Дискретні та неперервні динамічні системи в програмному пакеті MAPLE 7

Практичні завдання Варіанту № 1

з курсу «Дискретні та неперервні динамічні системи в економіці»

в програмному пакеті MAPLE 7

Зміст

1. Модуль № 1 Дискретні динамічні системи (Варіант № 1)

1.1 Завдання № 1 (Варіант №1)

1.2 Завдання № 2 (Варіант №1)

1.3 Завдання № 3 (Варіант №1)

2. Модуль № 2 Неперервні динамічні системи (Варіант № 1)

2.1 Завдання № 1 (Варіант №1)

2.2 Завдання № 2 (Варіант №1)

2.3 Завдання № 3 (Варіант №1)

Список використаних джерел

1. Модуль № 1 Дискретні динамічні системи (Варіант № 1)

1.1 Завдання № 1 (Варіант №1)

Динаміка національного доходу Y_t визначається рівнянням

(1.1.0)

де с=0,2; А =0,5; а=0,5. Знайти залежність Y_t, якщо Y₀=1

Рішення

1. Варіант початкових даних Y₀=1.

Рішення рівняння (1.1.0) проводимо в пакеті MAPLE 11:

> rsolve({y(t+1)=0.2*y(t)+0.5*((0.5)^t),y(0)=1},y(t));

> R3:=simplify(%);

Результат:

t	Y(t)
0	1,0000
1	0,7000
2	0,3900
3	0,2030
4	0,1031
5	0,0519
6	0,0260

1.2 Завдання № 2 (Варіант №1)

Динаміка національного доходу Y_t визначається рівнянням Самуельсона-Хікса [6]

(1.2.0)

де а=1,2; b =0,32; c=0,12. Знайти залежність Y_t, якщо Y₀=0, Y₁=1

Рішення:

1. Динаміка об'єктів різної природи часто описується лінійними кінцево-різницевими рівняннями виду

x_t = F( xt-1, x_t-2, ... , xt-n), (1.2.1)

Характеристичний стан об'єкта x_t у будь-який момент часу t зі станами в попередні моменти часу. Рішення рівняння (1.2.1) n-го порядку визначено однозначно, якщо задані n так званих початкових умов. Звичайно як початкові умови розглядаються значення x_t при t = 0, 1,..., n - 1.

Підставляючи початкові значення xn-1, ... , x₁, x₀ і t = n як аргументи функції в правій частині (1.2.1), знаходимо x_n; використовуючи знайдене значення й підставляючи тепер x_n, xn-1, ... , x₂ x₁ і t = n + 1 як аргументи функції, знаходимо x_n+1, і т.д. Процес може бути продовжений доти, поки не будуть вичерпані всі досліджуємі значення t.

У моделі економічних циклів Самуельсона-Хікса використовуються кінцево-різницеві рівняння виду x_t = a_{1 xt-}1 + a_{2 xt-}2 + f(t) - лінійні кінцево-різницеві рівняння другого порядку, що є приватним видом рівняння (1.2.1).

2. Варіант початкових даних Y₀=0, Y₁=1 .

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE 11:

> rsolve({y(t+1)=(1.2*y(t)-0.32*y(t-1)+0.12),y(0)=0,y(1)=1},y(t));

Samuelson_Hiks1:=simplify(%);

t	Y(t)
0	0,0000
1	1,0000
2	1,3200
3	1,6400
4	1,3584
5	1,3482
6	1,2540
7	1,2130
8	1,1665
9	1,1347
10	1,1072

1.3 Завдання № 3 (Варіант №1)

Попит D та пропозиція S як функції ціни p задаються виразами

(1.3.0)

Знайти стаціонарну ціну p_D=S(при умові D=S - вирівнювання попиту та пропозиції) та з'ясувати чи вона є стійкою.

Рішення:

1. Аналіз стійкості рівноважної ціни p_D=S, якщо попит D та пропозиція S завдані функціями:

(1.3.1)

виконується для дискретного підходу за наступним алгоритмом [1].

Нехай ціна близька до рівноважної, при якій попит D дорівнює пропозиції S:

(1.3.2)

Тоді рівняння (1.3.1) в кінцевих різницях можна представити як:

(1.3.3)

З умови рівноваги попиту та пропозиції та умови (1.3.2), маємо наступне перетворення рівнянь (1.3.3):

(1.3.4)

а оскільки

(1.3.5)

то рівняння (1.3.4) трансформується до вигляду:

(1.3.6)

Який перетворюється до наступної форми:

(1.3.7)

Для приросту ціни ?p_i отримане рівняння (1.3.7) є характеристичним однорідним різницевим рівнянням з сталим коефіцієнтом. Умова стійкості його розв'язку має вигляд [1]:

(1.3.8)

2. Для системи рівнянь (1.3.0) пошук рівноважної ціни P_D=S виконується за схемою:

(1.3.9)

Рішення рівняння (1.3.9) в пакеті MAPLE 11 дає рішення:

> solve (-(p*p)+p+2=0);

>

тобто маємо 2 дійсні корені p1=-1, p2=2.

Економічно вірним коренем є корінь р2 =2, оскільки ціна не може бути меншою нуля.

3. Знаходимо похідні в 2-й точці рівноваги р2=2:

(1.3.10)

Оскільки умови стійкості для отриманих значень похідних в точці рівноваги не виконуються (1.3.11), то рівноважне рішення в другій точці р2=2 є нестійким

(1.3.11)

2. Модуль № 2 Неперервні динамічні системи (Варіант № 1)

2.1 Завдання № 1 (Варіант №1)

Найти розв'язок рівняння Харода-Домара

з початковою умовою Y(t=0) =Y₀; s, A, і,а - const;

Позначення (згідно з моделлю Харода - Домара росту національного доходу держави у часі) [6]:

Y(t) - рівень національного доходу держави у часі;

- схильність населення до заощаджень (0< s < 1,0), тобто частка національного доходу, яка відкладається в заощадження;

t - час;

i - коефіцієнт індукованих інвестицій при зміні національного доходу ?Y(t), тобто частка приросту національного доходу, яка йде на інвестування економіки;

А - рівень незалежних несталих інвестицій з експоненціальною функцією часу;

а - коефіцієнт пропорційності експоненти.

Рішення:

1. У загальному вигляді модель економічного зростання складається із системи п'яти рівнянь [6]:

1) формула виробничої функції, якою передається обсяг потенційного випуску, тобто випуску продукції за умов повної зайнятості;

2) основна макроекономічна тотожність Y_t=C_t+I_t показує, що вимірник випуску (доходу) Y поділяється в теорії зростання на споживання С та інвестиції І; вимірники державних витрат G і чистого експорту NX окремо в таких моделях не вирізняються, а розподіляються на споживання та інвестиції держави й інших країн світу (тобто вводяться в компоненти С та І);

3) формула розрахунку динаміки обсягу капіталу з урахуванням інвестицій та амортизації основного капіталу (за умови нульового інвестиційного лагу) має вигляд:

K_t=K_t-1+I_t--W_t,

де K_t -- запас капіталу наприкінці періоду t;

І_t -- інвестиції за весь період t;

W_t, -- амортизація капіталу за період t.

Наведена формула вказує на те, що кількість капіталу зростає на величину інвестицій та зменшується на величину амортизаційних відрахувань;

4) формула для розрахунку вибуття капіталу (амортизації) має вигляд:

де -- постійна (незмінна) норма амортизації, яка задається екзогенно отже, вважається, що вибуття капіталу є пропорційним до величини його запасу;

5) щодо інвестицій, то передбачається, що вони складають постійний процент від випуску I_t= s_* Y_t, де s -- норма інвестицій (частка інвестицій у сукупному продукті (доході). Норма інвестицій s збігається з нормою заощадження, оскільки сукупні заощадження S_t дорівнюють сукупним інвестиціям І_t. Відповідно, Y_t=C_t+S_t=C_t+I_t,.

Таким чином, модель економічного зростання у загальному вигляді складається із системи п'яти наведених рівнянь, які містять сім змінних (Y, K, L, C, I, , s), три із яких задаються екзогенно:

— затрати праці L (зростають із постійним темпом n);

— норма амортизації основного капіталу ;

— норма заощадження s (задається безпосередньо або ж у вигляді певних умов, наприклад, максимізація споживання).

Мета дослідників -- з'ясувати питання про те, як змінюються ендогенні змінні в моделі економічного зростання (Y, C та І) і який із чинників є визначальним фактором довгострокового економічного зростання.

Модель економічного зростання Харода--Домара

Це найпростіша модель економічного зростання, і була вона розроблена наприкінці 40-х рр. Модель описує динаміку доходу (Y), який є сумою споживчих (С) та інвестиційних (І) витрат. Економіка вважається закритою, тому чистий експорт (NX) дорівнює нулю, а державні витрати (G) в моделі не вирізняються. Основним фактором зростання є нагромадження капіталу.

Основні передумови моделі:

-- постійна продуктивність капіталу MPK = dY/dK;

-- постійна норма заощадження s = I/Y;

-- відсутній процес вибуття капіталу W = 0;

-- інвестиційний лаг дорівнює нулеві, тобто інвестиції миттєво переходять у приріст капіталу. Формально це означає, що dK(t) = I(t);

-- модель не враховує технічного прогресу;

— випуск не залежить від затрат праці, оскільки праця не є дефіцитним ресурсом;

— використовується виробнича функція Леонтьєва, яка передбачає неможливість взаємозаміни акторів виробництва -- праці і капіталу.

Припускається, що швидкість доходу пропорційна інвестиціям: dY = MPK * I(t) = MPK * s * Y, а темп приросту доходу dY/Y * dt є постійним і дорівнює s * MPK. Він прямо пропорційний нормі заощаджень та граничній продуктивності капіталу. Інвестиції (І) та споживання (С) в моделі Харода-Домара зростають з таким же постійним темпом (s * MPK).

2. Рішення проводимо в пакеті MAPLE 11, використовуючи функцію вирішення диференційного рівняння з початковими умовами Y(t=0)=Y₀:

> L5:=diff(y(t),t)=(s/i*y(t)-A/i*exp(a*t));

> ans1:= dsolve( {L5,y(0)=Y0},y(t));

Таким чином, розв'язком рівняння Харода-Домара у вигляді

з початковою умовою Y(t=0) =Y₀; s, A, і,а - const;

є експоненційна функція:

2.2 Завдання № 2 (Варіант №1)

Попит D та пропозиція S як функції змінної в часі ціни p=F(t) та її похідних задаються виразами

 (2.2.0)

Знайти стаціонарну ціну рівноваги попиту та пропозиції p_D=S(t) - при умові D=S - вирівнювання попиту та пропозиції, як функцію часу, та з'ясувати чи вона є стійкою(оцінити рівень динаміки похідної

Рішення:

1. Якщо попит D та пропозиція S є функціями ціни p(t) та її першої та другої похідних , то їх рівняння в загальному вигляді можна представити наступним чином [1]:

(2.2.1)

2. В умовах пошуку точок рівноваги попиту та пропозиції:

(2.2.2)

рівняння (2.2.1), віднімаючи перше від другого, перетворюємо у наступне рівняння

(2.2.3)

яке має наступні початкові умови:

(2.2.4)

Загальний розв'язок рівнянь (2.2.1) - (2.2.4) має вигляд [1]:

(2.2.5)

де С1 та С2 - довільні сталі;

- корені характеристичного рівняння:

(2.2.6)

Після вирішення рівняння (2.2.6), отримані - корені характеристичного рівняння в рівнянні (2.2.5) характеризують стаціонарність рівноважної ціни p(t) наступним чином:

1) Якщо обидва корені - є дійсними від'ємними або комплексними з від'ємною дійсною частиною, то рівняння (2.2.5) перетворюється до вигляду:

(2.2.7)

та з наростанням t рівноважна ціна p(t) буде прямувати до ціни рівноваги попиту D та S - P_D=S , оскільки 1 та другий член рівняння (2.2.7) будуть наближатися до нуля.

2) Якщо обидва корені - є дійсними позитивними, або один з них має позитивний знак, або комплексними з позитивною дійсною частиною, то згідно рівнянь (2.2.5), (2.2.7) з наростанням t рівноважна ціна p(t) буде віддалятися від до ціни рівноваги попиту D та S - P_D=S , оскільки або перший, або другий член рівняння (2.2.5) будуть наближатися до .

3. В точці рівноваги попиту та пропозиції D=S, рівняння (2.2.0) перетворюються в наступне диференційне рівняння другого порядку похідних:

(2.2.8)

Для пошуку точок стаціонарної ціни рівноваги p_D=S враховуємо умови дорівнювання нулю першої та другої похідної в цих точках:

(2.2.9)

тоді рівняння (2.2.8) перетворюється до вигляду, який дозволяє розрахувати значення стаціонарної ціни рівноваги попиту та пропозиції:

(2.2.10)

Для рівняння (2.2.8) характеристичне рівняння має наступний вигляд:

(2.2.11)

а корені його рішення, розраховані в пакеті MAPLE7, дорівнюють

> solve (L*L-7*L-30);

Оскільки корені характеристичного рівняння (2.2.11) дійсні та мають різні знаки - рішення рівняння (2.2.10) є нестійким.

2.3 Завдання № 3 (Варіант №1)

Знайти стаціонарні точки динамічної системи

(2.3.0)

та дослідити їх стійкість в лінійному наближенні.

Рішення:

1. Положення рівноваги вихідної динамічної системи (стаціонарні точки динамічної системи) визначається наступними умовами:

(2.3.1)

звідкіля маємо систему рівнянь рівноваги

(2.3.2)

Рішення системи рівнянь рівноваги (2.3.2) в пакеті MAPLE 11 дає наступні 4 пари коренів - стаціонарних точок рівноваги динамічної системи (2.3.0):

> eqp1:=-3*x*x+6*x-x*y=0;

> eqp2:=-y*y+4*y-x*y=0;

>

> solve({eqp1,eqp2},{x,y});

(2.3.3)

2. Для дослідження стійкості кожного з отриманих рішень, складаємо системи першого наближення в околицях точок рівноваги за допомогою розкладення в ряд Тейлора. Формула Тейлора для функції двох змінних x,y у першому наближенні (тільки рівень 1 похідних) для функції в околицях точки x₀,y₀ має наступний вигляд [7]:

(2.3.4)

Побудову систем рівнянь першого наближення системи (2.3.2) виконуємо за допомогою пакета MAPLE 11 [4]:

> DxDt:=-3*x*x+6*x-x*y;

> mtaylor(DxDt,[x=0,y=0],2);

> mtaylor(DxDt,[x=2,y=0],2);

> mtaylor(DxDt,[x=0,y=4],2);

> mtaylor(DxDt,[x=1,y=3],2);

(2.3.5)

> DyDt:=-y*y+4*y-x*y;

> mtaylor(DyDt,[x=0,y=0],2);

> mtaylor(DyDt,[x=2,y=0],2);

> mtaylor(DyDt,[x=0,y=4],2);

> mtaylor(DyDt,[x=1,y=3],2);

>

(2.3.6)

6. Використовуючи отримані результати (2.3.5), (2.3.6), дослідження стійкості рішення для 4-х пар коренів проводимо в наступній послідовності [5]:

6.1. 1 пара коренів - x=0,y=0

Cистема характеристичних рівнянь 1-го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0,y=0) має вигляд:

Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння

Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають однакові знаки, що відповідає стійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=0,y=0).

6.2. 2 пара коренів - x=2,y=0

Cистема характеристичних рівнянь 1-го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=2,y=0) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі ( ) на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:

Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння

Вирішуємо рівняння ( ) в пакеті MAPLE 11

> L:=a*a+4*a-12=0;

>

> solve(L);

Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають різні знаки, що відповідає нестійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=2,y=0).

6.3. 3 пара коренів - x=0,y=4

Cистема характеристичних рівнянь 1-го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0,y=4) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі ( ) на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:

Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння

Вирішуємо рівняння ( ) в пакеті MAPLE 11

> L1:=a*a+2*a-8=0;

> solve(L1);

Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають різні знаки при дійсній частині, що відповідає нестійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=0,y=4).

6.4. 4 пара коренів - x=1,y=3

Cистема характеристичних рівнянь 1-го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=1,y=3) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі ( ) на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:

Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння

Вирішуємо рівняння ( ) в пакеті MAPLE 11

> L2:=a*a+6*a+6=0;

> solve(L2);

Корені рішення цього рівняння та є дійсними та мають знак (-) при дійсній частині, це відповідає асимптотичній стійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=1,y=3).

Список використаних джерел

1. Антонова А.О. Математичні методи економічної динаміки. Дослідження лінійних моделей: Навчально-методичний посібник. - К.: НАУ, 2008. - 60 с.

2. Будаговська С. та ін. Мікроекономіка та макроекономіка: Підручник. К., Основи, 1998. - 356 с.

3. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришнин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов./ Учебное пособие для вузов./ Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. 439 с.

4. Матросов А.В. MAPLE 6. Решение задач высшей математики и механики. - Спб.: БХВ-Петербург, 2001. - 528 с.

5. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи: Учебное пособие. - 2-е изд., перераб. - М.: Высшая школа, 1989. - 383 с

6. Станковская И. К., И.А. Стрелец. Экономическая теория: учебник -3-е изд., испр. - М.:Эксмо, 2007. -448 с.

7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. - М.: Издательство „Наука”, 1969. - 607с.