Динамический ряд и множественная регрессия

Содержание

Введение

1. Динамический ряд

1.1 Понятие о рядах динамики и их виды

1.2 Методы выявления основных тенденций в рядах динамики

1.2.1 Метод укрупнения интервалов

1.2.2 Метод скользящей средней

1.2.3 Аналитическое выравнивание (АВ

2. Множественная регрессия

2.1 Процесс построения модели множественной регрессии

2.2 Метод пошаговой регрессии

Заключение

Список использованной литературы



Введение

Пищевая промышленность - одна из наиболее важных отраслей промышленности, потому что от ее совершенствования зависит не только экономическое развитие государства, но и здоровье, и благополучие его населения. Казахстан - это государство с огромной территорией, прекрасными, плодородными землями и хорошими пастбищами. Испокон веков люди, живущие на территории Казахстана, занимались земледелием и скотоводством. Скотоводство - наиболее развитая форма сельского хозяйства. Еще с 1868 года, после земельной политики Царизма, когда у казахов-кочевников изымались наиболее плодородные земли и отдавались русским и украинским переселенцам казахское земледелие перестало конкурировать с переселенческим. Скотоводство было и оставалось главным занятием и по существу единственным источником существования казахов. На сегодня, Казахстан - это государство с развитой экономикой. В этом мы обязаны добывающей, перерабатывающей, и другим отраслям промышленности. Конечно же, и животноводство здесь сыграло немаловажную роль. Поэтому, моя работа связана с животноводством, а точнее с наиболее важной ее частью - производством мяса.

На практике результирующий признак - годовой объем производства мяса в Казахстане, складывается под влиянием очень большого числа факторов, многие из которых не поддаются идентификации и непосредственному наблюдению и измерению. Поэтому лучшим источником информации о совокупности влияния всех факторов являются значения самой исследуемой переменной в прошлые моменты времени, а также текущие и прошлые значения случайных ошибок. Поэтому, я представила в своей работе, сначала динамику годового объема производства мяса в Казахстане, а затем зависимость его изменения от различных факторов: от количества сельскохозяйственных предприятий, количества работников в сельскохозяйственной сфере, поголовья крупного рогатого скота, падежи скота, потребления мяса населением - спроса на мясо.



1. Динамический ряд

1.1 Понятие о рядах динамики и их виды

Изучение изменения различных явлений во времени - одна из задач динамического ряда. Ряд динамики представляет собой числовые значения определенного статистического показателя в периоды времени, т.е. расположенные в хронологическом порядке.

Числовые значения экономического показателя, составляющие ряд динамики, называют уровнями ряда.

Уровни ряда динамики могут относиться к определенным моментам времени или же периодам. Например, ежегодный объем производства мяса, тыс.тонн.

Динамические ряды бывают моментными и интервальными.

Моментным называется ряд, уровни которого характеризуют значение показателя по состоянию на определенный момент времени.

Интервальным называется ряд, уровни которого характеризуют значение показателя, достигнутое за определенный период.

Сопоставимость уровней и смыкание рядов динамики.

Одно из требований к рядам динамики - это сопоставимость:

- изменение методологии учета и расчета;

- изменение даты учета;

- изменение единиц;

- различная продолжительность периодов.

Показатели изменения уровней ряда динамики

1. Абсолютный прирост - это показатель того, насколько изменился текущий уровень по сравнению с предыдущим или базисным (в зависимости от того какой ряд мы рассматриваем: базисный или цепной).



- для цепного;

- для базисного.

2. Темп роста - это показатель, рассчитывающийся как отношение двух уровней ряда.

- для цепного;

- для базисного.

3. Темп прироста - это показатель того, на сколько процентов текущий уровень изменился по сравнению с предыдущим или базисным.

T _пр = Т_р - 100% - для цепного и базисного.

4. Коэффициент роста - это показатель того, во сколько раз текущий уровень изменился по сравнению с предыдущим или базисным.

- для цепного;

- для базисного.

Рассчитав абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, коэффициент роста, мы можем сделать вывод об изменении объемов производства мяса по годам: на сколько тыс.тонн изменился объем производства, на сколько процентов и во сколько раз, то есть мы можем увидеть количественное изменение. Например, больше всего мяса было произведено в 1990 году; в 2006 году по сравнению с 1990 объем производства мяса сократился на 283 тыс.тонн, на 25,98%, в 0,74 раза. Если говорить о ежегодном изменении, то до с 1990 по 2000 год наблюдается снижение объемов производства мяса, а с 2000 - увеличение. Например, в 2001 году по сравнению с 2000, объем производства мяса увеличился на 32 тыс.тонн, на 5% или в 1,05 раз. Эти изменения можно объяснить тем, что в 1990 году Казахстан еще находился в составе СССР и был одним из крупнейших поставщиков мяса на территорию всей страны. Затем, после распада СССР в 1991 году, Казахстан переживал кризис, поэтому производство так же сокращалось, как и другие отрасли. С 2000 года, после 9 лет независимости Казахстана, происходит экономический подъем, страна начинает увеличивать объемы производства, и до 2006 года небольшими темпами происходит увеличение объемов производства мяса.

Рассчитав эти показатели, мы можем вычислить на сколько в среднем изменился объем производства мяса с 1990 года по 2006.

В интервальном ряду абсолютных величин с равными периодами средний уровень рассчитывается как средняя арифметическая простая из уровней ряда.

То есть средний объем производства мяса с 1990 по 2006 год был 819 тыс.тонн.

Средний абсолютный прирост рассчитывается как средняя арифметическая простая из отдельных цепных приростов.



То есть ежегодно с 1990 по 2006 год объем производства мяса в среднем уменьшается на 17,74 тыс.тонн.

Особое значение в анализе рядов динамики придается расчету средних темпов роста. Наиболее часто средний темп роста рассчитывается как средняя геометрическая из цепных темпов роста, рассчитанных в каждый период по отношению к предыдущему.

= 0.9814 = 98,1%

Ежегодно, в среднем, объем производства мяса увеличивался в 0,98 раз.

Средний темп прироста рассчитывается на основе среднего темпа роста путем вычитания из последнего 100%.

Т_пр = Т_р - 100% =98,1%-100% = -1,9%.

Ежегодно, в среднем, объем производства мяса сокращался на 1,9%.

1.2 Методы выявления основной тенденции в рядах динамики

Уровни любого ряда - это результат взаимодействия самых равных факторов, они могут оказать долговременное воздействие на исследуемый показатель. При различных сочетаниях в изучаемом явлении этих факторов зависимость уровней ряда может принимать различные формы. В одном случае в совокупности формируют его возрастающую или убывающую тенденцию, а в другом подвержен циклическим колебаниям.

Существуют несколько методов обработки рядов динамики:

- метод укрупнения интервалов;

- метод скользящей средней;

- аналитическое выравнивание.

Обработав ряды динамики различными методами, мы можем по линии тренда, либо по уравнению спрогнозировать объем производства мяса на следующие года. Конечно, невозможно предугадать, что нас ждет в будущем, но относительный прогноз мы можем сделать.

Годы	Объем	Укрупненн.интервалы	Скользящ.ср.
	произв.мяса
1990	1092,4
1991	1035,7		1050,367
1992	1023	1050,367	1026,5
1993	1020,8		1019,633
1994	1015,1		997,9667
1995	958	997,9667	936,5667
1996	836,6		837,3333
1997	717,4		730,1
1998	636,3	730,1	662,8667
1999	634,9		631,4
2000	623		637,6333
2001	655	631,4	650,2
2002	672,6		673,6
2003	693,2		700,9667
2004	737,1	700,9667	730,8333
2005	762,2		769,3
2006	808,6

1.2.1 Метод укрупнения интервалов

Простейший метод сглаживания уровней ряда - укрупнение интервалов времени, для которых определяется итоговое значение или средняя величина исследуемого показателя. Этот метод особенно эффективен, если первоначальные уровни ряда относятся к коротким промежуткам времени.

Строим график по ежегодному объему производства мяса:

Укрупним интервалы до 3-х, построим график и линию тренда для укрупненных интервалов

Коэффициент детерминации для выровненного ряда выше, чем для исходного.1.2.2 Метод скользящей средней

Здесь фактически уровни заменяются средними уровнями, рассчитанными для последовательно подвижных укрупненных интервалов, охватывающих m уровней ряда. Например, если принять m=3, то сначала рассчитывается средняя величина из первых трех уровней, затем находится средняя величина из второго, третьего и четвертого уровней, затем из третьего, четвертого, пятого и так далее. То есть каждый раз в сумме трех уровней появляется один новый уровень, а два остаются прежними. Это и обуславливает взаимопогашение случайных колебаний в средних уровнях.

Теперь построим график и линию тренда для скользящей средней:

Сглаживание осуществили по 3-м уровням. Из графика видно, что коэффициент детерминации для выровненного ряда выше, чем для исходного.

1.2.3 Аналитическое выравнивание (АВ)

Более совершенный метод обработки рядов динамики является выравнивание уровней ряда по аналитическим формулам. Суть аналитического выравнивания заключается в замене фактических уровней теоретическими, которые рассчитаны по определенному уравнению, принятому за математическую модель тренда, где теоретически уровни рассматриваются как функция времени У=f(t). При этом каждый фактический уровень рассматривается как сумма двух составляющих: У = f(t) + е, f(t) = Y* - систематическая составляющая величина, отражающая тренд и выраженная определенным уравнением, а е - случайная величина, вызывающая колебания уровней вокруг тренда

Метод АВ сводится к следующему этапу:

Этап 1. Определение на основе фактических данных вида функции У=f(t), способом наиболее адекватно отразить тенденцию развития исследуемого показателя.

Этап 2. Нахождение параметров уравнения.

Этап 3. Расчет по найденному уравнению теоретических уровней ряда.

Первый этап самый ответственный. Наиболее часто используются следующие функции.

У = a + bt - линейная функция;

Y = a*b^t - показательная функция;

Y = a + - гиперболическая функция;

Y= a + bt + b₂t² - параболическая функция;

Y = a + bt + b₂t² + b₃t³… - полиноминальная функция;

Y = a₀ + - ряд Фурье.

Выбор той или иной функции для выравнивания ряда динамики осуществляется на основе графического изображения фактических данных. Чтобы знать о том, использование какой кривой дает лучший результат, обычно сопоставляют коэффициент детерминации. Та функция, при которой этот коэффициент ближе к 1, считается более адекватной к исходным данным.

Кроме того, в результате многолетнего использования аналитического выравнивания рядов динамики набраны некоторые правила. Например, выравнивание по прямой линии эффективно для рядов уровней, абсолютные приросты которых более или менее постоянны.

Парабола 2-го порядка отражает развитие с ускоренным или замедленным изменением уровней ряда. Если при последовательном расположении t значения уровней меняются в геометрической прогрессии, то такое развитие можно отразить показательной функцией. Если обнаружено замедленное снижение уровней ряда, которые не могут снизиться до нуля, то выбирают гиперболу.

По нашему примеру самый высокий коэффициент детерминации мы имеем по полиноминальной (параболической функции):



По этому уравнению мы можем посчитать прогнозное значение У на следующие года:

У = 4,532 t² - 101t + 1237, например, t=18 для 2007 года, t=20 для 2009 года.

У = 4,532*18² - 101*18 +1237 = 887,368

У = 4,532*20² - 101*20 +1237 = 1029,8.

То есть, сделав прогноз, мы видим, что в 2007 году годовой объем производства мяса составил 887 тыс.тонн, в 2009 - 1030 тыс.тонн.



2. Множественная регрессия

2.1 Процесс построения модели множественной регрессии

В динамических рядах мы изучаем изменение одного результирующего признака во времени, не учитывая факторы, влияющие на него. А множественная регрессия показывает именно влияние различных факторов на результирующий признак. Например, годовой объем производства мяса зависит от поголовья скота, числа сельскохозяйственных предприятий, среднегодовой численности работников, падежи скота, потребления мяса на душу населения (спроса на мясо).

В условиях действия множества факторов показатели парной корреляции оказываются условными и неточными. Количественно оценить влияние различных факторов на результат, определить форму и тесноту связи между результативным У и факторными Х1, Х2, Х3,….., Хn можно методами множественной корреляции.

Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ сводится к решению следующих задач:

- обоснование взаимосвязи факторов, влияющих на исследуемый показатель;

- определение степени влияния каждого фактора на результативный признак путем построения модели-уравнения множественной регрессии, которая позволяет установить, в каком направлении и на какую величину изменится результативный признак при изменении каждого фактора, входящего в модель;

- количественно оценить тесноту связи между результативным признаком и факторами.

Математически, задача сводится к нахождению аналитического выражения, т.е.к отысканию функции



У = f(X1; Х2; Х3…..Хn)

Среди многофакторных регрессионных моделей выделяются линейные и нелинейные. Наиболее простыми для построения, анализа и экономической интерпретации являются многофакторные линейные модели, которые содержат независимые переменные только первой степени

У = а + в₁х₁ + в₂х₂ + в₃х₃ +…….. + в_nx_n,

Где х₁, х₂, х₃…..х_n - факторные признаки, а - свободный член, в₁,в _2, в3,…..в_n - коэффициенты чистой регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу, при неизменном значении других факторов, закрепленном на среднем уровне.

Если связь между результативным признаком и факторами нелинейная, то выбранная для ее описания нелинейная многофакторная модель может быть сведена к линейной путем линеаризации. Параметры множественной регрессии, как и парной, рассчитываются методом наименьших квадратов.

Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано, прежде всего, следующими требованиями - факторы не должны быть мультиколлинеарными. Линейная зависимость факторов между собой называется мультиколлинеарностью. Чем сильнее м ультиколлинеарность, тем ненадежнее результаты множественной регрессии. Она определяется коэффициентами парной корреляции r > 0,7.

Включение в модель факторов с высокой мультиколлинеарностью может привести к нежелательным последствиям - система нормальных уравнений может оказаться плохо обусловленной и повлечь за собой ненадежность оценок коэффициентов регрессии. Кроме этого, если между факторами существует высокий коэффициент корреляции, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпритируемыми.

Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически существует процедура отбора «оптимальных факторов». Выбор «оптимальных факторов» осуществляется на основе содержательного и количественного анализа тенденций социально-экономических процессов.

Содержательный анализ позволяет решить вопрос о целесообразности включения в модель факторов, основываясь на допущениях экономической теории. Содержательный анализ решает проблему установления самого факта наличия взаимосвязей между явлениями.

Подходы к отбору факторов могут быть различными. По моему мнению отбор факторов включает в себя следующие этапы:

1. Анализ факторов на мультиколлинеарность и ее исключение. На этом этапе нужно анализировать матрицу парных коэффициентов корреляции. Если r > 0,7 между факторами, то мы можем говорить о присутствии мультиколлинеарности. Более подробный анализ проводится путем подсчета коэффициентов детеринации каждого фактора. Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться коэффициент множественной детерминации или определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами. Если факторы между собой независимы, то коэффициент детерминации ближе к 1, если существует зависимость, то D близок к 0.

2. Отбор существенных факторов. Отбор более существенных факторов осуществляется с помощью в коэффициентов.

Коэффициент в показывает, насколько изменится функция с изменением соответствующего аргумента на одну величину при фиксированном значении остальных аргументов.



в_хi = b_xi

Из двух факторов может быть исключен тот фактор, который имеет меньшее значение в, если даже коэффициент r первого фактора больше, чем второй, отбор осуществляется через критерий Стьюдента: если один из факторов меньше табличного критерия Стьюдента, то он исключается. Также отбор осуществляется по Р-Значению регрессионной статистики: Если один из факторов имеет значение больше, чем 0,05, он также исключается.

3. Еще раз проверяется теснота связи регрессии через коэффициенты r и r².

4. Адекватность уравнения регрессии проверяется при помощи критерия Фишера: если F-Значение больше 0,05, то уравнение неадекватно.

Таким образом, этапы формирования моделей и оценки ее качества в значительной степени взаимосвязаны между собой. Важную роль на всех этих этапах играет содержательная сторона проблемы. Не подкрепленные результатами содержательного анализа и основанные только на количественных критериях варианты эконометрических моделей часто являются с практической точки зрения бесполезными, бессодержательными. На практике обычно ограничиваются меньшим количеством наиболее существенных факторов.

2.1 Метод пошаговой регрессии

Отбор факторов можно осуществить с помощью процедуры пошаговой регрессии. Сущность этого метода состоит в последовательном включении факторов в уравнение регрессии и последующей проверке значимости.

Изучим зависимость изменения годового объема производства мяса в Казахстане, тыс.тонн от факторов за 17 лет: с 1990 по 2006 год. Данные я взяла со статистических ежегодников с 1994 по 2007 года, мною было обработано огромное количество информации, поэтому не имею возможности приложить копии.

Х1 - число сельскохозяйственных предприятий, единиц;

Х2 - среднегодовая численность работников, тыс.чел;

Х3 - поголовье крупнорогатого скота, тыс.голов;

Х4 - падеж скота в% к общей численности;

Х5 - потребления мяса населением на душу населения в год, кг.

У (Х1, Х2, Х3, Х4, Х5).

	У	х1	х2	х3	х4	х5
1990	1092,4	2721	1243,1	9818,4	4	71
1991	1035,7	2598	1232,1	9757,2	3,9	65
1992	1023,0	2523	1205,4	9592,4	3,4	61
1993	1020,8	2487	1199,5	9576,3	3,5	60
1994	1015,1	2412	1158,2	9346,6	3,6	58
1995	958,0	2350	928,9	8072,9	3,7	55
1996	836,6	2170	882,7	6859,9	3,5	50
1997	717,4	3667	657,5	5424,6	3,2	50
1998	636,3	3294	499,6	4307,1	3,1	45
1999	634,9	3190	276,1	3957,9	3,9	44
2000	623	3361	218,1	3998,2	3,2	44
2001	655	3712	238,6	4109,2	2,9	42
2002	672,6	3612	213,3	4291	2,3	45
2003	693,2	3537	197,7	4592,1	2,1	41
2004	737,1	3613	183,1	4871	2	40
2005	762,2	4008	170,1	5203,9	2,1	40
2006	808,6	7615	158,2	5457,4	1,8	44,5

На первом этапе устанавливается мультиколлинеарность факторов. Рассчитываются парные коэффициенты корреляции, представленные в виде корреляционной матрицы.



	У	х1	х2	х3	х4	х5
У	1
х1	-0,37105	1
х2	0,897398	-0,62074	1
х3	0,987917	-0,46302	0,648264	1
х4	0,508708	-0,70668	0,760316	0,588605	1
х5	0,904388	-0,4828	0,944558	0,930644	0,731222	1

По корреляционной таблице существует мультиколлинеарность между факторами: Х1 и Х4; Х2 и Х4; Х2 и Х5; Х3 и Х5; Х4 и Х5.

Если рассматривать связь результативного признака со всеми факторами, по корреляционной таблице, то тесная связь существует между: У и Х2; У и Х3; У и Х5, а также существует связь между У и Х4.

Составим регрессионную статистику для всех факторов, для того, чтобы определить значимость факторов:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,99627
R-квадрат	0,99255
Нормированный R-квадрат	0,98916
Стандартная ошибка	17,5052
Наблюдения	17

Если рассматривать связь результативного признака со всеми факторами, то r² = 0,99627. Но Р-Значение показывает, что только параметры Х2 и Х3 являются статистически значимыми, так как Р-Значение факторов Х2 и Х3 < 0,05. Мультиколлинеарности между ними нет (r=0.648 < 0.7) Поэтому в модель множественной регрессии можно включить только факторы Х2 и Х3. После этого к этим переменным применяется процедура пошаговой регрессии.

На первом шаге этой процедуры в модель автоматически вводится переменная, который имеет больший коэффициент корреляции с результативным признаком, то есть фактор Х3.

В результате получаем однофакторную модель

У= 367,903 + 0,07019 Х3.

При этом, коэффициент корреляции равен 0,98792, коэффициент детерминации равен 0,97598, т.е изменения результативного признака У на 97,6% объясняется изменением фактора Х3, если все остальные факторы остаются неизменными. Уравнение регрессии адекватно, так как Значимость-F < 0,05.

На втором шаге включаем в модель Х2.

Коэффициент детерминации вырос по отношению к предыдущей модели (У и Х3) на 1,5%. После включения второго фактора коэффициент корреляции равен 0,99569, коэффициент детерминации равен 0,99139. Увеличение коэффициентов корреляции и детерминации говорит о целесообразности включения Х2 в модель. Модель адекватна, так как Значимость F < 0,05. Р-Значение показывает, что оба фактора, и Х3, и Х2 значимы, так как Р-Значение их < 0,05.

Двухфакторная регрессионная модель имеет вид

У=289,614 + 0,14506 Х2 + 0,09654 Х3.

На этом процедура пошаговой регрессии для данного примера прекращается, поскольку ни один их оставшихся факторов в уравнении существенно не увеличивает совокупный коэффициент множественной детерминации. Таким образом мы получили, что результативный признак - годовой объем производства мяса в основном зависит от двух факторов: среднегодовой численности работников сельскохозяйственных предприятий, тыс.человек и поголовья крупного рогатого скота, тыс.голов.

Прогнозное значение У рассчитывается для каждого года соответственно плановому значению Х. Если увеличить количество крупного рогатого скота до 6120 тыс.голов, а среднегодовую численность работников предприятия увеличить до 400 тыс.человек, тогда

У = 289,614 + 0,145*400 + 0,0965* 6120 = 938,43

Объем производства мяса можно будет увеличить до 938,43 тыс.тонн в год.



Заключение

Изучив курс эконометрики, мы узнали, что эконометрические расчеты могут сформулировать теоретическую взаимосвязь экономических явлений или опровергнуть нереальные экономические гипотезы, удостоверить надежность статистических расчетов. Они могут придать больше глубины, придавая численные значения параметрам уравнений, особенно, когда эти величины имеют решающее воздействие на характер взаимодействия.

Эконометрические расчеты могут оказаться важными для прогнозирования и оценки влияния принятых решений на уровне микро- и макроэкономики.

Также предполагается, что изучающий эконометрику, имеет некоторое представление об основных статистических понятиях. Важно также хорошее знание экономических концепций.

Базовые понятия эконометрики имеют три определения - экономическое, статистическое и математическое. Именно эконометрика определяет постановку задачи и исходные предпосылки, а результат, формируемый на математическом языке на основе статистики, представляет интерес лишь в том случае, если удается его экономическая интерпретация.

Предмет исследования эконометрики - экономические явления, но в отличие от экономической теории, эконометрика делает упор на количественные, а не качественные аспекты этих явлений. Экономическая теория утверждает, что спрос на товар с ростом цены убывает, а эконометрика отвечает на вопрос как быстро и по какому закону происходит это убывание.

Развитие компьютерных систем и спецприкладных программ, совершенствование методов анализа, сделали эконометрику мощнейшим инструментом экономических исследований.



Список использованной литературы:

1. Статистический ежегодник Казахстана 1994 года

2. Статистический ежегодник Казахстана 1996 года

3. Статистический ежегодник Казахстана 1999 года

4. Статистический ежегодник Казахстана 2000 года

5. Статистический ежегодник Казахстана 2003 года

6. Статистический ежегодник Казахстана 2007 года

7. Краткий курс по эконометрике Р.У.Рахметова Алматы 2009

8. www.stat.kz