Показатели вариации и анализ частотных распределений

Показатели вариации признака. Свойства и методы расчета показателей вариации

Средняя величина дает обобщающую характеристику все совокупности изучаемого явления. Однако два распределения, имеющие одинаковую среднюю арифметическую, могут значительно отличаться друг от друга по степени рассеяния (вариации) признака. Если индивидуальные значения признака ряда мало отличаются друг от друга (рис.1, а), то средняя арифметическая будет достаточно надежной показательной характеристикой типичного уровня в данной совокупности. Если же ряд распределения характеризуется значительным рассеиванием индивидуальных значений признака (рис. 1, б), то средняя арифметическая будет ненадежной характеристикой типичного уровня этой совокупности и ее практическое применение будет ограничено.

Рисунок 1 - Примеры различных типов вариации признака X

Для измерения рассеяния (вариации) признака применяются различные абсолютные и относительные показатели вариации.

К абсолютным показателям вариации относятся следующие.

* Размах вариации R, который представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности: R = . Недостатком данной показателя является то, что размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений все вариантов значений признака.

Среднее по совокупности отклонение значения признака от его среднего уровня измеряют два следующих показателя вариации: среднее линейное и среднее квадратическое отклонение.

* Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда полагают, что среднюю вычитают из варианта):

- невзвешенное среднее линейное отклонение;

- взвешенное среднее линейное отклонение,

где n -- объем совокупности; f -- частота в i-й группе (у i -ro варианта значения признака).

Математические свойства модулей плохие, поэтому часто на практике применяют другой показатель среднего отклонения от средней -- среднее квадратическое отклонение.

* Среднее квадратическое отклонение у представляет собой среднюю квадратическую из отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической:

- невзвешенное;

- взвешенное.

Среднее линейное и отклонение показывают, как расположена основная масса единиц совокупности относительно среднего арифметического значения; они выражаются в тех же единицах, что и варианты (X), поэтому экономически хорошо интерпретируются.

* Дисперсия у² -- это квадрат среднего квадратического отклонения. Она представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины. Она может быть также вычислена, как разность среднего квадрата значения признака и квадрата среднего арифметического значения признака.

Дисперсия вычисляется по простой невзвешенной и взвешенной:

- невзвешенная;

- взвешенная.

Среднее квадратическое отклонение и дисперсия входят в большинство теорем теории вероятности и математической статистики, что обусловливает их широкое применение на практике. Кроме того, дисперсия может быть разложена на составные части, позволяющие оценить влияние различных факторов, обусловливающих вариацию признака.

Основные вычислительные свойства дисперсии:

дисперсия постоянной величины равна 0;

если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не изменится;

если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число А раз (А -- const), то дисперсия уменьшится в А² раз.

При вычислении показателей вариации сгруппированных данных используют формулу взвешенной средней. Для интервальных рядов распределения в качестве вариантов значений признака используют центральные (серединные) значения. В результате получают приближенные значения статистических показателей.

Относительные показатели вариации применяют, если необходимо оценить интенсивность вариации, или сравнить вариацию признака в различных совокупностях, или сравнить вариацию различных признаков. Показатель относительной вариации рассчитывается как отношение абсолютного показателя вариации к среднему значению.

К относительным показателям вариации относятся:

1) коэффициент осцилляции ;

2) линейный коэффициент вариации ;

3) простой коэффициент вариации

Эти показатели выражаются в процентах или относительных величинах.

Самым распространенным относительным показателем рассеяния является коэффициент вариации V. Он представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

.

Коэффициент вариации используют также как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает33%.

Внутригрупповая и межгрупповая вариация

Для определения влияния постоянного фактора на величину вариации пользуются аналитической группировкой, т.е. расчленяют по нему всю совокупность на группы и определяют, как изменяется, варьирует общий результат под влиянием фактора, положенного в основание группировки.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию:

Вариация, обусловленная фактором, положенным в основание группировки, называется межгрупповой вариацией. Размеры ее определяются при помощи дисперсии групповых средних. Межгрупповая дисперсия д² характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающее под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:

,

где и - соответственно средние и численности по отдельным группам.

Для определения влияния случайных факторов и их роли в общей вариации определяют дисперсию в пределах каждой группы, т.е. внутригрупповую дисперсию, а затем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

- внутригрупповая дисперсия;

- средняя из внутригрупповых дисперсий.

Средняя из внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию, которая возникает под влиянием всех факторов, кроме положенного в основание группировки. Чтобы определить ее, надо рассчитать вначале внутригрупповые дисперсии по каждой группе в отдельности, а затем среднюю из них.

Существует закон, связывающий три вида дисперсий. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

.

Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому правилу общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

Зная любые два вида дисперсий, можно определить или проверить правильность расчета третьего вида

Список источников литературы

1. Ильченко С. Математическая модель финансового состояния предприятия на основе системы балансовых уравнений. // Економіст: журнал. - 2009, №1.

2. Ковалев В.В. Анализ финансового состояния и прогнозирования банкротства. - СПБ: Аудит, 2004.

3. Хатнюк В.С. Основы статистики - К. 2005 - Алерта.