Имитационное моделирование

Содержание

Введение

Раздел 1. Имитационное моделирование

1.1 Понятие, цели и область применения имитационного моделирования

1.2 Виды имитационного моделирования

1.3 Основные преимущества и недостатки имитационного моделирования

Раздел 2. Обоснование решений на основе методов, моделей, алгоритмов и процедур экспертного и системного анализа

Задача № 1

Задача № 2

Задача № 3

Заключение

Список использованных источников



Введение

Коммерческий риск - это риск, возникающий в процессе реализации товаров и услуг, произведенных или купленных предпринимателем.[3, с.28]

Коммерческие риски возникают из-за следующих основных причин:[3, с.28]

-снижение объемов реализации в результате падения спроса или потребности на товар, реализуемый предпринимательской фирмой, вытеснение его конкурирующими товарами, введение ограничений на продажу;

-повышение закупочной цены товара в процессе осуществления предпринимательского проекта;

-непредвиденное снижение объемов закупок в сравнении с намеченными, что уменьшает масштаб всей операции и увеличивает расходы на единицу объема реализуемого товара (за счет условно постоянных расходов);

-потери товара;

-потери качества товара в процессе обращения (транспортировки, хранения), что приводит к снижению его цены;

-повышение издержек обращения в сравнении с намеченными в результате выплаты штрафов, непредвиденных пошлин и отчислений, что приводит к снижению прибыли предпринимательской фирмы.

Коммерческий риск включает в себя:[3, с.29]

-риск, связанный с реализацией товара (услуг) на рынке;

-риск, связанный с транспортировкой товара (транспортный);

-риск, связанный с приемкой товара (услуг) покупателем;

-риск, связанный с платежеспособностью покупателя;

-риск форс-мажорных обстоятельств.

Сегодняшний уровень развития компьютерной индустрии привел к появлению абсолютно новых видов торговли, как, например, торговля через сеть Internet. Сегодня уже необязательно иметь большой офис и штат сотрудников, чтобы получать баснословные прибыли. В пользу этого говорит тот факт, что рейтинги небольших по размерам IT-компаний могут взлететь до заоблачных высот за считанные дни. А могут и не взлететь, а наоборот - принести просчитавшимся предпринимателям огромные убытки.

Все это говорит о неопределенности ситуации и скоротечной изменчивости экономической среды. Вносит свое негативное воздействие и необходимость быстрого принятия решений, оперативной оценки ситуации. В таких условиях гораздо больше, чем прежде, должна быть гибкость хозяйственного механизма, его способность быстро и без потерь реагировать на смену направлений развития науки и техники, на структуру спроса.

Это означает, что предпринимателям придется идти на риск. Основная задача в этом случае - выяснить степень его оправданности.

Настоящий предприниматель должен не стремиться избегать риска, а знать его разумные пределы, руководствоваться не только здравым смыслом, но еще и экономическим анализом степени риска.

В рамках данной курсовой работы будет рассмотрена тема «Имитационное моделирование» в следующем порядке:

1. понятие, цели и область применения имитационного моделирования;

2. виды имитационного моделирования;

3. основные достоинства и недостатки имитационного моделирования.

Второй раздел курсовой работы посвящен обоснованию решений на основе методов, моделей, алгоритмов и процедур экспертного и системного анализа. Выполнение расчетного раздела предполагает решение трех расчетных заданий в соответствии с вариантом (№8).

При написании работы использовались средства MS Word, MS Excel, справочная информация, а также учебные пособия белорусских, российских авторов и зарубежных авторов.



Раздел 1. Имитационное моделирование

1.1 Понятие, цели и область применения имитационного моделирования

Имитационное моделирование -- это метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.[7, с.73]

Имитационное моделирование -- это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью с достаточной точностью описывающей реальную систему и с ней проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация -- это постижение сути явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте).[7, с.74]

Имитационное моделирование -- это частный случай математического моделирования. Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае математическая модель заменяется имитатором или имитационной моделью.[7, с.74]

Имитационная модель -- логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.[7, с.74 ]

К имитационному моделированию прибегают в случаях, когда:[15, с.146]

- дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;

- невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;

- необходимо сымитировать поведение системы во времени.

Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между ее элементами или другими словами -- разработке симулятора (англ. simulation modeling) исследуемой предметной области для проведения различных экспериментов.[10, с.208]

Имитационное моделирование позволяет имитировать поведение системы во времени. Причём плюсом является то, что временем в модели можно управлять: замедлять в случае с быстропротекающими процессами и ускорять для моделирования систем с медленной изменчивостью. Можно имитировать поведение тех объектов, реальные эксперименты с которыми дороги, невозможны или опасны.

Области применения имитационного моделирования:[15, с.147]

- бизнес процессы;

- боевые действия;

- динамика населения;

- дорожное движение;

- ИТ-инфраструктура;

- математическое моделирование исторических процессов;

- логистика;

- пешеходная динамика;

- производство;

- рынок и конкуренция;

- сервисные центры;

- цепочки поставок;

- уличное движение;

- управление проектами;

- экономика здравоохранения;

- экосистемы

Применение метода имитационного моделирования можно продемонстрировать на примере работы отделения банка по обслуживанию физических лиц. Допустим, что необходимо определить минимальное количество обслуживающего персонала, которое обеспечивает требуемое качество сервиса.[15, с.148]

Критерий качества сервиса зададим правилом: средний размер очереди клиентов не должен превышать N человек. Очевидно, что для решения поставленной задачи необходимо иметь достаточные знания о системе: какие клиенты посещают банк, какое количество клиентов приходит в течение рабочего дня, а также сколько времени занимает обслуживание одного клиента.[15, с.148]

Хотя данная задача и может показаться специализированной, схожие проблемы возникают во многих областях, где задействованы людские и технические ресурсы. Оплата времени работы квалифицированного работника и времени использования сложной техники составляет немалую долю расходов компаний. Определение оптимального графика использования ресурсов, позволяющего системе эффективно выполнять поставленные задачи, позволяет снизить расходы, а значит увеличить прибыльность.

На первом этапе решения задачи создается модель, которая соответствует структуре и бизнес-процессам отделения банка. В ходе разработки модели учитываются только те детали, которые оказывают существенное влияние на изучаемые аспекты работы системы. Например, наличие отделения обслуживания юридических лиц или кредитного отдела не влияет на обслуживание физических лиц, поскольку они физически и функционально отделены от последнего. Схематично такую модель можно представить в виде последовательности следующих действий.[15, с.148]



Рис. 1 - Имитационная модель

На втором этапе на вход модели подаются исходные данные: интенсивность прихода клиентов, среднее время обслуживания клиентов, количество доступного персонала. На основании этих данных модель имитирует, или воспроизводит, работу банка в течение заданного промежутка времени, например, рабочего дня.[15, с.148]

Следующий этап заключается в анализе статистики, собранной и представленной моделью. Если средний размер очереди клиентов превышает выбранный предел в N человек, то количество доступного персонала следует увеличить и выполнить новый эксперимент.[15, с.149]

В результате проведения серии экспериментов над моделью пользователь может определить оптимальное количество персонала. Процесс подбора параметров может быть осуществлен также и с помощью встроенного оптимизатора, который в автоматическом режиме проверяет различные сочетания и находит лучшее решение.[15, с.149]

1.2 Виды имитационного моделирования

Агентное моделирование -- относительно новое (1990е-2000е гг.) направление в имитационном моделировании, которое используется для исследования децентрализованных систем, динамика функционирования которых определяется не глобальными правилами и законами (как в других парадигмах моделирования), а наоборот. Когда эти глобальные правила и законы являются результатом индивидуальной активности членов группы.[1, с.232]

Цель агентных моделей -- получить представление об этих глобальных правилах, общем поведении системы, исходя из предположений об индивидуальном, частном поведении ее отдельных активных объектов и взаимодействии этих объектов в системе. Агент -- некая сущность, обладающая активностью, автономным поведением, может принимать решения в соответствии с некоторым набором правил, взаимодействовать с окружением, а также самостоятельно изменяться. [1, с.232]

Дискретно-событийное моделирование -- подход к моделированию, предлагающий абстрагироваться от непрерывной природы событий и рассматривать только основные события моделируемой системы, такие как: «ожидание», «обработка заказа», «движение с грузом», «разгрузка» и другие. Дискретно-событийное моделирование наиболее развито и имеет огромную сферу приложений -- от логистики и систем массового обслуживания до транспортных и производственных систем. Этот вид моделирования наиболее подходит для моделирования производственных процессов. Основан Джеффри Гордоном в 1960х годах.[1, с.232]

Системная динамика -- парадигма моделирования, где для исследуемой системы строятся графические диаграммы причинных связей и глобальных влияний одних параметров на другие во времени, а затем созданная на основе этих диаграмм модель имитируется на компьютере. По сути, такой вид моделирования более всех других парадигм помогает понять суть происходящего выявления причинно-следственных связей между объектами и явлениями. С помощью системной динамики строят модели бизнес-процессов, развития города, модели производства, динамики популяции, экологии и развития эпидемии. Метод основан Форрестером в 1950 годах.[1, с.233]

Популярные системы имитационного моделирования:[11, с.59]

- AnyLogic;

- Aimsun;

- Arena;

- eM-Plant;

- Powersim;

- GPSS;

- NS-2;

- Transyt

1.3 Основные преимущества и недостатки имитационного моделирования

Применение имитационных моделей дает множество преимуществ по сравнению с выполнением экспериментов над реальной системой и использованием других методов.

Стоимость. Допустим, компания уволила часть сотрудников, что в дальнейшем привело к снижению качества обслуживания и потери части клиентов. Принять обоснованное решение помогла бы имитационная модель, затраты на применение которой состоят лишь из цены программного обеспечения и стоимости консалтинговых услуг.[2, с.314]

Время. В реальности оценить эффективность, например, новой сети распространения продукции или измененной структуры склада можно лишь через месяцы или даже годы. Имитационная модель позволяет определить оптимальность таких изменений за считанные минуты, необходимые для проведения эксперимента.[2, с.314]

Повторяемость. Современная жизнь требует от организаций быстрой реакции на изменение ситуации на рынке. Например, прогноз объемов спроса продукции должен быть составлен в срок, и его изменения критичны. С помощью имитационной модели можно провести неограниченное количество экспериментов с разными параметрами, чтобы определить наилучший вариант.[2, с.315]

Точность. Традиционные расчетные математические методы требуют применения высокой степени абстракции и не учитывают важные детали. Имитационное моделирование позволяет описать структуру системы и её процессы в естественном виде, не прибегая к использованию формул и строгих математических зависимостей.[2, с.315]

Наглядность. Имитационная модель обладает возможностями визуализации процесса работы системы во времени, схематичного задания её структуры и выдачи результатов в графическом виде. Это позволяет наглядно представить полученное решение и донести заложенные в него идеи до клиента и коллег.[2, с.315]

Универсальность. Имитационное моделирование позволяет решать задачи из любых областей: производства, логистики, финансов, здравоохранения и многих других. В каждом случае модель имитирует, воспроизводит, реальную жизнь и позволяет проводить широкий набор экспериментов без влияния на реальные объекты.[2, с.316]

Однако имитационное моделирование наряду с достоинствами имеет и недостатки:[2, с.318]

- разработка хорошей имитационной модели часто обходится дороже создания аналитической модели и требует больших временных затрат;

- может оказаться, что имитационная модель неточна (что бывает часто), и мы не в состоянии измерить степень этой неточности;

- зачастую исследователи обращаются к имитационному моделированию, не представляя тех трудностей , с которыми они встретятся и совершают при этом ряд ошибок методологического характера.

И, тем не менее, имитационное моделирование является одним из наиболее широко используемых методов при решении задач синтеза и анализа сложных процессов и систем.



Раздел 2. Обоснование решений на основе методов, моделей, алгоритмов и процедур экспертного и системного анализа

Задача № 1

Фирма планирует реализацию одного из коммерческих проектов. Причем известны экспертные оценки, связанные с реализацией этих проектов (таблица 1.1).

Выбрать рациональный вариант коммерческого проекта, если среднегодовая прибыль от реализации проекта должна быть не менее 4,5 млн. у.е. при минимальном риске.

Задачу решить по следующей схеме:

-оценить эффективность проекта по критерию ожидаемой среднегодовой прибыли;

-определить допустимые проекты, исходя из заданного уровня среднегодовой прибыли;

-оценить риск допустимых проектов на основе коэффициента вариации ожидаемой среднегодовой прибыли;

-из множества допустимых проектов выбрать рациональный вариант коммерческого проекта, которому соответствует минимальный риск.

Таблица 1.1

Исходные данные для расчета

Оценка ожидаемой прибыли	Проект
	1	2	3	4	5	6
Пессимистическая оценка Xmin (млн. у.е. в год)	4	4	3	4	2	2
Оптимистическая оценка Xmax (млн. у.е. в год)	8	7	6	9	10	8

Решение

Степень риска коммерческого проекта возможно оценить с помощью коэффициента вариации, который характеризует относительный разброс случайной величины в виде ожидаемой прибыли от реализации проекта.

. (1.1)

Чем больше коэффициент вариации, тем больше неопределенность в отношении ожидаемой прибыли и, следовательно, тем больше степень риска коммерческого проекта. Причем принято выделять следующие уровни риска:

Kvar < 10% - малая степень риска;

Kvar = (10-25)% - средняя степень риска;

Kvar > 25% - высокая степень риска.

MO и SIGMA ожидаемой среднегодовой прибыли от реализации коммерческих проектов определяется на основе приближенных соотношений для -распределения:

;

.

Таблица 1.2

Оценка степени риска коммерческого проекта

Показатель	Проект
	1	2	3	4	5	6
МО	5,6	5,2	4,2	6,0	5,2	4,4
SIGMA	0,8	0,6	0,6	1,0	1,6	1,2
Kvar	14,3	11,5	14,3	16,7	30,8	27,3
Степень риска	средняя	средняя	средняя	средняя	высокая	высокая



По критерию ожидаемой среднегодовой прибыли (МО) предпочтителен проект № 4 (самая большая прибыль);

По уровню среднегодовой прибыли (SIGMA) наиболее благоприятен проект №4 (уровень равен 1,0).

На основе коэффициента вариации выберем проект № 2 (самая малая степень риска).

Из множества допустимых проектов выбрать самым рациональным является проект №4.

Задача № 2

Фирма планирует создание сервисного центра по обслуживанию и сопровождению своих изделий. Прибыль сервисного центра зависит от количества АРМ x_j и потока заказов на обслуживание S_i.

Задачу решить по следующей схеме:

- осуществить выбор рациональной стратегии, используя перечисленные критерии: Лапласа; Байеса с вероятностями 0,15; 0,5; 0,35, Вальда; Сэвиджа; Гурвица (б=0,4);

- определить рациональное компромиссное решение;

- обосновать полученное решение с использованием рассчитанных критериев для принятия решения в условиях неопределенности.

Таблица 2.1

Исходные данные для расчета

Кол-во АРМ	Годовой поток заказов
	S1=10	S2=20	S3=30
Х1=3	150	180	200
Х2=4	120	200	220
Х3=6	80	180	240
Х4=8	50	160	260



Решение

Выбор рационального проекта (стратегии, альтернативы) осуществляется с использованием различных критериев для оптимизации решений в условиях неопределенности.

Разработкой рекомендаций для выбора наилучшего варианта действий в условиях неопределенности занимается теория статистических решений. Эта математическая теория рассматривает игры с природой, в которых под природой понимаются объективные обстоятельства, внешняя среда. Считается, что природа сознательно не противодействует игроку. Условие задачи представлено в виде матрицы выигрышей (a_ji) игры с природой:

Матрица игры

Si xj	10	20	30
3	150	180	200
4	120	200	220
6	80	180	240
8	50	160	260

x_j - стратегии сознательного игрока, ;

S_i - состояния природы, ;

a_ji - выигрыш сознательного игрока при использовании им стратегии x_j, если состоянием природы будет S_i.

1. Критерий Лапласа

Данный критерий предполагает равновероятность состояний внешней среды и рекомендует выбор стратегии с максимальным средним выигрышем:

К_Л = .

Вероятности состояний природы S_i равны между собой:

.

= 177;

= 180;

= 167;

= 157.

Следовательно, по критерию Лапласа рациональным будет производство при 4 АРМ.

2. Критерий Байеса

Этот критерий учитывает вероятности состояний природы и рекомендует выбор стратегии с максимальным среднеожидаемым выигрышем:

К_Б = , = 1.

= 61;

= 65;

= 62;

= 60.

Следовательно, по критерию Байеса рациональным будет производство при 4 АРМ.

3. Критерий Вальда (максиминный критерий, критерий крайнего пессимизма, критерий наибольшей осторожности).

Данный критерий ориентируется на худшее состояние внешний среды и рекомендует выбор стратегии с максимальным гарантированным выигрышем в таких условиях:

К_В = .

Кв = 50.

Следовательно, по критерию Вальда рациональным будет производство при 8 АРМ и потока заказов на обслуживание = 10.

4. Критерий Сэвиджа (минимаксного риска).

Критерий минимаксного риска ориентируется на самую неблагоприятную обстановку и рекомендует выбор стратегии с минимальным риском:

К_С = .

Для использования данного критерия необходимо перейти от матрицы выигрышей к матрице рисков.

Риск (r_ji) - разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы он знал, что состоянием природы будет состояние S_i, и выигрышем, который игрок получит, не имея этой информации при использовании стратегии x_j:

, (при заданном i).

Кс = 200.

Следовательно, по критерию Сэвиджа рациональным будет производство при 4 АРМ и потока заказов на обслуживание = 30.

5. Критерий Гурвица (компромиссный критерий, критерий пессимизма-оптимизма).

Этот критерий учитывает индивидуальные предпочтения сознательного игрока к пессимизму и оптимизму. Для его использования необходимо задать значение коэффициента пессимизма б, б [0,1]:

К_Г = .

К_Г (х₁) = 0,4*150 + (1-0,4)*200 = 180;

К_Г (х₂) = 0,4*120 + (1-0,4)*220 = 180;

К_Г (х₃) = 0,4*80 + (1-0,4)*240 = 176;

К_Г (х₄) = 0,4*50 + (1-0,4)*260 =176 .

Следовательно, по критерию Гурвица рациональным будет производство при 4 АРМ.

Таким образом, рационально создание сервисного центра по обслуживанию и сопровождению своих изделий при АРМ = 4 и потоком заказов на обслуживание = 20.

Задача № 3

Определить ранжированный список критериев выбора рационального дома для проживания семьи. Список критериев (не менее 6) разработать самостоятельно и предложить для ранжирования экспертам. Дать оценку качества проведенной экспертизы.

Решение

Для решения задачи я буду использовать метод экспертных оценок.

Метод экспертных оценок находит широкое применение в практике инвестиционных анализов. Точность результатов оценки в решающей степени обусловлена как подбором экспертов, так и методической подготовкой при проведении анализа.

Предварительно выберем критерии, по которым будет производиться оценка варианта выбора рационального дома для проживания семьи:

1. район проживания;

2. площадь дома;

3. стоимость квадратного метра;

4. год постройки дома;

5. этажность дома;

6. инфраструктура района, в котором расположено жилье.

Выбранные эксперты (5 чел.), независимо друг от друга, на базе своих расчетов и анализа оценивают проекты, ранжируя их по значимости (таблица 3.1.). После того как результаты экспертных оценок получены, одна из задач - проанализировать, насколько эксперты едины в оценках, т.е. каков уровень согласованности между ними. Когда налицо высокий уровень согласованности, можно быть уверенным при приобретении дома. Когда согласованность оценок низка, рекомендуется применять и другие методы оценки.

Таблица 3.1

Ранжирование критериев, необходимых для оценки вариантов выбора рационального жилья для проживания семьи

Проекты	Ранги проектов по экспертам	Сумма рангов
	А	Б	В	Г	Д
I	2	1	3	4	2	12
II	1	2	1	2	1	7
III	4	3	2	1	3	13
IV	3	4	4	3	4	18
Сумма рангов	10	10	10	10	10	50

Для оценки согласованности экспертов вычислим коэффициент конкордации Кендала по формуле:

, (3.1)

где: - сумма квадратов разницы между суммой рангов по проектам и средней суммой рангов;

m - количество экспертов;

n - количество проектов.

Последовательность вычислительных процедур следующая.

Вычисление средней суммы рангов по формуле:

. (3.2)

= 12,5.

Вычисление:

= (12 - 12,5) + (7 - 12,5) + (13 - 12,5) + (18 - 12,5) = 61.

Замещаем в основной формуле:

= 0,49.

Если иметь в виду, что коэффициент W изменяется в границах от 0 до 1 и при величине, равной единице, показывает полную согласованность (все эксперты дают одинаковые ранги каждому проекту), то полученный результат показывает умеренный уровень согласованности. Все же предпочтение отдается проекту II, который обладает самой малой суммой рангов, а наименее приемлемым является проект IV.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении хотелось бы подчеркнуть, что риск сопровождает нас везде и всегда - на улице, на работе, дома. И, конечно, присутствует он и в бизнесе. И, так же как и в жизни, его не стоит избегать в предпринимательстве. Но тем более не стоит к нему стремиться, а наоборот, его нужно уметь просчитать и оценить. Только на основании объективных данных можно принимать какое-либо решение.

Не рискуя, предприниматель ничего не добьется. Перед тем как начинать какое-нибудь дело, заключать сделку предприниматель должен все просчитать, продумать. Он должен рассчитать прибыль от данной затеи, вероятность успеха, или другими словами рассчитать риск сделки.

Личные качества предпринимателя в итоге и определяют его склонность к риску. Некоторые из них предпочтут умеренную, но гарантированную прибыль, в то время как другие рискнут и, в случае успеха, получат прибыль в несколько раз большую, чем первая группа. Но у них всегда есть риск все потерять. В этом-то и заключается дилемма.

Поэтому можно сказать, что одна из главных задач предпринимателя - оценить риск и свести его к минимуму, чтобы получить максимальную прибыль в случае удачной сделки, дела и понести минимальные потери в случае неудачной сделки. Риск можно снизить, распределив капитал по нескольким рисковым проектам, или, например, застраховав его.

В рамках данной курсовой работы была рассмотрена тема «Имитационное моделирование».

Имитационное моделирование -- это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью с достаточной точностью описывающей реальную систему и с ней проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация -- это постижение сути явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте).

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. -М.: Финансы и статистика, 2005. -426 с.

2. Гинзбург А.И. Экономический анализ: Предмет и методы. Моделирование ситуаций. Оценка управленческих решений: учебное пособие. -СПб.: Питер, 2003. -622 с.

3. Грабовый П.Г. Риски в современном бизнесе. -М.: Финансы и статистика, 2000. -200 с.

4. Дубров А.М., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю. Моделирование рискованных ситуаций в экономике и бизнесе. -М.: Финансы и статистика, 2004. -224 с.

5. Князевская Н.В., Князевский В.С. Принятие рискованных решений в экономике и бизнесе. -М.: Контур, 1998. -160 с.

6. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. -М.: Банки и биржи, 2003. -407 с.

7. Ларичев О.Н. Теория и методы принятия решений. -М.: Логос, 2006. -392 с.

8. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL. Практикум: Учебное пособие для вузов. -М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000. -282 с.

9. Синюк В.Г. Использование информационно-аналитических технологий при принятии управленческих решений: Учебное пособие. -М.: Экзамен, 2003. -237 с.

10. Смородинский С.С., Батин Н.В. Методы и системы принятия решений. - часть 1 -Мн.: БГУИР, 2000. -329 с.; часть 2 -Мн.: БГУИР, 2001. -412 с.

11. Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений. -М.: СИНТЕГ, 2008. -270 с.

12. Холод Н.И. Экономико-математические методы и модели. -Мн.: БГЭУ, 2000. -318 с.

13. Чернов В.А. Анализ коммерческого риска. -М.: Финансы и статистика, 1998. -291 с.

14. Шикин Е.В. Математические методы и модели в управлении. -М.: Финансы и статистика, 2002. -430 с.

15. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. - М.: ЮНИТИ, 1997. -425 с.

16. Экономико-математические методы и модели: Учебное пособие / под ред. Холод Н.И., Кузнецова А.В., Жихар Я.Н. и др. - Мн.: БГЭУ, 2000. -385 с.