Законы распределения и их характеристики

Закономерности распределения

При массовых наблюдениях можно заметить определенную зависимость между изменением значений признака и частотами их встречаемости в ряду распределения. Это свидетельствует о том, что частоты в вариационных рядах изменяются закономерно с изменением вариационного признака. Такие закономерности изменения частот в вариационных рядах называются закономерностями распределения. Большое значение для нахождения закономерностей распределения имеет правильное построение самого вариационного ряда.

Основная задача анализа вариационных рядов - выявление подлинной закономерности распределения путем исключения влияния второстепенных, случайных факторов, что достигается увеличением объема исследуемой совокупности при одновременном уменьшении интервала ряда.

Из математической статистики известно, что, если увеличить объем совокупности и уменьшить интервал группировки, изобразить эти данные графически, то полигон (гистограмма) распределения все более и более приближаются к плавной линии, являющейся для них пределом и носящей название кривой распределения. Получение кривой распределения на основе полигона или гистограммы можно представить лишь для гипотетического случая, соответствующего бесконечно большому числу единиц совокупности и бесконечно малой ширине интервала ряда.

Только при этих идеализированных условиях кривая распределения будет выражать функциональную связь между значениями варьирующего признака и соответствующими им частотами и представлять так называемое теоретическое распределение.

Различают следующие разновидности кривых распределения:

одновершинные кривые: симметричные, умеренно асимметричные и крайне асимметричные;

многовершинные кривые.

Для однородных совокупностей характерны одновершинные распределения. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Для симметричных (нормальных) распределений частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для таких распределений средняя арифметическая, мода и медиана равны:

При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии.

Коэффициент асимметрии вычисляется по формулам:

(1)

или

(2)

Его величина может быть положительной и отрицательной. Если наблюдается правосторонняя асимметрия (см. рис. 1).

Рис. 1. Правосторонняя асимметрия

Если - это левосторонняя асимметрия (рис. 2).

Рис. 2. Левосторонняя асимметрия

Принято считать: если коэффициент асимметрии выше 0,5 (независимо от знака), то асимметрия считается значительной, если он меньше 0,25, то - незначительной.

Наиболее широко применяется для расчета коэффициента отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе:

Оценка асимметрии производится на основе коэффициента асимметрии и средней квадратической ошибки, которая зависит от числа наблюдений (n) и рассчитывается по формуле

В случае асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично. В противном случае , асимметрия несущественна и ее наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами.

Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса (Ек). Наиболее точно он определяется по формуле с использованием центрального момента четвертого порядка:

(3)

(4)

На рис. 3, 4 представлены два вида распределения:

островершинное (Ек > 0);

плосковершинное (Ек < 0).

В нормальном распределении Ек = 0.

Среднеквадратическая ошибка эксцесса () рассчитывается по формуле

, (7)

где n - число наблюдений.

Рис. 3. Островершинное Рис. 4. Плосковершинное

распределение распределение

Эти показатели позволяют сделать вывод о возможности применения данного эмпирического распределения к типу кривых нормального распределения.

Теоретические распределения в анализе вариационных рядов

В статистике используются различные виды теоретических распределений: нормальное распределение, биноминальное распределение, распределение Пуассона и др. Каждое из теоретических распределений имеет специфику и свою область применения в различных отраслях знаний. Чаще всего в качестве теоретического распределения используется нормальное распределение или закон К. Гаусса-А. Лапласа. В 1993 г. Де-Муавр вывел закон нормального распределения вероятностей. В разработку этого закона, основные идеи которого впервые были использованы в теории ошибок, в XIX в. внесли существенный вклад К. Гаусс и А. Лаплас. Общие условия возникновения закона нормального распределения установил А.М. Ляпунов. Нормальное распределение признака наблюдается в тех случаях, когда на величину вариантов, входящих в состав вариационного ряда, действует множество случайных, независимых или слабо зависимых факторов, каждый из которых играет в общей сумме незначительную роль. Нарушение нормального характера распределения часто является свидетельством неоднородности совокупности.

Закон нормального распределения вычисляется по формуле

, (8)

где - ордината кривой нормального распределения;

- нормированная величина;

- математические постоянные;

- варианты вариационного ряда;

- средняя величина;

- среднее квадратическое отклонение.

Функция широко используется в экономических расчетах, а ее значение при разных t табулированы и представлены в таблицах, графическое изображение дает кривую нормального распределения (см. рис. 5).

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: средней арифметической () и средним квадратическим отклонением (). Подчиненность закону нормального распределения проявляется тем точнее, чем больше случайных величин действуют вместе. Если ни одна из случайно действующих причин по своему действию не окажется преобладающей над другими, то закон распределения очень близко подходит к нормальному.

Рис. 5. Нормальное распределение с одно-, двух-, трехсигмовыми пределами

Свойства кривой нормального распределения

1. Функция нормального распределения четная, т. е. y(-t) = y(+t). Следовательно, изображающая ее кривая распределена симметрично относительно оси ординат, т. е.

2. Функция имеет бесконечно малые значения при t = . Это означает, что ветви кривой удалены в бесконечность и асимптотически приближаются к оси абсцисс.

3. Функция имеет максимум при t = 0. Отсюда следует, что модального значения кривая достигает при t = 0 или при . Величина максимума составляет .

4. При t =1 функция дает точки перегиба. Следовательно, при отклонении значений признака (х) от среднего значения в положительном и отрицательном направлениях на одно стандартное отклонение () кривая дает переход от выпуклости к вогнутости.

5. Если случайная величина представляет сумму двух независимых случайных величин, следующих нормальному закону, то она тоже следует нормальному закону.

6. Площадь между кривой и осью Ot равна единице.

В условиях нормального распределения существует следующая зависимость между величиной среднего квадратического отклонения и количеством наблюдений: в промежутке между при t=+1 и t= -1 заключается 68,26 % всех значений признаков; между при t=+2 и t= -2 располагается 95,44 % всех значений признаков; между при t=+3 и t= -3 находится 99,73 % значений признаков. На рис. 6.5 показано нормальное распределение с одно-, двух-, трехсигмовыми пределами.

На практике почти не встречаются отклонения, которые превышают . Отклонение может считаться максимально возможным. Это положение называют “правилом трех сигм”.

В математической статистике нормальное распределение играет роль некоторого стандарта, с которым сравнивают другие распределения.

При построении кривой по эмпирическим данным используют следующую формулу:

, (9)

где h - величина интервала;

- сумма всех частот, равная объему совокупности;

- среднее квадратическое отклонение.

Пример. Построить нормальную кривую по данным о распределении 200 деталей по весу (см. табл. 1).

Решение. Находим среднюю по способу моментов по формуле (10), избираем центр отсчета А = 328,5 и h = 5:

.

Находим среднее квадратическое отклонение по формуле (10):

Находим t в каждой строке по формуле , а затем F(t). Для вычисления теоретических частот (т. е. ординат нормальной кривой) находим множитель и все найденные величины F(t) умножаем на 102,14. Так, для первой теоретической частоты получаем: 102,140,129513 и т. д. Учитывая, что полученные теоретические частоты могут быть только целыми числами, округляем их и находим сумму, равную 192. Таким образом, видим несовпадение суммы теоретических частот (192) с суммой фактических частот (200). Такое расхождение бывает в тех случаях, когда крайние теоретические частоты значительно отличаются от нуля. В этих случаях теоретическую кривую надо продлевать. В нашем примере нормальная кривая должна быть продолжена в сторону отрицательных отклонений от средней, так как первая неуточненная частота, как мы видели, равна 13.

Производим такой расчет теоретических частот для двух предшествующих интервалов, в которых фактические частоты равны нулю, и получаем для интервалов 296-301 и 301-306 теоретические частоты 2 и 6. Для наглядности строим график, на который наносим фактическое распределение в виде гистограммы и нормальную кривую (рис. 6).

Рис. 6. Фактическое распределение и нормальная кривая

На графике видна близость фактических частот распределения к теоретическим. Однако, такое сопоставление соответствия эмпирического распределения нормальному позволяет оценивать эти расхождения только субъективно. Объективная характеристика соответствия может быть получена с помощью приемов.

К элементарным приемам определения «нормальности» распределения относятся:

1. Сравнение по абсолютной величине отношений: если или , то «нормальность» распределения подвергается сомнению.

2. Сравнение средней арифметической с модой и медианой. Для нормального распределения

3. Использование теоретического соотношения для центральных моментов нормального распределения

4. Вычисление специальных критериев согласия.

Объективная характеристика соответствия эмпирического распределения нормальному может быть получена с помощью особых статистических показателей - критериев согласия. Известны критерии согласия К. Пирсона (), В. И. Романовского , А. Н. Колмогорова и Б. С. Ястремского .

Критерий согласия Пирсона () вычисляется по формуле

(10)

где эмпирические и теоретические частоты соответственно.

С помощью величины по специальным таблицам определяется вероятность . Входами в таблицу являются значения и число степеней свободы k = n - 1. На основе вероятности выносится суждение о существенности или несущественности расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями. При Р > 0,5 считается, что теоретическое и эмпирическое распределения близки, при Р[0,2; 0,5] совпадение между ними удовлетворительное, в остальных случаях - недостаточное.

Критерий Романовского (C), также используемый для проверки близости эмпирического и теоретического распределений, определяется следующим образом:

, (11)

где - критерий Пирсона;

k - число степеней свободы, которое равно числу групп минус три.

При С<3 различие несущественно, что позволяет считать эмпирическое распределение близким к нормальному.

Таблица 1

Распределение 200 деталей по весу

Критерий Ястремского (L) может быть найден на основе следующего соотношения:

(12)

где N - объем совокупности;

pq - дисперсия альтернативного признака;

к - число вариантов или групп;

Q - принимает значение 0,6 при числе вариантов или групп от 8 до 20.

Если L > 3, то эмпирическое распределение соответствует теоретическому.

Критерий Колмогорова () вычисляется по формуле

, (13)

где Д - максимальное значение разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами;

- сумма эмпирических частот.

Необходимым условием использования этого критерия является достаточно большое число наблюдений (не меньше 100).

Литература

1. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 560 с.

2. Практикум по теории статистики: Учеб. Пособие/ Под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 416 с.

3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - М.: ИНФРА-М.2002. - 387 с.

4. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. - М.:ИНФРА-М,2001. - 346 с.

5. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности /Под ред. О.Э. Башиной, А.А Спирина. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 298 с.

6. Экономическая статистика: Учебник/ Под ред. Ю.Н. Иванова. - М.: ИНФРА-М, 2007. - 480 с.

7. Гусаров В.М. Статистика: Учеб. Пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 463 с.