встречного переползания дислокаций. Для этого диффузионные процессы должны идти достаточно быстро.

2.4 Скопление дислокаций

Расположенные в одной плоскости скольжения одноименные дислокации взаимно отталкиваются. Силы отталкивания можно скомпенсировать, поместив в плоскости скольжения достаточно мощное препятствие и поджав к нему дислокации внешним напряжением. Таким препятствием может быть жесткое включение второй фазы, иногда межзеренная граница в поликристалле. Тогда удается удержать в одной плоскости скольжения много (невинтовых) дислокаций. Поджатые к препятствию дислокации образуют скопление дислокаций. Задача, о равновесной конфигурации п дислокаций в скоплении была рассмотрена Эшелби, Франком и Набарро, Она сводится к решению системы уравнений равновесия для каждой из п дислокаций, имеющих вид (в соответствии с принципом суперпозиции напряжений в линейной теории упругости)

(3)

Первое слагаемое представляет силу, с которой приложенное однородное напряжение уа действует на 1-ю дислокацию. Под знаком суммы стоят силы взаимодействия дислокации i со всеми остальными. Штрих у знака суммы означает, что слагаемое i=j исключается (дислокация i сама на себя не действует). Исследование показало, что решением системы (3) при закрепленной на препятствии первой дислокации являются нули первой производной от полинома Лагерра п-й степени. При этом равновесная длина скопления, т. е. расстояние от головной до последней дислокации, равно

L=2Dn/ уа(4)

расстояние между первыми двумя головными дислокациями скопления

d1=1,84D/(n уа)(5)

Суммарное напряжение, создаваемое всеми дислокациями скопления в его вершине, оказывается равным

у = п уа,(6)

поскольку на препятствие, удерживающее головную дислокацию, передается сила со стороны всех дислокаций скопления, а на каждую из них действует сила уаb. Следовательно, дислокационные скопления являются эффективными концентраторами напряжений.

В поликристаллах максимальная длина скопления равна размеру d зерна. Согласно (4) можно при заданном напряжении уа разместить на длине d всего

п=уаd/(2D)

дислокаций. Поэтому по (6) максимальное локальное напряжение-(у границы зерна) равно

у1= уа2/(2D).(7)

Если для какой-либо дислокационной перестройки, например для преодоления препятствий при пластической деформации или для зарождения микроскопической трещины, требуется напряжение у1, то согласно (7) при заданном размере зерна приложенное напряжение должно быть не менее

.(8)

Здесь добавлено напряжение ур, необходимое для движения дислокации по кристаллу, т. е. для преодоления потенциального рельефа решетки и различных дефектов,. Обозначив в (8)

,

запишем это соотношение в виде

(9)

Мы получили формулу Холла--Петча, которая хорошо описывает многие экспериментальные данные о зависимости предела текучести, деформирующего напряжения, предела прочности от размера зерна в поликристаллическом материале.

Препятствиями, способными удерживать скопления дислокаций, могут служить и достаточно густые дислокационные сетки и стенки. Тогда в формулу (9) вместо d входит не размер зерна, а расстояние между стенками (размер «субзерна»).

Приведем без вывода выражение для энергии взаимодействия (на единицу длины) двух параллельных дислокаций направления l с произвольно ориентированными векторами Бюргерса b1 и b2, расположенными на расстоянии R [1]:

 (10)

Дифференцирование (10) по координатам дает компоненты силы взаимодействия дислокаций. Из (10) следует, в частности, что энергии взаимодействия краевой и винтовой дислокаций равны нулю.

Обобщение (10) на случай непараллельных и криволинейных дислокаций, а также на случай анизотропной среды приводит к значительно более громоздким выражениям [2].

3. НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ДИСЛОКАЦИИ

В настоящее время представляется особо актуальной правильная физическая постановка задач, так чтобы они максимально полно отражали реальную ситуацию в кристаллах. При этом является важным выбор оптимального приближения.

Известно, что если дислокация погружена в поле напряжений, то на ее элемент dl в плоскости, заданной нормалью n, действует сила [3]

.

Тензор напряжения может определяться внешним напряжением, полями напряжения других дислокаций, а также полем напряжения самой дислокации. Поэтому в общем случае силы, действующие- на дислокацию, можно разбить на три составляющие: внешние -- F, силы взаимодействия Fвз и силы самодействия Fс. Возникновение силы самодействия связано с гибкостью дислокаций и отражает тот факт, что для искривленных дислокаций поле упругих напряжений, создаваемое дислокацией, действует и на саму дислокацию. При движении в решетке дислокации всегда испытывают некоторое сопротивление. В результате, для того чтобы дислокация начала двигаться в кристалле, необходимо приложить некоторое конечное напряжение. В задачах о взаимодействии дислокаций, которые обычно рассматриваются как механические системы, это сопротивление движению дислокаций учитывается введением сил трения, аналогичных сухому трению. В этом случае трение f° (точнее, максимальное его значение) определяется как сила, необходимая для начала перемещения дислокаций. Часто задачи описания взаимодействия дислокаций формулируются таким образом, чтобы процесс взаимодействия дислокаций при изменяющихся внешних условиях мог рассматриваться как последовательность равновесных состояний. В этих условиях вопрос сводится к нахождению решения уравнения равновесия, означающего, что в каждой точке дислокационной линии сумма всех действующих сил равна нулю. В общем случае уравнения, описывающие равновесные состояния системы к дислокаций, имеют вид

(11)

Учет сил трения не сводится к простой перенормировке эффективного напряжения, действующего на дислокацию, а приводит к ряду важных особенностей взаимодействия дислокаций. Прежде всего, заметим, что, благодаря специфике сил типа сухого трения, уравнение (1) в принципе может удовлетворяться при любом значении f,. в интервале 0 <fi?fi0. Это приводит к ряду важных следствий. Во-первых, введение сил трения стабилизирует систему дислокаций, существенно приближая модельную схему к реальной ситуации в кристаллах. Во-вторых, при наличии трения даже в свободном ненагруженном кристалле, в котором нет никаких внутренних напряжений, дислокации могут быть искривлены. Поэтому наличие искривленных дислокаций само по себе еще не означает действия внутренних напряжений. Однако роль трения при взаимодействии дислокаций этим не исчерпывается. Проиллюстрируем это следующим примером. Предположим, что имеет место взаимодействие двух скрещивающихся дислокаций так, как это изображено на Рис. 5. В этом случае на прямолинейную дислокацию 2 (СD) будет действовать сила Fвз, характер изменения которой изображается эпюрой на Рис. 6, а, там же показан уровень силы трения. Видно, что на участках I и III сила, действующая на дислокацию, меньше силы трения, а на участке II Fвз>f°. Следовательно, на II должно произойти смещение дислокации. Однако отсутствие активной силы на участках I и III еще не означает, что дислокация в этих областях не будет смещаться.

Рис. 5. Схема взаимодействия двух скрещивающихся дислокаций

Рис. 6. Схема, иллюстрирующая изменение формы дислокации при взаимодействии двух скрещивающихся дислокаций при наличии трения

На участках I и III также будет наблюдаться искривление дислокации за счет наличия силы натяжения (самодействия) (см. Рис. 6, б). Таким образом, условие Fвз=f° никак не определяет границ области смещения дислокации. Границы области смещения --х* и х* должны определяться в ходе решения самой задач. Естественно, это приводит к дополнительным трудностям при решении соответствующих задач, так как форма и силы взаимодействия оказываются связанными непрерывно меняющимися функциями.

Наличие сил трения в процессах взаимодействия дислокаций может приводить и к другим важным эффектам. Снова обратимся к случаю взаимодействия двух скрещивающихся дислокаций на Рис. 4. Если две дислокации располагаются достаточно близко, то, как уже было сказано, дислокация 2 начинает искривляться. Кажется, что для нахождения решения необходимо выполнение следующих условий:

(12)

где ±х* подлежат определению в ходе решения задачи. Однако нетрудно видеть, что решений уравнения (11) при условиях (12) может и не существовать, хотя физически они совершенно реальны. Подобные ситуации в данной задаче могут, например, возникнуть, когда и2(0) становится достаточно большим. Причина этого заключается в том, что уравнения (11) правильно описывают конфигурацию дислокации только в том случае, когда суммарная действующая на дислокацию сила уравновешивается максимальным значением f° силы трения. Физически это означает, что уравнения (1) могут описывать конфигурации криволинейных дислокаций только на участках, где имеет место перемещение точек дислокационных линий.



Рис. 7. Последовательное формоизменение дислокации при взаимодействии двух скрещивающихся дислокаций по мере их сближения.

Однако в процессе формирования некоторой дислокационной конфигурации участки дислокаций, которые ранее перемещались и искривлялись, затем могут оставаться неподвижными, удерживаясь силами трения. Для того чтобы полностью проследить за эволюцией формы дислокации, каждое последующее состояние необходимо рассматривать как результат смещения дислокаций из предыдущего состояния. Это означает, что для каждого элементарного смещения дислокаций задача должна решаться как бы заново с непрерывно меняющимися краевыми условиями. В частности, при описании процесса взаимодействия двух скрещивающихся дислокаций краевые условия (12) должны быть заменены на

(13)

Где соответствуют значениям и (х) и dи/dх в некоторых точках на дислокационной линии и также должны определяться в ходе решения самой задачи. На Рис. 7 в качестве примера приведена картина изменения конфигурации одной из дислокаций при взаимодействии двух гибких скрещивающихся дислокаций по мере их сближения. Сплошными линиями отмечены конфигурации дислокаций, которые описываются уравнением (11) при условиях (12), а пунктирными -- состояния, получающиеся путем достраивания, т. е. при краевых условиях (13).

На основании изложенного можно сделать одно важное заключение -- при движении дислокации в среде с трением равновесная форма дислокации должна нести информацию относительно истории формирования данной конфигурации. Последнее представляется весьма существенным, так как открывает принципиальную возможность по финальным равновесным дислокационным формам реставрировать эволюцию формирования данной конфигурации. Из сказанного видно, как существен правильный учет сил трения и насколько осложняется рассмотрение соответствующих задач о взаимодействии дислокаций при его наличии.

4. САМОДЕЙСТВИЕ ДИСЛОКАЦИЙ И МЕТОДЫ ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЯ

Поля напряжений, создаваемые дислокациями, в общем случае выражаются через контурные интегралы вдоль дислокационных линий [3-6]. Поэтому силы самодействия (действие дислокации саму на себя) и взаимодействия дислокаций зависят от формы дислокационных линий, которые изменяются в процессе взаимодействия и сами подлежат определению. Таким образом, выражения (11) представляют собой систему интегральных уравнений, решение которых может быть произведено только численными методами с применением ЭВМ. Существует, однако, дополнительное осложнение, заключающееся в том, что интегралы, которыми выражаются напряжения, создаваемые дислокациями, имеют особенность в точках на линиях дислокаций, где определяется сила самодействия. В связи с этим при вычислении интегралов самодействия необходима процедура регуляризации. Естественно поэтому стремление использовать ряд упрощающих представлений для описания самодействия дислокаций. Широкое распространение получило представление о линейном натяжении дислокационной линии, которое сводит интегральную по своей природе силу самодействия к некоторой эффективной локальной характеристике. Подобная замена недопустима с принципиальной точки зрения [6], однако позволяет избежать процедуры регуляризации интеграла самодействия и одновременно существенно упрощает уравнения (1) и алгоритм их решения.

Имеется ряд вариантов приближенных выражений для натяжения дислокационной линии. Согласно [2, 6], натяжение дислокационной линии Т приблизительно пропорционально погонной энергии Е прямолинейной дислокации:

Т ~ Е=КGb2,

где G -- модуль сдвига; b -- вектор Бюргерса; К -- константа, зависящая от характера дислокации. Де Вит и Келер [6] сформулировали условие равновесия дислокационной линии с учетом ориентационной зависимости энергии дислокации и показали, что в этом случае роль натяжения дислокационной линии должна играть величина

где и -- угол между вектором Бюргерса и касательным вектором к дислокационной линии.

Рис. 8. Схема, иллюстрирующая метод вычисления самодействия дислокаций.

Если в качестве Е использовать выражение для погонной энергии прямолинейной дислокации в виде [2]



то для натяжения Т получается выражение

здесь н -- коэффициент Пуассона, R -- эффективный радиус затухания полей напряжения дислокации, r0 -- размер ядра дислокации. Отсюда видно, что введение представления о линейном натяжении дислокационных линий действительно существенно облегчает рассмотрение соответствующих вопросов. В связи с этим представляется очень важным выяснение случаев, когда приближение линейного натяжения обеспечивает физически достоверные результаты. Имеется ряд оснований полагать, что приближение линейного натяжения может обеспечить достаточную физическую точность для слабо искривленных дислокаций. К сожалению, более определенные рекомендации по этому вопросу пока дать затруднительно. Вместе с тем можно также думать, что в целом ряде случаев строгий учет самодействия дислокаций весьма существен, так что регуляризация интегралов самодействия оказывается неизбежной.

Одна из процедур регуляризации интегралов самодействия была предложена Брауном на основе локальной вариации формы дислокационной линии. Этому методу можно дать несколько иное обоснование, основанное на анализе структуры поля напряжений вблизи линии дислокации. Можно показать, что напряжение в окрестности некоторой точки на дислокационной линии (например, в точке (хк, ук на Рис. 8)) можно представить в виде суммы двух слагаемых у=у'+у", из которых одно --у' эквивалентно напряжению бесконечной прямолинейной дислокации, проходящей через точку (хк, ук) и касающейся криволинейной дислокации, а второе -- у" связано с искривлением дислокационной линии. Существенно, что вклад от прямолинейной дислокации является нечетной функцией относительно перемещения ±е вдоль нормали к линий дислокации, а вклад за счет искривления --четной. Из соображений симметрии очевидно, что самодействие прямолинейной дислокации равно нулю. Поэтому сила самодействия дислокации должна быть пропорциональна той части напряжения, которая вызвана отклонением формы дислокации от прямой линии. Следовательно,

(14)

где у|±е-- напряжение, создаваемое дислокацией на расстоянии ± е по нормали к линии дислокации от точки (хk, уk) (см. Рис. 7). В последней формуле автоматически учитываются лишь те части напряжений у, которые четны относительно точки (хк, ук). Таким образом, определение само действия в виде (14) полностью эквивалентно тому, которое было предложено Брауном на основе иных соображений. К сожалению, в рамках подобной схемы регуляризации интеграла самодействия затруднительно четко определить смысл параметра е обрезания е и его величину, хотя из общих рассуждений ясно, что е должно быть связано с размерами ядра дислокации.

Трудности теории преодолимы, если отказаться от представлений о дислокациях как математических линиях нулевой толщины и ввести конечные поперечные размеры дислокации. Подобный метод может быть использован также при вычислении силы самодействия дислокаций. В этом случае дислокация с конечным вектором Бюргерса «размазывается» по пространству с некоторой плотностью векторов Бюргерса, которую можно задать с учетом строения ядра дислокации. Размазывание дислокации позволяет устранить расходимости, поскольку контурные интегралы превращаются в поверхностные, так что степень расходимости оказывается меньше кратности интегрирования. В результате получающийся несобственный интеграл оказывается сходящимся. Можно показать, что регуляризация интегралов самодействия этим методом приводит к формулам, структура которых идентична (14). Однако в этом случае параметр е приобретает более четкий физический смысл. Он вводится в связи с функцией распределения дислокаций по векторам Бюргерса и оказывается эквивалентным ширине дислокации. Несмотря на то что размазывание дислокации является существенно более корректной процедурой при определении силы самодействия, оно пока не нашло применения при конкретных расчетах.

Рассмотрим процедуру регуляризации интеграла самодействия, реализуемую при численных расчетах, более подробно. Каждый из интегралов, входящих в выражение (14), для у разбивается на два (Рис. 8):

1) по области [2л], включающей точку (хк, ук), в которой имеет место расходимость;

2.) по области [S-- 2л], где подынтегральная функция никаких особенностей в точке (хк, ук) не имеет. Тогда

(15)5)

где у(1) соответствует вкладу в самонапряжение, выраженному через интеграл по области [2л], а у(2) -- по области [S--2л]. Поскольку интегралы по области [S--2л], входящие в (15), не содержат особенностей, и так как

, то

Таким образом,

(6)

Обычно считается, что вся сложность определения уc заключена в первом слагаемом. Следует, однако, обратить внимание на то, что уже в самом представлении уc в виде (6) имеется некоторая непоследовательность, заключающаяся в том, что вклады от различных участков дислокационной линии определяются в разных точках.

При численных расчетах конфигурация дислокационной линии задается конечным числом опорных точек. Контур дислокации между опорными точками может аппроксимироваться различными способами. Согласно Брауну [5], дугой окружности длины 2л с радиусом, равным радиусу кривизны с в точке наблюдения (хк, ук), заменяется малый кусок дислокационной линии (Рис. 7). При

л/с << 1

тригонометрические функции в подынтегральном выражении для у(1) можно разложить в ряд по степеням ш до членов ш2 Используя условие

е<< л (17)

вклад интегралов у±(1) в (16) от выделенного участка [2л] можно представить в виде

(18)

где А и В -- константы, зависящие от вычисляемой компоненты и ориентации вектора Бюргерса дислокации.

Рис. 9. Схема расчета самодействия отрезка дуги круговой дислокационной дуги разным методам.

Рис. 10. Зависимость напряжения самодействия F(1), рассчитанного разными от величины параметра е

На Рис. 10 приведен график зависимости силы самодействия F(1) в точке (с± е, р/2) от логарифма е для различных значений параметра ш0. Видно, что соответствующие расчетные точки хорошо ложатся на прямые линии. Иными словами, силы самодействия F(1) оказываются логарифмически зависящими от параметра е.

Рассмотрим теперь вопрос согласования при вычислении самодействия величин л и е. Выше уже указывалось, что выражение (18) применимо для вычисления само действия, если соблюдается условие (17).

Практика расчетов [6] самодействия показывает , что удобным является такой вид подынтегрального выражения, когда вклад от отдельного прямолинейного отрезка обращается в нуль во всех точках на его продолжении.

Этому условию удовлетворяет форма подынтегрального выражения для напряжения, полученная в [3], и не удовлетворяет формула Пича--Келера[4].

Тесным образом к проблеме самодействия дислокаций примыкает вопрос о дислокационных узлах. В процессе взаимодействия дислокаций могут возникать ситуации, когда первоначально изолированные дислокации соединяются, образуя тройные, четверные узлы и зоны рекомбинации. В этом случае фактически формируется одна единая дислокационная система, так что, строго говоря, взаимодействие дислокаций отсутствует, а имеет место только самодействие образовавшейся сложной дислокационпой системы. Равновесная конфигурация системы, естественно, может быть найдена путем непосредственного решения уравнений равновесия (11), которые в этом случае следует рассматривать как единые для всей системы. Однако технически выполнить решение задачи таким способом представляется крайне трудным. Поэтому в настоящее время подобные задачи кажется целесообразным расчленить, рассматривая структуру узловых дислокационных конфигураций отдельно. Особую актуальность приобретает вопрос нахождения равновесных дислокационных конфигураций вблизи узловых точек. Дислокационные конструкции в окрестности узла должны быть жесткими не только по отношению к вращению дилокационных ветвей, но и к вращению в пространстве всего узла как целого. В известном смысле это облегчает ситуацию, так как дает возможность заранее установить структуру узла независимо от того, как будет вести себя вся дислокационная конструкция. Таким образом, если структура дислокационного узла известна, то дальнейшее решение задачи должно заключаться в достраивании дислокационных ветвей в соответствии с условиями равновесия. Подобное расчленение задачи может существенно облегчить ее решение и дает возможность использовать различные комбинированные приближения. Например, структуру узла можно находить при строгом учете самодействия дислокаций, а для построения решений вдали от узла использовать приближение линейного натяжения. Однако следует подчеркнуть, что вопрос о нахождении конфигураций гибких дислокаций, когда в результате их взаимодействия формируются узлы, в достаточной степени не разработан. Поэтому имеется не так много примеров расчета взаимодействия гибких дислокаций с учетом возможности образования дислокационных узлов

Необходимо обратить внимание на то, что приближение линейного натяжения не всегда автоматически обеспечивает возможность рассмотрения дислокационного узла как «шарнирного» сочленения.

5. МЕТОДИКА НАХОЖДЕНИЯ РАВНОВЕСНЫХ ДИСЛОКАЦИОННЫХ ФОРМ

Другим важным элементом решения уравнений (11) является итерационная процедура определения формы дислокационной линии, в каждой точке которой удовлетворяется условие равновесия. Переход от j-й формы дислокации к (j+1) производится в соответствии с изменением локального радиуса кривизны ч:

.(19)

где у -- внешнее напряжение, уc -- напряжение самодействия; у(1) -- вклад в напряжение самодействия от отрезка дислокационной линии, которая аппроксимируется дугой окружности.

Поэтому итерационные процедурa (19) эффективнa только для некоторых частных случаев нахождения форм дислокаций со знакопостоянной кривизной, например при определении равновесных форм дислокаций, огибающих препятствия, не создающие полей внутренних напряжений.

Итерационный процесс движения опорных точек дислокационных линий в зависимости от величины нескомпенсированных сил, действующих в этих точках, оказывается универсальнее и представляется более оправданным с физической точки зрения.

В общем случае итерационная процедура движения опорных точек дислокационной линии по силам может быть записана в виде

(20)

Для достижения максимальной эффективности определения равновесных конфигураций дислокаций важен оптимальный выбор функции Ф(F) и ее параметров. В решении этого вопроса полезным является график, представленный на Рис. 11, иллюстрирующий пример расчета изменения силы самодействия и суммарной силы в трех соседних опорных точках дислокационной линии при движении одной срединной опорной точки. Из графика видно, что хорошим приближением для функции Ф(F) является линейная функция

Данные рис. 9 дают также возможность определить максимально допустимую величину коэффициента з, определяющего скорость сходимости итерационного процесса.

Рис. 11. Изменение силы самодействия Fc и суммарной силы F" в трех опорных точках к--1, к, к+1 при движении к-й опорной точки. Значения сил приведены в единицах Gb2/4р(1--н).

На Рис. 10 видно, что для суммарной силы FII тангенс угла наклона прямой оказывается приблизительно равным 30. Это означает, что малое смещение, дислокации вызывает заметное изменение локальной действующей силы. В принципе даже при незначительных смещениях точек на дислокации условие силового равновесия может быть очень плохо удовлетворено. Отсюда следует, что более правильно в качестве критерия сходимости выбирать условие малости суммарной силы, действующей в каждой точке дислокационной линии. К сожалению, силовой критерий является существенно более жестким, чем координатный, а потому требует более длительной итерационной процедуры на ЭВМ.

Выводы

В работе рассмотрены некоторые аспекты взаимодействия дислокаций. Рассмотрены физические особенности поставленной задачи и показано что правильная физическая постановка разрешает объяснить многое из взаимодействия дислокаций

Данные показывают, что наиболее корректным способом вычисления самодействия является модифицированный метод. Только в этом случае имеет место полная независимость величины самодействия от способа разбиения дуги на участки. Таким образом, при вычислении самодействия дислокаций очень важным является обеспечение согласованной точности вычисления вкладов от различных участков дислокационной линии.

При нахождении равновесных дислокационных форм итерационные процедурa (19) эффективна только для частных случаев нахождения форм дислокаций со знакопостоянной кривизной.

Литература

1) Б.М. Логинов, А. Н. Проскурин, Е.В. Вершинин Закономерности процессов движения дислокаций через ансамбли дислокаций леса и точечных препятствий в условиях одномерного действия статистической и циклической нагрузки //Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 10

2) В.В. Малашенко Динамическое торможение дислокаций в кристалле, содержащем структурные несовершенства // Журнал технической физики, 2009, том 79, вып. 4 с 146-150

3) А.М. Косевич Динамическая теория // Успехи физических наук 1964 г. Декабрь Т. LXXXIV, вып. 4 С 581-609

4) В.А. Тарасов Математическое моделирование радиационной ползучести реактивного топлива на примере урана и его сплавов//Вопросы атомной науки и техники. 2001. №2 Серия: Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение (79), с.23-30.