Дискретні та неперервні динамічні системи в економіці в програмному пакеті MAPLE 7

Практичні завдання Варіанту № 5

з курсу «Дискретні та неперервні динамічні системи в економіці» в програмному пакеті MAPLE 7

ЗМІСТ

1. Модуль № 1 Дискретні динамічні системи

1.1 Завдання № 1

1.2 Завдання № 2

1.3 Завдання № 3

2. Модуль № 2 Неперервні динамічні

2.1 Завдання № 1

2.2 Завдання № 2

2.3 Завдання № 3

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

Модуль № 1 Дискретні динамічні системи

1.1 Завдання № 1

Динаміка національного доходу Yt визначається рівнянням

(1.1.0)

де с=0,7; А =2; а=3. Знайти залежність Yt, якщо Y0=1

Рішення

1. Варіант початкових даних Y0=1.

Рішення рівняння (1.1.0) проводимо в пакеті MAPLE 11:

> rsolve({y(t+1)=0.7*y(t)+2*(3^t),y(0)=1},y(t));

>

> R3:=simplify(%);

Результат:



t	Y(t)
0	1,0000
1	2,7000
2	7,8900
3	23,5230
4	70,4661
5	211,3263

1.2 Завдання № 2

Динаміка національного доходу Yt визначається рівнянням Самуельсона-Хікса [6]

(1.2.0)

де а=2; b =0,25; c=2. Знайти залежність Yt, якщо Y0=0, Y1=1

Рішення:

1. Динаміка об'єктів різної природи часто описується лінійними кінцево-різницевими рівняннями виду

xt = F( xt-1, xt-2, ... , xt-n), (1.2.1)

Характеристичний стан об'єкта xt у будь-який момент часу t зі станами в попередні моменти часу. Рішення рівняння (1.2.1) n-го порядку визначено однозначно, якщо задані n так званих початкових умов. Звичайно як початкові умови розглядаються значення xt при t = 0, 1,..., n - 1.

Підставляючи початкові значення xn-1, ... , x1, x0 і t = n як аргументи функції в правій частині (1.2.1), знаходимо xn; використовуючи знайдене значення й підставляючи тепер xn, xn-1, ... , x2 x1 і t = n + 1 як аргументи функції, знаходимо xn+1, і т.д. Процес може бути продовжений доти, поки не будуть вичерпані всі досліджуємі значення t.

У моделі економічних циклів Самуельсона-Хікса використовуються кінцево-різницеві рівняння виду xt = a1 xt-1 + a2 xt-2 + f(t) - лінійні кінцево-різницеві рівняння другого порядку, що є приватним видом рівняння (1.2.1).

2. Варіант початкових даних Y0=0, Y1=1 .

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE 11:

> rsolve({y(t+1)=(2*y(t)-0.25*y(t-1)+2),y(0)=0,y(1)=1},y(t));

>

> Samuelson_Hiks5:=simplify(%);

t	Y(t)
0	0,0000
1	1,0000
2	4,0000
3	9,7500
4	20,5000
5	40,5625
6	78,0000
7	147,8594
8	278,2187

1.3 Завдання № 3

Попит D та пропозиція S як функції ціни p задаються виразами

(1.3.0)

Знайти стаціонарну ціну pD=S(при умові D=S - вирівнювання попиту та пропозиції) та з'ясувати чи вона є стійкою.

Рішення:

1. Аналіз стійкості рівноважної ціни pD=S, якщо попит D та пропозиція S завдані функціями:

(1.3.1)

виконується для дискретного підходу за наступним алгоритмом [1].

Нехай ціна близька до рівноважної, при якій попит D дорівнює пропозиції S:

(1.3.2)

Тоді рівняння (1.3.1) в кінцевих різницях можна представити як:

(1.3.3)

З умови рівноваги попиту та пропозиції та умови (1.3.2), маємо наступне перетворення рівнянь (1.3.3):

(1.3.4)

а оскільки

(1.3.5)

то рівняння (1.3.4) трансформується до вигляду:

(1.3.6)

Який перетворюється до наступної форми:

(1.3.7)

Для приросту ціни ?pi отримане рівняння (1.3.7) є характеристичним однорідним різницевим рівнянням з сталим коефіцієнтом. Умова стійкості його розв'язку має вигляд [1]:

 (1.3.8)

2. Для системи рівнянь (1.3.0) пошук рівноважної ціни PD=S виконується за схемою:

(1.3.9)

Рішення рівняння (1.3.9) в пакеті MAPLE 11 дає рішення:

> L2:=p*p+p-2=0;

>

> solve(L2);

тобто маємо 2 дійсні корені p1=1, p2=-2.

Економічно вірним коренем є корень р1 =1, оскільки ціна не може бути меншою нуля.

3. Знаходимо похідні в 1-й точці рівноваги р1=1:

(1.3.10)

Оскільки умови стійкості для отриманих значень похідних в точці рівноваги не виконуються (1.3.11), то рівноважне рішення в першій точці р1=1 є нестійким

(1.3.11)

Модуль № 2 Неперервні динамічні системи

2.1 Завдання № 1

Найти розв'язок рівняння Солоу

(2.1.0)

з початковою умовою k(t=0) =k0;

Рішення:

1. Модель Солоу є односекторною моделлю економічного розвитку. У цій моделі економічна система розглядається як єдине ціле, виробляючи лише один узагальнений продукт, котрий може і споживатись, і інвестуватись. Модель досить адекватно відбиває найважливіші макроекономічні аспекти процесу відтворення. Експорт--імпорт у явному вигляді не враховуються.

Стан економіки в моделі Солоу задається п'ятьма ендогенними змінними [3]:

X -- валовий суспільний продукт (ВСП),

C -- фонд невиробничого споживання,

I -- інвестиції,

L -- кількість зайнятих,

K -- виробничі фонди.

Окрім цього, в моделі фігурують такі екзогенні (що задаються поза системою) показники:

v -- річний темп приросту чисельності зайнятих,

? -- частка вибулих протягом року основних виробничих фондів,

a -- коефіцієнт прямих витрат (частка проміжного продукту у валовому внутрішньому продуктові),

? -- норма накопичення (частка валових інвестицій у ВВП). Межі екзогенних параметрів:

Робиться припущення, що ендогенні змінні змінюються в часі (аргумент t випускається, але він, як правило, є присутнім за визначенням). Екзогенні змінні вважаються постійними в часі. Вважається, зокрема, що норма накопичення є керуючим параметром, тобто в деякий початковий момент часу t0 = 0 вона може встановлюватись керуючим органом системи на будь-якому рівні в межах області допустимих значень. Час t вважають неперервним і таким, що вимірюється в роках. Для миттєвих показників L = L(t), K = K(t) це є досить природним, оскільки, в принципі, будь-якого дня можна дізнатися про чисельність зайнятих і шляхом інвентаризації встановити обсяг основних виробничих фондів. Значення показників типу потоку X = X(t), I = I(t), C = C(t) у момент часу t = [t] + {t} визначається у вигляді накопичених протягом року, що починається на 365{t} днів пізніше 1 січня року [t].

Робиться припущення, що річний випуск у кожен момент часу визначається лінійно-однорідною неокласичною виробничою функцією від двох змінних (ресурсів) K та L.

(2.1.1)

Розглянемо, як змінюються ресурсні показники впродовж малого проміжку часу Dt. Згідно з означенням темпу приросту чисельності зайнятих

 або (2.1.2)

отже, здійснюючи інтегрування, маємо:

(2.1.3)

Використовуючи початкову умову L(0) = L0, отримаємо

(2.1.4)

Зношеність фондів та інвестиції з розрахунку на рік дорівнюють mK та I відповідно, а протягом часу Dt -- відповідно mKDt, IDt, тому приріст фондів упродовж цього часу

(2.1.5)

звідки отримаємо диференціальне рівняння:

(2.1.6)

Оскільки проміжний продукт становить aX, то валовий внутрішній продукт дорівнює (1 - a)X.

Інвестиції I = r(1 - a)X, а фонд споживання C = (1 - r)(1 - a)X.

Отже, отримаємо таку формалізовану модель Солоу в абсолютних показниках [3]:

 (2.1.7)

В моделі Солоу здійснюється введення також таких відносних показників:

-- фондоозброєність;

-- народногосподарська продуктивність праці;

-- питомі інвестиції (на одного зайнятого);

-- середньодушове споживання (на одного зайнятого).

Оскільки

(2.1.8)

то модель Солоу набуває такої форми в питомих (відносних) показниках:

(2.1.9)

Кожен абсолютний чи відносний показник змінюється в часі, тобто можна вести мову про траєкторію системи в абсолютних чи відносних показниках. Траєкторію називають стаціонарною, якщо показники не змінюються в часі:



Як неважко помітити з формул (2.1.9), встановлення фондоозброєності на деякому постійному рівні k0 приводить до виходу на стаціонарну траєкторію.

Протягом перехідного режиму в економіці фондоозброєність задовольняє рівняння

(2.1.10)

окрім цього, якщо k < k0, та якщо k > k0.

У випадку, коли виробнича функція є функцією Кобба--Дугласа:

(2.1.11)

Тоді

(2.1.12)

а рівняння (2.1.10) набере вигляду [3]

(2.1.13)

2. Рішення рівняння Солоу у формі (2.1.13) проводимо в пакеті MAPLE 11, використовуючи функцію вирішення диференційного рівняння з початковими умовами k(t=0)=k0:

 (2.1.14)

з початковою умовою k(t=0) =k0;

Тобто в умовах завдання (2.1.14) коефіцієнти рівняння 2.1.13 приймають значення:

Де:

v -- річний темп приросту чисельності зайнятих,

? -- частка вибулих протягом року основних виробничих фондів,

?=?+?

А - коефіцієнт пропорціональності в функції Коба-Дугласа

a -- коефіцієнт прямих витрат (частка проміжного продукту у валовому внутрішньому продуктові),

? -- норма накопичення (частка валових інвестицій у ВВП).

? - коефіцієнт в формулі виробничої функції Коба-Дугласа (2.1.11).

Рішення рівняння (2.1.14) проводимо в пакеті MAPLE 11:

> S5:=diff(k(t),t)=-k(t)+k(t)^(4/5);

> Soloy5:= dsolve( {S5,k(0)=k0},k(t));

> R5:=simplify(%);

2.2 Завдання № 2

Попит D та пропозиція S як функції змінної в часі ціни p=F(t) та її похідних задаються виразами

(2.2.0)

Знайти стаціонарну ціну рівноваги попиту та пропозиції pD=S(t) - при умові D=S - вирівнювання попиту та пропозиції, як функцію часу, та з'ясувати чи вона є стійкою(оцінити рівень динаміки похідної ).

Рішення:

1. Якщо попит D та пропозиція S є функціями ціни p(t) та її першої та другої похідних , то їх рівняння в загальному вигляді можна представити наступним чином [1]:

(2.2.1)

2. В умовах пошуку точок рівноваги попиту та пропозиції:

(2.2.2)

рівняння (2.2.1), віднімаючи перше від другого, перетворюємо у наступне рівняння

(2.2.3)

яке має наступні початкові умови:

(2.2.4)

Загальний розв'язок рівнянь (2.2.1) - (2.2.4) має вигляд [1]:

(2.2.5)

де С1 та С2 - довільні сталі;

- корені характеристичного рівняння:

(2.2.6)

Після вирішення рівняння (2.2.6), отримані - корені характеристичного рівняння в рівнянні (2.2.5) характеризують стаціонарність рівноважної ціни p(t) наступним чином:

1) Якщо обидва корені - є дійсними від'ємними або комплексними з від'ємною дійсною частиною, то рівняння (2.2.5) перетворюється до вигляду:

(2.2.7)

та з наростанням t рівноважна ціна p(t) буде прямувати до ціни рівноваги попиту D та S - PD=S , оскільки 1 та другий член рівняння (2.2.7) будуть наближатися до нуля.

2) Якщо обидва корені - є дійсними позитивними, або один з них має позитивний знак, або комплексними з позитивною дійсною частиною, то згідно рівнянь (2.2.5), (2.2.7) з наростанням t рівноважна ціна p(t) буде віддалятися від до ціни рівноваги попиту D та S - PD=S , оскільки або перший, або другий член рівняння (2.2.5) будуть наближатися до .

3. В точці рівноваги попиту та пропозиції D=S, рівняння (2.2.0) перетворюються в наступне диференційне рівняння другого порядку похідних:

(2.2.8)

Для пошуку точок стаціонарної ціни рівноваги pD=S враховуємо умови дорівнювання нулю першої та другої похідної в цих точках:

(2.2.9)

тоді рівняння (2.2.8) перетворюється до вигляду, який дозволяє розрахувати значення стаціонарної ціни рівноваги попиту та прозиції:

(2.2.10)

Для рівняння (2.2.8) характеристичне рівняння має наступний вигляд:

(2.2.11)

а корені його рішення, розраховані в пакеті MAPLE 11, дорівнюють

> solve (L*L-7*L-30);

Оскільки корені характеристичного рівняння (2.2.11) дійсні та мають різні знаки - рішення рівняння (2.2.10) є нестійким.

2.3 Завдання № 3

Знайти стаціонарні точки динамічної системи

(2.3.0)

та дослідити їх стійкість в лінійному наближенні.

Рішення:

1. Положення рівноваги вихідної динамічної системи (стаціонарні точки динамічної системи) визначається наступними умовами:

(2.3.1)

звідкіля маємо систему рівнянь рівноваги

(2.3.2)

Рішення системи рівнянь рівноваги (2.3.2) в пакеті MAPLE 11 дає наступні 4 пари коренів - стаціонарних точок рівноваги динамічної системи (2.3.0):

> eqp1:=-2*x*x+3*x-x*y=0;

> eqp2:=-y*y+2*y-x*y=0;

>

> solve({eqp1,eqp2},{x,y});

(2.3.3)

2. Для дослідження стійкості кожного з отриманних рішень, складаємо системи першого наближення в околицях точок рівноваги за допомогою розкладення в ряд Тейлора. Формула Тейлора для функції двох змінних x,y у першому наближенні (тільки рівень 1 похідних) для функції в околицях точки x0,y0 має наступний вигляд [7]:

(2.3.4)

Побудову систем рівнянь першого наближення системи (2.3.2) виконуємо за допомогою пакета MAPLE 11 [4]:

> DxDt:=-2*x*x+3*x-x*y;

> mtaylor(DxDt,[x=0,y=0],2);

> mtaylor(DxDt,[x=3/2,y=0],2);

> mtaylor(DxDt,[x=0,y=2],2);

> mtaylor(DxDt,[x=1,y=1],2);



(2.3.5)

> DyDt:=-y*y+2*y-x*y;

> mtaylor(DyDt,[x=0,y=0],2);

> mtaylor(DyDt,[x=3/2,y=0],2);

> mtaylor(DyDt,[x=0,y=2],2);

> mtaylor(DyDt,[x=1,y=1],2);

>

(2.3.6)

6. Використовуючи отримані результати (2.3.5), (2.3.6), дослідження стійкості рішення для 4-х пар коренів проводимо в наступній послідовності [5]:

6.1. 1 пара коренів - x=0,y=0

Cистема характеристичних рівнянь 1-го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0,y=0) має вигляд:

Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:



Звідки характеристичне рівняння

Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають однакові знаки, що відповідає стійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=0,y=0).

6.2. 2 пара коренів - x=3/2,y=0

Cистема характеристичних рівнянь 1-го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=3/2,y=0) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі ( ) на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:

Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння

Вирішуємо рівняння ( ) в пакеті MAPLE 11

> solve (L*L+5/2*L-3/2=0);

Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають різні знаки, що відповідає нестійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=3/2,y=0).

6.3. 3 пара коренів - x=0,y=2

Cистема характеристичних рівнянь 1-го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0,y=2) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі ( ) на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:



Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння

Вирішуємо рівняння ( ) в пакеті MAPLE 11

> solve (L*L+L-2);

Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають різні знаки при дійсній частині, що відповідає нестійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=0,y=2).

6.4. 4 пара коренів - x=1,y=1

Cистема характеристичних рівнянь 1-го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=1,y=1) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі ( ) на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:

Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння

Вирішуємо рівняння ( ) в пакеті MAPLE 11

> solve (L*L+3*L-4);

Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають різні знаки при дійсній частині, що відповідає нестійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=1,y=1).

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Антонова А.О. Математичні методи економічної динаміки. Дослідження лінійних моделей: Навчально-методичний посібник. - К.: НАУ, 2008. - 60 с.

2. Будаговська С. та ін. Мікроекономіка та макроекономіка: Підручник. К., Основи, 1998. - 356 с.

3. Вітлінський В.В. Моделювання економіки: Навч. посібник. -- К.: КНЕУ, 2003. -- 408 с.

4. Матросов А.В. MAPLE 6. Решение задач высшей математики и механики. - Спб.: БХВ-Петербург, 2001. - 528 с.

5. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи: Учебное пособие. - 2-е изд., перераб. - М.: Высшая школа, 1989. - 383 с

6. Станковская И.К., И.А. Стрелец. Экономическая теория: учебник -3-е изд., испр. - М.:Эксмо, 2007. -448 с.

7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. - М.: Издательство „Наука”, 1969. - 607с.