Основные виды обобщающих показателей

Абсолютные и относительные величины

Явления общественной жизни, изучаемые статистикой, имеют количественную определенность, которая выражается в абсолютных величинах.

Абсолютные величины характеризуют размеры (объемы) общественных явлений в единицах меры веса, стоимости, площади, протяженности. Абсолютные величины непосредственно связаны с социальной, экономической, вещественной формой явлений, к которым они относятся, и отражают количественную сторону того или иного свойства, явления. Они характеризуют ресурсы, объемы производства, изменение численности, необходимы для контроля и являются основой расчетов обобщающих показателей. Абсолютные величины - числа именованные, имеют определенную размерность, единицу измерения. Выбор единицы измерения абсолютной величины определяется сущностью, свойствами изучаемого явления, а также задачами исследования. Чаще всего применяются натуральные, стоимостные, условно-натуральные единицы измерения. В качестве своеобразной единицы измерения выступают сами единицы изучаемой совокупности явлений, когда производится их подсчет для определения объема (численности) этой совокупности в целом, а также отдельных ее частей (групп).

Непосредственно в процессе статистического наблюдения устанавливаются индивидуальные абсолютные величины, они служат основой сводки данных наблюдения, орудием показа достижений или упущений. В результате сводки данных статистического наблюдения при суммировании индивидуальных абсолютных величин получают суммарные (общие, групповые) абсолютные величины, характеризующие размеры того или иного признака у всех единиц данной совокупности или отдельных групп.

Относительными величинами называются обобщающие показатели, характеризующие количественные соотношения двух сопоставляемых статистических величин. Относительные величины имеют большое значение, без них нельзя обойтись в социально-экономическом анализе, т. к. абсолютные величины сами по себе не всегда позволяют дать правильную оценку исследуемого явления. Во многих случаях только в сравнении с другой величиной они проявляют истинную значимость.

Относительные величины широко используют в анализе, ими характеризуются структура, уровень удовлетворения общественных потребностей, развитие во времени. Имея большую устойчивость по сравнению с исходными данными, они широко применяются для прослеживания тенденций в развитии явлений. Основной особенностью относительных величин является то, что они дают возможность сравнивать такие общественные явления, абсолютные размеры которых непосредственно несопоставимы, в силу чего становится возможным сравнение уровня развития и распространенности общественных явлений.

Относительные величины образуются в результате сопоставления одноименных и разноименных статистических величин. В результате сопоставления одноименных величин получаются неименованные относительные величины. Они могут быть выражены в коэффициентах в виде кратного отношения, показывающего, во сколько раз данная величина больше или меньше той, с которой она сравнивается (т. е. база сравнения принимается за единицу). Широкой формой относительных величин являются проценты (%), при этом база сравнения принимается за 100.

Относительный показатель представляет результат деления одного абсолютного показателя на другой и выражает соотношение между количественными характеристиками социально-экономических процессов. Относительные величины вторичны по отношению к абсолютным показателям. Абсолютный показатель, находящийся в числителе, называется текущим или сравниваемым. Показатель, с которым производится сравнение и который находится в знаменателе, называется основанием или базой сравнения. Относительные показатели могут выражаться в коэффициентах, процентах и т. д.

Относительные показатели подразделяют на следующие виды:

Относительный показатель динамики (ОПД) представляет собой отношение уровня исследуемого процесса за данный период времени и уровня этого же процесса в прошлом:

.

Эта величина показывает, во сколько раз текущий уровень превышает базисный. Если данный показатель выражен кратным отношением, он называется коэффициентом роста, выраженный в процентах называется темпом роста.

Относительный показатель плана (ОПП) и реализации плана (ОПРП):

;

.

Между относительными показателями плана, реализации плана и динамики существует следующая взаимосвязь:

.

Относительный показатель структуры (ОПС) представляет собой соотношение структурных частей изучаемого объекта и их целого:

Относительные показатели координации (ОПК) характеризуют соотношение отдельных частей целого между собой.

В качестве базы сравнения выбирается та часть, которая имеет наибольший удельный вес или является приоритетной.

Относительный показатель интенсивности (ОПИ) характеризует степень распространения изучаемого процесса или явления в присущей ему среде:

Разновидностью относительных показателей являются относительные показатели уровня экономического развития, характеризующие производство продукции на душу населения.

Относительный показатель сравнения (ОПСр) представляет собой соотношение одноименных абсолютных показателей, характеризующих разные объекты (предприятия, страны и т. п.):

Различают относительные величины простые (выполнение договорных обязательств, динамика, структура, пространственное сравнение, координация); составные (относительные величины интенсивности) и сложные (индексы).

Абсолютные и относительные величины характеризуют различные стороны: одни - размеры, другие - структуру, интенсивность, направленность, степень выполнения договорных обязательств.

Средние величины

Средней величиной в статистике называют обобщающий показатель, характеризующий общественное явление по одному количественному признаку (или типический размер признака данной совокупности).

Статистические средние - это реальные показатели, отражающие объективно существующие свойства общественных явлений (производительность труда, стоимость товара, урожайность, национальный доход на душу населения). Явления существуют в жизни, а статистикой характеризуются в виде определенных показателей.

Статистические средние отображают качественно определенные свойства общественных явлений. Этим они и отличаются от математических средних. Также отличительной особенностью средней является то, что в ней взаимно погашаются и уничтожаются индивидуальные отклонения различающихся между собой величин одного и того же вида. Она показывает значение признака для качественно однородной совокупности. Отсюда основным условием научного применения средней является расчет её по качественно однородным явлениям.

Виды средних. При выборе способа и формулы для расчета средней величины необходим предварительный анализ взаимосвязи изучаемых явлений и определение статистической размерности изучаемой величины.

В статистике различают прямые и обратные величины, первичные и вторичные. Прямыми называются такие величины, значение которых увеличивается или уменьшается при увеличении или уменьшении характеризуемых ими явлений. Так, количество произведенной продукции в единицу рабочего времени является прямым показателем производительности труда, а трудоемкость - обратным. Так как статистическая размерность различна, то приходится применять в расчетах различные виды средних: арифметическую, гармоническую, геометрическую, квадратическую и другие, относящиеся к роду степенных средних.

Для расчета простых степенных средних применяется формула

. (1)

Взвешенные средние рассчитываются по формуле

, (2)

где - индивидуальные значения осредняемых признаков, варианты;

- среднее значение исследуемого явления;

m - показатель степени средней;

n - число единиц;

- вес, частота.

Для первичных признаков применяются простые средние, для вторичных - взвешенные. Наиболее распространенной является средняя арифметическая простая, которая применяется в расчетах, когда единицы изучаемой совокупности представлены индивидуальными значениями признака (m = 1):

. (3)

Средняя арифметическая взвешенная применяется в расчетах, когда индивидуальные значения определяемого признака имеют различную частоту повторения:

. (4)

Когда отдельные варианты представлены в виде интервалов "от и до", в качестве варианта принимается середина интервалов. При наличии открытых интервалов границы их устанавливаются условно, исходя из конкретных условий задачи, или с учетом предыдущего интервала. При этом предполагается, что варианты внутри интервала распределяются равномерно. В действительности распределение вариантов внутри интервала может быть неравномерным и середина интервала может не совпадать со средней величиной в интервале. Но при большом числе единиц случайные отклонения взаимно погашаются и полученная средняя достаточно точно покажет типичный размер изучаемого признака.

Свойства средней арифметической

Метод исчисления средней арифметической обладает рядом математических свойств, которые используются в статистике для упрощения техники расчетов. Важнейшие из этих свойств следующие:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты средней:

. (5)

Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна 0:

. (6)

Если все осредняемые варианты увеличить или уменьшить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину

(7)

Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз:

. (8)

Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

. (9)

Объединяя свойства средней арифметической, можно исчислить ее с помощью способа моментов:

, (10)

где А - серединная варианта ряда с наибольшей частотой;

h - величина интервала ряда распределения;

е - произвольная величина.

Пример. Имеются следующие данные о времени горения электроламп для лампового завода (см. табл. 1). Необходимо рассчитать среднее время горения электроламп по способу моментов.

Таблица 1

А - середина интервала с наибольшей частотой =160;

h - величина интервала.

Решение. По формуле (10) рассчитываем среднее время горения:

часов.

Средняя гармоническая применяется, когда индивидуальные значения выражены в форме обратных показателей. Если вес каждого варианта равен единице, то при n вариантах формула средней гармонической имеет вид

. (11)

Формула средней гармонической взвешенной следующая:

. (12)

Пример. Издержки производства и себестоимость единицы продукции А по 3-м заводам характеризуются следующими данными.

Исчислить среднюю себестоимость по 3-м заводам:

Средняя геометрическая применяется для расчетов средних темпов за определенный период, т. е. тогда, когда определяющий показатель (величина, определяющая вид средней) является не суммой значений, а их произведением:

(простая) (13)

(взвешенная) (14)

Средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда приходится осреднять величины в виде квадратных функций (например, при расчетах диаметра труб, стволов); в статистике используется как мера вариации. Рассчитывается по формулам:

 (простая); (15)

(взвешенная). (16)

Как было отмечено, применение той или иной средней величины зависит от сущности явления и исходной информации. Между средними существует следующее соотношение, названное правилом мажорантности средних:

.

Структурные средние

Из структурных средних, характеризующих особенности распределения частот внутри ранжированных и вариационных рядов, получили распространение мода, медиана, средние величины.

Модой в статистике называется величина признака (варианта), которая наиболее часто встречается в данной совокупности. В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту. В дискретном вариационном ряду модой называют ту варианту, которая имеет наибольшую частоту повторения. Мода применяется для решения практических статистических задач. Так, при определении объема массового производства обуви, одежды устанавливается тот размер, который пользуется наибольшим спросом. При изучении товарооборота цены постоянно колеблются и регистрируется не средняя цена на тот или иной товар, а берется модальная цена, по которой продается максимальное количество товаров того или иного вида. Мода употребляется для характеристики некоторых типичных размеров общественных явлений, которые не могут быть выражены при помощи средних показателей.

Могут быть распределения, где все варианты встречаются одинаково часто, в этом случае моды нет. В других случаях не одна, а две варианты могут иметь наибольшие частоты, тогда будут две моды, и распределение будет бимодальным, при большем числе вариант с наибольшими частотами - мультимодальным, что характеризует неоднородность совокупности. В интервальном ряду моду определяют по формуле

(17)

где - нижняя граница модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота предмодального интервала;

- частота интервала, следующего за модальным;

- величина интервала.

Пример. Распределение предприятий по численности промышленно-производственного персонала характеризуется следующими данными, приведенными в табл. 2. Рассчитать моду.

Таблица .2

Решение. По формуле (17) рассчитаем моду:

=400, =30, =7, =19, =100.

чел.

В интервальном ряду с неравными интервалами применяется плотность распределения (частное от деления частоты на величину принятого интервала).

Медианой в статистике называется значение признака у единицы, которая расположена в середине упорядоченного ряда, а в вариационном ряду медианой будет величина признака, которая делит ряд пополам по сумме накопленных частот.

По данным интервального вариационного ряда медиана определяется по следующей формуле

, (18)

где - медиана;

- нижняя граница медианного интервала;

- сумма накопленных частот;

- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

- частота медианного интервала;

h - величина медианного интервала.

Медиана обладает следующим свойством: сумма отклонений членов ряда от медианы есть величина наименьшая. Благодаря этому свойству медиану используют при планировании размещения пунктов по заготовке сельскохозяйственной продукции (мясокомбинаты, элеваторы), с тем чтобы сумма расстояний была минимальной при размещении оборудования общего пользования на предприятии.

Вначале определяется медианный интервал по сумме накопленных частот, превышающих половину всех значений частот. Для вышеприведенной задачи (см. табл. 2) медианным интервалом будет 400-500.

Рассчитаем медиану

.

Средняя, мода, медиана в анализе характера распределения дают возможность логического контроля расчетов. При симметричном распределении членов ряда, т. е. когда частоты равномерно возрастают, а потом убывают, средняя, мода и медиана равны между собой. При асимметричном распределении медиана расположена в середине, а средняя и мода - по краям. Чем больше расхождение между модой и средней арифметической, тем больше асимметрично распределение. Для умеренно асимметричных рядов характерно следующее соотношение:

Моду и медиану в интервальном ряду можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Выбирается самый высокий прямоугольник, который является модальным. Затем правую вершину прямоугольника соединяют с правой вершиной предшествующего прямоугольника, а левую вершину с левой вершиной последующего прямоугольника. Из точки пересечения восстанавливается перпендикуляр до абсциссы - это значение будет модой. Медиана рассчитывается по кумуляте. Для ее определения из точки на шкале накопленных частот, соответствующей 50 %, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой.

Для характеристики структуры применяются квартили и децили. Квартили делят ранжированную совокупность по сумме накопленных частот на четыре равные части. Различают квартиль нижний (Q₁), отделяющий часть совокупности с наименьшими значениями признака и квартиль верхний (Q₄),отсекающий часть с наибольшими значениями признака.

Для дискретного ряда квартили рассчитываются следующим образом: находится L= R, которая используется для определения квартилей. Например, для ранжированного ряда 5, 13, 17, 32, 37, 49, 52 эта величина равна 11,7. Тогда

Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы:

; (19)

, (20)

Где - нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25 %);

- нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75 %);

h - величина интервалов;

- сумма накопленных частот интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

- то же для верхнего квартиля;

- частота интервала, содержащего нижний квартиль;

- то же для верхнего квартиля.

Кроме квартилей, в вариационных рядах распределения могут определяться децили - варианты, делящие ранжированный ряд по сумме накопленных частот на десять равных частей. Первый дециль (d₁) делит совокупность в отношении 1/10 к 9/10, второй дециль (d₂) - в соотношении 2/10 к 8/10 и т. д. Вычисляются они по той же схеме, что и медиана, и квартили. Значения признака, делящие ряд на сто частей, называются процентилями. Это характеристика используется редко.

Литература

1. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 560 с.

2. Практикум по теории статистики: Учеб. Пособие/ Под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 416 с.

3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - М.: ИНФРА-М.2002. - 387 с.

4. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. - М.:ИНФРА-М,2001. - 346 с.

5. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности /Под ред. О.Э. Башиной, А.А Спирина. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 298 с.

6. Экономическая статистика: Учебник/ Под ред. Ю.Н. Иванова. - М.: ИНФРА-М, 2007. - 480 с.

7. Гусаров В.М. Статистика: Учеб. Пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 463 с.