Математические модели исследования операций

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ: ЧТО ЭТО ТАКОЕ

Первые формальные разработки по исследованию операций (ИО) были инициированы в Англии во время Второй мировой войны, когда команда британских ученых сформулировала и нашла решение задачи наиболее эффективной доставки военного снаряжения на фронт. После окончания войны эти идеи были перенесены в гражданскую сферу для повышения эффективности и продуктивности экономической и производственной деятельности. Сегодня теория исследования операций является основным и неотъемлемым инструментом при принятии решений в самых разнообразных областях человеческой деятельности.

Краеугольным камнем исследования операций является математическое моделирование. Хотя данные, полученные в процессе исследования математических моделей, являются основой для принятия решений, окончательный выбор обычно делается с учетом многих других "нематериальных" (не имеющих числового выражения) факторов (таких как человеческое поведение), которые невозможно отобразить в математических моделях.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Предположим, что в соответствии с деловыми обязательствами вам необходимо в течение пяти недель пять раз посетить город В (а живете вы в городе А). Вы должны быть в городе В в понедельник первой недели и окончательно возвратиться в город А в среду пятой недели. Билет из города А в город В и обратно стоит 400 долл., однако вы можете получить 20% скидки от стоимости ''билетов, если вылет придется на конец недели. Кроме того, следует учесть, что стоимость билета только в одну сторону равна 75% от стоимости заказного билета. Вы, естественно, хотите минимизировать стоимость перелетов, Как это сделать?

Описанную ситуацию можно рассматривать как задачу принятия решений, где для поиска оптимального решения требуете определить три основных компонента.

Что в данном случае считать альтернативными решениями?

Каким ограничениям должно удовлетворяй, возможное решение?3- По какому критерию должны отбираться альтернативные решения?

В нашей задаче возможны следующие альтернативы.

1- Покупка пяти заказных билетов А-В-А (т.е. из города А в го]х>д В и обратив).

2. Покупка одного билета в одну сторону А-В, четырех билетов А-В-А, захватывающих конец недели, и одного "однонаправленного" билета В-А.

3. Покупка билета А-В-А для первой недоли, причем между датами вылетов должен быть понедельник; для последней недели приобретение билета А-В-А, между датами которого должна быть среда, причем первый и последний билеты должны захватывать последние дни недели; покупка четырех билетов А-В-А, между датами которых также есть последние дни недели.

Ограничением в данной задаче являются дни прибытия: понедельник первой недели и среда пятой.

В данном случае естественным критерием для оценки возможных альтернатив является цена билетов. Альтернатива, обеспечивающая наименьшую стоимость билетов, будет наилучшей. В данном случае имеем следующие варианты.

Альтернатива 1: стоимость билетов * 5 х 400 = 2000 долл.

Альтернатива 2: стоимость билетов = 0,75 х 400 + 4 х 0,8 х 400 + 0,75 х 400 -= 1800 долл.

Альтернатива 3: стоимость билетов => 5 х (0,8 X 400) = 1600 долл.

Очевидно, что наилучшей является третья альтернатива.

Приведенный пример показывает основные принципиальные составляющие модели исследования оп&раций (ИО), а именно альтернативы, ограничения и критерий отбора альтернатив. Но в различных ситуациях эти составляющие могут весьма отличаться от аналогичных составляющих других моделей. Чтобы показать это, рассмотрим следующую задачу. Среди всех прямоугольников с периметром фиксированной длины L необходимо найти прямоугольник максимальной площади. Какую длину и ширину будет иметь такой прямоугольник?

В отличие от предыдущего примера здесь количество альтернатив бесконечно, поскольку длина и ширина прямоугольника могут принимать бесконечное множество значений (но из конечного интервала). Чтобы это свойство задачи выразить формально, определим возможные альтернативы, ждав непрерывные переменные, соответствующие длине и ширине прямоугольника.

Итак, обозначим через / длину прямоугольника, через из -- его ширину., Основываясь на этих обозначениях, ограничения задачи можно сформулировать следующим образом,

1. Ширина прямоугольника 4- длина прямоугольника = половина периметра прямоугольника.

2. Ширинам длина прямоугольника не могут быть отрицательными. Эти ограничения алгебраически запишутся так.

2(/+ »)-Ј,.

I > 0, ш > 0.

Теперь осталось не забыть о цели нашей задачи -- максимизировать площадь прямоугольника. Обозначив площадь прямоугольника через г, окончательную математическую модель можно записать следующим образом.

Максимизировать г - lw при ограничениях

!!((+ w) - L, /, юйО.

Оптимальным решением данной задачи будет w = I^в L/4, т.е. среди прямоугольников с фиксированным периметром максимальную площадь будет иметь квадрат.

Два приведенных примера демонстрируют различия моделей ИО. В общем случае первым шагом в построении таких моделей является определение альтернатив, или nepеменной решения. Далее переменные решения используются для создания целевой функции и ограничений модели. Законченную типичную математическую модель ИО схематически можно представить следующим образом.

Максимизация или минимизация целевой функции при условии выполнения ограничений.

Решение задачи называется допустимым, если оно удовлетворяет всем ограничениям модели. Решение будет оптимальным, если, кроме того, что оно допустимо, целевая функция при этом решении достигает оптимального (максимального или минимального) значения. В примере с билетами задача имела три допустимых альтернативы и оптимальное решение предоставляла третья альтернатива. В примере с прямоугольником допустимое решение должно удовлетворять условию l + w = L/2 с неотрицательными значениями I и w,, Это приводит к бесконечному множеству допустимых решений, поэтому здесь, в отличие от примера с билетами, для поиска оптимального решения необходимо привлекать соответствующие математические средства (в данном случае -- средства дифференциального исчисления).

В моделях ИО понятие "оптимальности^» решений определяется с учетом соответствия этого решения множеству ограничений. Это означает, что качество конечного решения, сделанного на основе решения задачи, зависит от адекватности представления моделью реальной ситуации, которую она формально описывает посредством ограничений. Например, если в примере с билетами нам не были бы известны все варианты покупки билетов (точнее, скидки на билеты), то, скорее всего, оптимальным было бы другое решение. Если исключить из модели третью альтернативу, тогда "оптимальным" решением будет второй вариант, при котором следует заплатить за билеты 1880 долл.

Такое решение будет условно оптимальным (или локально оптимальным) для реальной ситуации. Таким образом, конкретное оптимальное решения является наилучшим только для этой модели. Чем модель лучше отображает реальную ситуацию, там ближе решение этой задачи к оптимальному.

УПРАЖНЕНИЯ 1.1

В примере с билетами определите четвертую возможную альтернативу.

В примере с прямоугольником найдите два допустимых решения т определите, какое из них лучше (т-е. какое решение задает прямоугольник с большей площадью).

3- Найдите оптимальное решение задачи о площади прямоугольника. {Совет. С помощью ограничений преобразуйте целевую функцию к функции, зависящей от одной переменной. Затем примените методы дифференциального исчисления.)

4. Крис, Джим, Джои и Келли находятся на восточном берег/ реки и хотят переправиться на западный берег с помощью каноэ. Каноэ можеэт вместить н& более двух человек.

Крис, как наиболее сильный из всех своих друзей, может переправиться через реку за 1 минуту. У Джима, Джона и Келли на это уйдет соответственно 2, 5 и 10 минут.

Если в каноэ находятся два человека, то время переправы определяется по слабейшему пассажиру. Цель друзей заключается в переправе на западный берег река по возможности за минимальное время.

Найдите не менее двух возможных схем переправы через реку.

Определите критерий оценки альтернатив.,

Какое минимальное время переправы через реку всех друзей?

РЕШЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ¹

В исследовании операций нет единого общего метода решения всех математических моделей, которые встречаются на практике. Вместо этого выбор метода решения диктуют тип и сложность исследуемой математической модели. Например, в разделе 1.1 для решения задачи о билетах необходимо просто ранжировать альтернативы по стоимости билетов, тогда как для решения задачи о максимальной площади прямоугольника необходимо применять средства дифференциального исчисления.

Наиболее известными и эффективными методами ИО являются методы линейного программирования, когда целевая функция и все ограничения являются линейными функциями. Для решения математических моделей других типов предназначены методы целочисленного программирования (если все переменные- должны принимать только целочисленные значения), динамического программирования (где исходную задачу можно разбить на меньшие подзадачи) и нелинейного программировании (когда целевая функция и/или ограничения являются нелинейными функциями). Перечисленные методы составляют только часть из большого количества самых разнообразных доступных методов исследования операций.

Практически все методы ИО не позволяют получить решение в замкнутой (в виде формул) форме. Напротив, они порождают вычислительные алгоритмы, которые являются итерационными по своей природе. Это означает, что задача решается последовательно (итерационно), когда на каждом шаге (итерации) получаем решения, постепенно сходящиеся к оптимальному. Итерационная природа алгоритмов обычно приводит к объемным однотипным вычислениям. В этом и заключается причина того, что эти алгоритмы разрабатываются, в основном, для реализации с помощью вычислительной техники.

Некоторые математические модели могут быть такими сложными, что их невозможно решить никакими доступными методами оптимизации. В этом случае остается только эвристический подход: поиск подходящего "хорошего" решения вместо оптимального. Эвристический подход предполагает наличие эмпирических правил, в соответствии с которыми ведется поиск подходящего решения.

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Несмотря на впечатляющие достижения математического моделирования, многие реальные ситуации невозможно адекватно представить с помощью соответствующих математических моделей. Часто в этом "виновата" определенная "жесткость" математики как языка описания и представления событий и явлений. Но даже если существует возможность формализовать рассматриваемую жизненную ситуацию посредством построения математической модели, полученная на ее основе задача оптимизации может быть слишком сложной для современных алгоритмов решения задач этого класса.

Альтернативой математическому моделированию сложных систем может служить имитационное моделирование. Различие между математической и имитационной моделями заключается в том, что в последней отношение между "входом" "выходом" может быть явно не задано. Вместо явного математического описания взаимоотношения между входными и выходными переменными математической модели, при имитационном моделировании реальная система разбивается на ряд достаточно малых (в функциональном отношении) элементов или модулей. Затем поведение исходной системы имитируется как поведение совокупности этих элементов, определенным образом связанных (путем установки соответствующих взаимосвязей) в единое целое. Вычислительная реализация такой модели начинается с входного элемента, далее проходит по всем элементам, пока не будет достигнут выходной элемент.

Имитационные модели значительно гибче в представлении реальных систем, чем их математические "конкуренты". Причина такой гибкости заключается в том, что при имитационном моделировании исходная система рассматривается на элементарном уровне, а математические модели стремится описать системы на глобальном уровне.

За гибкость имитационных моделей приходится платить высокими требованиями к потребляемым временным и вычислительным ресурсам. Поэтому реализация некоторых имитационных моделей даже на современных быстрых и высокопроизводительных компьютерах может быть очень медленной.

ИСКУССТВО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Иллюстративные модели из раздела 1.1 точно отображают реальные ситуации (в том смысле, что здесь модели не являются абстрактными приближениями жизненных реалий). Но это исключение it практике исследования операций -- подавляющее большинство моделей ИО в той или иной степени являются абстракциями реальной жизни. На рис 1.1 показаны! уровни абстракции, которые характеризуют разработку моделей ИО- Предположения о реальном мире абстрагируются от реального мира путем определения основных (доминантных) переменных, описывающих поведение реальных систем. Модель, являясь абстракцией предположений о реальном мире, на языке математических функций описывает поведение не реальных систем, а предположений о их поведении.

Рис, 1.1, Уровни абстракций при построении моделей

Чтобы показать уровни абстракции в процессе моделирования, рассмотрим пример компании Tyko Manufacturing, производящей пластиковую упаковку. Когда заказ поступает в производственный отдел, необходимое для его выполнения сырье поступает со складов компании или закупается на стороне. Когда партия продукции готова, отдел сбыта берет на себя заботу о распределении и отправке готовой продукции заказчикам.

Анализ ИО деятельности компании должен дать ответ на вопрос о том, каким должен быть оптимальный объем партии изготовляемой продукции. Как можно представить описываемую ситуацию в виде модели?

Эту задачу следует рассматривать в целом как систему, где количество и типы переменных и параметров, описывающих эту систему, будут зависеть от того, со стороны какого подразделения компании мы смотрим на эту ситуацию.

Производственный отдел: возможности производства описываются в терминах доступных мощностей н трудовых ресурсов, наличия необходимого оборудования (или его стоимости, если оно отсутствует и его необходимо закупить), принятых стандартов качества и т.п.

Подготовительный цех (отвечает за сырье для производства): здесь переменными и примерами, описывающими систему, будут доступное количество сырья на складе, сроки поставки новых партий сырья от поставщиков, емкость складские помещений и т.д. Если необходима предварительная обработка сырья, то добавляются новые переменные.

Отдел сбыта: с точки зрения этого подразделения система описывается прогнозируемыми объемами продаж готовой продукции, емкостью дистрибьюторской сети, эффективностью рекламной кампании, наличием конкурентов.

Каждая из приведенных переменных представляет производство компании Tyko на своем уровне. И, конечно, определение четких функциональных зависимостей между этими переменными является весьма нетривиальной задачей.

Первый уровень абстракции требует определения границ для предположений о реальном мире (см. рис. 1.1). После некоторых размышлений приходим к выводу, что реальную систему приближенно можно представить двумя основными переменными: производительность и удельные издержки производства. Производительность включает такие показатели, как объем: производственных мощностей, стандарты качества и доступное количество сырья. Удельные издержки зависят в основном от показателей, определяемых отделом сбыта. Существенным здесь является то, что упрощение реального мира происходит путем "сваливания в одну кучу" различных показателей, в результате чего появляются относительно простые переменные (показатели) предположений о реальном мире,

Теперь относительно просто на основе предположений о реальном мире построить модель, что будет следующим уровнем абстракции. Через производительность и удельные затраты можно выразить стоимостные и объемные¹ показатели производства конкретной продукции. Абстрактную математическую модель можно построить на основе баланса стоимостных и/или объемных показателей таким образом, чтобы минимизировать, например, себестоимость производства.

БОЛЬШЕ, ЧЕМ ПРОСТО МАТЕМАТИКА

Поскольку модели ИО имеют математическую природу, существует мнение, что исследование операций является исключительно математической дисциплиной. Хотя математические методы действительно являются краеугольные камнем ИО, эта дисциплина не замыкается только на математических моделях (но отметим, что они действительно необходимы, поскольку облегчают и упрощают анализ реальных жизненных ситуаций). Математический аспект исследований операций должен рассматриваться в широком контексте всего процесса принятия решений. Поскольку человеческий фактор присутствует во всех задачах принятия решений, во многих случаях привлечение психологов дает ключ к решению задач. В качестве иллюстрации этого положения рассмотрим три примера.

Классическим примером является известная, проблема лифта. Жильцы высотного дома постоянно жаловались на длительное ожидание лифта. На основе модели массового обслуживания это время было оптимизировано. Но предложенное решение не уменьшило поток жалоб, Дальнейшее изучение ситуации показало, что жильцам просто скучно ждать лифт. Проблема была решена, когда в холле возле лифтов поведали большие зеркала. Жалобы на длительное ожидание лифта прекратились; теперь жильцы коротают время возле лифтов, разглядывая себя и других в зеркале, что, согласитесь, почти не надоедает.

Группа американских и канадских специалистов ИО изучала возможность увеличить пропускную способность регистрационных стоек большого британского аэропорта. По одной из рекомендаций, выработанных этой группой, в видных местах вывесили таблички с указанием, что пассажиры, у которых осталось менее 20 минут до вылета, должны без очереди подойти к регистрационной стойке. Однако эта мера не имела успеха, поскольку пассажиры, особенно британцы, настолько уважают "живую" очередь, что не могли позволить себе подобную вольность.

В сталелитейном производстве первым продуктом, получаемым из железной руды, являются стальные слитки, из которых затем производят различные сталепрокатные изделия. Управляющий производством заметил слишком большую задержку между получением и непосредственным их прокатом на прокатных станах. В идеале прокатка слитков должна начинаться сразу после получения их из печи, чтобы уменьшить потребность повторного нагрева слитков. Первоначально эта проблема группой экспертов ИО была представлена в виде линейной модели, оптимизирующей баланс между производительностью литейной печи и пропускной способностью прокатного стана. В процессе исследования ситуации эксперты строили простые графики производительности плавильной печи, суммируя производство стальных слитков в течение ее трехсменной работы. Они обнаружила, что, хотя третья смена начинается в 23 часа, наибольшая производительность достигается только между 2 и 5 часами утра. Дальнейшие наблюдения показали, что операторы печи, работающие в третью смену, имели привычку в начале смены устроить себе довольно длительный период "раскачки", наверстывая этот простой в утренние часы. Таким образом, данная проблема решалась простым выравниванием производства слитков я течение всех рабочих смен, для чего пришлось "поработать" с человеческим фактором.

На основе трех приведенных примеров можно сделать такие заключения.

1. Прежде чем приступать к построению математических моделей, команда экспертом ИО должна рассмотреть возможность разрешения проблемы путем применения какого-либо "человеческого", а не технического решения. В основе решения проблемы лифта путем установки лежат свойства человеческого поведения, а не математическое моделирование. Отметим, что и стоимость такого решения значительно ниже, чем стоимость решения, полученного на основе математического моделирования. В связи с этим команды экспертов ИО обычно в качестве первого этапа исследования реальной проблемы проводят экспертизу ситуации путем привлечения специалистов, не связанных с математикой (при решении проблемы: лифта такими специалистами были психологи). Это было выявлено еще во время Второй мировой войны британскими учеными, "пионерами" в области ИО, -- н команду разработчиков ИО входили специалисты по социологии, психологии и поведенческим наукам.

2, Решения, как правило, реализуются через людей, а не через "бездушные" технологии. Любое решение, которое не учитывает человеческого поведения, обречено на провал. Причиной невыполнения рекомендаций команды консультантов британского аэропорта стало неучтенное этой командой культурное различие между Соединенными Штатами и Великобританией(американцы и канадцы более свободны в поведении, чем британцы).

3. Анализ ИО никогда не начинается сразу с поиска решения построенной математической модели -- сначала надо доказать обоснованность ее применения. Например, поскольку методы .лиинейного программирования хорошо зарекомендовали себя на практике, существует тенденция использовать линейные модели в любых ситуациях. Это приводит к тому, что такие модели плохо соответствуют реальной проблема. Сначала всегда следует проанализировать имеющиеся данные, используя для этого по возможности простые технологии(например, вычисляя средние, строя диаграммы и графики и т.п.)- Когда проблема исследована, и определена, для ее решения подбираются соответствующие методы.² В примере со сталелитейным производством простые временные графики производства стальных слитков стали тем единственным средством, которое помогло исправить ситуацию.

МЕТОДОЛОГИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Решения реальных задач исследования операций должны быть плодом коллективной работы, когда заказчики исследований и аналитики работают бок о бок. Аналитикам ИО с их знаниями возможностей математического моделирования необходимы опыт и знание реальной ситуации, исходящие от клиента, для которого, собственно, и решается задача ИО.

Исследование операций как инструмент задачи принятия решения можно рассматривать как науку, и как искусство. Наука здесь представлена всей мощью математических методов, а искусство -- тем обстоятельством, что успех на всех этапах, предшествующих получению оптимального решения математической модели, в большей степени; зависит от творчества и опыта всей команды, занимающейся решением задачи ИО. Уиллимейн утверждает, что "эффективная практика [ИО] требует нечто больше, чем только знания и компетентность. Она также требует, среди прочего, "технической" мудрости (т.е. понимания того, когда и как применять тот или иной метод или алгоритм) и определенного уровня коммуникабельности и организационных способностей".

Из-за "неуловимого" человеческого фактора трудно дать точные предписания для реализации теории исследования операций на практике. Можно попытаться показать только общую направленность такой реализации.

На практике реализация методов ИО должка включать следующие этапы.

Формализация исходной проблемы.

Построение математической модели,

Решение модели.

Проверка адекватности модели.

Реализация решения.

Из всех пяти приведенных этапов только третий, решение модели, достаточно точно определен и наиболее прост для реализации в рамках методологии ИО, поскольку действия на этом этапе основываются на точной математической теории. Выполнение остальных этапов в значительной мере является искусством, а не наукой. Поэтому мы не можем точно описать эти процедуры.

Формализация проблемы требует исследования той предметной области, где возникла рассматриваемая проблема. Это начальный этап работы любой команды аналитиков ИО. В результате такого исследования должны быть получены следующие три принципиальных элемента решаемой задачи: 1) описание возможных альтернативных решений, 2) определение целевой функции, 3) построение системы ограничений, налагаемых на возможные решения.

Построение математической модели означает перевод формализованной задачи, описание которой получено на предыдущем этапе, на четкий язык математических отношений. Если получена одна из стандартных математических моделей, например, модель линейного программирования, то решение обычно достигается путем использования существующих алгоритмов. Если же результирующая модель очень сложная и не приводится к какому-либо стандартному типу моделей, то команда ИО может либо упростить ее, либо применить эвристический подход, либо использовать имитационное моделирование. В некоторых случаях комбинация математической, имитационной и эвристической моделей может привести к решению исходной проблемы-

Решение модели, как уже упоминалось, -- наиболее простой из всех этапов реализации методов исследования операций, так как здесь используются известные алгоритмы оптимизации. Важным аспектом этого этапа является анализ чувствительности полученного решения. Это подразумевает получение дополнительной информации о поведении "оптимального" решения при изменении некоторых параметров модели. Анализ чувствительности особенно необходим, когда невозможно точно оценить параметры модели. В этом случае важно изучить поведение оптимального решения в окрестности первоначальных оценок параметров модели.

Проверка адекватности модели предполагает проверку ее правильности, т.е. определения того, соответствует ли поведение модели в конкретных ситуациях поведению исходной реальной системы. Но сначала команда аналитиков ИО должна удостовериться, что модель не содержат "сюрпризов". Другими, словами, надо убедиться, что решение, полученное в ранках построенной модели, имеет смысл и интуитивно приемлемо. Формальным общепринятым методом проверки адекватности модели является сравнение полученного решения (поведение модели) с известными ранее решениями или поведением реальной системы. Модель считается адекватной, если при определенных начальных условиях ие поведение совпадает с поведением исходной системы при тех же начальных условиях. Конечно, это не гарантирует, что при других начальных условиях поведении модели будет совпадать с поведением реальной системы. В некоторых случаях в силу разных причин невозможно прямое сравнение модели с реальной системой или сравнение решений, полученных в рамках этой модели, с известными решениями (например, из-за отсутствия таких данных). В такой ситуации для проверки адекватности математической модели можно использовать имитационное моделирование, т.е. сравнивать поведение математической и имитационной моделей.

Реализация решения подразумевает перевод результатов решения модели в рекомендации, представленные в форме, понятной для лиц, принимающих решения, т.е. заказчиков. Бремя этой непростой задачи ложится непосредственно на плечи команды аналитиков ИО,.

ОБ ЭТОЙ КНИГЕ

Моррис (Morris, [5]) утверждает, что "изучение моделей не эквивалентно изучению моделирования". Автор постоянно держал эту важную мысль в голове во время подготовки седьмого издания данной книги и сознательно старался привнести искусство моделирования в теорию исследования операций. Эта книга, кроме описания математических моделей,, содержит большое количество упражнений и задач;, которые позволяют проникнуть в суть анализа практических ситуаций.

Автор надеется, что эта книга даст студентам не только фундаментальную основу для понимания математических методов исследования операции, но и понимание возможностей их применения. Такое понимание должно показать, что недостаточно сосредоточиться только на философских и "художественных" аспектах ИО. Необходимы фундаментальные знания математических методой исследования операций. Только на этой основе студенты могут "взращивать" свой "художественный" потенциал в искусстве моделирования ИО. Хорошим подспорьем здесь может служить изучение публикаций и статей в различных журналах. Автор настоятельно рекомендует журнал Interfaces (издательство INFORMS) как богатый источник интересных приложений теории ИО.

ЛИТЕРАТУРА

Altier W, J. The Thinking Manager's Toolbox: Effective Processes for ProblemSolving and Decision Making, Oxford University Press, New York, 1999.

Checkland P. Systems Thinking, System Practice. Wiley, New York, 1990,

Evans J. Creative Thinking in the Decision and Management Sciences, Southwestern Publishing, Cincinnati, Ohio, 1991.

Gaas S, Model World; Danger, Bewcire the User as a Modeler, Interfaces, Vol. 20,No. S, pp. 60-64,1990.

6. Morris W, On the Art of Modeling, Management Science, Vol. 13, pp. B707-B717,1967.

Paulos J. A. Innumeracy: Mathematical Illiteracy and Its Consequences, НШ andWang, N«w York, 1988.

Taha H. Guide to Optimization Models. Chapter 11.3 in Maynard's IndustrialEngineering Handbook, 6th ed. McGraw-НШ, New York, 2001, pp. 11.45-11.65.

Willemain T.R. Insights on Modeling from a Dozen Experts, Operations Research,Vol. 42, No. 2, pp. 213--222,1994.