Балансовая модель

БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель - проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.

ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).

Обозначим через x_i валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через y_i - конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).

Таким образом, разность x_i - y_i составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

Обозначим через x_ik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере х_k.

nx_n1 x_n2 x_nk x_nn е--x_nk y_n x_n

итого

произв.

затраты е--х_i1е--x_i2 е x_ik е x_in

в k-ю

отрасль

Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами :

х₁ - ( х₁₁ + х₁₂ + + х_1n ) = у₁

х₂ - ( х₂₁ + х₂₂ + … + х_2n ) = у₂ ( 1 )

x_n - ( x_n1 + x_n2 + … + x_nn ) = y_n

Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихом ( х'_ik , y'_i и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха - аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будем называть совокупность значений y₁ , y₂ , … , y_n , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :

у = ( у₁ , у₂ , … , y_n ) , ( 2 )

а совокупность значений x₁ , x₂ , … , x_n ,определяющих валовый выпуск всех отраслей вектор-планом :

x = ( x₁ , x₂ , … , x_n ).( 3 )

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных х_k , содержат n² неизвестных x_ik , которые в свою очередь зависят от x_k.

Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины a_ik из соотношений :

x_ik

a_ik = --- ( i , k = 1 , 2 , … , n ).

x_k

Величины a_ik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты a_ik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

x'_ik x_ik

--- = --- = a_ik = const ( 4 )

x'_k x_k

Исходя из этого предложения имеем

x_ik = a_ikx_k , ( 5 )

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска x_k. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат a_ik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1k … a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2k … a_2n

A=

a_i1 a_i2 … a_ik … a_in

a_n1 a_n2 … a_nk … a_nn

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы a_ik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1

Подставляя значения x_ik = a_ik = x_k во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель :

x₁ - ( a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n ) = y₁

x₂ - ( a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n ) = y₂ ( 6 )

x_n - ( a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n ) = y_n ,



характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1

Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

Ех - Ах = У , или окончательно

( Е - А )х = У ,( 6 )

где Е - единичная матрица n-го порядка и

1-a₁₁ -a₁₂ … -a_1n

E - A= -a₂₁ 1-a₂₂ … -a_2n

-a_n1 -a_n2 … 1-a_nn

Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( x_i и y_i ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n - переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y₁ , y₂ , … , y_n ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х₁ , х₂ , … х_n ).

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:

Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл.2

Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:

100 160 275 40

а₁₁ = ---- = 0.2 ; а₁₂ = ---- = 0.4 ; а₂₁ = ---- = 0.55 ; а₂₂ = ---- = 0.1

500 400 500 400

Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.

Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл.2

х₁ - 0.2х₁ - 0.4х₂ = у₁

х₂ - 0.55х₁ - 0.1х₂ = у₂

Эта система двух уравнений может быть использована для определения х₁ и х₂ при заданных значениях у₁ и у₂, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.

Так, например, задавшись у₁=240 и у₂=85, получим х₁=500 и х₂=400, задавшись у₁=480 и у₂=170, получим х₁=1000 и х₂=800 и т.д.

РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.

Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).

Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6 ) допустимым решением.

Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.

Так, например, если

0.9 0.8 0.1 -0.8 и уравнение ( 6 )

А= , то Е - А =

0.6 0.9-0.6 0.1

запишется в виде 0.1 -0.8 х₁ у₁ или в развернутой форме

-0.6 0.1 х₂ у₂

0.1х₁ - 0.8х₂ = у₁ ( )

-0.6х₁ + 0.1х₂ = у₂

Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение

-0.5х₁ - 0.7х₂ = у₁ + у₂,

которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х₁ и х₂, если только у₁>0 и у₂>0 ( кроме х₁=х₂=0 при у₁=у₂=0 ).

Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) - несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) - неопределенная ).

Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.

Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )х>0, т.е. если уравнение ( 6 ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение.

При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной. Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )х = У, где вектор-план х и ассортиментный вектор У определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У>0. Таким образом, уравнение ( 6 ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6 ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.

Обозначив обратную матрицу ( Е - А )^-1 через S = || s_ik+ ||, запишем решение уравнения ( 6 ) в виде

х = SУ ( 7 )

Если будет задан вектор - конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E - A )^-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.

Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:

x₁ = S₁₁y₁ + S₁₂y₂ + … + S_1ny_n

x₂ = S₂₁y₁ + S₂₂y₂ + … + S_2ny_n ( 8 )

x_n = S_n1y₁ + S_n2y₂ + … + S_nny_n

ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ЗАТРАТЫ.

Выясним экономический смысл элементов S_ik матрицы S.

Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е.

Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим

1 S₁₁

_ 0 S₂₁ _

х = S : = := S₁

0 S_n10

_ 1

задавшись ассортиментным вектором У₂ = 0 , получим

:

0

0 S₁₂

_ 1 S₂₂ _

х = S : = : = S₂

0 S_n2

Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, составит

0 S_1k

_ :S_2k _

х = S 1 =: = S_k ,( 9 )

:S_nk

0

т.е. k-й столбец матрицы S.

Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:

Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х₁=S_1k, во 2-й х₂=S_2k и т.д., в i-й отрасли выпустить x_i=S_ik и, наконец, в n-й отрасли выпустить x_n=S_nk единиц продукции.

Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта, то величины S_1k, S_2k, …, S_ik, …, S_nk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a_1k, a_2k, …, a_ik, …, a_nk на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве a_ik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли ( a_1k ), 2-й отрасли (a_2k ) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли ( a_i1, a_i2, … и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2

Пусть нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х₂=1 ) затрачивается: продукции 1-й отрасли a₁₂=0.4 и 2-й отрасли a₂₂=0.1.

Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у₂=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х₁=0.4100=40 ? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а₁₁=0.2 ), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х₁=40+0.240=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли - х₁=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у₂=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив у₁=0 и у₂=1 ( см п.2 ):



0.8х₁ - 0.4х₂ = 0

-0.55х₁ + 0.9х₂ = 1

Решив эту систему, получим х₁=0.8 и х₂=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х₁=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S₁₂. Таким образом, если а₁₂=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и были названы прямые затраты ), то S₁₂ учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые ( а₁₂ ), так и косвенные затраты, реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S₁₂-a₁₂=0.8-0.4=0.4

Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а₁₂=0.4 при х₂=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.

Итак, величина S_ik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые ( a_ik ), так и косвенные ( S_ik - a_ik ) затраты.

Очевидно, что всегда S_ik > a-_ik.

Если необходимо выпустить у_k единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы ( 8 ):

x₁ = S_1ky_k, x₂ = S_2ky_k, …, x_n = S_nky_k ,

что можно записать короче в виде:

_ _

x = S_ky_k( 10 )

Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортиментным вектором У = :, то валовый выпуск k-й отрасли x_k, необходимый для его

у_n

обеспечения, определится на основании равенств ( 10 ) как скалярное произведение столбца S_k на вектор У, т.е.

x_k = S_k1y₁ + S_k2y₂ + … + S_kny_n = S_ky , ( 11 )

а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы S на вектор У.

Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат S, можно по формулам ( 7 ) - ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.

Можно также определить, какое изменение в вектор-плане

х = ( х₁, х₂, …, х_n )

вызовет заданное изменение ассортиментного продукта

У = ( у₁, у₂, …, у_n )

по формуле:



х = SУ , ( 12 )

Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:

0.4

А =

0.55 0.1

Следовательно,

1 -0.2-0.4 0.8 -0.4

Е - А = =

-0.55 1 -0.1 -0.55 0.9

Определитель этой матрицы

0.8 -0.4

D [ E - A ] = = 0.5

-0.55 0.9

Построим присоединенную матрицу ( Е - А )^*. Имеем:

0.9 0.4

( Е - А )^* = ,

0.55 0.8

откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей:

1 0.90.4 1.8 0.8

S = ( Е - А )^-1 = --- =

0.50.55 0.8 1.1 1.6

Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли, составляет S₁₁=0.8 и S₂₁=1.5. Сравнивая с прямыми затратами а₁₁=0.2 и а₂₁=0.55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1.8-0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55.

Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы конечного продукта 2-й отрасли равны S₁₂=0.8 и S₂₂=1.5, откуда косвенные затраты составят 0.8-0.4=0.4 и 1.6-0.1=1.5.

Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й и 170 единиц 2-й отраслей.

Тогда необходимый валовый выпуск х = х₁ найдется из равенства ( 7 ):

х₂

-_ _ 1.8 0.8 4801000

х = SУ = =

1.6 170 800 .



ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д.

Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат x_ik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки.

Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через x_n+1,k, и затраты капиталовложений - через x_n+2,k ( где k = 1, 2, …, n ). Подобно тому как вводились прямые затраты a_ik,

x_n+1,k

введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда a_n+1,k = ----- , и x_k x_n+2,k

капиталовложений a_n+2,k = ----- , представляющих собой расход соответствующего x_k

ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу ( т.е. дописав их в виде дополнительных строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:

a₁₁ a₁₂ … a_1k … a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2k … a_2n основная часть матрицы

А = a_i1a_i2 … a_ik… a_in

a_n1 a_n2 … a_nk … a_nn

a_n+1,1 a_n+1,2 … a_n+1,k … a_n+1,n

a_n+2,1 a_n+2,2 … a_n+2,k … a_n+2,n дополнительные строки

При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы ( структурная матрица А ). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.

Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т.е.

_ 1

У = 0

:

0 .

Для этого требуется валовый выпуск продукции

S₁₁

_ _ S₂₁

x = S₁ = :

S_n1

Подсчитаем необходимые при этом затраты труда S_n+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов a_n+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S₁₁, S₁₂, …, S_1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как a_n+1,1S₁₁, во 2-ю - a_n+1,2S₂₁ и т.д., наконец в n-ю отрасль a_n+1,nS_n1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:

S_n+1,1 = a_n+1,1S₁₁ + a_n+1,2S₂₁ + … + a_n+1,nS_n1 = a_n+1S₁ ,

т.е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки расширенной матрицы А, которую обозначим a_n+1, на 1-й столбец матрицы S.

Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят:

S_n+1,k = a_n+1S_k( 13 )

Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:

S_n+2,k = a_n+2S_k( 14 )

Теперь можно дополнить матриц S строками, состоящими из элементов S_n+1,k и S_n+2,k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:

S₁₁ S₁₂ … S_1k … S_1n матрица коэффициентов

S₂₁ S₂₂ … S_2k … S_2nполных внутрипроизводст.

затрат

S = S_i1S_i2 … S_ik… S_in

( 15 )

S_n1 S_n2 … S_nk … S_nn

S_n+1,1 S_n+1,2 … S_n+1,k … S_n+1,n дополнительные строки

S_n+2,1 S_n+2,2 … S_n+2,k … S_n+2,n

Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х ( для чего используется матрица S ), но и необходимые суммарные затраты труда x_n+1, капиталовложений x_n+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У.

Очевидно,

x_n+1 = S_n+1,1y₁ + S_n+1,2y₂ + … + S_n+1,ny_n , ( 16 )

x_n+2 = S_n+2,1y₁ + S_n+2,2y₂ + … + S_n+2,ny_n ,

т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S вектор У.

Наконец, объединяя формулу ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к следующей компактной форме:

x₁

x₂

_ : _

x = x_n = SУ( 17 )

x_n+1

x_n+2

Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты труда x_n+1,k ( в тыс. человеко-часов ) и капиталовложений x_n+2,k ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл.3

Переходя к коэффициентам прямых затрат a_ik, получим расширенную матрицу:

0.2 0.4

А = 0.55 0.1

0.5 0.2

1.5 2.0

капиталовложения

Обратная матрица S = ( E - A )^-1 была уже подсчитана в предыдущем пункте.

На основании ( 13 ) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда ( S_n+1,k=S_3,k ):

_ _

S₃₁ = a₃S₁ = 0.5 1.8 + 0.2 1.1 = 1.12 ;

_ _

S₃₂ = a₃S₂ = 0.5 0.8 + 0.2 1.6 = 0.72

и капиталовложений S_n+2,k = S_4,k:

_ _

S₄₁ = a₄S₁ = 1.5 1.8 + 2.0 1.1 = 4.9 ;

_ _

S₄₂ = a₄S₂ = 1.5 0.8 + 2.0 1.6 = 4.4 .

Таким образом, расширенная матрица S коэффициентов полных затрат примет вид:

1.8 0.8

S =1.1 1.6

1.12 0.72

4.9 4.4

Если задаться на планируемый период прежним ассортиментным вектором

У = 240 , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда x_n+1 и

85

капиталовложений x_n+2, получили бы

x_n+1 = x₃ = 1,12 240 + 0.72 85 = 268.8 + 61.2 = 330 тыс. чел.-ч. и x_n+2 = x_n = 4.9 240 + 4.4 85 = 1176 + 374 = 1550

тыс.руб., что совпадает с исходными данными табл.3.

Однако в отличие от табл.3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям

( 250 и 80 или 750 и 800 ), здесь они распределены по видам конечной продукции: на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й отрасли 61.2; соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.

При любом новом значении ассортиментного вектора У все показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы ( 17 ).

Так, пусть задан ассортиментный вектор У = 480 . Тогда

_ х₁ 1.80.81000

х = х₂ = 1.11.6 480 = 800

х₃ 1.12 0.72 170 600

х₄ 4.94.4 3100

Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х₁=1000 и х₂=800, при суммарных затратах труда х₃=660 тыс. чел.-ч. и при затратах капиталовложений х₄=3100 тыс.руб.

Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях.

Задача

В таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел.-ч.

Определить:

а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы;

б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждого цеха;

в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;

г) производственные затраты по цехам ( в руб. ) и на всю производственную программу завода;

д) производственные затраты на единицу конечной продукции.

Решение:

а) Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю строку второй таблицы на вектор х, т.е.

_ _ 235

а₄х = ( 1.4; 2.4; 0.8 ) 186 = 1088

397

Аналогично можно получить расход сырья II и т.д.

Все это удобно записать в виде произведения:

1.4 2.4 0.8 235 1088 Сырье I

00.6 1.6 186 = 746 Сырье II

2.0 1.8 2.2 397 1678Топливо

0.1 0.2 0.2 1409Человеко-часов.

б) Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха ( у₁=1 ) найдем из выражения 1.4S₁₁ + 2.4S₂₁ + 0.8S₃₁. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения матрицы:

I II III

1.4 2.4 0.8 1.04 0.21 0.021.97 2.92 1.36 Сырье I

0 0.6 1.6 0.21 1.05 0.13 = 0.17 0.84 2.09 Сырье II

2.0 1.8 2.2 0.03 0.13 1.262.53 2.60 5.23 Топливо

1020 20 15.2 24.8 28.0 Труд

Таким образом, например, для изготовления у₁=1 необходимо затратить 1.97 единиц сырья I, 0.17 единиц сырья II, 2.53 единиц топлива и 15.2 чел.-ч.

в) Расход сырья, топлива и т.д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по цехам. В результате получим матрицу полных расходов:

I II III

Сырье I330 440 318

Сырье II 0111 635

Топливо 470 335 873

Труд 2350 3720 7940

г) Производственные расходы по цехам можем получить путем умножения слева строки стоимостей ( 5; 12; 2; 1.2 ) на последнюю матрицу:

330 440 318

0111 635I II III

( 5; 12; 2; 1.2 ) 470 335 873 = ( 5410; 8666; 20484 )

2350 3720 7940

д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п.б., на строку цен:

1.97 2.92 1.36

0.17 0.84 2.09 I IIIII

( 5; 12; 2; 1.2 )2.53 2.60 5.23 = ( 35.3; 59.6; 75.7 )

15.2 24.8 28.0

Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции I, II и III цехов соответственно составляют: 35.3 руб., 59.6 руб., 75.7 руб.