Экономико-математическое моделирование

Содержание

1. Содержание ЭММ и методика их построения. Роль оптимальных методов в совершенствовании планирования и управления производством

2. Разработка производственной программы промышленного предприятия на основе балансовой модели

3. Прогнозирование экономических показателей работы промышленного предприятия на основе экономико-статистических моделей

Список использованных источников

1. Содержание ЭММ и методика их построения. Роль оптимальных методов в совершенствовании планирования и управления производством

Содержанием любой экономико-математической модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, но не всегда математическое соотношение является экономическим. Описание экономических условий математическими соотношениями - результат того, что модель устанавливает связи и зависимости между экономическими параметрами или величинами. Наиболее полное - законченное определение экономико-математической модели дал академик В. С. Немчинов: "Экономико-математическая модель представляет собой концентрированное выражение общих взаимосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме".

По содержанию различают экономико-математические и экономико-статистические модели. Различие между ними состоит в характере функциональных зависимостей, связывающих их величины. Так, экономико-статистические модели связаны с показателями, сгруппированными различными способами. Статистические модели устанавливают зависимость между показателями и определяющими их факторами в виде линейной и нелинейной функции. Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений, целевую функцию.

Система ограничений состоит из отдельных математических уравнений или неравенств, называемых балансовыми уравнениями или неравенствами.

Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Как правило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, рентабельность, себестоимость, валовая продукция и т. д.). Поэтому целевую функцию иногда называют экономической, критериальной. Целевая функция - функция многих переменных величин и может иметь свободный член.

Критерий оптимальности - экономический показатель, выражающийся при помощи целевой функции через другие экономические показатели. Одному и тому же критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных целевых функций. Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные критерии, оптимальности и различные целевые функции. Смешивать понятия критерия оптимальности и целевой функции нельзя. Критерий оптимальности есть понятие модельное, экономическое. Критерии оптимальности могут быть натуральные и стоимостные. Одни из критериев - максимизируемые, другие - минимизируемые. Из минимизируемых критериев является критерий совокупных затрат труда всех видов, предложенный А. Г. Аганбегяном и А. Г. Гранбергом. Он выражается целевой функцией , где - вектор совокупных затрат труда, элементы которого означают объемы затрат труда в каждом js-м технологическом способе при его единичной интенсивности.

Из максимизируемых критериев можно выделить такие, как: число наборов конечных продуктов, валовая, конечная, чистая и условно чистая продукция, прибыль, рентабельность и др.

Решением экономико-математической модели, или допустимым планом называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель имеет множество решений, или множество допустимых планов, и среди них нужно найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции. Допустимый план, удовлетворяющий целевой функции, называется оптимальным. Среди допустимых планов, удовлетворяющих целевой функции, как правило, имеется единственный план, для которого целевая функция и критерий оптимальности имеют максимальное или минимальное значение. Если модель задачи имеет множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой функции одинаково.

Если экономико-математическая модель задачи линейна, то оптимальный план достигается в крайней точке области изменения переменных величин системы ограничений. В случае нелинейной модели оптимальных планов и оптимальных значений целевой функции может быть несколько. Поэтому необходимо определять экстремальные планы и экстремальные значения целевой функции. План, для которого целевая функция модели имеет экстремальное значение, называют экстремальным планом, или экстремальным решением.

Целевая функция, зависящая от переменных величин в заданной области изменения последних, всегда достигает наибольшего и наименьшего значения или вовсе его не имеет. Экстремальные значения целевой функции достигаются внутри, а оптимальные значения достигаются также и на границе области изменения переменных величин. Поэтому экстремальные значения целевой функции могут совпадать с оптимальными, однако это не значит, что все оптимальные значения целевой функции есть экстремальные. Для нелинейных моделей иногда существуют экстремальные значения целевой функции, а для линейных моделей экстремальных планов и экстремальных значений целевой функции быть не может.

Таким образом, для принятия оптимального решения любой экономической задачи необходимо построить ее экономико-математическую модель, по структуре включающую в себе систему ограничений, целевую функцию, критерий оптимальности и решение.

Методика построения экономико-математической модели состоит том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и другие обозначения.

Все условия задачи необходимо записать в виде уравнений или неравенств, поэтому, в первую очередь необходимо определить систему переменных величин, которые могут для конкретной задачи обозначить искомый объем производства продукции на предприятии, количество перевозимого груза поставщиками конкретным потребителям и т. д. Как правило, для обозначения переменных величин используются буквы: x, y, z, а также их модификации. Например, модификация переменной x: , , , и т. д. Аналогичные модификации могут быть и для других переменных, используемых в модели. Переменные x1, x2, … , хn могут обозначать объемы производства продукции соответственно первого, второго и так далее п-го вида. Для индексации, как правило, используются латинские буквы: i, j, s, l. Количество переменных может обозначаться буквами n, k, m. По каждой переменной для конкретной задачи дается словесное пояснение.

Целевую функцию - цель задачи - чаще всего обозначают буквами f, F, Z. Постоянные величины обычно обозначают буквами: a, b, c, d и т. д.

Ограничения модели должны отражать все условия, формирующие оптимальный план. Однако практически учесть все условия задачи для достижения цели невозможно, достаточно учесть основные условия. Естественно, полученная модель будет упрощенной по сравнению с реальной, которая отражала бы все условия поставленной задачи.

Итак, в упрощенном виде экономико-математическая модель представляет собой:

1) систему ограничений - равенства, неравенства вида больше или равно (?), меньше или равно (?);

2) условия неотрицательности переменных, исходя из экономической или физической сущности переменных ();

3) целевую функцию.

Математически общую модель задачи можно представить в виде:

Найти значения n переменных x1, x2, … , хn, которые удовлетворяют системе ограничений:

f(x1, x2, … , хn) {?,=,?} bi ();(1)

и максимизируют или минимизируют целевую функцию

Z=f(x1, x2, … , хn,)(2)

Если на переменные налагается условие неотрицательности, тогда в модель задачи вводится условие:

(3)

Иногда на переменные налагается условие целочисленности, тогда его можно записать в виде:

, или 1, или 2, или 3 и т. д.(4)

Если ограничения (1) и целевая функция (2) линейны относительно переменных, то модель называют линейной. В случае, если хотя бы одна из функций fi и Z нелинейна, то модель называют нелинейной.

Одной из важнейших предпосылок создания единой системы оптимального управления народным хозяйством является разработка теории оптимального функционирования экономики. Ее отличительная особенность состоит в последовательном применении принципа оптимальности, к решению всего сложного комплекса проблем анализа, планирования и управления народным хозяйством. На основе понимания экономики как сложной системы, реализующей объективный критерий оптимальности своего развития, теория оптимального функционирования экономики исследует в качественном и количественном аспектах проблемы соизмерения затрат и результатов производства, рационального распределения и использования ограниченных трудовых и материальных ресурсов общества, оптимальных темпов и пропорций развития народного хозяйства, наилучшего сочетания интересов производственных единиц и всего общества и др.

Существенное значение имеет разработка экономико-математического обеспечения системы оптимального функционирования экономики. На основе теории оптимального функционирования экономики и современных математических методов необходимо создать комплекс экономико-математических моделей, дающих количественную характеристику всех основных закономерностей, связей и процессов в народном хозяйстве. Модели должны опираться на весь накопленный опыт планирования и управления хозяйством. В них должна быть заложена возможность получения наиболее эффективных, оптимальных планов на всех уровнях - от отдельного предприятия до народного хозяйства в целом. Вместе с тем комплекс моделей должен обеспечить возможность максимального использования экономических рычагов рационального ведения хозяйства: цен, прибыли, хозрасчета, материального стимулирования. Только в этом случае оптимально составленный план будет сочетаться с оптимальными условиями и стимулами его выполнения. В математическом отношении для создания комплекса моделей потребуются все уже существующие методы: математического программирования, дифференциального и интегрального исчисления, матричных балансовых построений, теории вероятностей и математической статистики и другие, более сложные и пока недостаточно разработанные методы экономико-математического моделирования. К экономико-математическому обеспечению системы оптимального функционирования экономики можно отнести и собственно математическое ее обеспечение, т. е. комплекс алгоритмов и программ, обеспечивающих решения задач оптимального планирования и управления на электронных вычислительные машинах.

Для создания информационного обеспечения системы оптимального функционирования экономики необходимо коренное совершенствование системы экономической информации. Существующая экономическая информация не унифицирована, вследствие чего показатели плановой, учетной, финансовой, снабженческо-сбытовой информации не только отличны друг от друга, но зачастую вообще несопоставимы. Направления и объемы "пересылаемой информации четко не определены, пересылаются излишние, почти не используемые получателями сведения в ущерб действительно необходимым данным. Потоки хозяйственной информации не уменьшаются, а растут.

В условиях применения экономико-математических методов и электронной вычислительной техники необходимо создание единой системы экономической информации, охватывающей все существующие ее виды. Направления, объемы и сроки передачи информации должны быть точно установлены, при этом количество различных пересылаемых и хранимых сведений должно быть минимальным при максимальном их содержании и использовании. Эта задача выходит за рамки простого упорядочения информации и является в настоящее время большой научной проблемой. Опыт применения экономико-математических методов показал, что существующее нормативное хозяйство, данные учета и статистики зачастую недостаточны или непригодны для постановки и решения задач оптимального планирования. Это выдвигает проблему совершенствования нормирования, учета и статистики как предпосылку создания системы оптимального функционирования экономики.

Наконец, система оптимального управления народным хозяйством нуждается в мощном техническом обеспечении в виде государственной сети вычислительных центров, сопряженной с; автоматизированной сетью связи страны. Как и система экономической информации, сеть вычислительных центров должна строиться по междуведомственному принципу. Вычислительные центры (от низовых до головного) должны быть оснащены достаточно мощными вычислительными машинами, приспособленными к экономическим расчетам, и связаны между собой с помощью современных средств электрической связи. Единая государственная сеть вычислительных центров будет осуществлять хранение, обработку и передачу всей экономической информации в стране, и все расчеты по оптимальному планированию и управлению народным хозяйством.

Народнохозяйственную эффективность создания системы оптимального функционирования экономики трудно переоценить. Однако эта работа потребует еще немалого времени и усилий и преодоления серьезных трудностей научного и практического порядка.

2. Разработка производственной программы промышленного предприятия на основе балансовой модели

Особое место среди матричных моделей занимают балансы. Балансовый метод - это принятый в практике планирования метод взаимного сопоставления ресурсов и потребностей. На уровне экономики страны балансовый метод используется для определения основных пропорций воспроизводства. Помимо общехозяйственных пропорций могут устанавливаться отраслевые пропорции. Балансовый метод применяется на всех уровнях управления предприятия, народного хозяйства, а также в разрезе любых ресурсов в натуральном, трудовом, стоимостном выражении. Балансовый метод имеет строгое математическое выражение. Межотраслевой баланс самый главный в системе баланса, он отражает производство и распределение продукции в отраслевом разрезе. Межотраслевые производственные связи, использование трудовых и материальных ресурсов, создание и распределение НД. Основу межотраслевого баланса составляет совокупность всех отраслей производства. Каждая отрасль в балансе фигурирует дважды: производящая и потребляющая.

При планировании производственной программы предприятия возникает задача выбора оптимального ассортимента продукции с одной стороны, отражающего требования потребителей, с другой - обеспечивающего наибольшую рентабельность предприятия. Эту задачу решают, как правило, в таком порядке: выявляют ожидаемый спрос на продукцию, на выпуске которой специализировано предприятие; определяют ассортимент продукции, характеризуемой высокой рентабельностью и выпуск которой может быть обеспечен наличными производственными мощностями предприятия; заключают договоры на поставку продукции оптимального ассортимента потребителям (предприятиям или торгующим организациям).

Однако, учитывая, что разработка техпромфинплана предприятия включает в себя и подготовку проекта контрольных цифр плана, задача выбора оптимального ассортимента продукции решается на этих предприятиях в два этапа.

На первом этапе (при подготовке проекта контрольных цифр плана предприятия), когда еще ассортимент вырабатываемой продукции окончательно не согласован с потребителями или с торгующими организациями, предварительно устанавливают ожидаемый оптимальный ассортимент.

На втором этапе, когда известны условия поставок материально-сырьевых ресурсов и заключены договоры с потребителями, решают задачу по установлению окончательного оптимального ассортимента продукции. На первом этапе задача выбора оптимального ассортимента является более простой, так как количество ограничительных условий при построении экономико-математической модели этой задачи будет меньше, чем на втором этапе.

Как правило, на первом этапе нахождения оптимального ассортимента продукции такой ассортимент, который наилучшим образом соответствует специализации цехов и потоков предприятия, характеризуется высокой рентабельностью и обеспечивает рациональное использование исходных материалов, поступающих в соотношениях, установленных для данного предприятия по номенклатуре и ассортименту. На втором этапе вводят дополнительные ограничения, отражающие план по выпуску, величину заказов на продукцию каждого артикула, выделенные предприятию материально-сырьевые ресурсы по их номенклатуре, количеству и ассортименту.

В таком же порядке решают задачу выбора ассортимента продукции и применительно к подразделениям предприятий. При решении такой задачи экономико-математическими методами необходимо установить ограничения, накладываемые на варианты решений существующими (планируемыми) условиями деятельности предприятия, и целевую функцию, отражающую требования критерия оптимальности ассортимента продукции.

Критериями эффективности могут быть: рентабельность предприятия, его прибыль, себестоимость и количество продукции, производительность труда и др. Критерий оптимальности выбирают на каждом предприятии в соответствии с условиями его деятельности, с наличием «узких мест» производства, с главными задачами, решаемыми в планируемом периоде.

В практической деятельности предприятий промышленности наиболее часто в качестве критерия целевой функции оптимального ассортимента продукции используют показатели рентабельности производства, прибыли и себестоимости продукции, причем наиболее общим является рентабельность производства (предприятия). В этом показателе отражаются как прибыль предприятия, так и его производственные фонды, то есть элементы, определяющие эффективность капитальных вложений. Естественно, что при использовании критерия рентабельности производства целевая функция оптимального ассортимента продукции является наиболее сложной.

При решении задачи выбора оптимального ассортимента продукции в условиях неизменной величины производственных фондов предприятия или его подразделения в качестве критерия оптимальности ассортимента может быть принят показатель прибыли. При использовании этого критерия целевая функция задачи оптимального ассортимента является менее сложной, чем при использовании показателя рентабельности предприятия, и в полной мере отражающей эффективность капитальных вложений: при постоянной величине знаменателя (производственных фондов) изменение числителя (прибыли) будет отражать и изменение показателя рентабельности предприятия. Вместе с тем показатель прибыли как критерий оптимальности ассортимента продукции показывает изменение как себестоимости продукции, так и ее оптовых цен.

Для решения задачи выбора оптимального ассортимента продукции при неизменных оптовых ценах и неизменной величине производственных фондов предприятия или его подразделения в качестве критерия оптимальности ассортимента продукции может быть принят показатель себестоимости всей вырабатываемой, так как он полностью отразит изменения ассортимента.

Оптимизация целевой функции достигается максимизацией критериев рентабельности производства и прибыли и минимизацией критерия себестоимости всей вырабатываемой продукции.

Задача нахождения оптимального ассортимента продукции в планируемом периоде будет сформулирована так. Предприятие (или его отдельное подразделение) при имеющихся ресурсах (производственной мощности, количестве материалов, рабочей силе и т. п.) может в планируемом периоде выпускать все виды продукции, на которых оно специализировано. Необходимо определить такой ассортимент, при котором или себестоимость всей продукции (издержки производства) была бы минимальной, или прибыль предприятия была бы максимальной, или рентабельность производства была бы максимальной.

Целевую функцию по критерию издержек производства (себестоимости) записывают в виде уравнения:

(1)

где Lmin - минимальное значение целевой функции по критерию суммарных издержек производства;

Хi - количество продукции вида (ассортимента) i;

Сi - издержки производства (себестоимость) единицы продукции вида i;

п - количество видов вырабатываемой продукции в ее ассортименте.

Так же записывают целевую функцию по критерию прибыли:

(2)

где Рi - прибыль на единицу продукции вида i.

Целевая функция по критерию рентабельности производства (предприятия) имеет вид:

(3)

где qi - рентабельность предприятия при специализации его на выпуске продукции вида i;

Х'i - доля продукции вида i в общем ее выпуске.

Характер и количество ограничительных уравнений и неравенств при выборе оптимального ассортимента зависят от целевой функции и планируемых условий деятельности предприятия. Так, при целевой функции, показывающей минимум издержек производства, ограничительные уравнения и неравенства могут отражать:

а) фонд времени работы потока, подразделения (цеха), предприятия:

(4)

где аi - трудоемкость единицы продукции вида i;

А - общий полезный фонд рабочего времени потока, подразделения (цеха), предприятия (A не может быть равно 0).

Данное ограничение имеет особое значение в производствах с преобладанием механической технологии.

б) прямое плановое ограничение количества вырабатываемой продукции некоторых определенных видов:

(5)

где Рi1, Рi2 - максимальное количество продукции вида i1, i2, которое может быть выпущено в планируемом периоде в соответствии с указаниями вышестоящей хозяйственной организации (Рi1, Рi2 и т. д. может быть равно нулю);

в) ограничение общего количества вырабатываемой продукции (план по ее выпуску):

,(6)

где R - общее количество выпускаемой продукции (план производства в натуральном измерении);

г) фонд времени работы ведущих видов оборудования:

,(7)

где Сik - норма времени машины вида k на единицу продукции i (машиноемкость единицы продукции вида i по машине вида k);

Nk -- полезное время работы машины вида k.

Данное ограничение имеет особое значение в производствах с преобладанием химической технологии.

д) ограничения в расходовании некоторых определенных видов материальных ресурсов:

,(8)

где bji - норма расхода материала вида j на единицу продукции вида i;

Мj - имеющееся количество материала вида j;

т - количество видов продукции, при изготовлении которой материал вида j (mn);

ж) «неотрицательность» переменных: Хi 0 при i=1, 2, 3, . . . , m.

Опишем теперь все эти формулы относительно условного предприятия, занимающегося производством строительных материалов. Предположим, например, что предприятие производит следующую продукцию: цемент, известь, блоки стеновые, мелкогранулированный мел. Ассортиментный состав продукции представлен в таблице 1.

Таблица 1

Таблица 2

Целевую функцию по критерию издержек производства (себестоимости) находим по уравнению (1):

Так же рассчитываем целевую функцию по критерию прибыли по уравнению (2):

Целевую функцию по критерию рентабельности производства (предприятия) рассчитаем по формуле (3):

Характер и количество ограничительных уравнений и неравенств при выборе оптимального ассортимента зависят от целевой функции и планируемых условий деятельности предприятия. Так, при целевой функции, показывающей минимум издержек производства, ограничительные уравнения и неравенства могут отражать:

? фонд времени работы потока, подразделения (цеха), предприятия:

? прямое плановое ограничение количества вырабатываемой продукции некоторых определенных видов:

? ограничение общего количества вырабатываемой продукции (план по ее выпуску):

200 + 175 + 500 + 160 = 1035 = 1035

? фонд времени работы ведущих видов оборудования:

? ограничения в расходовании некоторых определенных видов материальных ресурсов:

? «неотрицательность» переменных:

200>0; 175>0; 500>0; 160>0.

3. Прогнозирование экономических показателей работы промышленного предприятия на основе экономико-статистических моделей

Статистические модели - это, модели, в которых описываются корреляционно-регрессионные зависимости результата производства от одного или нескольких независимых факторов. Эти модели широко используются для построения производственных функций, а также при анализе экономических систем.

Система экономико-статистических моделей позволяет прогнозировать спрос и потребление населения на ближайшие и даже сравнительно отдаленные периоды. В качестве исходной информации привлекаются данные о планируемом росте доходов населения, об увеличении производства потребительских товаров, об ожидаемых сдвигах в структуре населения, о рациональных нормах потребления и т.д. Расчеты ведутся обычно на базе динамических многофакторных корреляционных моделей спроса и потребления.

Корреляционные модели спроса и потребления населения не только способствуют совершенствованию планирования на современном этапе, но и призваны стать неотъемлемой частью общей системы экономико-статистических моделей оптимального планирования народного хозяйства.

С помощью корреляционно-регрессионного анализа (парной корреляции), на условном примере, на основании сопоставления в течение 5 лет спроса по х/булочным изделиям в расчете на душу населения (Х) и среднедушевых доходов населения (У), установим тесноту связи и зависимость спроса по х/булочным изделиям от среднедушевых доходов (таблица 1).

Таблица 1

Связь между спросом по х/булочным изделиям и среднедушевыми доходами можно выразить с помощью уравнения прямой линии:

У(х) = а + вх,

где У(х) - результативный показатель;

а - свободный член уравнения, то есть постоянная величина, которая не связана с изменениями данного фактора;

х - фактор, определяющий уровень результативного показателя, характеризующий уровень влияния данного фактора на результативный показатель.

Для нахождения неизвестных параметров а и в, необходимо решить систему уравнений:

a = 20;в = 1,33

У = 20 + 1,33х

Для выявления тесноты связи между результативным показателем и фактором необходимо по формуле (1) рассчитать коэффициент корреляции (Kху):

,(1)

где n - число наблюдений.

Величина коэффициента корреляции может принимать значения от 0 до ±1. Чем ближе его величина к 1, тем более тесная связь между изучаемыми явлениями, и наоборот. В данном случае величина коэффициента корреляции является несущественной. Это позволяет сделать вывод о том, что спрос на х/булочные изделия не сильно зависит от среднедушевых доходов населения.

Список использованных источников

Математические методы в планировании отраслей и предприятий. Учебное пособие под ред. Попова И.Г. М., Экономика, 1981 г.

Терехов Л.Л. Экономико-математические методы. М., Статистика, 1972 г.

Экономико-математические методы и модели. Под ред. Кузнецова А.В. Минск, БГЭУ, 1999 г.