Методи прогнозування за допомогою екстраполяції

Зміст

Методи екстраполяції трендів

Метод експоненціального згладжування

Прогноз на основі ковзного середнього

Методи екстраполяції трендів

Екстраполяція -- поширення кількісних (статистичних) висновків щодо існуючих тенденцій, одержаних у результаті вивчення впливу минулих подій на майбутні (прогнозні) періоди.

У теорії і практиці в процесі прогнозування фінансових показників досить часто використовують методологію екстраполяції, за якої висновки про значення прогнозних показників у майбутніх періодах робляться на основі вивчення їх динаміки у попередніх періодах. Необхідним елементом при цьому є побудова та аналіз так званого ряду динаміки, який класифікує значення показників у часі у розрізі окремих періодів та описує динаміку їх розвитку. Підкреслимо, що аналіз ряду динаміки окремого показника, наприклад виручки від реалізації продукції, має суто описовий характер і не пояснює причин тих чи інших змін тенденції.

Методи екстраполяції використовують за відносно стабільного розвитку підприємства (чи окремих показників його діяльності) або за наявності сезонних чи циклічних коливань з чітко вираженим трендом. Під трендом (від англ. trend -- напрям, тенденція) розуміють тривалу тенденцію зміни економічних показників в економічному прогнозуванні. Якщо ж розвиток показників фінансово-господарської діяльності підприємства у попередніх періодах характеризується значною нестабільністю і суттєвим коливанням фінансових показників, то їх екстраполяція на майбутні періоди буде неможливою, а отже, недоцільним є використання відповідних методів.

Можна виокремити три основні групи методів прогнозування за допомогою екстраполяції:

- методи визначення середніх величин;

- екстраполяція тренду;

- експоненціальне згладжування.

Розглянемо метод екстраполяції тренду. Під екстраполяцією тренду розуміють продовження виявленої в процесі аналізу тенденції за межі побудованого на основі емпіричних даних ряду динаміки. Передумовою використання цього методу прогнозування є сталість чинників, що формують виявлений тренд, а принциповим моментом -- виявлення тренду, характерного для досліджуваного ряду динаміки. В теорії і практиці зустрічаються різні способи розрахунку тренду. Одним з них є метод найменшого квадратичного відхилення. Якщо спостерігається більш-менш стійка лінійна залежність значення досліджуваного показника (х) від часового інтервалу (t), то для виявлення тренду доцільно побудувати пряму, яка описується лінійною регресією:

xt = a + bt.

Параметри а та b трендового рівняння підбираються таким чином, що фактична сума квадратів відхилень показника xt від теоретичних значень, що описуються прямою, повинна бути мінімальною:

, (11.11)

де m -- сукупність періодів аналізованого ряду динаміки.

На основі математичних перетворень отримаємо алгоритми розрахунку параметрів а та b*25:

; (11.12)

. (11.13)

Розглянемо процес визначення прогнозних показників за методом найменшого квадратичного відхилення, скориставшись інформацією, що міститься у прикладі 11.3. Емпіричні дані щодо значень досліджуваних показників вважатимемо за хt. Сума цих показників за шість періодів, які складають ряд динаміки, дорівнюватиме 611. Сума значень txt становитиме 2160 (1 ? 100 + 2 ? 98 + + 3 ? 101 + 4 ? 104 + 5 ? 103 + 6 ? 105). Підставивши відповідні значення у формули розрахунку параметрів лінійної регресії, отримаємо: b = 1,23; a = 97,5. Шукана функція прямої, яка описує тренд, набуде такого вигляду: xt = 97,5 + 1,23t. Отже, прогнозне значення показника грошових надходжень у сьомому місяці становитиме 106 (97,5 + 1,2 ? 7). Аналогічним чином можна скласти прогноз на наступні періоди.

Метод експоненціального згладжування

Згладжування -- це спосіб, що забезпечує швидке реагування вашого прогнозу на всі події, що відбуваються протягом періоду довжини базової лінії. Методи, засновані на регресії, такі як функції ТЕНДЕНЦІЯ і РІСТ, застосовують до всіх точок прогнозу ту саму формулу. З цієї причини досягнення швидкої реакції на зрушення в рівні базової лінії значно ускладнюється. Згладжування дозволяє в досить простий спосіб обійти дану проблему.

Основна ідея застосування методу згладжування полягає в тому, що кожен новий прогноз отримується за допомогою переміщення попереднього прогнозу в напрямку, що дало би кращі результати в порівнянні зі старим прогнозом. Базове його рівняння має наступний вид:

F[t+1] = F[t] + б Ч е[t],

- t -- часовий період (наприклад, 1-й місяць, 2-й місяць і т.д.);

- F[t] -- це прогноз, зроблений у момент часу t; F[t+1] відображає прогноз у часовий період, що випливає безпосередньо за моментом часу t;

- б -- константа згладжування;

- е[t]-- похибка, тобто розходження між прогнозом, зробленим у момент часу t, і фактичними результатами спостережень у момент часу t.

Таким чином, константа згладжування є величиною, що самокоректується. Іншими словами, кожен новий прогноз являє собою суму попереднього прогнозу і поправочного коефіцієнта, що і пересуває новий прогноз у напрямку, що робить попередній результат більш точним.

Методи прогнозування за назвою "згладжування" враховують ефективність викиду функції набагато краще, ніж способи, що використовують регресивний аналіз. Excel безпосередньо підтримує один з таких методів за допомогою засобу Експоненційне згладжування в надбудові Пакет аналізу.

За допомогою засобу експоненційного згладжування можна створити прогнози, причому для обчислення кожного прогнозу Excel використовує окрему, але алгебраїчно еквівалентну формулу. Обидва компоненти -- дані попереднього спостереження і попередній прогноз -- кожного прогнозу збільшуються на коефіцієнт, що відображає внесок даного компонента в поточний прогноз.

При прогнозуванні в ситуації зміни зовнішніх факторів, коли найбільш важливими є останні реалізації досліджуваного процесу, достатньо ефективними виступають адаптивні методи, які враховують нерівноцінність рівней часового порядку

Адаптивні моделі прогнозування - це моделі дисконтування даних, які здатні швидко адаптувати свою структуру і параметри до зміни зовнішніх умов. При оцінці параметрів адаптивних моделей спостереженням (рівням часового ряду) присвоюють різні ваги в залежності від того, наскільки сильним визнається їх вплив на поточний рівень. Це дозволяє враховувати зміни в тенденції, а також будь-які коливання, в яких прослідковується певна закономірність. Всі адаптивні моделі базуються на двох схемах: ковзної середньої (МА-моделі) і авторегресії (АR-моделі). У практиці статистичного прогнозування найчастіше використовуються дві базові МА-моделі - Брауна і Хольта. Ці моделі подають процес розвитку як лінійну тенденцію з параметрами, що постійно змінюються.

Положення, яке лежить в основі методу експоненціального згладжування: чим далі ми заглиблюємося в ретроспекцію, тим менш цінною для прогнозу стає інформація. Це можна врахувати, надаючи членам динамічного ряду деякої ваги, тим більшої, чим ближче знаходиться точка до початку періоду прогнозу.

Сутність методу полягає в згладжуванні вихідного динамічного ряду зваженою ковзною середньою, ваги якої підпорядковуються експоненціальному закону. Припустимо, що апроксимуючою функцією для прогнозування динамічного ряду у(t) поліном:

(1)

де b1, b2,…, bp - коефіцієнти; р -- порядок поліному, еt --випадкова похибка.

Метод експоненціального згладжування дозволяє побудувати такий опис процесу (1), при якому більш пізнім спостереженням приписуються більші ваги порівняно з ранніми спостереженнями, причому ваги спостережень спадають по експоненті. Вираз

(2)

називається експоненціальною середньою k-го порядку для ряду y(t) де б - параметр згладжування (0?б?1).

Для визначення експоненціальної середньої застосовують рекурентну формулу Брауна:

 (3)

Використання співвідношення (3) передбачає завдання початкових умов S0[1], S0[2],…, S0[k], які можуть бути визначені за формулою Брауна-Мейера. Не порушуючи загальності і для наочності розглянемо застосування методу експоненціального згладжування у випадку, коли тренд описується лінійною функцією.

В цьому випадку апроксимуюча залежність набуває вигляду

у(t) = а0 + а1t + еt (4)

Експоненціальні середні розраховуються за формулами:

(5)

Оскільки при t =1 неможливо розрахувати St-1[1], St-1[2], то визначаються початкові умови:

(6)

де а0 та а1 - значення коефіцієнтів, що отримуються за умов апроксимації вихідного динамічного ряду лінійною функцією виду у(t) = а0 + а1t + еt

Коефіцієнти а0 та а1 знаходяться за допомогою МНК. Оцінки коефіцієнтів лінійного тренду, які отримані з урахуванням експоненціальних ваг, матимуть вигляд:

(7)

Прогноз на L кроків (на час tn+L) дорівнює:

(8 )

Похибка прогнозу визначається за формулою :

Параметр згладжування б визначає оцінку коефіцієнтів, моделі, а отже, результат прогнозу. В залежності від величини б прогнозні оцінки по-різному враховують вплив членів динамічного ряду: чим більше б, тим більшим є вплив останніх спостережень на формування тренду. При малому а прогнозні оцінки враховують всі спостереження.

Для наближеної оцінки б можна скористатися співвідношенням Брауна:

1) якщо кількість членів вихідного динамічного ряду мала, то:

де n - число спостережень у динамічному ряді;

2) якщо кількість членів вихідного динамічного ряду велика, то:

де N - кількість точок в інтервалі згладжування.

На практиці оптимальний вибір параметра експоненціального згладжування залежить від досвіду та інтуїції фінансового аналітика. Проте, оптимізувати б можна за допомогою мінімізації середньоквадратичної похибки прогнозу уе.

Отже з усього вищенаведеного можна зробити висновок про доцільність застосування методу експоненціального згладжування для прогнозування економічних процесів в Україні, особливо після того, як глобальна економічна криза внесла свої корективи в сутність та стан економічних процесів України.

Прогноз на основі ковзного середнього

Методика прогнозування за допомогою ковзного середнього є поширеним методом згладжування, особливо корисним для керівника при прогнозуванні тенденцій в разі нерегулярного або вибіркового характеру даних (напр.,тенденції -- сезонні чи циклічні) і коли нема ні часу, ні ресурсів, щоб розробити або застосувати складніші методи. Цей метод, аналогічно до інших згладжувальних методів, виходить із припущення про наявність якихось закономірностей у даних за попередні періоди. Метод «згладжує» випадкові дані, щоб відділити закономірності від випадкових коливань. Хоча нема ніяких причин, з яких метод ковзного середнього не можна було б застосовувати для річних передбачень, його, як правило, використовують для передбачень на значно ближчу перспективу. Почасти такий характер застосування пов'язаний із тим, що ефект згладжування на випадкові дані є цінним для тривалого періоду. Якщо цей метод застосовується, наприклад, для чотирьох відрізків часу, згладжувальний вплив є недостатньо відчутним і результати -- відносно безплідними. Цей метод полягає просто в тому, що береться набір даних, визначається їхнє середнє, а потім це середнє застосовується для прогнозування на наступний період. Він не особливо корисний для прогнозування більш як на один період вперед, оскільки в цьому випадку братиметься середнє від середнього. При застосуванні методу ковзного середнього бажано мати велику кількість спостережень (точок) за певний час (напр., помісячні дані за рік, річні дані за багато років).

Попри цю останню вимогу, метод ковзного середнього можна проілюструвати, взявши за основу дані по місту Гоблер. Спершу керівник має визначити період / кількість спостережень, які буде представляти ковзне середнє, наприклад, 3 тижні, 3 місяці, 3 роки. Цей період залишається незмінним під час усіх обчислень, хоча конкретні значення можуть мінятися в міру того, як в нього додаються нові спостереження і виключаються інші; звідси й назва «ковзне середнє». У наведеному нижче прикладі було вибрано період у 3 місяці, що пов'язано з застосуванням у місті Гоблер поквартальної системи асигнувань (тож, якщо, проводячи моніторинг видатків на цю статтю, керівник прогнозує істотну зміну в цій галузі, то можна буде звернутися до тих, хто приймає рішення, по додаткові кошти або зробити внутрішнійперерозподіл).

Виходячи з того, що щомісячні витрати на зв'язок є відносно рівномірними, орієнтований на результат керівник Відділу соціальної допомоги міста Гоблер знає, що середні витрати мають становити близько 1096,00 доларів, але відзначила, що за останні місяці витрати, здається, відходять від цієї норми, і вона починає одержувати особливо гострі запитання в ході щомісячного розгляду асигнувань у місцевій Раді соціальної допомоги та на правлінні, оскільки постійно мусить звертатися по затвердження поправок до бюджету. Тож ми можемо зрозуміти її інтерес до більш систематичного аналізу ситуації, включаючи прагнення спрогнозувати витрати на майбутнє.

Література

1. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / В.В.Федосеев, А.Н.Гармаш, Д.М.Дайитбергов и др. / Под ред. В.В.Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 1999. - 391 с.

2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 368с;

3. Кігель В.Р. Методи і моделі підтримки прийняття рішень у ринковій економіці: Монографія. - К.: ЦУЛ, 2003. - 202 с.