Главная
Коллекция "Otherreferats"
Экономико-математическое моделирование
Параметрические модели популяционной динамики и их приложение к задачам демографии
Параметрические модели популяционной динамики и их приложение к задачам демографии
Методики классификации моделей демографических систем и процессов на основе эндогенных и экзогенных связей. Параметрические аппроксимации процессов рождаемости и смертности. Влияние демографических характеристик на параметры экономического роста.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.08.2010 |
| Размер файла | 2,0 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Кроме того, для применяемого метода погрешность аппроксимации данных увеличивается с давностью статистики, поэтому возможно рассмотрение двухэлементной системы, в которой интенсивности качественного перехода элементов лишь близки друг другу по значениям, но сами элементы имеют различную природу.
Сравнение погрешностей аппроксимации для разных методик приведено в Таблицах №3 и №4.
3.9 Влияние на рождаемость факторов окружающей среды
Выше мы рассматривали полную рождаемость () как произведение биологической компоненты (биологическая способность женщины рожать ребенка - ) и множителя, принимающего значения от 0 до 1, отражающего влияние внешней социально-экономической среды и имеющего смысл коэффициента реализации видовой биологической продуктивности (коэффициент социального влияния - ) [73]:
.
Полагая , где - биологический коэффициент исчерпанной плодовитости, - нормированное к 1 возрастное распределение рождений, получаем для реального суммарного коэффициента плодовитости:
Здесь - набор факторов окружающей среды, как естественной, так и технологической (цивилизации), совокупность которых приводит к неполной реализации женщиной своей детородной функции.
Именно при рассмотрении таких факторов начинаются различия между биологической популяцией и человеческим обществом, хотя есть и много общего. Для животных характерно увеличение плодовитости при лучшей обеспеченности ресурсами, поскольку размножение заложено в них инстинктом. Для человека с увеличением обеспеченности ресурсами появляется множество потребностей, имеющих социальную природу, которые составляют конкуренцию процессу деторождения: карьера, развлечения, научная деятельность. Появляется возможность выбора, которая коллективно реализуется как коэффициент "идеальных рождений" - мнение общества об оптимальном числе детей при условии полного обеспечении ресурсами отдельного индивидуума (желаемое число детей, оптимум рождаемости) [49, 51]. Заметим, что даже в случае населения, неоднородного по доходам, но однородного по социальной среде (т.е. нет социальной и культурной изоляции отдельных групп), оптимум рождаемости будет общим показателем, характеризующим все общество. Этот показатель характеризует социальную и культурную обстановку внутри общества, зависит от прошлых тенденций и прогнозов на будущее, то есть является информационно управляемым параметром.
В математической интерпретации эту зависимость можно выразить как
.
Первое слагаемое отвечает за "случайные" рождения, характерные для биологической популяции, и убывает с ростом обеспеченности ресурсом. При этом мы рассматриваем такой диапазон обеспечения ресурсом, что в его нижней границе возможна полная реализация детородной функции. Второе слагаемое отвечает за планируемые рождения, и возрастает с ростом обеспеченности ресурсом. Здесь - коэффициент "идеальных рождений" [49, 51], отображающий желаемое число детей в семье в условиях полного обеспечения ресурсом. Гиперболическая зависимость была выбрана как наиболее удовлетворяющая реальным статистическим данным [21, 24] (см. раздел 6).
3.10 Параметрическая аппроксимация закона распределения продолжительности жизни
В все времена основным направлением исследований медицины и других наук о жизни являлось выявление биологических механизмов, вызывающих старение человеческого организма и смерть от сопутствующих старению болезням различных физиологических систем организма. Поскольку исследования по построению математических моделей продолжительности жизни были исторически тесно связаны со страховым бизнесом, они привлекли к себе внимание многих ученых. Хотя исторически таблицы смертности строились в основном для демографических исследований, откуда и произошло большинство используемых терминов, полученные результаты остаются справедливыми и для биологических популяций.
Рассмотрим изменение во времени численности некоторой гипотетической когорты новорожденных. Пусть - численность когорты в возрасте . Количество умерших в возрастном интервале от до :
;
Отношение количества умерших в возрасте к численности когорты в этом возрасте называется интенсивностью смерти:
;
После набора достаточного количества статистических данных в виде таблиц смертности различными исследователями в результате эмпирического или теоретического анализа было предложено множество функциональных зависимостей для , , . Приведем наиболее известные из них, моделирующие интенсивность смерти:
- модель Гомперца;
- модель Гомперца-Мейкема;
- модель Мамаева, Наджаряна;
- модель Риссера;
- модель Мейкема;
- модель Перкса;
- модель Вейбулла;
- обобщенная модель Вейбулла;
- биноминальная зависимость.
Анализ этих и многих других моделей смертности проведен в обзорной работе [9]. Среди результатов, полученных в данной работе, можно привести высказывание об ошибочности теорий и моделей продолжительности жизни, использующих понятия предельной видовой продолжительности жизни и механизма запрограммированной гибели: “Анализ материалов по смертности людей старше 100 лет показывает, что в крайних возрастах интенсивность смерти практически перестает расти с возрастом так, что кинетика смерти долгожителей совпадает с кинетикой радиоактивного распада, причем период полураспада соответствует примерно одному году..."
В работе показана некоторая предпочтительность модели смертности Гомперца-Мейкема перед другими моделями и в теоретическом обосновании, и в точности аппроксимации статистических данных как для биологических видов, так и для человека (в средних возрастах). Так же дан вывод функциональной зависимости Гомперца-Мейкема как частного случая различных моделей разрушения биосистем.
Поэтому при моделировании смертности для взрослых на всем возрастном интервале в каждым момент времени нами использовалась математическая аппроксимация Гомперца-Мейкема:
,
где - возраст, t - время, p - ресурс, R и - параметры аппроксимации. При построении моделей мы не учитываем эффект снижения скорости роста интенсивности смерти в старческих возрастах, поскольку люди преклонного возраста уже не участвуют в демографическом воспроизводстве населения, не участвуют в производстве общественных благ и отклонение от истинного распределения чисел доживающих с старших возрастах вносит пренебрежимо малую погрешность в результаты моделей из-за малой доли людей данной возрастной группы среди общей численности. Кроме того, функциональная зависимость Гомперца-Мейкема чрезвычайно проста и удобна в аналитических расчетах, а параметры зависимости легко определяются из статистических данных.
Детская смертность в расчетах аппроксимировалась параболой:
так, что в точке сшивки (возраст вступления в детородный период) равны значения функций, их первых производных, а площадь под параболой численно приблизительно равна доле новорожденных (девочек), не доживающих до возраста возможности деторождения:
Отсюда получаем:
Заметим, что на воспроизводство населения возрастная структура детской смертности влияет мало, а основное значение имеет величина доли населения, доживающего до детородного периода. Вообще говоря, данная аппроксимация не очень хорошо описывает детскую смертность на современном этапе развития (J-образная кривая дожития, младенческая смертность спадает до минимума к возрасту уже 5 лет при ), и используется из-за хорошего аналитического вида.
Другим вариантом является описание возрастной структуры детской смертности с помощью убывающей экспоненты:
.
3.11 Влияние на смертность факторов окружающей среды
Интенсивность смерти для взрослых особей популяции (взрослого населения) в функциональной зависимости Гомперца-Мейкема разбита на два слагаемых, которые могут быть интерпретированы как влияние внешней среды (социальная, исторически изменяющаяся компонента смертности) - и биологическая (исторически относительно постоянная) компонента смертности -. В ходе анализа таблиц смертности населения Швеции, США, стран Африки [9], было установлено, что R и со временем меняются мало и их величина не коррелирует с уровнем экономического развития страны:
В то же время для социальной компоненты наблюдается резкое падение ее величины для стран с высоким уровнем удельного годового дохода (то есть дохода, приходящегося в среднем на душу населения за год) по сравнению со странами с низким уровнем удельного годового дохода. Такая же тенденция характерна и для отдельных стран при увеличении со временем уровня доходов их граждан: в Швеции в 1901 - 1910 годах а в 1983 году [9], т.е. разница более чем в 10 раз. Сейчас в развитых странах основную роль играет компонента биологической смертности, которая становится значительной при возрастах свыше 50 лет. В то же время в развивающихся странах преобладает социальная компонента - смертность в результате несчастных случаев, эпидемий, войн и т.д., отображая негативное воздействие среды на популяцию [67, 69, 70]. Таким образом, можно считать, что социальная компонента смертности убывает с ростом обеспечения ресурсом. При моделировании зависимость социальной компоненты смертности от уровня обеспечения ресурсом p может быть выбрана в виде гиперболы:
,
где - размерная постоянная, такая, что при , то есть уровень смертности составляет половину от максимальной смертности. Следует отметить, что коэффициент характеризует уровень эффективности использования ресурса для продления жизни при данном уровне знаний и заданной экологической обстановке и, вообще говоря, медленно меняется со временем.
Величина для населения рассматривается как характерная смертность в отсутствии ресурсов, которые могут быть использованы для социального регулирования смертности. Отметим, что данная функциональная зависимость позаимствована из химической кинетики и отражает необходимость все больших затрат с целью уменьшить смертность от внешних причин на еще одно фиксированное значение (увеличить продолжительность жизни еще на один год).
Аналогично для детской смертности:
.
Мы принимаем , поскольку основные успехи медицины в XX веке были связаны со снижением детской смертности.
Следует отметить, что из-за большой разобщенности данных и большого уровня инфляции приведенная количественная оценка параметров зависимости смертности и рождаемости от удельного дохода являлась бы весьма приблизительной [24, 60]. Кроме того, в реальном распределении на статистически определяемые величины этих параметров будет влиять форма распределения населения по доходам.
Поправки к функции смертности обычно более высокого порядка, такие как, например, зависимость смертности от плотности населения, культурных традиций или уровня образования, в данной работе нами не рассматривались.
3.12 Что такое "ресурс"?
Выше мы рассматривали зависимость рождаемости и смертности от количества ресурсов. Для биологической популяции понятие "ресурс" можно определить достаточно полно: это доступное для отдельной особи потребление пищи (пищевых, химических или энергетических ресурсов) с учетом особенностей физиологического строения и поведения (хищник, травоядное, растение или одноклеточное), и внутривидовой и межвидовой конкуренции. Для человеческого общества все гораздо сложнее: в наши потребности входит не только пищевая составляющая, но и прочие материальные и нематериальные ценности, для обеспечения которых происходит значительная трансформация естественной среды обитания.
При решении поставленной проблемы мы воспользовались концепцией "потоков свободной энергии" [61, 62]. Напомним, что свободной энергией называется на часть энергии, которая может быть превращена в работу, в отличие от остальной, "связанной" энергии. Понятие "свободной энергии" относительно - при разных физических процессах часть "связанной" энергии может перейти в разряд "свободной" (например, ядерная энергия). Предназначение технологической надстройки цивилизации над естественной средой обитания заключается как в получении дополнительных источников "свободной" энергии (например, добыча полезных ископаемых, ядерная, ветро - и гидроэнергетика), так и в ослаблении влияния факторов окружающей среды на смертность населения (например, конкуренция с другими биологическими видами).
В соответствие с концепцией "свободной энергии" мерой прогресса цивилизации является уровень удельной обеспеченности членов общества "располагаемой свободной энергией", экономическим аналогом которого потребление на душу населения. Именно удельное потребление может служить искомой нами мерой обобщенного ресурса, необходимой для построения прогнозов для рождаемости и смертности.
4. Методы определения структур новорожденных по очередностям рождений
4.1 Введение в проблематику задачи
С 1995 по 1998 год в государственных статистических исследованиях в демографии на Украине и в России приводятся статистические данные не по возрастному распределению рождаемости с учетом очередности рождения ребенка, а только по возрастному распределению полной рождаемости (количество детей, рожденных за год 1000 женщин некоторого возраста, либо численность женщин некоторого возраста и количество рожденных ими детей). Поэтому, если исследователя-демографа интересует полная информация по рождаемости, он оказывается в затруднительном положении.
В настоящей работе представлены методика получения возрастного распределения по очередности рождений исходя из чисел родившихся по возрасту матери прогнозируемого года и статистических данных по годам, по которым имеется полная информация.
Пакет программ PredictV (“Прогнозирование возрастного распределения по очередности рождений”), разработанный в среде Microsoft Excel, представляет собой практическое применение изложенных методик. В качестве примера проведен расчет предполагаемых данных по рождаемости с распределением по очередности рождений по Украине за 1995-1998 года (см. таблицы 5-13).
Так же в пакете для облегчения и ускорения обработки демографических статистических данных представлена программа по расчету повозрастных коэффициентов рождаемости из абсолютных чисел родившихся (с распределением чисел неизвестных по возрастной категории матери и по очередности рождения).
Идея создания данного программного пакета и соответствующих методик была предложена заведующей отделом демографии и воспроизводства трудовых ресурсов Института экономики НАН Украины д. э. н., проф. Стешенко В.С., за что автор выражает ей свою искреннюю признательность.
4.2 Используемые обозначения
Пусть , - коэффициенты рождаемости для возраста матери , очередности , , - коэффициенты рождаемости для возраста матери i (всего), и - коэффициенты плодовитости для прогнозируемого и базового годов соответственно.
, .
Нашей целью является нахождение значений .
4.3 Методика “точного совпадения данных"
Рассмотрим случай, когда мы имеет только один базовый год. Предположим, что в обоих годах для любого возраста матери сохраняется соотношение между очередностями. В этом случае и
,
то есть имеет место точное совпадение расчетных и статистических величин по повозрастным коэффициентам рождений. Заметим, что мы по сути экстраполируем данные, что, однако, дает хорошую точность на исследованном массиве данных. Корректность этой и последующих методик обсуждается ниже.
4.4 Методика “подбора вероятностей” по очередностям
Предположим, что в обоих годах для любого возраста матери сохраняется соотношение между различными возрастами матери. В этом случае , где , j=1,…,k - подбираемые величины коэффициентов плодовитости для очередностей.
Искомые величины находятся из минимума функционала
, при .
То есть мы ищем такую убывающую последовательность положительных значений , при которой достигается минимум среднеквадратического отклонения расчетных значений повозрастных коэффициентов рождений от их статистических величин в прогнозируемом году.
Решение задачи поиска минимума функционала при наличии ограничивающих условий [2, 17, 33, 38, 44] реализовано во многих математических пакетах и электронных таблицах, например, Microsoft Excel [25]. В качестве начального приближения можно взять значения коэффициентов плодовитости базового года: , или любого другого близкого года.
4.5 Методика параметрического моделирования без использования базового года
Рассмотрим методику, по которой расчет величин и можно провести, не используя прямо данные базового года. Идея методики состоит в том, чтобы повозрастное распределение рождений для каждой очередности аппроксимировать некой непрерывным параметрическим функционалом , таким, что . Здесь , , …, - подбираемые параметры, характеризующие конкретное распределение по очередности j, - подбираемый коэффициент плодовитости для очередности j. Значения параметров и , , находятся из минимума функционала
, при .
Функционал характеризует распределение вероятностей рождения по возрасту:
В литературе встречается несколько видов данного функционала. Простейшей функцией является трапеция. Хотя данная модель имеет достаточно слабое теоретическое обоснование, лишь качественно отображая тенденции возрастной динамики рождений, она удобна в качественном анализе эволюции демографических характеристик как кусочно-линейная функция.
Одним из классических примеров подбора удачной математической аппроксимации рождаемости является трехпараметрическая (пяти-параметрическая с учетом произвольности выбора возраста вступления в детородный период и продолжительности детородного периода) модель Романюка на основе кривой Пирсона типа I [57]:
с дополнительным требованием .
Модель рождаемости Романюка имеет большое значение в исторической демографии для реконструкции возрастного распределения рождений по известным интегральным характеристикам рождаемости. К сожалению, использование модели в теоретическом анализе затруднено из-за сложного функционального вида и отсутствия ясной интерпретации функциональной зависимости и ее параметров через биологические и социальные характеристики.
Выше (см. так же работы [49-55]) описывался метод математической аппроксимации рождаемости, более точно описывающий реальную возрастную структуру рождений:
Здесь - гамма-функция Эйлера, , - возраст вступления женщины в детородный период (для данной очередности). Функцию можно использовать как для моделирования всего повозрастного распределения рождений, так и для отдельных очередностей.
Частным случаем данной модели является приближение для n=2 [51]:
,
где , - интервал между началом детородного периода и модальным возрастом (для данной очередности). Данное приближение, не смотря на свою простоту, позволяет с высокой точностью аппроксимировать имеющиеся данные. Кроме того, оно имеет параметры, имеющие ясный демографический смысл, что позволяет делать хорошее приближение исходного значения параметров при решении задачи оптимизации.
Если имеются данные базовых лет, их можно использовать для более точной оценки исходных значений параметров.
Данный метод самый сложный из перечисленных, однако представляет большой интерес с точки зрения развития методик математической аппроксимации возрастных структур рождаемости и углубления понимания социальных, психологических и биологических факторов, лежащих в основе процесса рождений.
4.6 Условие корректности применения методик
Как мы видели выше, для применения методик необходимы данные базового года. Возникает вопрос: любой ли год, по которому есть полные статистические данные, можно брать в качестве базового? Ответ дает сравнение возрастных распределений вероятности рождения ребенка j-ой очередности для разных базовых лет. Как показали исследования, на роль базового года методики “подбора вероятностей” для 1995-1997 годов лучше всего подходят 1990-1994 года, а для прочих годов наблюдается тенденция смещения распределений в старшие возраста с увеличением давности статистики и с увеличением коэффициента суммарной рождаемости. Соответственно для нахождения возрастных распределений рождаемости с учетом очередности для, например, послевоенного времени, в качестве базовых следует использовать 1950 или 1955 года. То есть чем меньше временной интервал между базовым и прогнозируемым годами, тем лучше качество расчетов.
Для эффективного применения методики “точного расчета" необходимо сохранение соотношения долей каждой очередности рождения для каждого возраста матери. Например, если в базовом году для некоторой очередности рождений для некоторого возраста матери рождаемость равна нулю (с точностью до положенного количества знаков после запятой), то и в прогнозируемом году это значение будет равно нулю. Необходимым условием сохранения соотношений долей каждой очередности рождения для каждого возраста матери является сохранение возрастных распределений вероятности рождения ребенка для разных очередностей.
Сравнивая эффективность различных методик, надо заметить, что самые лучшие результаты дает первая методика, как наименее чувствительная к различию между кривыми возрастных распределений некоторой очередности для разных базовых годов.
Из изложенного выше возникает вопрос: как часто необходимо проводить сбор полной статистической информации о рождаемости? Анализ статистических данных по Украине (1958-1999 гг.) и проверка методик для годов с имеющейся полной статистикой показывает на первой методике удовлетворительные результаты для десятилетних периодов (ошибка не более 10% для первых трех очередностей рождения) и хорошие результаты для пятилетних периодов (ошибка не более 5%) для периодов с относительно стабильной демографической ситуацией. Для периода 1994-1999 гг., когда для Украины характерно резкое (почти в 2 раза) снижение уровня коэффициента суммарной плодовитости, существенные изменения в возрастных структурах рождений для разных очередностей, ошибка возрастает до 50%, что не может считаться удовлетворительным признаком. Это и заставило нас приступить к разработке методики, которая бы использовала базовые года на границах рассчитываемых временных интервалов (поскольку точность интерполяции данных значительно выше, чем точность экстраполяции). Однако представленные методики сохраняют свое значение для прогноза значений для будущих лет.
Отдельной проблемой, которую можно поставить исходя из представленного выше материала, является описание смещения со временем возрастных структур для различных очередностей рождений, выявление его причин и закономерностей.
4.7 Методика пропорционального распределения расчета прогноза двух лет
С 1995 по 1998 год в государственных статистических исследованиях в демографии на Украине и в России приводятся статистические данные не по возрастному распределению рождаемости с учетом очередности рождения ребенка, а только по возрастному распределению полной рождаемости. Выберем два базовых года, ограничивающих прогнозируемый временной период - 1994 и 1999 года для временного периода 1995-1998 гг. Пусть , - коэффициенты рождаемости для возраста матери i, очередности j, , - коэффициенты рождаемости для возраста матери i (всего) для 1994 и 1999 годов соответственно.
Зная статистические значения коэффициентов рождаемости (всего) , рассчитываем по приведенным ниже формулам окончательные значения повозрастных коэффициентов рождаемости для каждой очередности
для 1995 г.:
для 1996 г.:
для 1997 г.:
для 1998 г.:
Затем на основе повозрастных коэффициентов рождаемости и среднегодовой численности женщин рассчитываем абсолютное число родившихся.
Поскольку , , то
,
то есть для любого прогнозируемого года для любого возраста матери сумма коэффициентов рождаемости по всем очередностям равна повозрастному коэффициенту рождаемости (всего).
Кроме пропорционального изменения весов каждого базового года, можно брать базовые года с одинаковыми весами:
Также можно находить линейной интерполяцией значения между величинами , базовых годов с последующей коррекцией на суммарное значение :
для 1995 г.:
для 1996 г.:
для 1997 г.:
для 1998 г.:
Коррекция: =>
Во всех приведенных выше случаях получаются данные, удовлетворяющие всем требованиям поставленной задачи. Вообще говоря, таких наборов данных бесконечно много. Почему же был выбран первый вариант? Для определения оптимальной методики мы воспользовались тем весьма печальным обстоятельством, что значения повозрастных коэффициентов рождаемости имеют тенденцию к уменьшению для большинства возрастов матери и очередностей с 1994 по 1999 года. Введем “штрафную функцию" в виде суммы превышения коэффициента рождаемости над коэффициентом прошлого года:
Значение штрафной функции получалось минимальным для первого метода по сравнению с двумя другими методиками. Однако оптимальность метода является только эмпирической, поэтому вполне вероятно наличие других, более подходящих методик.
4.8 Методика пропорционального распределения неизвестных
В настоящей работе предлагается оригинальная методика целочисленного распределения рождений, для которых неизвестен возраст матери или очередность рождений, пропорционально количеству рождений в данном возрасте или очередности рождений. Такая задача возникает при расчете повозрастных коэффициентов рождаемости. Основной трудностью решения данной задачи является ошибка вычислений при округлении рассчитываемых величин, которая в настоящее время в большинстве методов исправляется вручную, что требует больших затрат времени.
Сформулируем задачу в более общем и абстрактном виде. Пусть задана последовательность неотрицательных целых чисел с конечным числом членов , i=1,…,N, и натуральное число Z. Найти последовательность натуральных чисел , i=1,…,N таких, что и , [] - округление до целого числа.
Тривиальное решение не подходит, так как при этом может не выполняться условие . Например, если все дробные части после деления равны 0,4 (такой пример легко сделать), на каждые 5 слагаемых мы ошибаемся на единицу из-за округления вниз. При этом также нельзя надеяться на то, что для реальной статистики округления вниз и вверх полностью компенсируют друг друга, хотя такое событие вероятно. Например, в игре "орел и решка", которая аналогична округлениям вверх и вниз случайного действительного числа, может несколько раз подряд выпасть одна сторона монеты.
Разобьем последовательность на и . Пусть - число, соответствующее . Рассмотрим последовательность , пропорционально элементам которой мы распределяем число . Задача свелась к предыдущей, последовательно находим элементы , при этом ошибок округления нет - происходит округление только одного числа.
Общая формула для элементов последовательности :
, для .
Примечание: предполагается, что (иначе возникает ошибка "деление на 0"). Иначе, если существует индекс , такой что (то есть ), принимаем .
5. Приближение стабильного населения и решение уравнения Лотки
В биологии часто возникает задача о развитии некоторой популяции (или нескольких популяций) в стационарных условиях окружающей среды при заданных уровнях рождаемости и смертности членов этой популяции (популяций). Согласно нашей классификации такую модель следует отнести в моделям II уровня. Обычно такая задача может быть решена только с использованием численных методов. Лишь для небольшого числа задач (например, простейшие варианты модели Вольтерра-Лотки "хищник-жертва" [1, 3, 8-11, 37, 39, 41]) можно провести аналитические исследования. Однако, как оказалось, при удачном выборе функциональных зависимостей возрастных коэффициентов рождаемости и смертности [56] в модели эволюции численности населения на основе уравнения МакКендрика - фон Ферстера [68, 75] также возможно аналитическое решение для приближения населения со стабильной возрастной структурой и определение показателя экспоненциальной скорости роста (коэффициента Лотки). Это позволяет получить зависимость коэффициента Лотки от других, легче интерпретируемых, демографических детерминант.
Запишем систему для женской части населения со стабильной возрастной структурой, пренебрегая различием коэффициентов рождаемости мальчиков и девочек и считая, что функции возрастных распределений рождаемости и смертности не зависят от времени:
Здесь - плотность численности женщин в данном возрасте в некоторый момент времени t; M () и B () - заданные функции смертности и рождаемости, не зависящие от времени. При этих условиях система уравнений имеет решение
,
где коэффициент Лотки r (по сути темп роста численности населения со стабильной возрастной структурой) находится из граничного условия - широко известного характеристического уравнения Лотки:
.
Множитель имеет смысл доли доживающих до возраста . Таким образом, уравнение Лотки можно переписать как
.
Решение этого уравнения относительно величины r традиционно проходило через аппроксимацию произведения функций B () l () неким статистическим функциональным возрастным распределением с последующим нахождением параметров распределения через нулевой R0, первый R1 и второй R2 моменты распределения, исходно заданного в табличном виде. Моменты распределения определяются как:
.
Альтернативным путем является выражение параметров через суммарный коэффициент воспроизводства населения R0 (ожидаемое количество детей, которые должны родиться одной женщиной при наблюдаемых режимах рождаемости и смертности), среднего возраста рождений в стационарной популяции и дисперсии распределения
.
Основными типами аппроксимации распределения B () l () являются нормальное распределение (Лотка [64]), кривая Пирсона III рода (в отечественной терминологии гамма-распределение - Wicksell [76]) и экспоненциальная кривая (Hadwiger [59]). Основные характеристики приведены ниже [69]:
|
Модель |
Lotka |
Wicksell |
Hadwiger |
|
|
Аппроксимация B (x) l (x), x - возраст |
при n=1 |
|||
|
Выражение параметров через наблюдаемые моменты |
, , |
|||
|
Характеристическое уравнение |
||||
|
Решение характеристического уравнения в действительных числах |
Приведенные аппроксимации были проверены на статистике Швеции (1793-97 гг.), Канады (1965 г), Франции (1959-1963 гг.), Венесуэлы (1963 г), причем для разных данных лучше подходили различные аппроксимации [69]. Хотя эти модели дают хорошее приближение к статистическим данным, они являются трудно интерпретируемыми.
Другим подходом, который предлагается в данной работе, является независимые аппроксимации возрастных распределений рождаемости и смертности, имеющие физический смысл, при решении характеристического уравнения. Для описания смертности в период после наступления половой зрелости нами использована функция Гомперца-Мейкема [9] (подробное описание приведено в главе 3):
,
где - возраст вступления женщины в детородный период.
Для детской и юношеской смертности можно применить любое приближение, обеспечивающее необходимую гладкость функции смертности и точность аппроксимации.
Должно выполняться только требование
- величина, являющаяся функцией детской смертности:
, где - доля девочек, не доживающих до начала детородного периода. Обобщая, получаем [49]:
.
Для возрастного распределения интенсивности рождений используем гамма-распределение вероятностей [51] (подробное описание приведено в главе 3):
.
При заданных таким образом возрастных распределениях рождаемости и смертности характеристическое уравнение Лотки имеет аналитическое решение:
,
где - средний возраст матери при рождении ребенка. Заметим, что данное выражение получено в приближении , которое справедливо для широкого диапазона истории.
Возможные виды коэффициента Лотки как функции среднедушевого дохода в указанных предположениях представлены на рис.5.1:
Рис.5.1. Зависимость коэффициента Лотки от уровня потребления на душу населения (усл. ед) при различных значениях коэффициента "идеальных рождений"
Существенной особенностью данных зависимостей является то, что имеется область значений удельного потребления, ограниченная по значениям сверху и снизу, в которой, при соответствующих господствующих в обществе представлениях об идеальном числе рождений, возможно отрицательное значение коэффициента Лотки, хотя при увеличении дохода его значение вновь становится положительным [56].
В действительности господствующие представления о репродуктивном поведении формируются в непосредственной связи с экономическими реалиями.
Поэтому отрицательное значение коэффициента Лотки скорее всего может быть получено на практике в том случае, когда наблюдается экономический кризис, примером чему является демографическая ситуация в ряде стран бывшего СССР.
Это означает, что в случае сильного изменения экономической ситуации сильное влияние на демографические процессы оказывает предыстория экономической эволюции и господствовавших ранее представлений о репродуктивной стратегии в обществе.
6. Влияние неоднородности на темп роста численности популяции со стабильной возрастной структурой
6.1 Введение в проблему
В настоящее время в экологии и демографии для описания динамики популяции широко используются математические модели воспроизводства численности популяции - уравнение Мальтуса, логистическая кривая Ферхюльста, система уравнений "хищник-жертва" Вольтерра-Лотки [39], система разностных уравнений Лесли [63], уравнение в частных производных с распределением по возрасту МакКендрика - фон Ферстера [68, 75], уравнение с распределением по весу тела [30, 31] и др. Подробный анализ этих моделей можно найти в главе 2.
Как правило, при построении математической модели исследователи делают предположения об однородности популяции по различным биологическим, а для населения - также социальным и экономическим признакам, и об однородности влияния внешней среды на процессы рождаемости и смертности через эти признаки. Например, в приведенных выше моделях в качестве значений признака выступают его усредненные величины.
Это не всегда соответствует ситуации и дает расхождение между моделируемыми и наблюдаемыми величинами. Например, страна с более низким средним уровнем дохода на душу населения по сравнению с другой страной может иметь более низкий уровень смертности, которая уменьшается с ростом дохода, за счет более однородного распределения населения по доходам (меньшей дисперсии) [5].
В данном разделе приводятся некоторые результаты моделирования популяции со стабильной возрастной структурой, неоднородного по некоторому биологическому или социальному признаку.
6.2 Функция распределения по признаку
Пусть n (p) - распределение биологической популяции (населения) по некоторому признаку p.
Для населения в качестве наглядного примера признака p можно взять потребление на душу населения [67, 70], поскольку по этому параметру существует богатая статистика, которая показывает устойчивую корреляцию между величиной дохода и демографическими характеристиками (рождаемость и смертность населения).
Полная численность популяции:
.
Введем функцию плотности вероятности распределения по признаку: f (p) =n (p) /N
.
Среднее значение признака: .
Введем безразмерную переменную, характеризующую распределение вероятности признака относительно среднего значения и безразмерную функцию распределения по этой переменной:
,
.
Среднее значение безразмерного признака x:
.
Таким образом, функция g (x) представляет собой распределение вероятностей популяции по безразмерному признаку .
6.3 Дифференциальные и интегральные величины смертности и рождаемости
Во многих моделях рассматриваются процессы смертности и рождаемости в популяции, однородной по некоторому признаку p.
Рассмотрим смертность. Пусть l () - доля доживающих до возраста . Тогда смертность (интенсивность вымирания) определяется как
.
Одним из приближений зависимости смертности от различных экзогенных и эндогенных факторов в однородной популяции является выделение каждого фактора в виде отдельного слагаемого:
,
где - анализируемый нами признак, - другие факторы, независимые от . Поскольку нас не интересует в текущий момент влияние факторов (мы будем их в дальнейшем опускать в записи функций), перейдем к анализу первого слагаемого.
Рассмотрим неоднородную популяцию как непрерывную совокупность однородных групп со значением признака p. Для каждой такой группы будет наблюдаться смертность , приведенная выше - дифференциальная смертность. Для всей популяции будет наблюдаться интегральная смертность , где - возраст членов населения, - среднее значение признака для населения (например, средний доход на душу населения), a - некий фиксированный параметр, характеризующий дисперсию распределения по признаку. Поскольку доля популяции с величиной признака p будет , интегральная смертность выражается через дифференциальную как
Обратимся к рождаемости. Под рождаемостью (повозрастными коэффициентами рождений) имеется в виду количество младенцев, рожденных в течение года женщинами в возрасте , приходящееся на одну женщину этого возраста.
Широко распространено приближение неизменности соотношения численности разных возрастных групп [58]:
,
где - "естественная" рождаемость, без влияния исследуемого фактора p, - коэффициент реализации потенциала деторождения в однородной популяции, зависящий от этого фактора, принимающий значения от 0 до 1 (коэффициент социальных рождений).
Рассмотрим неоднородную популяцию как непрерывную совокупность однородных групп со значением признака p. Для каждой такой группы будет наблюдаться рождаемость - дифференциальная рождаемость. Для всей популяции будет наблюдаться интегральная рождаемость , где - возраст членов популяции, - среднее значение признака для популяции (например, средний доход на душу населения), a - некий фиксированный параметр, характеризующий дисперсию распределения по признаку. Поскольку доля популяции с величиной признака p будет , интегральная рождаемость выражается через дифференциальную как
.
- имеет смысл коэффициента социальных рождений для всего неоднородной популяции:
.
6.4 Модель унимодального распределения по признаку
Для функции g (x), описывающей распределение вероятностей по признаку относительно его среднего значения, должны выполнятся следующие требования:
при (неотрицательные значения).
при (отсутствие отрицательных значений признака).
(вероятность иметь одно из значений признака равна 1).
(среднее значение распределения равно 1).
Для рассматриваемой нами в первой части работы модели предположим следующие свойства функции распределения:
Несимметричность. Хотя в реальных системах значения признака ограничены сверху (масса крота не может быть больше массы слона), наблюдаемые распределения в большинстве случаев несимметричны.
Интегрируемость в аналитическом виде интегралов типа , если интеграл существует. Например, , , эти зависимости справедливы для очень многих биологических и социальных процессов.
Наличие лишь одного максимума (моды). Полимодальные распределения рассматриваются в следующем разделе настоящей работы.
В настоящей работе в качестве функции g (x) предлагается взять частный случай гамма-распределения:
, где a и n - некоторые параметры.
Среднее значение: => .
Дисперсия распределения: (при )
Параметр a, обратно пропорциональный дисперсии распределения вероятностей по признаку, характеризует степень однородности популяции по этому признаку.
- искомое распределение вероятностей.
Ниже на Рис.6.1 представлено графическое изображение распределений при различных значениях степени однородности распределения (чем выше однородность, тем выше кривая; экспоненциальное распределение выделено более толстой линией).
Рис.6.1. Зависимость распределения по признаку от степени однородности
Рассмотрим некоторые свойства гамма-распределения :
Максимум g (x) достигается при .
.
.
Приведенное выше гамма-распределение является частным случаем распределения для . При этом обобщенная функция удовлетворяет всем приведенным выше требованиям. Дополнительный параметр m в позволяет более точно аппроксимировать данные, однако математические выкладки становятся громоздкими. Кроме того, обобщенное распределение не имеет ясной статистической интерпретации, в отличие от гамма-распределения.
6.5 Зависимость интегральной смертности от среднего дохода и дисперсии
Как было показано выше,
,
где A (p) - слагаемое в дифференциальной смертности, отвечающее зависимости смертности от исследуемого признака. Одним из наглядных примеров такой зависимости является закон Гомперца-Мейкема (см. обзор [9]):
,
где p - доход на душу населения; A (p) - компонента социальной смертности, которая характеризует влияние внешней среды, меняется со временем и убывает с ростом дохода; - компонента биологической смертности, которая достаточно постоянна во времени, зависит только от возраста индивидуума и характеризует биологические причины смерти особи.
К сожалению, статистика по зависимости "социальной" компоненты дифференциальной смертности от дохода отсутствует, так как все страны по своей сути существенно неоднородны по величине своего дохода на душу населения. Существуют, однако, как уже упоминалось выше, работа [60], в которой приводится график зависимости ожидаемой продолжительности жизни от дохода на душу населения, и работа [24], в которой интерполяционная кривая зависимости числа преждевременных смертей от дохода (интервал 2000-12000 долларов Канады, статистика по Канаде и Великобритании за 1971 год) представлена в виде гиперболы: .
Используя более общую зависимость, получаем Очевидно, что функционал с дополнительным параметром будет лучше аппроксимировать представленные в работе статистические данные.:
.
В дальнейшем под p мы будем понимать потребление на душу населения за год.
Допустим, что для социальной компоненты дифференциальной смертности справедлива зависимость
.
Здесь - смертность в отсутствие дохода, d - положительная величина, характеризующая доход, при котором смертность снижается в e раз. Принимая во внимание свойства гамма-распределения, получим:
что соответствует приведенной выше статистической зависимости.
Исследуем предельные случаи зависимости смертности от степени однородности населения по уровню удельного потребления.
Для однородного по уровню удельного потребления населения:
,
то есть приведенное выше выражение для дифференциальной смертности.
Рассмотрим предельный случай a=1, когда гамма-распределение вырождается в экспоненциальное:
.
Зависимость смертности от степени однородности населения при различных постоянных уровнях потребленияПри моделировании уровень удельного потребления измерялся в условных единицах. Это обеспечивает качественную неизменность выводов модели при разном масштабе измерения уровня удельного потребления. представлена на Рис.6.2 в полулогарифмическом масштабе.
Видно, что при увеличении однородности популяции по уровню удельного потребления интегральная смертность снижается быстрее при увеличении удельного потребления.
Рис.6.2. Зависимость социальной компоненты интегральной смертности от потребления (усл. ед) при разных степенях однородности популяции
Для детской смертности зависимость от однородности популяции аналогична.
6.6 Зависимость интегральной рождаемости от среднего дохода и дисперсии
Как было выведено выше, повозрастное распределение рождений может быть представлено в виде
,
где - имеет смысл коэффициента социальных рождений для всего неоднородной популяции, - коэффициент реализации потенциала деторождения в однородной популяции, зависящий от этого фактора, принимающий значения от 0 до 1 (коэффициент социальных рождений).
Одной из возможных моделей зависимости является его представление в виде совокупности двух процессов - "случайных" и "плановых" рождений (подробнее в главе 3):
.
Здесь - показатель представлений общества об оптимальном количестве детей в семье в условиях полного обеспечения ресурсом (очень высокий уровень дохода), - положительная величина, характеризующая доход, при котором "случайная" рождаемость снижается в e раз, - положительная величина, характеризующая доход, при котором "плановая" рождаемость увеличивается в раз.
Принимая во внимание свойства гамма-распределения, получим:
Для характерны те же предельные переходы, что и для исследованной выше функции интегральной смертности. Отметим случай, когда a=1:
.
Мы получили достаточно простую зависимость от среднего удельного потребления, которую использовали в главе 3 (см. также [51, 55, 56]).
Учитывая, что для исчерпанной плодовитости справедлива зависимость
,
где - репродуктивные возможности женщины при отсутствии любых социальных ограничений, мы получаем эффективный математический аппарат для оценки влияния распределения дохода и доступности социальных служб на динамику рождаемости в стране. График дан в полулогарифмическом масштабе при желаемом количестве детей, равном 3.
Рис. 6.3 Зависимость показателя исчерпанной плодовитости от потребления (усл. ед) на душу населения при разных степенях однородности
Из Рис.6.3 видно, что увеличение однородности распределения населения по удельному потреблению значительно более эффективно приводит к снижению количества рождений (например, при 1000-2000 усл. ед), чем увеличение среднего уровня потребления.
Этот результат важен для построения прогноза по рождаемости для стран Африки с высоким уровнем рождаемости, находящихся в состоянии демографического перехода.
6.7 Распределение по признаку с положительной нижней границей
До сих пор мы несколько идеализировали свое представление о виде распределения популяции по признаку, считая обычное гамма-распределение адекватным рассматриваемой модели. Вообще говоря, такого предположения достаточно для большинства решаемых задач. Однако часто возникают проблемы, для описания которых необходимо более точное описание распределения популяции по признаку, при сохранении удобства математического аппарата. Для краткости мы будем рассматривать только смертность (работа с прочими популяционными процессами происходит аналогично).
Пусть для популяции существует положительное минимальное значение исследуемого признака:
.
Примером может служить общество, в котором всем его членам выплачивается некий гарантированный минимальный удельный доход.
Если среднее значение признака для популяции , мы можем ввести нижнюю границу для безразмерного распределения по признаку:
.
Рассмотрим гамма-распределение, смещенное в сторону положительных значений на величину :
.
Тогда
.
Делаем замену и приводим интеграл к рассмотренному выше виду. Подставляя и , получаем:
Как видим, получается формула, частным случаем которой является раннее рассмотренный случай при . Переход к интегральным величинам в случае других популяционных процессов происходит аналогично.
6.8 Случай полимодального распределения по признаку
Модой непрерывного распределения называется точка максимума плотности распределения вероятностей.
Распределения, имеющие одну, две или более мод, называются соответственно унимодальными, бимодальными или полимодальными.
До сих пор мы рассматривали унимодальные распределения, которые довольно адекватно описывают рассматриваемую ситуацию.
Однако в некоторых случаях становится существенными эффекты полимодальности распределения.
Например, статистические данные подтверждают наличие как минимум двух мод в распределении населения по уровню удельного дохода.
И если стоит задача оценить влияние на демографические характеристики населения с высокими доходами, необходимо видоизменить применяемый нами математический аппарат.
Пусть для некоторого полимодального распределения по признаку g (x) справедливо:
,
где -
рассмотренное выше гамма-распределение вероятностей, , , - некоторые параметры.
В настоящей работе мы не рассматриваем проблемы существования и единственности разложения g (x) по базовым функциям , хотя они очень интересны с точки зрения математики, а лишь постулируем существование такого разложения с конечным числом слагаемых.
Ниже рассматриваются некоторые свойства такого разложения. Предполагается, что функция g (x) удовлетворяет всем требованиям, сформулированным ранее, кроме требования унимодальности.
Учитывая, что и , получаем: .
Пусть для распределения среднее значение равно , дисперсия равна :
,
.
Свяжем эти величины с параметрами распределения :
, .
Тогда, если среднее значение распределение , то:
.
Перейдем к дисперсии. По определению:
Дисперсия распределения g (x):
Учитывая, что , получаем:
.
Как и ранее, представим социальную компоненту дифференциальной смертности как , получаем:
Подставляя выражения для параметров распределения , получаем:
.
То есть, аппроксимируя надлежащим образом g (x), можно легко анализировать получаемые математические структуры.
Для важного частного случая двух слагаемых имеем:
.
.
.
.
Остальные демографические процессы моделируются аналогично.
6.9 Зависимость коэффициента Лотки от среднего дохода и дисперсии
В главе 5 выводилась и анализировалась формула для коэффициента Лотки:
,
где - доля девочек среди новорожденных, - возраст начала детородного периода, - средний возраст матери при рождении ребенка, - детская смертность, для которой характерен такой же вид функциональной зависимости от дохода на душу населения, что и для "социальной" смертности:
.
Для социально неоднородного населения, для которого справедливы приведенные выше предположения, будет соответствовать следующая зависимость:
.
Все функции, входящие в данную формулу, описаны выше. Графическое представление о данной зависимости показано на Рис.6.4:
Рис.6.4. Зависимость коэффициента Лотки от потребления на душу населения (усл. ед) при разных степенях однородности населения
График дан в полулогарифмическом масштабе при желаемом количестве детей, равном 3. Более толстой линией выделен предельный случай a=1. Из рисунка следует, что демографические процессы для населения, характеризующегося большей однородностью, качественно идут быстрее и с большей амплитудой. Обращаем внимание на диапазоны доходов 800-1000 и 6000-10000 усл. ед., где различные уровни однородности населения приводят к качественно разным результатам (положительному приросту или убыли населения). Следовательно, улучшение демографической ситуации (в частности, повышение количества рождений и прирост численности населения) можно получить не только увеличением среднего уровня потребления, но и изменением однородности распределения населения по доступности социально-экономических ресурсов - квалифицированной медицинской помощи, дошкольных и школьных учреждений, пособий и отпусков по уходу за ребенком. К аналогичным выводам, но исходя из других предпосылок, приходят и другие исследователи [5].
Подобные документы
Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда. Параметры линейной парной регрессии. Оценка адекватности модели, осуществление прогноза.
контрольная работа [925,5 K], добавлен 07.09.2011Понятие экономико-математического моделирования. Совершенствование и развитие экономических систем. Сущность, особенности и компоненты имитационной модели. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.
курсовая работа [451,4 K], добавлен 23.04.2013Особенности и сущность моделей системной динамики. Характеристика контуров с положительной и отрицательной обратной связью. Моделирование S-образного роста. Разработка модели запаздывания и ее построение. Основные разновидности моделей мировой динамики.
реферат [134,7 K], добавлен 22.02.2013Характеристика российской модели переходной экономики. Математические модели социально-экономических процессов, факторы и риски экономической динамики, посткризисные тренды. Роль Краснодарского края в экономике РФ, стратегия его экономического развития.
дипломная работа [385,0 K], добавлен 21.01.2016Характеристика основных принципов создания математических моделей гидрологических процессов. Описание процессов дивергенции, трансформации и конвергенции. Ознакомление с базовыми компонентами гидрологической модели. Сущность имитационного моделирования.
презентация [60,6 K], добавлен 16.10.2014Классификация бизнес-процессов, различные подходы к их моделированию и параметры качества. Методология и функциональные возможности систем моделирования бизнес-процессов. Сравнительная оценка систем ARIS и AllFusion Process Modeler 7, их преимущества.
дипломная работа [1,6 M], добавлен 11.02.2011Изучение и отработка навыков математического моделирования стохастических процессов; исследование реальных моделей и систем с помощью двух типов моделей: аналитических и имитационных. Основные методы анализа: дисперсионный, корреляционный, регрессионный.
курсовая работа [701,2 K], добавлен 19.01.2016Основные математические модели макроэкономических процессов. Мультипликативная производственная функция, кривая Лоренца. Различные модели банковских операций. Модели межотраслевого баланса Леонтьева. Динамическая экономико-математическая модель Кейнса.
контрольная работа [558,6 K], добавлен 21.08.2010Функциональные преобразования переменных в линейной регрессии. Формулы расчета коэффициентов эластичности. Характеристика экзогенных и эндогенных переменных. Построение одно- и двухфакторного уравнений. Прогнозирование значения результативного признака.
курсовая работа [714,1 K], добавлен 27.01.2016Теоретическая оценка инфляционных процессов, обзор исследований по российской инфляции и статистических данных. Обзор используемых методов эмпирического анализа, особенности эконометрического моделирования инфляционных процессов в современной России.
курсовая работа [44,3 K], добавлен 04.02.2011
