Разработка математической модели макроэкономики относительно Украины

или

. (2.4.10)

Достаточные условия выполняются автоматически, поскольку

Графически ситуация представлена на рис. 2.4.6.

k*

Рисунок 2.4.6 Оптимальная норма накопления модели Солоу

(k* - оптимальная стационарная фондовооруженность)

Очевидно, что если f'(0)>, положительное решение k* уравнения (2.4.10) существует и единственно. Соответствующее значение оптимальной нормы накопления находят из (2.4.8):

(2.4.11)

что с учетом (2.4.10) дает

(2.4.12)

где - эластичность по основным фондам производственной функции F в точке (K.L), такой, что

К/L = k*.

тения:

Кроме того, поскольку частные производные dF/dK и dF/dL положительны, и функция F линейно-однородна, выполняются соотношения:

откуда 0<s<1.

В частном случае производственной функции Кобба-Дугласа, которая имеет вид

,

эластичность по фондам постоянна:

и поэтому =a.

Описанный подход к оптимизации нормы накопления, предложенный Э. Фелпсом, известен в литературе как "золотое правило экономического роста.

Правило оптимального накопления (2.4.11) основано на сравнении стационарных траекторий. Стационарная траектория соответствующая норме накопления s: , во все моменты времен меньший душевой фонд потребления, чем стационарная траектория, при норме .

Возникает вопрос, может ли какая-нибудь нестационарная траектория при неоптимальной норме накопления дать результат лучший, чем любая другая траектория? В этом плане кажется интересным следующее утверждение.

Пусть для траектории k(t), удовлетворяющей основному уравнению (2.4.7), найдутся такие to>O и е >0, что для всех t >t₀:

k(t)>k*+e.

Тогда траектория k(t) будет неэффективной в том смысле, что найдется траектория k'(t), выходящая из того же начального состояния и обеспечивающая во все моменты времени не меньший, а с некоторого момента времени строго больший уровень потребления, чем траектория k(t).

В строгом смысле траектория к'(0) не является траекторией модели Солоу, так как нарушено условие постоянства нормы накопления.

Очевидно, что допущение вариации нормы накопления расширяет множество возможных траекторий и тем самым улучшает перспективы выбора оптимальной траектории.

2.4.4 Оптимальная переменная норма производственного накопления (модель Шелла)

Модель Солоу, в которой допускается изменение нормы накопления, называется моделью Шелла.

Задан конечный плановый горизонт Т. Рассматриваются траектории, удовлетворяющие основному уравнению:

(2.4.13)

Заданы начальное состояние k₀:

k₀=k(0) (2.4.14)

и ограничение на конечное состояние к_Т

k(T)>к_т. (2.4.15)

Необходимо выбрать правило вариации во времени нормы накопления s(t):

0<s(t)<1, (2.4.16)

чтобы соответствующая ему траектория доставляла максимум интегральному фонду потребления:

 (2.4.17)

- коэффициент приведения эффекта к начальному моменту времени (дисконтирующий множитель).

Для решения задачи (2.4.13)-(2.4.17) К. Шелл использовал метод решения задач оптимального управления, известный как принцип максимума Понтрягина, и показал, что оптимальная траектория имеет специфическую "магистральную" структуру.

Пусть является решением уравнения:

f(k) = (2.4.18)

Опишем оптимальную траекторию для случая

k₀<к <к_т.

В начальный момент времени норма накопления выбирается равной единице. Это позволяет максимально быстро достичь значения k. Когда состояние k достигнуто, норму накопления следует установить на таком уровне, чтобы фондовооруженность оставалась постоянной, т.е. чтобы k являлось стационарной траекторией модели Солоу, соответствующей этой норме. Такой политики следует придерживаться как можно дольше, оставив время на переход из k в k_Т ровно столько, сколько его требуется при полном отказе от потребления. Затем в соответствующий момент происходит обратное переключение нормы накопления с величины s на 1 (см. рис. 2.4.7). Траектории подобного типа называют магистральными.

Интересно, что если д=0, то магистральный участок траектории модели Шелла проходит по траектории оптимального стационара модели Солоу.

k_Т

k

k₀ Т

Рисунок 2.4.7 Магистральная траектория модели Шелла

2.5 Моделирование технического прогресса

Технический прогресс находит материальное воплощение, прежде всего, в изменении технологии производства. Если технология производства моделируется при помощи технологического множества, то модель технического прогресса должка описывать изменения технологического множества во времени. В частном случае, когда технологическое множество задается производственной функцией, требуется дать описание изменения производственной функции. Наиболее интересные с точки зрения содержания и близкие к практической реализации исследования технического прогресса проведены для макроэкономических производственных функций.

Пусть технология производства описывается производственной функцией. Построить модель технического прогресса - значит задать правило изменения производственной функции во времени. Обратим внимание на то, что построение модели технического прогресса должно осуществляться не абстрактно, а с ориентацией на вполне определенную модель экономической динамики. Необходимо, чтобы правило изменения производственной функции во времени подчинялось внутренним требованиям этой "базовой" модели. По-видимому, самый простой способ ввести технический прогресс в ту или иную исходную модель и при этом не изменить ее существа заключается в том, чтобы сделать технический прогресс самостоятельной переменной, не зависящей от других переменных модели (кроме переменной времени, которая не относится к переменным, описывающим состояние экономики).

Если изменение технологии во времени описывается независимо от изменений переменных состояния экономики, то говорят, что построена модель автономного (экзогенного) технического прогресса. Формально в случае макроэкономической производственной функции это означает, что переменная t становится ее третьим аргументом, т.е. что объем выпуска задается правилом

Y = F(K,L,t).

В какой-то мере модели автономного технического прогресса адекватны реальным изменениям технологии. Действительно, какие-то изменения в народнохозяйственной производственной функции могут осуществляться без дополнительных затрат, например, за рационализации процесса управления, изыскания внутренних резервов производства, накопления производственного опыта и т.д. Подобные изменения закономерны, более или менее устойчивы и вполне могут моделироваться как автономные. Но их доля сравнительно невелика. Изменение технологии требует обновления структуры и качества основных фондов. Подготовка высококвалифицированных специалистов, способных обслуживать современное производство, невозможна без сложной и хорошо оснащенной системы образования. В этих условиях говорить об автономности технического прогресса в целом нельзя.

Несмотря на это, популярность моделей с автономным техническим прогрессом довольно широка, особенно при практических расчетах, что можно объяснить сравнительной легкостью статистических оценок параметров, которые получают одновременно с оценками параметров производственной функции. Результаты прогнозов по таким моделям, как правило, достаточно удовлетворительны. При этом не исключено, что переменная t принимает на себя объяснение не только технического прогресса, но и некоторых других, не учитываемых в модели факторов производства.

Альтернативными по отношению к моделям с автономным техническим прогрессом являются модели, в которых переменные, описывающие состояние экономики, принимают активное участие в изменении производственной функции. Это преимущественно модели технического прогресса, воплощенного в качественно новых или модернизированных основных фондах и (или) в качественно новой или переподготовленной рабочей силе. Такие модели в экономической литературе называют моделями материализованного (овеществленного) технического прогресса.

2.5.1 Автономный технический прогресс

Выпуск продукции в моделях с автономным техническим прогрессом задается производственной функцией трех аргументов Y=F(K,L,t). Обычно предполагается, что функция дважды непрерывно дифференцируема, причем все ее первые частные производные положительны.

Положительность производной по времени означает глобальное улучшение технологии. В действительности же не исключено, что улучшение технологии носит локальный характер, т.е. при одних комбинациях затрат выпуск со временем увеличивается, а при других - уменьшается.

Предполагается также, что все функции F_t от аргументов К и L, полученные из функции F при фиксированных значениях t, т.е.

F_t(K,L)=F(K,L,t),

удовлетворяют специальным ограничениям, накладываемым на макроэкономические производственные функции, прежде всего, свойству линейной однородности.

Наиболее важным с практической точки зрения и следованным теоретически является случай, когда существуют функция двух аргументов F и положительные функции одного А_k, А_L такие, что

F(K, L, t) = F(A_K(t)K, A_L(t)L), (11.19)

где A_K(0)=A_L(0)=1, причем

.

Технический прогресс в этом случае выражается в повышенной эффективности основных фондов и труда таким образом, что использование К единиц фондов и L единиц труда в момент времени t дает результат, для достижения которого в момент времени 0 потребовалось бы A_K(t)K единиц фондов и A_L(t)L единиц труда. Поэтому при выполнении равенства (11.19) говорят, что технический прогресс является фактородобавляющим. Величины A_K(t)K и A_L(t)L называют тратами эффективных фондов и труда соответственно. Если A_K(t)=1 при всех значениях t, т.е. если

F(K,L,t)=F(K,A_L(t)L), (11.20)

то технический прогресс называется трудодобавляющим. Если для всех t выполнено A_L(t)=l и, следовательно,

F(K,L,t)=F(A_K(t)K,L), (11.21)

то говорят о капиталодобавляющем техническом прогрессе.

Особо выделяют равнодобавляющий технический прогресс, когда

A_K=A_L=A.

Если при этом функция F линейно-однородна, то

F(K, L, t) =A(t)F(K, L). (11.22)

Обычно предполагается выполненным одно из условий (11.20)-(11.22), чаще всего последнее. При использовании функции Кобба-Дугласа случаи (11.20)-(11.22) эквивалентны:

F(K,L,t)=A(t)K^aL^l-a.

Темпы роста функций A_k и A_L называются темпами технического прогресса. Постоянство темпов технического прогресса эквивалентно равенствам:

и

где - соответствующие константы.

Введем обозначения:

(11.23)

2.5.2 Нейтральность технического прогресса

Теорема о фактор - добавляющем техническом прогрессе имеет в западной экономической литературе довольно интересную интерпретацию, восходящую к работам известных экономистов А. Питу, Д.Хикса, Р.Харрода.

Бесспорно, что развитие производительных сил и производственныx отношений тесно связано. Изменение производительных сил в частности, изменение технологии общественного производства под действием технического прогресса, самым непосредственным образом затрагивает все экономические отношения. Экономистов интересует, естественно, в первую очередь, как эти изменения отразятся на взаимоотношениях между трудом и капиталом, не приведут ли они к нарушению установившегося "равновесия сил". В более общей и обтекаемой формулировке - не нарушат ли они экономического равновесия? "Безопасный" в этом отношении технический прогресс принято называть нейтральным.

Проанализируем постановку этого вопроса в рамках односекторных макроэкономических моделей.

Отправной точкой является вульгарная теория "вменения". Согласно этой теории ставка заработной платы w совпадает с предельной производительностью труда:

w=dF/dL=Ф_L

а цена капитала р (под которой понимается норма процента) совпадает с предельной производительностью капитала:

р=dF/dК=F_K.

Тогда "доход труда" выразится величиной

wL=F_LL,

а "доход капитала" - величиной

pK=F_KK.

"Доля труда" в продукте определяется как

,

"доля капитала" - как

.

Отношение доли капитала к доле труда есть относительная доля капитала:

.

Вот эта относительная доля капитала и принимается в качестве формального выражения отношений между трудом и капиталом. Технический процесс нейтрален, если он не меняет этого отношения.

Пусть дана некоторая траектория развития экономики. Технический прогресс называется нейтральным вдоль данной траектории, если вдоль этой траектории остается постоянной относительная доля капитала д.

В зависимости от того, какой тип траекторий принимается за наиболее "присущий" экономике, принята следующая классификация нейтральности технического прогресса. Технический прогресс нейтрален:

по Хиксу, если он нейтрален вдоль любой траектории, на которой остается постоянной капиталовооруженность K/L;

по Харроду, если он нейтрален вдоль любой траектории, на которой постоянна капиталоотдача F/K;

по Солоу, если он нейтрален вдоль любой траектории, на которой постоянна производительность труда F/L.

Можно сформулировать следующее очевидное утверждение: технический прогресс можно представить в равнодобавляющей, трудодобавляющей или капиталодобавляющей форме в том и только в том случае, если он является нейтральным по Хиксу, Солоу Харроду соответственно.

Автономный технический прогресс, не являющийся нейтральным, подразделяется на капиталорасходующий (трудосберегающий) и капиталосберегающий (трудорасходующий). В первом случае относительная доля капитала по определению вдоль данной траектории возрастает, во втором - убывает.

Приведенная выше система определений является интересной попыткой уловить влияние технического прогресса на экономические процессы, в частности, на процесс распределения.

2.5.3 Автономный технический прогресс в модели Солоу

Введение автономного технического прогресса в модель Солоу равносильно замене первого уравнения этой модели

Y=F(K, L)

уравнением

Y=F(K,L,t),

где F обладает свойствами, сформулированными ранее (11.19). Остальные уравнения модели остаются без изменения.

Каким образом изменяются при этом основные свойства этой модели, т.е. будет ли по-прежнему существовать стационарная траектория и сохранится ли ее устойчивость?

Оказывается, что для сохранения указанных свойств необходимо, чтобы технический прогресс был нейтрален по Харроду, при этом темп роста технического прогресса должен быть постоянным. Это означает, что для существования стационарной траектории необходимо, чтобы выпуск в модели задавался уравнением

Y=F(K.AL),

где

.

Нетрудно убедиться, что это условие является также достаточным для существования стационарной траектории. Обозначь через k фондовооруженность эффективного труда:

k=K/AL

Тогда основное уравнение модели примет вид:

k = sf(k)-(g++)k.

Формулировка теорем существования и устойчивости состояния k*, как и их доказательства, естественно, не изменяются, с той лишь разницей, что нужно положить

=g++.

Решение задачи об оптимальной постоянной норме накопления также не изменится.

Однако теперь нужно иметь в виду, что на стационарной траектории постоянными во времени остаются не реальные фондовооруженность и производительность труда, а фондовооруженность и производительность эффективного труда, т.е. постоянны не отношения K/L и Y/L, а отношения K/AL и Y/AL. Реальные фондовооруженность K/L и производительность труда Y/L возрастают, причем темп роста, очевидно, совпадает с темпом технического прогресса . С тем же темпом возрастает потребление на душу населения:

c=[(l-s)Y]/L.

Таким образом, согласно модели Солоу единственным источником повышения уровня благосостояния является повышение производительности труда. Повышение эффективности общественного труда в конечном итоге представляет собой основную экономическую функцию технического прогресса.

2.5.4 Материализованный технический прогресс

Если автономный технический прогресс вводится в модель по существу единственным способом, то относительно материализованного технического прогресса этого сказать нельзя. Существует множество реальные способов "воплощения" технического прогресса в материальных условиях производства, что находит отражение в многообразии моделей.

Наиболее известной в этой области является модель, предложенная Р. Солоу. Согласно этой модели, технический прогресс воплощен в основных фондах. Оборудование, созданное недавно, считается более эффективным, чем выпущенное в более ранние моменты времени, а оборудование, созданное в один и тот же момент времени, имеет одинаковую эффективность. Это учитывается таким образом: если -момент ввода в действие оборудования К_r L_r - рабочая сила, обслуживающая такое оборудование, то выпуск продукции на этом оборудовании Q(r) задается производственной функцией:

Q(r)= Fr(К_rL_r)

или

Q_r = F(К_rL_r r).

Р. Солоу использовал функции Кобба-Дугласа:

Для простоты предположим, что в каждый данный момент времени функционирует все оборудование, введенное в действие до этого момента. Одн

Совокупный выпуск продукции Y в момент времени t выражается интегралом:



На каждый момент времени автономно задана совокупная рабочая сила L(t), т.е. выполняется ограничение:

Распределение рабочей силы в соответствии с различной технологией производства подчиняется требованию максимизации выпуска. Выпуск распределяется между потреблением и инвестициями в новое оборудование. Для случая функций Кобба-Дугласа Р. Солоу показал, что выпуск в момент времени задается агрегированной производственной функцией:

,

где

I(r) - инвестиции момента ф.

Описанные макроэкономические модели, представляющие безусловный методический интерес, на практике могут играть лишь вспомогательную роль. Их использование перспективно на стадии предпланового анализа и прогнозирования самых общих пропорций. Для анализа межотраслевых пропорций используются многопродуктовые (многосекторные) динамические модели, важнейшей из которых является динамическая модель межотраслевого баланса.

2.6 Динамическая модель межотраслевого баланса

Основой для построения динамической модели межотраслевого баланса является расширенный баланс производства продукции и использования основных производственных фондов

X-AX=Y, fX=Ф,

где Х - вектор валовых выпусков;

Y - вектор конечного продукта;

А - матрица прямых материальных затрат;

f - матрица фондоемкости продукции;

Ф - вектор основных производственных фондов.

В этой схеме учитывается обеспеченность производственными фондами, однако балансы производства продукции и фондов соединены в ней чисто механически. По заданному вектору Y, используя баланс производства продукции, можно найти вектор X, а затем при помощи баланса фондов установить, достаточно ли для этого выпуска X имеющихся производственных мощностей. Если их недостаточно, необходимо пересмотреть задание по конечному продукту. Расчеты можно проводить и в обратном порядке: сначала по балансу основных фондов определить возможный выпуск X, а затем выявить, каким окажется соответствующий конечный продукт Y. В обоих случаях балансы производства продукции и фондов выступают друг для друга внешними ограничениями, а их согласование должно осуществляться вне рамок модели. Иными словами, отсутствует органическая внутренняя увязка объемов производства продукции с основными фондами. Это чрезвычайно затрудняет перспективные расчеты, в ходе которых необходимо учитывать, что баланс производства продукции данного года не только ограничен балансом фондов данного года, но, в свою очередь, ограничивает баланс фондов последующих периодов. Провести удовлетворительную балансировку в этих условиях практически невозможно.

В динамической модели межотраслевого баланса, о которой пойдет речь далее, указанный недостаток преодолен. Достигается это за счет введения в модель процессов создания основных фондов. Принципиальная схема сводится к следующему.

Имеется m технологических способов капитального строительства. Каждый способ предназначен для ввода в действие только одного вида фондов.

Задана матрица материальных затрат в капитальном строительстве

,

где К_il показывает, какое количество продукта вида i необходимо затратить для ввода в действие единицы фондов вида I

Для упрощения модели срок создания основных фондов примем равным одному году, т.е. если затраты были осуществлены в году t, то уже в году t+1 фонды могут принимать участие в производстве продукции.

Вектор конечного продукта Y складывается из двух частей: накопляемой

S=(S₁,S2,--,Sn)

(фонд производственного накопления) и потребляемой

C=(С₁,C2,--,Cn)

(фонд непроизводственного потребления), т.е.

Y=S+C.

Фонд накопления целиком направляется на прирост основных производственных фондов:

,

где

.

С учетом баланса производства продукции и использования фондов модель выглядит следующим образом:

X=AX-Y,

fx=Ф,

Y = S + C, (11.24)

Из этих уравнений легко выводится основное уравнение модели:

X-AX-DX=C, (11.25)

где

,

и матрица

D=Kf.

Ее коэффициенты d_ij, показывают какое количество продукта i необходимо затратить в данном году чтобы производство продукта j в будущем году могло увеличиться на единицу. Если считать, что единица мощности необходима для обеспечения единицы выпуска, то d_ij - коэффициент затрат продукта i на создание единицы мощности отрасли j.

Уравнение (11.25) называется открытым динамическим балансом Леонтьева в дискретном времени. Задавая на каждый момент времени желаемый вектор потребления С и решая систему (11.25), получаем согласованный по фондам и потреблению план выпуска продукции; динамика выпуска, в свою очередь, определяет динамику остальных переменных модели.Непрерывный вариант открытого динамического баланса представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений:

X-AX-DX'=C,

где X' - вектор производных от объемов выпуска по времени, аналогичный вектору Х в дискретном варианте.

Чтобы подчеркнуть, что матрица фондоемкостей (f_ij) показывает необходимое участие фондов в выпуске единицы продукции за единицу времени, уравнение (11.25) переписываем в виде:



В дискретном балансе t=l, перехода к пределу при , получаем уравнение непрерывного баланса.

Модель динамического межотраслевого баланса является развитием статической балансовой модели. В ней учтено создание новых производственных фондов, увеличивающих производственные мощности. Конечное потребление определяется вне рамок модели. Основным формальным ограничением по-прежнему остается линейный характер технологических зависимостей. Сохранена усредненность технологических способов, так как по предположению каждый продукт производится только одним способом. Эти качества модели, известной степени огрубляют действительность, но вместе с тем облегчают ее практическое использование.

2.6.1 Технологические модели экономической динамики

Пусть состояние экономики в момент времени t описывается на-неотрицательных чисел х=(х¹, х², ..., х"). Компоненты этого набора показывают наличие продуктов, к которым можно отнести, например, сырье, материалы, основные фонды, трудовые и энергетические ресурсы - все, что может быть определено количественно и хотя бы в каком-то отношении характеризует экономический потенциал.

Считая отправным это состояние, к моменту времени t+1 в зависимости от многих обстоятельств можно добиться, вообще говоря, разных результатов, однако не произвольных. Множество состояний, которые экономика способна попасть в момент t+1, если в момент t она находилась в состоянии х, обозначим через A_t(x). Соответствие A_t: x~>A_t(x) называется технологическим отображением. Оно определяется технологическими возможностями экономики в момент t.

Если в качестве описания технологических возможностей экономики в момент t используется технологическое множество Z_t, то, считая, что затраты и выпуск относятся к смежным моментам времени, технологическое отображение A_t, можно получить, положив:

A_t(x) = {y:(x,y)€Z_t}.

Вместе с тем, если первоначально было задано отображение А_t то множество Z_t строится как:

Z_t = {(x,y):yeA_t(x)}.

Технический прогресс находит отражение в том, что отображения в A_t, в различные моменты времени, вообще говоря, различны. Модель технического прогресса должна быть описанием изменениям отображений A_t или множеств Z_t.

Для заданного начального состояния экономики X₀ множество технологически допустимых вариантов развития состоит из траекторий x(t), удовлетворяющих условиям x(0)=x₀, x(t+l)€A_t(x(t)). Это множество полностью определяется заданием отображений A_t, (или множеств Z_t,).

Такое общее представление множества допустимых вариантов развития полезно уже хотя бы потому, что оно позволяет строго формулировать ряд экономических проблем. Однако без конкретизации свойств технологических отображений составить представление о структуре этого множества невозможно.

Начало исследованиям в этой области было положено в тридцатые годы Дж. фон Нейманом, который предложил модель общего экономического равновесия, являющуюся по существу технологической динамической моделью, где технологическое множество задается конечным числом базисных технологических способов т.е. представляет собой многогранный выпуклый конус.

С тех пор технологические модели остаются объектом пристального внимания экономистов и математиков. Модель Неймана подверглась, с одной стороны, конкретизации, с другой - обобщению. Большой вклад в развитие математической теории экономической динамики внесла отечественная математико-экономическая школа во главе с Л. В. Канторовичем.

Лучше других изучены линейные модели. Опишем основные результаты, полученные для динамической модели Гейла, которая известном смысле является базовой моделью экономической динамики. В качестве технологического множества в этой модели берется конус Гейла. В дальнейшем считаем, что технологическое множество времени не изменяется.

Динамическая модель Неймана, очевидно, является частным случаем динамической модели Гейла. Нетрудно показать, что модель динамического баланса (11.25) представляет собой частный случай динамической модели Неймана и, следовательно, динамической модели Гейла.

Технологическое множество Неймана задается парой матриц, составленных из коэффициентов затрат и результатов базисных технологических способов. Вектор обобщенных продуктов составим го двух частей - собственно продуктов и мощностей. Тогда необходимые матрицы затрат и результатов динамической модели межотраслевого баланса выглядят следующим образом (рис. 11.8).

продукты	Е	О	выпуск
мощности	Е	Е	затраты
продукты	А	D	выпуск
мощности	О	О	затраты
	продукты	мощности

Рисунок 11.8 Матрицы динамической модели МОБ

В качестве интенсивностей выступают объемы выпусков х и прироста выпусков х.

Центральное место среди траекторий модели Гейла занимаю траектории максимального сбалансированного роста.

Для технологической модели Гейла Z найдутся такое число а*>0 и технологический процесс (х*, у*), что

y* >а*х* ,

а*> а(х,у) для всех (х,у)€Z,

где а(х,у) - темп роста процесса (х, у).

Введем дополнительное предположение. Если технологический процесс

(x,y)=Z и х'>х,у'<у, то (х',у')€Z.

Иными словами, известны способы неэффективного использования продуктов, например, непроизводительного потребления, или "бесплатного уничтожения". Выполнение последнего свойства сомнительно, по-видимому, лишь в тех случаях, когда к числу выпускаемых "продуктов" отнесены вредные последствия производства, в частности, - отходы, загрязняющие внешнюю среду.

Если дополнительное предположение выполнено, то, "уничтожая" часть произведенных продуктов, находим такой вектор у* для которого

у*=а*х*,

(y*,x*)€Z.

Таким образом, если начальное состояние х(0) совпадает с х*, то, отправляясь из этого состояния, для t=1 получаем:

х(1)=а*х(0)=а*х*.

Но так как множество Z является конусом, отправляясь из состояния (1)=а*х*, можно попасть в состояние

х(2)=а*х(1)=

и т.д. В момент времени t

x(t) = а*x(t-l) =

Это и есть траектория максимального (так как а* максимально) сбалансированного роста. Тот же результат получим для x(0)=x*, где >0.

Геометрически сбалансированность траектории означает, что она Целиком проходит по некоторому лучу, выходящему из начала координат. Луч, по которому проходит траектория максимального сбалансированного роста, называется неймановским. (Вообще говоря, неймановский луч не единствен).

Среди сбалансированных траекторий, по которым можно было бы двигаться, существуют, конечно, и ненеймановские, но возможная скорость продвижения по неймановскому лучу является максимальной. Следовательно, если цель состоит в быстром сбалансированном росте экономической системы, то оптимальным решением является скорейший выход на этот луч. Однако значение неймановского луча в моделях экономической динамики этим не исчерпывается. Рассмотрим следующую задачу оптимизации развития экономики в которой множество возможных вариантов задается динамической моделью Гейла.

Пусть Т - плановый горизонт, х₀ - начальное стояние, А - технологическое отображение модели. Требуется найти такую допустимую траекторию:

x(0)=x₀,

x(t+1)€A(x(t)), t=1,2,….,T=1,

которая доставляет максимум неотрицательному линейному функционалу на конец планового периода, т.е. для любой допустимой траектории х х'(0) = х₀, x'(t + l) €A(x'(t)) выполнено неравенство

С(х(T))>С(х'(T)). (11.26)

Определим А²(х), положив

А² (х) =

Аналогично найдем А^t (х) для t=3, 4,...:

А^t (х)=

Тогда задача отыскания оптимальной траектории сведется к задаче:

Сх -» max, (11.27)

.

В случае модели Гейла множества А(х) являются компактными для всех состояний х. Поэтому А^т(х₀) является компактным множеством, и линейная функция С достигает на нем максимума. Следовательно, задача (11.27) имеет решение, а значит, имеет решение в задача (11.26).

Исследования структуры решений этой задачи показали, что оптимальные траектории практически независимо от выбора функционала С в известном смысле тяготеют к неймановскому лучу максимального сбалансирования роста (точнее, к так называемой неймановской грани).

Соответствующая группа утверждений носит название теорем о магистралях. Приведем формулировки этих теорем, считая, что полнены условия, при которых неймановская грань состоит только из одного, неймановского, луча.

В зависимости от различных предположений получают магистральные теоремы в слабой, нормальной, сильной и сильнейшей форме. В качестве меры расстояния траектории от неймановского луча принимается угловое отклонение.

Теорема о магистрали в нормальной форме утверждает, что для любого >0 существует число N(), такое, что число периодов, для которых оптимальная траектория отклоняется от неймановского луча на угловое расстояние больше, не превосходит этого числа N(). Число N() не зависит от длины планового периода Т.

Теорема о магистрали в сильной форме утверждает, что для любого >0 найдется число N(), такое, что для всех t, удовлетворяющих условию N() < t< T-N(), угловое расстояние, на которое отклоняется оптимальная траектория от неймановского луча, не превосходит. Число N() не зависит от длины планового периода Т.

Наконец, теорема о магистрали в сильнейшей форме утверждает что для модели Неймана (при строгих ограничениях на структуру модели для определенных начальных состояний и некоторых классов функционалов) при любом >0 существует число N(), такое, что для всех t, при которых N()<t< T-N(), оптимальная траектория лежит на неймановском луче.

Все теоремы утверждают примерно одно и то же. Оптимальная траектория, выйдя из состояния х₀, приближается к лучу максимального сбалансированного роста, часть времени находится рядом с ним (в достаточно узкой конической трубке), а затем сворачивает к состоянию , являющемуся решением задачи (11.27).

Следует обратить внимание на два момента:

1) чем больше Т, тем меньше относительная величина промежутка времени, в течение которого оптимальная траектория далека от луча максимально сбалансированного роста (число N() не зависят от Т);

2) структура оптимальных траекторий не зависит от выбора Функционала С.

В результате можно сделать следующие выводы.

Для больших плановых периодов отпадает необходимость исследовать оптимальную траекторию. Хорошим приближением служит Траектория максимального сбалансированного роста. Нет необходимости и решать, какая из целевых функций в большей степени отражает требования экономических законов, так как какую бы функцию (из определенного класса функций) ни использовали, приближенно оптимальной траекторией будет траектория сбалансированного роста.

Теоремы о магистрали строго выражают хорошо известный факт, что реализации социально-экономических целей является прочный экономический фундамент.

Однако не следует забывать, что эти теоремы доказаны для довольно узкого класса оптимизационных задач и при достаточно строгих ограничениях на структуру множества возможных траекторий. Экономическая интерпретация этих теорем теряет наглядность и в том случае, когда неймановская грань состоит не из единственного луча. При определенных условиях оказываются возможными циклические оптимальные траектории, колеблющиеся вокруг максимального сбалансированного роста.

2.6.2 Взаимодействие природы и общества в макроэкономических моделях

В теории экономико-математического моделирования накоплен определенный опыт определения макроэкономических показателей развития национальной экономики, обеспечивающих поддержание не только экономической, но и экологической сбалансированности.

Вводя в известную модель Солоу сектор очистки и специальное ограничение на обеспечение экономического равновесия С. Строма, получаем следующую модель экономико-экологического равновесия:

,

Y=S + C,

S=sY, (11.28)

S=S₁+A₂,

S₁=K₁+K₁,

S₁=K₂+K₂,

L'=gL, g = const,

Z' = mY-hK₂,

Z' = 0,

где Y- конечный продукт;

K₁, K₂ -- объем основных фондов производственного назначения и сектора уничтожения загрязнений соответственно;

L - трудовые ресурсы;

S₁, S₂ - суммарные капиталовложения в секторы производства и очистки;

С - фонд потребления;

- "эффективная" фондовооруженность;

- фондоотдача;

- производительность эффективного труда;

- доля капиталовложений в сектор очистки в их общем объеме;

- общая норма накопления;

- удельное потребление;

- норма выбытия основных фондов;

g - темп роста населения;

- темп технического прогресса;

А, , m, h- технологические параметры.

m - показывает, какой объем загрязнения сопутствует в среднем выпуску единицы конечного продукта.

h - объем загрязнения, который уничтожается в среднем в результате использования единицы фондов сектора очистки.

Тогда превышение выброса над очисткой выражается соотношением

Z': Z'=mY-hK₂.

Уравнение Z'=0 выражает требование того, чтобы капиталовложения в производство и сектор очистки распределялись таким образом, чтобы прирост загрязнения равнялся нулю.

Если технологические параметры находятся в определенных пределах, то при любой заданной норме накопления s существуют единственные значения c_s, k_s, f_s, x_s, i_s, к которым стремятся величины c(t), k(t), f(t), x(t), i(t) при . Такие единственные значения называются стационарными. Они не зависят от начального состояния системы и целиком определяются технологическими параметрами, темпом роста населения, а также нормой накопления. Среди допустимых норм накопления s существует оптимальная постоянная норма накопления s*, которой соответствует максимальное значение величины C_s т.е.

^T*C*_s>C_s,O<s<l.

Замечание. Модель (11.28) построена на основе сильно упрощающих предположений, одно из которых связано с описанием сектора очистки в форме ограничения

Z' * = mY-hK₂.

Недостаток такого ограничения состоит, в частности, в том, что описание данного сектора не увязывается с территориально-отраслевым распределением средств на очистку окружающей среды.

Если отрасли выбрасывают загрязнения в объеме Q, и на уничтожение их выделяются ресурсы К, то указанное ограничение, как это показано в работах Р. Куликовски, можно представить в виде:

где а - технологический параметр.

Пологая Q=mY, получаем:

(11.29)

При замене соответствующего ограничения модели (11.28) уравнением (11.29) исходная модель сохраняет свои свойства.

2.7 Метод системной динамики Дж. Форрестера

Системная динамика - это метод моделирования и имитации сложных динамических экономических систем, характеризующихся разветвленными и, в общем случае, нелинейными структурами - контурами регулирования. Основные работы Дж. Форрестера (Основы кибернетики предприятия, (индустриальная динамика). - М.: Прогресс, 1971; Динамика развития города. - М.: Прогресс, 1974- Мировая динамика. - М.: Наука, 1978) посвящены анализу промышленных предприятий, развития городов и региональных систем. В моделях Дж. Форрестера анализируются в различных политических и экономических аспектах следующие важнейшие факторы, имеющие глобальное значение: население, сельскохозяйственное производство, природные ресурсы, промышленное производство, загрязнение окружающей среды. В основе моделей Форрестера лежат общие структурные элементы, пригодные для моделирования практически любых экономических систем:

темпы -- параметры потоков, исходящие от одних интегрирующих звеньев и поступающих в другие и вызывающих в обеих группах соответствующие изменения;

уровни - регулируемые объекты, формально отображающие переменные, фигурирующие в системе, параметры которых получены интегрированием соответствующих характеристик потоков;

функции решений - соотношения, отражающие функциональные зависимости, существующие в системе, они определяют интенсивности входящих и исходящих потоков: это регуляторы многоконтурной системы регулирования;

вспомогательные величины, активно участвующие в определении общих характеристик;

параметры -- константы модели.

Реальные системы отражаются в моделях Форрестера системой разностных уравнений, которые определены в терминах дискретных моментов времени равной длины DT. При построении уравнений рассматриваются три момента времени: J -- предшествующий, К- текущий, L - будущий (рис. 11.9).

jK KL

Шкала времени j DT K DT

Рисунок 11.9 Принцип организации системного времени в моделях Форрестера

Формальные обозначения переменных в моделях системной динамики: L - уровень, А - вспомогательные переменные, R - функции решения.

Порядок их вычислений, определяющий правила составления уравнений модели, иллюстрирует рисунок 11.10.



AJ L.K

LJ

RJK

J K L

Правило определения уравнения уровня: L.K = F(A.J,L.J ,R.JK)

А.К

L.K

R.JK

AK

J K L

Правило определения вспомогательной переменной в момент К: AK=F(R.Jk,L.K,A.K)

A.K

L.K

R.JK

J K R.KL L

Определение функции решений на интервале KL: R.KL=F(L.K, A.K, R.JK)

Рисунок 11.10 Порядок вычисления переменных модели Форрестера

В таблице 11.2 приведены основные символы, используемые в графических моделях Дж. Форрестера.

Применение метода Дж. Форрестера для описания системы регулирования позволят получить удовлетворяющий исследователя результат при общей простоте описания и формализации. Динамическое представление экономической системы предполагает возможность проектирования усовершенствованных форм организации и улучшения общего руководства системой. Метод позволяет, на основе единой структурной схемы исследуемой системы, обеспечить количественный и качественный анализ моделируемой системы. Системную динамику можно рассматривать как частный случай дескриптивного подхода.

3 Построение математической модели

3.1 Постановка задачи

3.1.1 Характеристика задачи

Характеристика задачи - исходя из данных входной информации (основные социально-экономические показатели в период с 1996 года по 2002 год, предоставленные государственным комитетом статистики Украины) построение математической модели и расчет прогноза фондовооруженности, ВВП, изменения роста или падения количества трудовых ресурсов на будущий период. В качестве прогнозируемого периода выбран интервал времени в 5 лет.

Условия организации сбора и передачи исходных данных

Исходные данные (основные социально-экономические показатели в период с 1996 года по 2002 год) могут быть получены из периодических изданий «Статистический ежегодник Украины», «Украина в цифрах», из специализированных справочных систем и путем прямого наблюдения, из официального сайта государственного комитета статистики Украины.

Исходные данные собранные мною представляют собой основные социально-экономические показатели, предоставленные государственным комитетом статистики Украины в период с 1996 года по 2002 год.

Этот период необходим для проверки правильности построения модели через сравнение значений полученных путем прогноза и фактических.

Ниже приведены таблицы 3.1 и 3.2 исходных данных. Для более удобного восприятия материала приняты следующие условные обозначения:

3.1.2 Исходные данные

Как уже оговаривалось выше, исходные данные были взяты мною из периодического издания государственного комитета статистики «Статистический ежегодник Украины», за период от 1996 по 2002 года.

Таблица 3.1 Основные социально-экономические показатели «Basic social and economic indicators»

Основні показники	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002
Валовий внутрішній продукт (у фактичних цінах), млн. грн.	81519	93365	102593	130442	170070	204190	220932
у розрахунку на одну особу, грн.	1595	1842	2040	2614	3436	4195	4583
Основні засоби (у фактичних цінах, на кінець року), млрд. грн.	843	866	824	837	829	915	942
Доходи населення*3, млн. грн.	40311	50069	54379	61865	86911	157996	186365
Індекс споживчих цін (грудень до грудня попереднього року), відсотків	139,7	110,1	120,0	119,2	125,8	106,1	99,4
Індекс цін виробників промислової продукції (грудень до грудня попереднього року), відсотків	117,3	105,0	135,3	115,7	120,8	100,9	105,7
Індекс цін реалізації продукції сільськогосподарськими підприємствами (до середніх цін попереднього року), відсотків	164,0	105,1	110,0	129,2	155,8	105,0	87,4
Бюджет, млн. грн.
доходи	30218,7	28112,0	28915,8	32876,4	49117,9	54934,6	61954,3
видатки	34182,8	34312,7	31195,6	34820,9	48148,6	55528,0	60318,9
дефіцит	3964,1	6200,7	2279,8	1944,5	-969,3*4	593,4	-1635,4*4
Фінансовий результат від звичайної діяльності до оподаткування*5, млрд. грн.	14,4	13,9	3,4	7,4	13,9	18,7	14,6
Продукція промисловості*6 (у фактичних цінах), млрд. грн.	73,3	75,1	82,9	107,5	144,5	184,3	202,7
Продукція сільського господарства (у порівнянних цінах 2000 р.), млрд. грн.	61,3	60,3	54,5	50,7	55,7	61,4	62,1
рослинництва	35,0	37,2	30,8	27,6	33,6	37,8	37,2
тваринництва	26,3	23,1	23,7	23,1	22,1	23,6	24,9
Інвестиції в основний капітал (у фактичних цінах ), млрд. грн.	12,6	12,4	14,0	17,6	23,6	32,6	37,2
Введення в експлуатацію загальної площі житлових будинків, млн. м2	6,8	6,4	5,8	6,1	5,6	5,9	6,1
Перевезення вантажів усіма видами транспорту*7, млрд. т	1,9	1,8	1,7	1,5	1,5	1,6	1,6
Відправлення пасажирів транспортом загального користування*9, млрд.	6,8	7,2	7,7	7,9	7,8	7,7	7,7
Роздрібний товарооборот підприємств (у фактичних цінах), млрд. грн.	17,3	18,9	19,3	22,2	28,8	34,4	39,7
Обсяг вироблених послуг (у фактичних цінах), млрд. грн.	…	…	…	…	…	37,8	43,8
Експорт товарів і послуг, млрд. дол. США	19,1	19,0	16,4	15,2	18,1	19,8	22,0
Імпорт товарів і послуг, млрд. дол. США	18,8	18,5	16,1	12,9	15,1	16,9	18,2
Природний приріст, скорочення (-) населення, тис.	-309,5	-311,6	-300,7	-350,0	-373,0	-369,5	-364,2
Кількість зайнятих економічною діяльністю, млн.*10	23,2	22,6	22,3	21,8	21,3	21,0	21,4
Кількість безробітних у віці 15-70 років (за методологією МОП), тис.*10	1997,5	2330,1	2937,1	2698,8	2707,6	2516,9	2301,0

*¹ Трлн. крб.

*² Млн. крб.

*³ У 1995-2000 рр. - грошові доходи населення.

*⁴ Профіцит.

*⁵ У 1995-1999 рр. - балансовий прибуток.

*⁶ У 1995-2000 рр. - дані за “Загальним класифікатором галузей народного господарства” (ЗКГНГ), з 2001 р. - дані за “Класифікацією видів економічної діяльності” (КВЕД).

*⁷ У 2002 р. - з урахуванням автомобільних комерційних вантажних перевезень, виконаних підприємцями - фізичними особами.

*⁸ У 1995 р. відправлення вантажів залізничним транспортом.

*⁹ У 1999-2001 рр. з урахуванням обсягів автомобільних пасажирських перевезень, виконаних суб'єктами малого бізнесу - фізичними та юридичними особами.

3.2 Разработка модели

3.2.1 Принятие решения о выборе модели

В процессе сбора и анализа информации было принято решение о построении модели для выбора наиболее точного прогноза - односекторная модель экономической динамики модель Солоу.

3.2.2 Построение односекторной модели экономической динамики (модель Солоу)

Солоу предложил непрерывную динамическую модель, адекватно отражающую важнейшие показатели процесса расширения производства.

Рассмотрим модель с дискретным временем, построенную на тех же принципах, что и модель Солоу. Ее преимущества - возможность ее простой реализации на компьютере, например с помощью Excel.

Зададим состояние экономики следующими величинами, являющимися дискретными функциями времени:

Y_t - объем конечного продукта;

С_t - фонд непрерывного потребления;

S_t - валовый фонд накопления;

L_t - объем наличных трудовых ресурсов;

K_t - объем наличных основных фондов.

Считается, что ресурсы Kt, Lt использованы полностью в период t.

Таблица 3.2 Исходные данные, полученные из статистического ежегодника за 2002 год

Период t	Yt ВВП, млрд.грн.	Lt Кол.Раб, млн.чел.	Kt ОФ, млрд.грн.
1996	81,52	23,20	800
1997	93,37	22,60	866
1998	102,59	22,30	824
1999	130,44	21,80	837
2000	170,07	21,30	829
2001	204,19	21,00	915
2002	220,93	21,40	942

Фонд накопления:

S_t = sY_t, 0<S<1, S - const (3.1)

где s - норма накопления, s = 0,143

Чистый прирост основных фондов:

K_t+1 - K_t = K_t

Считаем, что величина выбытия основных фондов пропорциональна их объему с постоянным коэффициентом м. Таким образом подлежит восстановлению в t-ом периоде мК_t основных фондов. Следовательно,

S_t = K_t+1 -K_t + мK_t, 0<м<1, м = const (3.2)

=0,05

Уравнение динамики рабочей силы получим, исходя из условия, что прирост рабочей силы пропорционален ее объему:

L_t+1 - L_t = gL_t, g = const (3.3)

Зная количество работающих в период с 1996 по 2002 год рассчитаем коэффициент роста рабочей силы

Пусть производственная функция такова, что линейно однородная при всех K_t, L_t и a>0, т.е.

Тогда

(3.4)

где k_t - фондовооруженность труда.

Функция устанавливает зависимость объема конечного продукта (производительность труда) от фондовооруженности.

Таблица 3.3 Фондовооруженность труда

Период t	Фондовооруженность Kt млрд.грн.
1996	34,48
1997	38,31
1998	36,95
1999	38,39
2000	38,92
2001	43,57
2002	44,02

Для ПФ Кобба-Дугласа

,

для ПФ CES (constant elasticity of substitution - постоянная эластичность замещения), учитывая технологический прогресс получим производственную функцию:

 (3.5)

где, - шум (другие факторы);

- технологический прогресс;

- случайная величина.

Прологарифмировав эту функцию получим следующие уравнение:

С помощью линейного регрессионного анализ мы нашли:

А=0,989;

;

Разностное уравнение (модель Солоу) имеет вид:

(3.6)

, ,

отсюда

Отсюда уравнение фондовооруженности на будущий период

 (3.7)

Прогнозируя вооруженность фондами вновь вовлекаемой рабочей силы в период по норме . Она пересчитывается на одного работающего согласно (5.9). Получим следующий прогноз:

Таблица 3.4 Прогноз фондовооруженности труда

t	Kt млрд.грн
2002	44,02
2003	43,83
2004	43,99
2005	44,56
2006	45,6
2007	47,21

Исходя из производственной функции (3.5) также можно спрогнозировать и остальные переменные такие как ВВП и количество занятых экономической деятельностью.

Определим численные показатели для количества занятых экономической деятельностью:

Таблица 3.5 Прогноз количества рабочей силы

t	L млн.чел.
2002	21,40
2003	21,10
2004	20,81
2005	20,52
2006	20,23
2007	19,95

Следующим шагом найдем ВВП также по формуле (3.5) в соответствии с изменившимся количеством рабочей силы:

Таблица 3.6 Прогноз объема конечного продукта

t	ВВП млрд.грн
2002	220,93
2003	282,06
2004	337,36
2005	403,84
2006	483,92
2007	580,52

Проанализировав таблицы (3.5) и (3.6) можно сделать вывод, что при уменьшении количества занятых экономической деятельностью увеличивается производство конечного продукта. Динамику изменения можно проследить с помощью рисунка (3.7) и (3.8).

Рисунок 3.7 Количество занятых экономической деятельностью

На рисунке (3.7) видно, что количество рабочей силы падает на протяжении всего прошедшего периода и будущего периода



Рисунок 3.8 Изменение фондовооруженности труда

Рисунок (3.8) показывает как изменилась фондовооруженность труда за известный нам период и за будущий период.