Економіко-математичне моделювання задач маркетингу на підприємництві

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

Економіко-математичне моделювання задач маркетингу на підприємництві

Завдання 1

1. Використовуючи результати обстежень 20 рекламних агентств в регіоні щодо динаміки (абсолютного приросту) витрат на підбір, навчання та підвищення кваліфікації одного працівника (далі - витрат на персонал, факторна ознака) (таблиця А1 додатку А), побудувати ряд розподілу рекламних агентств за розміром абсолютного приросту витрат на персонал, утворивши групи з рівними закритими інтервалами. Результати групувань викласти у формі статистичної таблиці.

Розв'язок:

Таблиця 1

№ під	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	4	2	2	5	4	6	6	5	7	8	9	9	10	11	10	12	12	13	13	15
	31	32	33	33	34	34	35	36	36	36	37	37	37	38	38	38	40	40	40	40

Таблиця 2

Розподіл рекламних агентств за абсолютним

приростом витрат на персонал

Групи за приростом витрат на персонал, грн.	Частота в групі, f
2 - 5	6
5 - 8	4
8 - 11	5
11 - 14	4
14 - 17	1
Разом	20

В розрахунках використовуємо формули:

ширина інтервалу (h):

=

де x_max, x_min - відповідно найбільше і найменше значення ознаки в сукупності;

m - кількість груп.

2. За результатами табл.1 знайти середню величину приросту витрат на персонал, моду, медіану. Пояснити зміст отриманих значень показників. Зробити висновок про форму розподілу рекламних агентств за абсолютним приростом витрат на персонал.

Розв'язок:

Результати розрахунків викласти в таблиці 2.

Таблиця 2

Вихідні дані для розрахунку моди і медіани

Групи рекламних агентств за абсолютним приростом витрат на персонал, грн.	Середина інтервалу, грн. xі	Частота в групі f	Накопичена частота, од. Sf
2 - 5	4	6	6
5 - 8	7	4	10
8 - 11	10	5	15
11 - 14	13	4	19
14 - 17	16	1	20

В розрахунках використовуємо формули:

середина інтервалу (x_і):



де x_*, x^* - відповідно найбільше і найменше значення ознаки в інтервалі.

Середня арифметична зважена ( - величина, яка характеризує типовий рівень ознаки в сукупності):

=

де x - окремі значення ознаки в сукупності (тут: середина інтервалу x_і);

f - частота появи ознаки в сукупності.

Мода (М_о - варіанта, яка в ряді розподілу має найбільшу частоту, тобто частку):

де x_* - найменше значення ознаки в модальному інтервалі;

h - ширина модального інтервалу;

f_мо - частота модального інтервалу;

f_мо-1 - частота передмодального інтервалу;

f_мо+1 - частота післямодального інтервалу.

Медіана (М_е - варіанта, яка ділить упорядкований ряд розподілу на дві рівні частини):

де x_* - найменше значення ознаки в медіанному інтервалі;

h - ширина медіанного інтервалу;

- сума частот;

Sf_ме-1 - накопичена частота передмедіанного інтервалу;

f_ме - частота медіанного інтервалу.

> М_е > М_о - правостороння асиметрія.

3. За результатами табл.1 визначити абсолютні і відносні показники варіації. Пояснити зміст отриманих значень показників. Зробити висновки про ступінь однорідності сукупності. Визначити коефіцієнт асиметрії. Зробити висновок про форму асиметрії розподілу рекламних агентств за абсолютним приростом витрат на персонал (відобразити графічно) і ступінь асиметричності розподілу.

Розв'язок:

Результати розрахунків викласти в таблиці 3.

Таблиця 3

Вихідні дані для визначення абсолютних і відносних показників варіації

Групи за абсолютним приростом витрат на персонал грн.	Середина інтервалу, грн. xі	Частота в групі f			()2	()2 f
2 - 5	4	6	5	30	25	150
5 - 8	7	4	2	8	4	16
8 - 11	10	5	1	5	1	5
11 - 14	13	4	4	16	16	64
14 - 17	16	1	7	7	49	343

В розрахунках використовуємо формули:

Абсолютні показники варіації

Розмах варіації (R):

R = x _max - x _min.= 15 - 2 = 13

Середнє лінійне відхилення зважене ():

=

Середнє квадратичне відхилення зважене (у):

Дисперсія зважена (у² - середній квадрат відхилення):

=

Якщо у = 1,25 або R = 6·у = х ± 3у, то розподіл є симетричним, близьким до нормального.

Відносні показники варіації

Коефіцієнт осциляції (V_R):

*100 (%) =

Лінійний коефіцієнт варіації ():

*100 (%) =

Квадратичний коефіцієнт варіації (V_у):

*100 (%) =

Якщо V_у > 33%, то сукупність є не однорідною.

Коефіцієнт асиметрії (А):

=

Якщо А > 0, то асиметрія правостороння, > 0,5 - асиметрія висока.

Завдання 2

1. Виявити наявність і напрям кореляційного зв'язку між факторною і результативною ознаками для вибірки, що задана згідно з варіантом за даними таблиці А1 та А2, використовуючи методи паралельного порівняння рядів х та у, побудови поля кореляції та метод аналітичних групувань. Зробити висновки про наявність і напрямок кореляційного зв'язку.

Результати представити в таблиці 4.

Розв'язок:

Таблиця 4

Аналітична таблиця вивчення взаємозв'язку між абсолютним приростом витрат на персонал та зростанням кількості укладених угод

Групи за абсолютним приростом витрат на персонал грн.	Середина інтервалу xі, грн.	Частота в групі, f	Середнє збільшення кількості угод , які було укладено працівниками рекламних агентств (середнє значення ознаки у в групі), .
2 - 5	4	6	32
5 - 8	7	4	34
8 - 11	10	5	36
11 - 14	13	4	38
14 - 17	16	1	40



де

- сума значень ознаки у в m - ій групі;

- частота ознаки у в m - ій групі.

2. Оцінити щільність зв'язку між ознаками х та у за допомогою лінійного коефіцієнта кореляції Пірсона та перевірити його істотність використовуючи t- критерій Стюдента для рівня значимості б = 0,05.

Розв'язок:

Для оцінювання щільності кореляційного зв'язку між ознаками у випадку парної залежності використовуємо лінійний коефіцієнт кореляції Пірсона (r):

Лінійний коефіцієнт кореляції може набувати будь-яких значень в межах від -1 до +1. Чим ближчий цей показник до 0, тим слабкіший зв'язок, а чим ближчий до ±1, тим зв'язок сильніший. Знак при цьому вказує напрямок зв'язку: «плюс» -- прямий зв'язок, «мінус» -- зворотний.

За шкалою Чеддока, якщо:

1) r=0,1-0,3, то зв'язок слабкий;

2) r= 0,3-0,5, то зв'язок помірний;

3) r= 0,5-0,7, то зв'язок помітний;

4) r= 0,7-0,9, то зв'язок високий;

5) r= 0,9-0,99, то зв'язок надто високий.

Висновок: r= - 0,2 - (-0,3), то зв'язок слабкий і зворотній.

Для розрахунку лінійного коефіцієнта кореляції Пірсона доцільно використати допоміжну таблицю 5

Таблиця 5

Допоміжні дані для розрахунку лінійного коефіцієнта кореляції

№ з/п	Значення ознаки	Розрахункові значення
	хі	уі	хі·уі	хі2	уі2
	4	32	128	16	1024
	7	34	238	49	1156
	10	36	360	100	1296
	13	38	494	169	1444
Разом	16	40	640	256	1600

Для перевірки істотності одержаного лінійного коефіцієнта кореляції використати t- критерій Стюдента:

Одержане значення t- критерій Стюдента порівнюють з табличним для k= (n - 2) ступенів свободи. Якщо розраховане значення t- критерію більше, ніж відповідне табличне значення, то лінійний коефіцієнт r вважають суттєвим. Табличне значення t- критерію можна побачити в додатку В, таблиця В1.

3. Оцінити щільність кореляційного зв'язку шляхом обчислення коефіцієнта детермінації та емпіричного кореляційного відношення. Зробити висновки.

Розв'язок:

Коефіцієнт кореляції досить точно оцінює ступінь щільності зв'язку лише у випадку лінійної залежності. В інших випадках доцільно застосовувати емпіричний коефіцієнт детермінації з² та емпіричне кореляційне відношення з :

де

- між групова дисперсія;

- загальна дисперсія результативної ознаки у сукупності.

Загальна дисперсія :

де

- середня з квадратів індивідуальних значень у в сукупності;

- квадрат загальної середньої із індивідуальних значень у в сукупності.

Міжгрупова дисперсія:

Для розрахунку міжгрупової дисперсії доцільно використати допоміжну таблицю 6:

Таблиця 6

Допоміжні дані для розрахунку між групової дисперсії

Групи за абсолютним приростом витрат на персонал грн.	Частота в групі, од., f	Середнє значення ознаки у в групі,.
31 - 33	4	32	(6520-72)*4=25792
33 - 35	3	34	(6520-72)*3=19344
35 - 37	6	36	(6520-72)*6=38688
37 - 39	3	38	(6520-72)*3=19344
39 - 41	4	40	(6520-72)*4=25792

При аналізі цих показників необхідно враховувати те, що показники оцінки щільності зв'язку між ознаками мають такі спільні властивості:

1) за відсутності будь-якого зв'язку значення коефіцієнта наближається до 0; при функціональному зв'язку -- до 1;

2) за наявності кореляційного зв'язку коефіцієнт виражається дробом, значення якого може змінюватися (за модулем) від 0 до 1, причому чим більший коефіцієнт за абсолютною величиною, тим щільніший зв'язок.

3) у випадку лінійної залежності лінійний коефіцієнт кореляції та емпіричне кореляційне відношення збігаються за абсолютною величиною;

4) якщо зв'язок криволінійний, то з>r;

5) якщо різниця між з та r не перевищує 0,1 -- гіпотезу про прямолінійний зв'язок можна вважати підтвердженою.

Для якісної характеристики щільності зв'язку на основі емпіричного кореляційного відношення використовують характеристики, подані у додатку В (таблиця В 2).

4. Для характеристики форми кореляційного зв'язку між факторною і результативною ознаками на графіку кореляційного поля побудувати емпіричну лінію регресії та зробити висновки щодо форми зв'язку. У випадку, якщо зв'язок між ознаками лінійний, визначити параметри а та b теоретичного рівняння регресії та побудувати його графік.

Розв'язок:

Параметри а та b теоретичного лінійного рівняння регресії (y = а + bх) одержують за допомогою формул:

b =

а = - b

y = а + bх =80 - 5x

При виконанні цієї частини завдання особливу увагу необхідно звернути на інтерпретацію параметрів лінійного рівняння регресії а та b. Параметр b, що називається коефіцієнтом регресії, показує, на скільки одиниць власного виміру змінюється середнє значення результативної ознаки зі збільшенням факторної ознаки на одиницю її виміру. За наявності прямого кореляційного зв'язку коефіцієнт регресії буде додатнім, а у випадку оберненої залежності -- від'ємним. Геометрично коефіцієнт регресії являє собою нахил прямої лінії, що відображає рівняння кореляційної залежності, відносно осі х (для рівняння прямої). Параметр а -- теоретичне значення у для х = 0, якщо 0 знаходиться в межах фактичної варіації ознаки х. У іншому разі параметр а не має реального змісту.

Завдання 3

Проаналізувати динаміку чисельності наявного населення України за період, визначений у табл.С.1 додатку С залежно від варіанту. Статистичні дані про чисельність наявного населення за останні 17 років наведені в табл.С.2 додатку С. Розрахунки викласти у формі статистичної таблиці.

Результати розрахунків викласти в таблиці 7.

Розв'язок:

Таблиця 7

Вихідні дані для аналізу рядів динаміки

Роки	Чисельність населення, тис.осіб	Абсолютний приріст, тис.осіб	Темп зростання, разів	Темп приросту, %	Абс.знач. 1% приросту, тис.осіб
		л	б	л	б	л	б
1990	51838,5	-	-	-	-	-	-	-
1991	51944,4	112,2	105,9	1	1	0,21	0,2	534
1992	52056,6	187,5	218,1	1	1	0,36	0,42	520
1993	52244,1	-129,7	405,6	0,99	1	-0,25	0,78	-519
1994	52114,4	-	275,9	-	1	-	0,53	-
Середнє	39082,5	56,6		1

В розрахунках використати формули:

Середній рівень моментного ряду динаміки ():

де n - кількість рівнів ряду динаміки.

Числове значення означає, що рівень ряду щорічно протягом аналізованого періоду становив в середньому одиниць.

Ланцюговий (?_л) і базисний (?_б) абсолютні прирости:

де y_і - наступний рівень ряду;

y_і-1 - попередній рівень ряду;

y₀ - базисний рівень ряду.

Якщо ?_л, ?_б > 0, то наступний рівень ряду збільшився на певну кількість одиниць у порівнянні з попереднім або базисним відповідно.

Якщо ?_л, ?_б < 0, то наступний рівень ряду зменшився на певну кількість одиниць у порівнянні з попереднім або базисним відповідно.

Середній абсолютний приріст ():

де n - кількість ланцюгових абсолютних приростів.

Числове значення означає, що рівень ряду щорічно протягом аналізованого періоду збільшувався в середньому на одиниць.

Ланцюговий (К_л) і базисний (К_б) темпи зростання:

Якщо К_л, К_б > 1, то наступний рівень ряду збільшився в певну кількість разів у порівнянні з попереднім або базисним відповідно.

Якщо К_л, К_б < 1, то наступний рівень ряду зменшився в певну кількість разів у порівнянні з попереднім або базисним відповідно.

Середній темп зростання ():

==1

де n - кількість ланцюгових темпів зростання.

Якщо > 1, то рівень ряду щорічно збільшувався в середньому в певну кількість разів. Якщо < 1, то рівень ряду щорічно зменшувався в середньому в певну кількість разів.

Ланцюговий (Т_л) і базисний (Т_б) темпи приросту:

Якщо Т_л, Т_б > 0, то наступний рівень ряду збільшився на певну кількість відсотків у порівнянні з попереднім або базисним відповідно.

Якщо Т_л, Т_б < 0, то наступний рівень ряду зменшився на певну кількість відсотків у порівнянні з попереднім або базисним відповідно.

Середній темп приросту ():

-100%= - 99%

Якщо < 1, то рівень ряду щорічно зменшувався в середньому на 99 відсотків.

Абсолютне значення одного процента приросту (А% - показує, яка величина відповідає кожному проценту приросту):

Числове значення А% означає, що для зміни наступного рівня ряду у порівнянні з попереднім на 1% він змінився А% на кількість одиниць.

Завдання 4

1. На основі даних, наведених в табл.Д.1 додатку Д, визначити, як у звітному періоді в порівнянні з базисним змінилися обсяги виготовленої продукції і ціна одиниці продукції.

2. На основі даних, наведених в табл.Д.1 додатку Д, визначити, як у звітному періоді в порівнянні з базисним зміна обсягів виготовленої продукції та ціни вплинула на обсяги товарообороту, тобто обсяги реалізації продукції.

Розв'язок:

Варіант	Вид продукції	Ціна одиниці виготовленої продукції, гр. од.	Обсяги виготовленої продукції, тис. шт.
		базисний період,	звітний період,	базисний період,	звітний період,
1	А	65	69	120	112
	В	72	78	85	96
	С	69	66	44	57

1. В розрахунках використовуємо формули:

Індивідуальний індекс ціни одиниці продукції А ():

Індивідуальний індекс ціни одиниці продукції В ():-

Індивідуальний індекс ціни одиниці продукції С ():

де р₀, р₁ - ціна одиниці продукції відповідно у звітному і базисному періоді.

Якщо < 1, то ціна одиниці продукції зменшилась в 6 та 8 разів, якщо > 1, то ціна одиниці продукції збільшилась в 5 разів.

Індивідуальний індекс обсягів виготовленої продукції А ():

Індивідуальний індекс обсягів виготовленої продукції В ():

Індивідуальний індекс обсягів виготовленої продукції С ():

де q₀, q₁ - обсяги виготовленої продукції відповідно у звітному і базисному періоді.

Якщо > 1, то обсяги виготовленої продукції збільшилась в 7 разів, якщо < 1, то обсяги виготовленої продукції зменшились в 12 та 23 разів.

2. В розрахунках використовуємо формули:

Зведений індекс товарообороту, тобто обсягів реалізації продукції ():



Якщо < 1, то у звітному періоді в порівнянні з базисним товарооборот зменшився в 9 разів за рахунок зміни двох факторів (ціни і обсягів виготовленої продукції).

Абсолютний приріст товарообороту ( - показує, як вплинула абсолютна зміна двох факторів (ціни і обсягів виготовленої продукції) на абсолютне значення товарообороту):

Якщо < 1, то у звітному періоді в порівнянні з базисним товарооборот спочатку збільшився на 864 тис грошових одиниць, а потім зменшився на 2 938 та на 3 077 тис грошових одиниць за рахунок зміни двох факторів (ціни і обсягів виготовленої продукції).

Зведений індекс ціни ():

Якщо < 1, то у звітному періоді в порівнянні з базисним товарооборот зменшився в 7 разів за рахунок зменшення ціни одиниці продукції.

Абсолютний приріст ціни одиниці продукції ( - показує, як вплинула абсолютна зміна ціни одиниці продукції на абсолютне значення товарообороту):

Якщо < 1, то у звітному періоді в порівнянні з базисним товарооборот зменшився на 784, 672 та 399 грошових одиниць за рахунок зменшення ціни одиниці виготовленої продукції.

Зведений індекс обсягів виготовленої продукції ():

Якщо < 1, то у звітному періоді в порівнянні з базисним товарооборот зменшився в 9 разів за рахунок зменшення обсягів виготовленої продукції.

Абсолютний приріст обсягів виготовленої продукції ( - показує, як вплинула абсолютна зміна обсягів виготовленої продукції на абсолютне значення товарообороту):

Якщо < 1, то у звітному періоді в порівнянні з базисним товарооборот спочатку збільшився на 1648 тис грошових одиниць, а потім зменшився на 2266 та 2678 тис грошових одиниць за рахунок зменшення обсягів виготовленої продукції.

Взаємозв'язок між індексами та абсолютними приростами (використовується для перевірки розрахунків):

=*0,97*1,07=1,03

=*0,97*0,88=0,85

=*0,97*0,77=0,75

=+(- 784) + 1648 = 864 грн.

=+(- 672) + (- 2266)= - 2938 грн.

=+(- 399) + (- 2678) = - 3077 грн.