Дискретні та неперервні динамічні системи в програмному пакеті MAPLE 7

Практичні завдання Варіанту № 16

з курсу «Дискретні та неперервні динамічні системи в економіці»

в програмному пакеті MAPLE 7

Зміст

1. Модуль № 1 Дискретні динамічні системи (Варіант № 16)

1.1 Завдання № 1 (Варіант №16)

1.2 Завдання № 2 (Варіант №16)

1.3 Завдання № 3 (Варіант №16)

2. Модуль № 2 Неперервні динамічні системи (Варіант № 16)

2.1 Завдання № 1 (Варіант №16)

2.2 Завдання № 2 (Варіант №16)

2.3 Завдання № 3 (Варіант №16)

Список використаних джерел

1. Модуль № 1 Дискретні динамічні системи (Варіант № 16)

1.1 Завдання № 1 (Варіант №16)

Динаміка національного доходу Y_t визначається рівнянням

(1.1.0)

де с=0,25; А =1. Знайти залежність Y_t, якщо Y₀=3

Рішення

1. Варіант початкових даних Y₀=3.

Рішення рівняння (1.1.0) проводимо в пакеті MAPLE 11:

> rsolve({y(t+1)=(0.25)*y(t)+1.0,y(0)=3},y(t));

>

> R16:=simplify(%);

Результат:

t	Y(t)
0	3,0000
1	1,7500
2	1,4375
3	1,3594
4	1,3398
5	1,3350
6	1,3337
7	1,3334
8	1,3334
9	1,3333

1.2 Завдання № 2 (Варіант №16)

Динаміка національного доходу Y_t визначається рівнянням Самуельсона-Хікса [6]

(1.2.0)

де а=2,4; b =1,43; c=0,07. Знайти залежність Y_t, якщо Y₀=0, Y₁=1

Рішення:

1. Динаміка об'єктів різної природи часто описується лінійними кінцево-різницевими рівняннями виду

x_t = F( xt-1, x_t-2, ... , xt-n), (1.2.1)

Характеристичний стан об'єкта x_t у будь-який момент часу t зі станами в попередні моменти часу. Рішення рівняння (1.2.1) n-го порядку визначено однозначно, якщо задані n так званих початкових умов. Звичайно як початкові умови розглядаються значення x_t при t = 0, 1,..., n - 1.

Підставляючи початкові значення xn-1, ... , x₁, x₀ і t = n як аргументи функції в правій частині (1.2.1), знаходимо x_n; використовуючи знайдене значення й підставляючи тепер x_n, xn-1, ... , x₂ x₁ і t = n + 1 як аргументи функції, знаходимо x_n+1, і т.д. Процес може бути продовжений доти, поки не будуть вичерпані всі досліджуємі значення t.

У моделі економічних циклів Самуельсона-Хікса використовуються кінцево-різницеві рівняння виду x_t = a_{1 xt-}1 + a_{2 xt-}2 + f(t) - лінійні кінцево-різницеві рівняння другого порядку, що є приватним видом рівняння (1.2.1).

2. Варіант початкових даних Y₀=0, Y₁=1 .

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE 11:

> rsolve({y(t+1)=2.4*y(t)-1.43*y(t-1)+0.07,y(0)=1,y(1)=1},y(t));

>

> R16_samuelson_hiks:=simplify(%);

t	Y(t)
0	0,0000
1	1,0000
2	1,0400
3	1,1360
4	1,3092
5	1,5876
6	2,0081
7	2,6191
8	3,4844
9	4,6871
10	6,3364
11	8,5748
12	11,5885
13	15,6205
14	20,9875

1.3 Завдання № 3 (Варіант №16)

Попит D та пропозиція S як функції ціни p задаються виразами

 (1.3.0)

Знайти стаціонарну ціну p_D=S(при умові D=S - вирівнювання попиту та пропозиції) та з'ясувати чи вона є стійкою.

Рішення:

1. Аналіз стійкості рівноважної ціни p_D=S, якщо попит D та пропозиція S завдані функціями:

(1.3.1)

виконується для дискретного підходу за наступним алгоритмом [1].

Нехай ціна близька до рівноважної, при якій попит D дорівнює пропозиції S:

(1.3.2)

Тоді рівняння (1.3.1) в кінцевих різницях можна представити як:

(1.3.3)

З умови рівноваги попиту та пропозиції та умови (1.3.2), маємо наступне перетворення рівнянь (1.3.3):

 (1.3.4)

а оскільки

(1.3.5)

то рівняння (1.3.4) трансформується до вигляду:

(1.3.6)

Який перетворюється до наступної форми:

(1.3.7)

Для приросту ціни ?p_i отримане рівняння (1.3.7) є характеристичним однорідним різницевим рівнянням з сталим коефіцієнтом. Умова стійкості його розв'язку має вигляд [1]:

(1.3.8)

2. Для системи рівнянь (1.3.0) пошук рівноважної ціни P_D=S виконується за схемою:

 (1.3.9)

Рішення рівняння (1.3.9) в пакеті MAPLE 11 дає рішення:

> solve ((p^(1/2)*p^(1/2))+p^(1/2)-6=0);

тобто маємо 1 дійсний корінь p1=4.

3. Знаходимо похідні в 1-й точці рівноваги р1=4:

(1.3.10)

Оскільки умови стійкості для отриманих значень похідних в точці рівноваги не виконуються (1.3.11), то рівноважне рішення в першій точці р1=4 є нестійким

(1.3.11)

2. Модуль № 2 Неперервні динамічні системи (Варіант № 16)

2.1 Завдання № 1 (Варіант №16)

Модель рекламної компанії має вигляд

(2.1.0)

з початковою умовою N(t=0) =0;

Рішення:

1. Модель рекламної кампанії ґрунтується на таких основних гіпотезах. Розглядається величина dN/dt -- швидкість зміни в часі кількості споживачів, котрі дізналися про товар і мають намір і кошти купити його (t -- час, що минув з початку рекламної кампанії), N(t) -- кількість уже поінформованих клієнтів [3]. Вважається, що dN/dt пропорційна кількості покупців, які ще не знають про цей товар (послуги), тобто величині

a1(t) (N0 - N(t)),

де N0 -- загальна кількість потенційних платоспроможних покупців, a1(t) > 0 характеризує інтенсивність рекламної кампанії (що фактично визначається витратами на рекламу в даний момент часу).

Припускається також, що ті, хто дізнався про товар, так чи інакше поширюють отриману інформацію серед необізнаних, виступаючи в ролі додаткових рекламних «агентів» фірми. Їхній внесок дорівнює величині

a2(t)(N(t)(N0 - N(t))).

Він буде тим більшим, чим більша кількість агентів. Величина a2(t) > 0 характеризує ступінь спілкування покупців між собою (вона може бути встановлена опитуванням).

У результаті отримаємо рівняння

(2.1.1)

Якщо б1(t) >> б2(t) N(t), то з (2.1.1) отримаємо модель типу моделі Мальтуса [3], якщо ж б1(t) << б2(t) N(t), -- рівняння логістичної кривої [3].

Аналогія є цілком зрозумілою, бо в побудові даної моделі та моделі зростання чисельності популяції використовувалася та сама ідея «насичення»: швидкість зростання в часі деякої величини пропорційна добутку поточного значення цієї величини N(t) на різницю ((N0 - N(t)) між її рівноважним (популяція) чи граничним (покупці) й поточним значеннями.

Аналогія між обома процесами закінчується, якщо в деякий момент часу величина стає нульовою чи навіть від'ємною (для цього необхідно, щоб один чи обидва коефіцієнти б1(t), б2(t) стали від'ємними). Подібний негативний ефект досить часто зустрічається в рекламних кампаніях і повинен націлювати їх організаторів на те, щоб чи змінити характер реклами, чи зовсім відмовитися від неї. Заходи з метою збільшення популярності товару можуть залежно від значень величин спрямовуватися на поліпшення результатів як прямої, так і опосередкованої реклами.

Модель (2.1.1) не має розв'язків, що дорівнюють нулеві в кінцевий момент часу. Якщо розглянути модель (2.1.1) в околі точки N(t = 0) = N(0) = 0 (t = 0 -- момент початку рекламної кампанії), вважаючи, що N << N0, б2(t)N << б1(t), то рівняння (2.1.1) набере вигляду:

а його розв'язок --

(2.1.2)

що задовольняє, природно, початкову умову, якщо t = 0.

2.Рішення рівняння (2.1.0) проводимо в пакеті MAPLE 11:

> R16:=diff(N(t),t)=(80-N(t))*(1+N(t)/8);

> Reklam16:= dsolve( {R16,N(0)=0},N(t));

> R16:=simplify(%);

t	N(t)
0	0,0000
0,1	12,3294
0,2	33,7451
0,3	56,2884
0,4	70,3773
0,5	76,5448
0,6	78,8189
0,7	79,6033
0,8	79,8676
0,9	79,9559

2.2 Завдання № 2 (Варіант №16)

Попит D та пропозиція S як функції змінної в часі ціни p=F(t) та її похідних задаються виразами

(2.2.0)

Знайти стаціонарну ціну рівноваги попиту та пропозиції p_D=S(t) - при умові D=S - вирівнювання попиту та пропозиції, як функцію часу, та з'ясувати чи вона є стійкою(оцінити рівень динаміки похідної

Рішення:

1. Якщо попит D та пропозиція S є функціями ціни p(t) та її першої та другої похідних , то їх рівняння в загальному вигляді можна представити наступним чином [1]:

(2.2.1)

2. В умовах пошуку точок рівноваги попиту та пропозиції:

(2.2.2)

рівняння (2.2.1), віднімаючи перше від другого, перетворюємо у наступне рівняння

(2.2.3)

яке має наступні початкові умови:

(2.2.4)

Загальний розв'язок рівнянь (2.2.1) - (2.2.4) має вигляд [1]:

(2.2.5)

де С1 та С2 - довільні сталі;

- корені характеристичного рівняння:

(2.2.6)

Після вирішення рівняння (2.2.6), отримані - корені характеристичного рівняння в рівнянні (2.2.5) характеризують стаціонарність рівноважної ціни p(t) наступним чином:

1) Якщо обидва корені - є дійсними від'ємними або комплексними з від'ємною дійсною частиною, то рівняння (2.2.5) перетворюється до вигляду:

 (2.2.7)

та з наростанням t рівноважна ціна p(t) буде прямувати до ціни рівноваги попиту D та S - P_D=S , оскільки 1 та другий член рівняння (2.2.7) будуть наближатися до нуля.

2) Якщо обидва корені - є дійсними позитивними, або один з них має позитивний знак, або комплексними з позитивною дійсною частиною, то згідно рівнянь (2.2.5), (2.2.7) з наростанням t рівноважна ціна p(t) буде віддалятися від до ціни рівноваги попиту D та S - P_D=S , оскільки або перший, або другий член рівняння (2.2.5) будуть наближатися до .

3. В точці рівноваги попиту та пропозиції D=S, рівняння (2.2.0) перетворюються в наступне диференційне рівняння другого порядку похідних:

(2.2.8)

Для пошуку точок стаціонарної ціни рівноваги p_D=S враховуємо умови дорівнювання нулю першої та другої похідної в цих точках:

(2.2.9)

тоді рівняння (2.2.8) перетворюється до вигляду, який дозволяє розрахувати значення стаціонарної ціни рівноваги попиту та пропозиції:

 (2.2.10)

Для рівняння (2.2.8) характеристичне рівняння має наступний вигляд:

(2.2.11)

а корені його рішення, розраховані в пакеті MAPLE 11, дорівнюють

> L:=a*a+3*a+2=0;

>

> solve(L);

Оскільки корені характеристичного рівняння (2.2.11) дійсні та мають однакові знаки - рішення рівняння (2.2.10) є стійким [1].

2.3 Завдання № 3 (Варіант №16)

Знайти стаціонарні точки динамічної системи

(2.3.0)

та дослідити їх стійкість в лінійному наближенні.

Рішення:

1. Положення рівноваги вихідної динамічної системи (стаціонарні точки динамічної системи) визначається наступними умовами:

(2.3.1)

звідкіля маємо систему рівнянь рівноваги

(2.3.2)

Рішення системи рівнянь рівноваги (2.3.2) в пакеті MAPLE 11 дає наступні 4 пари коренів - стаціонарних точок рівноваги динамічної системи (2.3.0):

> eqp1:=-3*x*x+4*x-x*y=0;

> eqp2:=-y*y+2*y-x*y=0;

>

> solve({eqp1,eqp2},{x,y});

(2.3.3)

2. Для дослідження стійкості кожного з отриманних рішень, складаємо системи першого наближення в околицях точок рівноваги за допомогою розкладення в ряд Тейлора. Формула Тейлора для функції двох змінних x,y у першому наближенні (тільки рівень 1 похідних) для функції в околицях точки x₀,y₀ має наступний вигляд [7]:

(2.3.4)

Побудову систем рівнянь першого наближення системи (2.3.2) виконуємо за допомогою пакета MAPLE 11 [4]:

> DxDt:=-3*x*x+4*x-x*y;

> mtaylor(DxDt,[x=0,y=0],2);

> mtaylor(DxDt,[x=4/3,y=0],2);

> mtaylor(DxDt,[x=0,y=2],2);

> mtaylor(DxDt,[x=1,y=1],2);

(2.3.5)

> DyDt:=-y*y+2*y-x*y;

> mtaylor(DyDt,[x=0,y=0],2);

> mtaylor(DyDt,[x=4/3,y=0],2);

> mtaylor(DyDt,[x=0,y=2],2);

> mtaylor(DyDt,[x=1,y=1],2);

(2.3.6)

6. Використовуючи отримані результати (2.3.5), (2.3.6), дослідження стійкості рішення для 4-х пар коренів проводимо в наступній послідовності [5]:

6.1. 1 пара коренів - x=0,y=0

Cистема характеристичних рівнянь 1-го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0,y=0) має вигляд:

Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння

Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають однакові знаки, що відповідає стійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=0,y=0).

6.2. 2 пара коренів - x=4/3,y=0

Cистема характеристичних рівнянь 1-го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=4/3,y=0) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі ( ) на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:



Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння

Вирішуємо рівняння ( ) в пакеті MAPLE 11

> L:=a*a+10/3*a-4/3=0;

>

> solve(L);

Корені рішення цього рівняння є дійсні та мають різні знаки, що відповідає нестійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=4/3,y=0).

6.3. 3 пара коренів - x=0,y=2

Cистема характеристичних рівнянь 1-го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0,y=2) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі ( ) на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:

Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння

Вирішуємо рівняння ( ) в пакеті MAPLE 11

> L1:=a*a-4=0;

> solve(L1);

Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають різні знаки, що відповідає нестійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=0,y=2).

6.4. 4 пара коренів - x=1,y=1

Cистема характеристичних рівнянь 1-го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=1,y=1) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі ( ) на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:

Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння

Вирішуємо рівняння ( ) в пакеті MAPLE 11

> L2:=p*p+4*p+3=0;

>

> solve(L2);

Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають однакові знаки при дійсній частині, що відповідає стійкому рішенню рівноваги [5] в точці (x=1,y=1).

Список використаних джерел

1. Антонова А.О. Математичні методи економічної динаміки. Дослідження лінійних моделей: Навчально-методичний посібник. - К.: НАУ, 2008. - 60 с.

2. Будаговська С. та ін. Мікроекономіка та макроекономіка: Підручник. К., Основи, 1998. - 356 с.

3. Вітлінський В. В. Моделювання економіки: Навч. посібник. -- К.: КНЕУ, 2003. -- 408 с.

4. Матросов А.В. MAPLE 6. Решение задач высшей математики и механики. - Спб.: БХВ-Петербург, 2001. - 528 с.

5. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи: Учебное пособие. - 2-е изд., перераб. - М.: Высшая школа, 1989. - 383 с

6. Станковская И. К., И.А. Стрелец. Экономическая теория: учебник -3-е изд., испр. - М.:Эксмо, 2007. -448 с.

7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. - М.: Издательство „Наука”, 1969. - 607с.