Дискретні та неперервні динамічні системи в програмному пакеті MAPLE 7

Практичні завдання Варіанту № 10

з курсу «Дискретні та неперервні динамічні системи в економіці»

в програмному пакеті MAPLE 7

Зміст

1. Модуль № 1 Дискретні динамічні системи (Варіант № 10)

1.1 Завдання № 1 (Варіант №10)

1.2 Завдання № 2 (Варіант №10)

1.3 Завдання № 3 (Варіант №10)

2. Модуль № 2 Неперервні динамічні системи (Варіант № 10)

2.1 Завдання № 1 (Варіант №10)

2.2 Завдання № 2 (Варіант №10)

2.3 Завдання № 3 (Варіант №10)

Список використаних джерел

1. Модуль № 1 Дискретні динамічні системи (Варіант № 10)

1.1 Завдання № 1 (Варіант №10)

Динаміка національного доходу Y_t визначається рівнянням

(1.1.0)

де с=0,5; А =2. Знайти залежність Y_t, якщо Y₀=5

Рішення

1. Варіант початкових даних Y₀=5.

Рішення рівняння (1.1.0) проводимо в пакеті MAPLE 11:

> rsolve({y(t+1)=(0.5)*y(t)+2.0,y(0)=5},y(t));

>

Результат:

t	Y(t)
0	5,0000
1	4,5000
2	4,2500
3	4,1250
4	4,0625
5	4,0313
6	4,0156
7	4,0078

1.2 Завдання № 2 (Варіант №10)

Динаміка національного доходу Y_t визначається рівнянням Самуельсона-Хікса [6]

(1.2.0)

де а=2; b =0,36; c=0,64. Знайти залежність Y_t, якщо Y₀=0, Y₁=1

Рішення:

1. Динаміка об'єктів різної природи часто описується лінійними кінцево-різницевими рівняннями виду

x_t = F( xt-1, x_t-2, ... , xt-n), (1.2.1)

Характеристичний стан об'єкта x_t у будь-який момент часу t зі станами в попередні моменти часу. Рішення рівняння (1.2.1) n-го порядку визначено однозначно, якщо задані n так званих початкових умов. Звичайно як початкові умови розглядаються значення x_t при t = 0, 1,..., n - 1.

Підставляючи початкові значення xn-1, ... , x₁, x₀ і t = n як аргументи функції в правій частині (1.2.1), знаходимо x_n; використовуючи знайдене значення й підставляючи тепер x_n, xn-1, ... , x₂ x₁ і t = n + 1 як аргументи функції, знаходимо x_n+1, і т.д. Процес може бути продовжений доти, поки не будуть вичерпані всі досліджуємі значення t.

У моделі економічних циклів Самуельсона-Хікса використовуються кінцево-різницеві рівняння виду x_t = a_{1 xt-}1 + a_{2 xt-}2 + f(t) - лінійні кінцево-різницеві рівняння другого порядку, що є приватним видом рівняння (1.2.1).

2. Варіант початкових даних Y₀=0, Y₁=1 .

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE 11:

> rsolve({y(t+1)=2*y(t)-0.36*y(t-1)+0.64,y(0)=1,y(1)=1},y(t));

>

> R10_samuelson_xiks:=simplify(%);

>

t	Y(t)
0	0,0000
1	1,0000
2	2,2800
3	4,8400
4	9,4992
5	17,8960
6	33,0123
7	60,2220
8	109,1996
9	197,3593

1.3 Завдання № 3 (Варіант №10)

Попит D та пропозиція S як функції ціни p задаються виразами

(1.3.0)

Знайти стаціонарну ціну p_D=S(при умові D=S - вирівнювання попиту та пропозиції) та з'ясувати чи вона є стійкою.

Рішення:

1. Аналіз стійкості рівноважної ціни p_D=S, якщо попит D та пропозиція S завдані функціями:

 (1.3.1)

виконується для дискретного підходу за наступним алгоритмом [1].

Нехай ціна близька до рівноважної, при якій попит D дорівнює пропозиції S:

(1.3.2)

Тоді рівняння (1.3.1) в кінцевих різницях можна представити як:

(1.3.3)

З умови рівноваги попиту та пропозиції та умови (1.3.2), маємо наступне перетворення рівнянь (1.3.3):

(1.3.4)

а оскільки

(1.3.5)

то рівняння (1.3.4) трансформується до вигляду:

 (1.3.6)

Який перетворюється до наступної форми:

(1.3.7)

Для приросту ціни ?p_i отримане рівняння (1.3.7) є характеристичним однорідним різницевим рівнянням з сталим коефіцієнтом. Умова стійкості його розв'язку має вигляд [1]:

(1.3.8)

2. Для системи рівнянь (1.3.0) пошук рівноважної ціни P_D=S виконується за схемою:

(1.3.9)

Рішення рівняння (1.3.9) в пакеті MAPLE 11 дає рішення:

> solve (4*(p*p)-p-3=0);

тобто маємо 2 дійсні корені p1=1, p2=-3/4.

Економічно вірним коренем є корінь р1 =1, оскільки ціна не може бути меншою нуля.

3. Знаходимо похідні в 1-й точці рівноваги р1=1:

(1.3.10)

Оскільки умови стійкості для отриманих значень похідних в точці рівноваги не виконуються (1.3.11), то рівноважне рішення в першій точці р1=1 є нестійким

(1.3.11)

2. Модуль № 2 Неперервні динамічні системи (Варіант № 10)

2.1 Завдання № 1 (Варіант №10)

Найти розв'язок рівняння Солоу

(2.1.0)

з початковою умовою k(t=0) =k₀;

Рішення:

1. Модель Солоу є односекторною моделлю економічного розвитку. У цій моделі економічна система розглядається як єдине ціле, виробляючи лише один узагальнений продукт, котрий може і споживатись, і інвестуватись. Модель досить адекватно відбиває найважливіші макроекономічні аспекти процесу відтворення. Експорт--імпорт у явному вигляді не враховуються.

Стан економіки в моделі Солоу задається п'ятьма ендогенними змінними [3]:

X -- валовий суспільний продукт (ВСП),

C -- фонд невиробничого споживання,

I -- інвестиції,

L -- кількість зайнятих,

K -- виробничі фонди.

Окрім цього, в моделі фігурують такі екзогенні (що задаються поза системою) показники:

v -- річний темп приросту чисельності зайнятих,

м -- частка вибулих протягом року основних виробничих фондів,

a -- коефіцієнт прямих витрат (частка проміжного продукту у валовому внутрішньому продуктові),

с -- норма накопичення (частка валових інвестицій у ВВП). Межі екзогенних параметрів:

Робиться припущення, що ендогенні змінні змінюються в часі (аргумент t випускається, але він, як правило, є присутнім за визначенням). Екзогенні змінні вважаються постійними в часі. Вважається, зокрема, що норма накопичення є керуючим параметром, тобто в деякий початковий момент часу t₀ = 0 вона може встановлюватись керуючим органом системи на будь-якому рівні в межах області допустимих значень. Час t вважають неперервним і таким, що вимірюється в роках. Для миттєвих показників L = L(t), K = K(t) це є досить природним, оскільки, в принципі, будь-якого дня можна дізнатися про чисельність зайнятих і шляхом інвентаризації встановити обсяг основних виробничих фондів. Значення показників типу потоку X = X(t), I = I(t), C = C(t) у момент часу t = [t] + {t} визначається у вигляді накопичених протягом року, що починається на 365{t} днів пізніше 1 січня року [t].

Робиться припущення, що річний випуск у кожен момент часу визначається лінійно-однорідною неокласичною виробничою функцією від двох змінних (ресурсів) K та L.

(2.1.1)

Розглянемо, як змінюються ресурсні показники впродовж малого проміжку часу Dt. Згідно з означенням темпу приросту чисельності зайнятих

або (2.1.2)

отже, здійснюючи інтегрування, маємо:

(2.1.3)

Використовуючи початкову умову L(0) = L0, отримаємо

(2.1.4)

Зношеність фондів та інвестиції з розрахунку на рік дорівнюють mK та I відповідно, а протягом часу Dt -- відповідно mKDt, IDt, тому приріст фондів упродовж цього часу

(2.1.5)

звідки отримаємо диференціальне рівняння:

(2.1.6)

Оскільки проміжний продукт становить aX, то валовий внутрішній продукт дорівнює (1 - a)X.

Інвестиції I = r(1 - a)X, а фонд споживання C = (1 - r)(1 - a)X.

Отже, отримаємо таку формалізовану модель Солоу в абсолютних показниках [3]:

(2.1.7)

В моделі Солоу здійснюється введення також таких відносних показників:

-- фондоозброєність;

-- народногосподарська продуктивність праці;

-- питомі інвестиції (на одного зайнятого);

-- середньодушове споживання (на одного зайнятого).

Оскільки

(2.1.8)

то модель Солоу набуває такої форми в питомих (відносних) показниках:

(2.1.9)

Кожен абсолютний чи відносний показник змінюється в часі, тобто можна вести мову про траєкторію системи в абсолютних чи відносних показниках. Траєкторію називають стаціонарною, якщо показники не змінюються в часі:

Як неважко помітити з формул (2.1.9), встановлення фондоозброєності на деякому постійному рівні k₀ приводить до виходу на стаціонарну траєкторію.

Протягом перехідного режиму в економіці фондоозброєність задовольняє рівняння

(2.1.10)

окрім цього, якщо k < k0, та якщо k > k0.

У випадку, коли виробнича функція є функцією Кобба--Дугласа:

(2.1.11)

Тоді

(2.1.12)

а рівняння (2.1.10) набере вигляду [3]

(2.1.13)

2. Рішення рівняння Солоу у формі (2.1.13) проводимо в пакеті MAPLE 11, використовуючи функцію вирішення диференційного рівняння з початковими умовами k(t=0)=k₀:

 (2.1.14)

з початковою умовою k(t=0) =k₀;

Тобто в умовах завдання (2.1.14) коефіцієнти рівняння 2.1.13 приймають значення:

Де:

v -- річний темп приросту чисельності зайнятих,

м -- частка вибулих протягом року основних виробничих фондів,

л=м+н

А - коефіцієнт пропорціональності в функції Коба-Дугласа

a -- коефіцієнт прямих витрат (частка проміжного продукту у валовому внутрішньому продуктові),

с -- норма накопичення (частка валових інвестицій у ВВП).

б - коефіцієнт в формулі виробничої функції Коба-Дугласа (2.1.11).

Рішення рівняння (2.1.14) проводимо в пакеті MAPLE 11:

> S10:=diff(k(t),t)=-k(t)+k(t)^(1/4);

> Soloy10:= dsolve( {S10,k(0)=k0},k(t));

2.2 Завдання № 2 (Варіант №10)

Попит D та пропозиція S як функції змінної в часі ціни p=F(t) та її похідних задаються виразами

(2.2.0)

Знайти стаціонарну ціну рівноваги попиту та пропозиції p_D=S(t) - при умові D=S - вирівнювання попиту та пропозиції, як функцію часу, та з'ясувати чи вона є стійкою(оцінити рівень динаміки похідної

Рішення:

1. Якщо попит D та пропозиція S є функціями ціни p(t) та її першої та другої похідних , то їх рівняння в загальному вигляді можна представити наступним чином [1]:

(2.2.1)

2. В умовах пошуку точок рівноваги попиту та пропозиції:

(2.2.2)

рівняння (2.2.1), віднімаючи перше від другого, перетворюємо у наступне рівняння

(2.2.3)

яке має наступні початкові умови:

(2.2.4)

Загальний розв'язок рівнянь (2.2.1) - (2.2.4) має вигляд [1]:

(2.2.5)

де С1 та С2 - довільні сталі;

- корені характеристичного рівняння:

(2.2.6)

Після вирішення рівняння (2.2.6), отримані - корені характеристичного рівняння в рівнянні (2.2.5) характеризують стаціонарність рівноважної ціни p(t) наступним чином:

1) Якщо обидва корені - є дійсними від'ємними або комплексними з від'ємною дійсною частиною, то рівняння (2.2.5) перетворюється до вигляду:

 (2.2.7)

та з наростанням t рівноважна ціна p(t) буде прямувати до ціни рівноваги попиту D та S - P_D=S , оскільки 1 та другий член рівняння (2.2.7) будуть наближатися до нуля.

2) Якщо обидва корені - є дійсними позитивними, або один з них має позитивний знак, або комплексними з позитивною дійсною частиною, то згідно рівнянь (2.2.5), (2.2.7) з наростанням t рівноважна ціна p(t) буде віддалятися від до ціни рівноваги попиту D та S - P_D=S , оскільки або перший, або другий член рівняння (2.2.5) будуть наближатися до .

3. В точці рівноваги попиту та пропозиції D=S, рівняння (2.2.0) перетворюються в наступне диференційне рівняння другого порядку похідних:

(2.2.8)

Для пошуку точок стаціонарної ціни рівноваги p_D=S враховуємо умови дорівнювання нулю першої та другої похідної в цих точках:

(2.2.9)

тоді рівняння (2.2.8) перетворюється до вигляду, який дозволяє розрахувати значення стаціонарної ціни рівноваги попиту та пропозиції:

 (2.2.10)

Для рівняння (2.2.8) характеристичне рівняння має наступний вигляд:

(2.2.11)

а корені його рішення, розраховані в пакеті MAPLE 11, дорівнюють

> solve (-L*L+6*L-24);

Оскільки корені характеристичного рівняння (2.2.11) комплексні та мають однакові знаки при дійсній частині - рішення рівняння (2.2.10) є стійким [1].

2.3 Завдання № 3 (Варіант №10)

Знайти стаціонарні точки динамічної системи

(2.3.0)

та дослідити їх стійкість в лінійному наближенні.

Рішення:

1. Положення рівноваги вихідної динамічної системи (стаціонарні точки динамічної системи) визначається наступними умовами:

 (2.3.1)

звідкіля маємо систему рівнянь рівноваги

(2.3.2)

Рішення системи рівнянь рівноваги (2.3.2) в пакеті MAPLE 11 дає наступні 4 пари коренів - стаціонарних точок рівноваги динамічної системи (2.3.0):

> eqp1:=-4*x*x+8*x-2*x*y=0;

> eqp2:=-4*y*y+8*y-2*x*y=0;

>

> solve({eqp1,eqp2},{x,y});

(2.3.3)

2. Для дослідження стійкості кожного з отриманних рішень, складаємо системи першого наближення в околицях точок рівноваги за допомогою розкладення в ряд Тейлора. Формула Тейлора для функції двох змінних x,y у першому наближенні (тільки рівень 1 похідних) для функції в околицях точки x₀,y₀ має наступний вигляд [7]:

(2.3.4)

Побудову систем рівнянь першого наближення системи (2.3.2) виконуємо за допомогою пакета MAPLE 11 [4]:

> DxDt:=-4*x*x+8*x-2*x*y;

> mtaylor(DxDt,[x=0,y=0],2);

> mtaylor(DxDt,[x=2,y=0],2);

> mtaylor(DxDt,[x=0,y=2],2);

> mtaylor(DxDt,[x=4/3,y=4/3],2);

(2.3.5)

> DyDt:=-4*y*y+8*y-2*x*y;

> mtaylor(DyDt,[x=0,y=0],2);

> mtaylor(DyDt,[x=2,y=0],2);

> mtaylor(DyDt,[x=0,y=2],2);

> mtaylor(DyDt,[x=4/3,y=4/3],2);

>

(2.3.6)

6. Використовуючи отримані результати (2.3.5), (2.3.6), дослідження стійкості рішення для 4-х пар коренів проводимо в наступній послідовності [5]:

6.1. 1 пара коренів - x=0,y=0

Cистема характеристичних рівнянь 1-го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0,y=0) має вигляд:

Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння

Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають однакові знаки, що відповідає стійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=0,y=0).

6.2. 2 пара коренів - x=2,y=0

Cистема характеристичних рівнянь 1-го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=2,y=0) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі ( ) на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:



Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння

Вирішуємо рівняння ( ) в пакеті MAPLE 11

> solve (L*L+4*L-32=0);

Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають різні знаки, що відповідає нестійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=2,y=0).

6.3. 3 пара коренів - x=0,y=2

Cистема характеристичних рівнянь 1-го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0,y=2) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі ( ) на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:

Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння

Вирішуємо рівняння ( ) в пакеті MAPLE 11

> solve (L*L+4*L-32=0);

Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають різні знаки, що відповідає нестійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=0,y=2).

6.4. 4 пара коренів - x=4/3,y=4/3

Cистема характеристичних рівнянь 1-го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=4/3,y=4/3) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі ( ) на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:

Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння

Вирішуємо рівняння ( ) в пакеті MAPLE 11

> solve (L*L+32/3*L+16/3*16/3-8/3*8/3=0);

Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають однакові знаки при дійсній частині, що відповідає стійкому рішенню рівноваги [5] в точці (x=4/3,y=4/3).

Список використаних джерел

1. Антонова А.О. Математичні методи економічної динаміки. Дослідження лінійних моделей: Навчально-методичний посібник. - К.: НАУ, 2008. - 60 с.

2. Будаговська С. та ін. Мікроекономіка та макроекономіка: Підручник. К., Основи, 1998. - 356 с.

3. Вітлінський В. В. Моделювання економіки: Навч. посібник. -- К.: КНЕУ, 2003. -- 408 с.

4. Матросов А.В. MAPLE 6. Решение задач высшей математики и механики. - Спб.: БХВ-Петербург, 2001. - 528 с.

5. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциаль-ные уравнения: примеры и задачи: Учебное пособие. - 2-е изд., перераб. - М.: Высшая школа, 1989. - 383 с

6. Станковская И. К., И.А. Стрелец. Экономическая теория: учебник -3-е изд., испр. - М.:Эксмо, 2007. -448 с.

7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. - М.: Издательство „Наука”, 1969. - 607с.