Абсолютные показатели вариации

Колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у единиц совокупности называются вариацией. Вариация существует в пространстве и во времени. Под вариацией в пространстве понимается колеблемость значений признака по отдельным территориям. Под вариацией во времени подразумевают изменение значений признака в различные периоды времени.

Задача изучения вариации признаков состоит в том, чтобы:

1) определить меру вариации, т. е. количественно измерить (рассчитать показатель вариации);

2) выяснить причины, которые вызвали вариацию признаков. Разложить общий объем вариации по источникам.

Измерение вариации имеет как практическое, так и теоретическое значение: при ее помощи характеризуется однородность, планомерность многих процессов (если в работе предприятия большая вариация, то это ведет к неполному использованию производственных мощностей, к браку, срыву работы смежников, так называемой “штурмовщине”). Очень важны показатели вариации при характеристике выполнения договорных обязательств по отдельным предприятиям.

Для измерения размера вариации в статистике используется система абсолютных и относительных показателей.

К абсолютным показателям относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Самым простым является размах вариации - это разность между максимальным и минимальным значениями признака (R = x_max - x_min). Основным недостатком этого показателя является то, что он определяется двумя крайними значениями, в то время как вариация признака складывается из всех его значений. Часто размах вариации имеет важное смысловое значение. Им определяются пределы, в которых могут колебаться размеры тех или иных параметров деталей при контроле качества продукции, при анализе устойчивости режима производственного процесса.

На заре статистической науки было предложено брать в качестве меры вариации среднее абсолютное значение отклонений от средней величины значений признака, не принимая во внимание их знаки. Такая мера вариации получила название среднего линейного отклонения d:

. (1)

Для вариационного ряда:

. (2)

Среднее линейное отклонение представляет средние показатели, полученные из отклонений индивидуальных значений признака от их среднего размера.

Но нельзя построить меру вариации, игнорируя основное свойство отклонений как величин, принимающих и положительные и отрицательные значения. Отсюда основной мерой вариации является дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней величины. В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой:

(3)

или взвешенной:

. (4)

Среднее квадратическое отклонение - показатель степени однородности изучаемой совокупности. Поэтому он может быть использован для оценки надежности средней арифметической. Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:

; (5)

для вариационного ряда:

. (6)

Среднее квадратическое отклонение у выражается в тех же единицах измерения, что и исходные значения x_i. Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности.

Техника вычисления дисперсии сложна, а при больших значениях вариант и частот может быть громоздкой. Расчеты можно упростить, используя свойства дисперсии:

Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину А не меняет величины дисперсии:

. (7)

Уменьшение всех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k² раз:

. (8)

Дисперсия от средней всегда меньше дисперсии, исчисленной от любой другой величины, на квадрат разности средней и условно взятой величины

. (9)

При расчете дисперсии используются и другие свойства. Каждое свойство может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими. Используя эти свойства и применяя способ моментов, можно достаточно быстро исчислить дисперсию. Этим способом удобно пользоваться, когда значения признака заданы в виде рядов распределения с равными интервалами:

, (10)

где h - величина интервала;

А - условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой.

В случае, когда А приравнивается к нулю, следовательно, не вычисляются отклонения, формула принимает такой вид

(11)

или

. (12)

В статистике используют условные моменты m₁, m₂, m₃ и центральные моменты М₂, М₃, необходимые для расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Величину m₁ называют моментом первого порядка:

. (13)

Величину m₂ называют моментом второго порядка:

. (14)

Величину m₃ называют моментом третьего порядка:

. (15)

Используются центральные моменты М₂, М₃:

; (16)

. (17)

Учитывая это, формулы дисперсии и среднего квадратического отклонения можно записать так:

; (18)

. (19)

Пример. По данным о времени горения электроламп, приведенным в табл. 1, рассчитать дисперсию по способу моментов.

Решение. По формуле (10) рассчитаем дисперсию

Исчислим дисперсию по формуле (5.18) через условные моменты для приведенного примера:

Вариация альтернативного признака

Альтернативными признаками называются признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Наличие признака обозначим 1, отсутствие 0. Долю вариантов, обладающих данным признаком p, а не обладающих им q.

Так как p + q = 1, то дисперсия альтернативного признака

,

где n - число наблюдений;

m - число единиц совокупности, обладающие данным признаком [1, 3-7].

Виды дисперсий и правило их сложения

Если совокупность разбита на группы (части) по изучаемому признаку, то для такой совокупности рассчитывают следующие виды дисперсий: общая, групповые (частные), средняя из групповых, межгрупповая.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Общая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака от общей средней . Она может быть исчислена как простая средняя или как

(20)

взвешенная:

. (21)

Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех условий и причин, действующих в совокупности.

Групповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы (групповой средней). Она может быть исчислена как простая или как взвешенная средняя:

; (22)

. (23)

Эта дисперсия отражает вариацию признака только за счет условий и причин, действующих внутри группы.

Средняя из групповых (частных) дисперсий - это средняя арифметическая, взвешенная из дисперсий групповых:

. (24)

Межгрупповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней :

. (25)

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака за счет группировочного признака.

Между указанными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия равна сумме средней из групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:

. (26)

Это соотношение называют правилом сложения дисперсий. С его помощью, зная два вида дисперсий, можно определить третий.

Пример. Имеются данные о производительности рабочих за один час работы (см. табл. 1).

Таблица 1

Исчислить групповые дисперсии; среднюю из групповых дисперсий; межгрупповую и общую дисперсии.

Решение

1. Групповые дисперсии

Исчислим средние по группам, используя формулу (3):

Исчислим групповые дисперсии по формуле (20):

2. Рассчитаем среднюю из групповых дисперсий по формуле (24):

3. Определим общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:

.

Исчислим межгрупповую дисперсию по формуле (25):

4. Исчислим общую дисперсию по правилу сложения дисперсий по формуле (26):

Относительные показатели вариации

Для сравнения показателей вариации разных признаков, имеющих существенное различие в уровнях признаков, и для оценки интенсивности вариации используются относительные показатели вариации. Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Различают следующие относительные показатели:

1) относительный размах вариации (коэффициент осцилляции):

2) относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации):

3) коэффициент вариации:

В коэффициенте вариации устраняется не только несопоставимость, связанная с различными единицами измерения изучаемого признака, но и несопоставимость, которая возникает вследствие различия величин средних арифметических. Коэффициент вариации пригоден для сравнения колеблемости различных по своему характеру и размеру у и V, которые являются известными “мерилами” надежности средних. Чем меньше их значение, тем однороднее изучаемая совокупность и надежнее полученная средняя.

Литература

1. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 560 с.

2. Практикум по теории статистики: Учеб. Пособие/ Под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 416 с.

3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - М.: ИНФРА-М.2002. - 387 с.

4. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. - М.:ИНФРА-М,2001. - 346 с.

5. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности /Под ред. О.Э. Башиной, А.А Спирина. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 298 с.

6. Экономическая статистика: Учебник/ Под ред. Ю.Н. Иванова. - М.: ИНФРА-М, 2007. - 480 с.

7. Гусаров В.М. Статистика: Учеб. Пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 463 с.