Елементи матричних перетворень. Економетричне моделювання

Розділ 1: «Елементи матричних перетворень та методи розв'язання систем лінійних рівнянь»

Завдання № 7

Дано матрицю А. Знайти матрицю А^-1, обернену до даної. Зробити перевірку, обчислити добуток А^-1*А.

Розв'язок

Обчислюємо визначник матриці А:

Матриця А не вироджена, тому обернена матриця існує. Знаходимо алгебраїчні доповнення всіх елементів даної матриці.

Складаємо обернену матрицю:

Перевірка:

Завдання № 17

Обчислити ранг матриці А:

Розв'язок

Відомо, що ранг матриці це максимальний порядок ненульового мінора цієї матриці.

Візьмемо мінори третього порядку, що визначається першими і останніми трьома стовпцями матриці:

;

і знайдемо їхні визначники:

detM=

detM=

Оскільки визначники мінора третього порядку дорівнюють нулю , то візьмемо мінор другого порядку:

detM=

Оскільки визначник мінора другого порядку не дорівнює нулю, то ранг матриці дорівнює двом.

Завдання № 27

Обчислити f(А) , якщо ділення матриці на матрицю рівносильне множенню чисельника на матрицю, обернену до знаменника:

.

Розв'язок

Обчислюємо матрицю, яка утворюється в чисельнику:

1).D=

2). Обчислюємо матрицю, яка утворюється в знаменнику:

В=

3). Знайдемо обернену матрицю до матриці, яка утворилася у знаменнику, обчисливши спочатку визначник і алгебраїчні доповнення:

detB=-4-12=-16.

4). Обчислимо функцію f(х)=D*B^-1=

Завдання № 37

Застосувавши метод Крамера, розв'язати систему лінійних рівнянь.

Розв'язок

Знайдемо визначник системи:

Оскільки визначник системи дорівнює нулю, то система несумісна і розв'язків не має.

Завдання № 47

Застосувавши метод послідовного виключення невідомих (метод Гауса), розв'язати систему лінійних рівнянь:

Розв'язок

Запишемо систему у вигляді розширеної матриці, яку зведемо до діагонального виду:

Для розв'язку системи методом Гауса, поміняємо місцями перший і третій стовпчик, а одержану матрицю зведемо до діагонального виду:

Оскільки в одержаній матриці в останньому рядку всі елементи нульові, то це значить, що матриця системи вироджена, основний визначник системи дорівнює нулю і система розв'язків не має.

Відповідь: розв'язків немає.

Розділ 2: «Економетричне моделювання»

Завдання №1

На основі даних по п'ятнадцяти металобазах побудувати лінійну економетричну модель, яка характеризує залежність між витратами обігу (грн) та вантажообігом (грн). Дослідити статистичну значущість моделі та оцінок її параметрів. Зробити економічні висновки.

Вихідні дані наведено в таблиці 1. Число k розраховується за формулою

k=100+10i+j,

де i=0 j=7,

звідси k=100+10*0+7=107.

Таблиця 1.

№ п/п	Витрати обігу Y	Вантажообіг X
1	2,0967	40,0967
2	2,3967	39,0967
3	2,7967	38,0967
4	2,2967	37,0967
5	2,4967	36,0967
6	2,3967	35,0967
7	2,6967	36,0967
8	2,6967	35,0967
9	2,0967	33,0967
10	2,8967	33,0967
11	2,4967	32,0967
12	2,5967	31,0967
13	2,5967	30,0967
14	2,9967	29,0967
15	3,0967	28,0967

Розв'язок

Метод найменших квадратів (1 МНК). В основу методу 1 МНК покладено принцип мінімізації суми квадратів залишків економетричної моделі. Реалізація цього принципу дає змогу дістати систему нормальних рівнянь:

де 15 - кількість спостережень.

- величини, значення яких можна обчислити на основі спостережень над змінними Х і Y , які зручно оформити в такій таблиці: Розв?язавши систему нормальних рівнянь, дістанемо оцінки невідомих параметрів моделі а₀ і а₁, після чого модель набуде вигляду:

15a₀+513,45a₁=38,65

513,45a₀+17763,134a₁=1314,233

a₀=4,173, a₁=-0,047

1.Y_new= а₀ + а₁Х.

2. Залишки моделі

u_i=Y_i-Y_c.

3. Дисперсія залишків і дисперсія залежної змінної обчислюється відповідно за формулами:



де n-кількість спостережень,

m - кількість змінних моделі.

4. Стандартні похибки параметрів моделі:

де значення c_ij беруться з матриці, оберненої до матриці системи:

Порівняємо стандарті похибки оцінок параметрів моделі зі значеннями цих оцінок. Стандартна похибка оцінки параметра становить:

абсолютного значення цієї оцінки (0,047), що свідчить про незміщеність оцінки параметра .

Стандартна похибка оцінки параметра становить:

абсолютного значення цієї оцінки (4,173). Отже параметр може мати зміщення, яке зумовлене невеликою сукупністю спостережень (n = 15).

5. Коефіцієнт детермінації:

Коефіцієнт детермінації RІ = 0,3267 свідчить (визначає) про те, що варіація витрат обігу на 32,67 % визначається вантажообігом .

6. Коефіцієнт кореляції:

Коефіцієнт кореляції R = 0,5716 ? 0,6 показує, що існує зв'язок між цими економічними показниками.

7. Коефіцієнт еластичності:

Э_YX=

Отже, зі збільшенням вантажообігу на 1% витрати обігу зменшуються на 0,6274 %.

№ п/п	Y	X	X2	XY	X-Xc	Y-Yc	(X-Xc)2	(Y-Yc)2	X-Xc)(Y-Yc	Ynew	u=Y-Ynew	u2
1	2,0967	40,0967	1607,7432	84,0696	5,8667	-0,48	34,4178	0,2304	-2,8160	2,2885	-0,1918	0,0368
2	2,3967	39,0967	1528,5499	93,7020	4,8667	-0,18	23,6844	0,0324	-0,8760	2,3355	0,0612	0,0037
3	2,7967	38,0967	1451,3565	106,5440	3,8667	0,22	14,9511	0,0484	0,8507	2,3825	0,4142	0,1716
4	2,2967	37,0967	1376,1632	85,1990	2,8667	-0,28	8,2178	0,0784	-0,8027	2,4295	-0,1328	0,0176
5	2,4967	36,0967	1302,9698	90,1216	1,8667	-0,08	3,4844	0,0064	-0,1493	2,4765	0,0202	0,0004
6	2,3967	35,0967	1231,7765	84,1153	0,8667	-0,18	0,7511	0,0324	-0,1560	2,5235	-0,1268	0,0161
7	2,6967	36,0967	1302,9698	97,3409	1,8667	0,12	3,4844	0,0144	0,2240	2,4765	0,2202	0,0485
8	2,6967	35,0967	1231,7765	94,6443	0,8667	0,12	0,7511	0,0144	0,1040	2,5235	0,1732	0,0300
9	2,0967	33,0967	1095,3898	69,3929	-1,1333	-0,48	1,2844	0,2304	0,5440	2,6175	-0,5208	0,2712
10	2,8967	33,0967	1095,3898	95,8703	-1,1333	0,32	1,2844	0,1024	-0,3627	2,6175	0,2792	0,0780
11	2,4967	32,0967	1030,1965	80,1349	-2,1333	-0,08	4,5511	0,0064	0,1707	2,6645	-0,1678	0,0282
12	2,5967	31,0967	967,0031	80,7479	-3,1333	0,02	9,8178	0,0004	-0,0627	2,7115	-0,1148	0,0132
13	2,5967	30,0967	905,8098	78,1512	-4,1333	0,02	17,0844	0,0004	-0,0827	2,7585	-0,1618	0,0262
14	2,9967	29,0967	846,6164	87,1932	-5,1333	0,42	26,3511	0,1764	-2,1560	2,8055	0,1912	0,0366
15	3,0967	28,0967	789,4231	87,0062	-6,1333	0,52	37,6178	0,2704	-3,1893	2,8525	0,2442	0,0596
Sum	38,6501	513,4501	17763,1340	1314,2334	-	-	187,7333	1,2440	-8,7600	-	-	0,8376
Xcp		34,2300
Ycp	2,5767

№ п/п	Y	X	X2	XY	X-Xc	Y-Yc	(X-Xc)2	(Y-Yc)2	X-Xc)(Y-Yc)	Ynew	u=Y-Ynew	u2	(Y-Yi)/Yin
1	107	97,000	9409	10379	9,3333	2,9167	87,1111	8,507	27,2222	107,1992	-0,1992	0,0397	-0,0019
2	79	79,000	6241	6241	-8,6667	-25,0833	75,1111	629,174	217,3889	101,1900	-22,1900	492,3961	-0,2809
3	114	86,000	7396	9804	-1,6667	9,9167	2,7778	98,340	-16,5278	103,5269	10,4731	109,6853	0,0919
4	107	77,000	5929	8239	-10,6667	2,9167	113,7778	8,507	-31,1111	100,5223	6,4777	41,9605	0,0605
5	107	104,000	10816	11128	16,3333	2,9167	266,7778	8,507	47,6389	109,5362	-2,5362	6,4321	-0,0237
6	107	69,000	4761	7383	-18,6667	2,9167	348,4444	8,507	-54,4444	97,8515	9,1485	83,6943	0,0855
7	100	100,000	10000	10000	12,3333	-4,0833	152,1111	16,674	-50,3611	108,2008	-8,2008	67,2526	-0,0820
8	121	93,000	8649	11253	5,3333	16,9167	28,4444	286,174	90,2222	105,8638	15,1362	229,1032	0,1251
9	107	81,000	6561	8667	-6,6667	2,9167	44,4444	8,507	-19,4444	101,8577	5,1423	26,4433	0,0481
10	107	102,000	10404	10914	14,3333	2,9167	205,4444	8,507	41,8056	108,8685	-1,8685	3,4911	-0,0175
11	86	74,000	5476	6364	-13,6667	-18,0833	186,7778	327,007	247,1389	99,5208	-13,5208	182,8112	-0,1572
12	107	90,000	8100	9630	2,3333	2,9167	5,4444	8,507	6,8056	104,8623	2,1377	4,5697	0,0200
Sum	1249	1052,000	93742	110002	-	-	1516,6667	1416,9167	506,3333	-	-	1247,879	-0,132
Xср		87,667
Yср	104

Завдання №2

У табл. 2. наведені дані по територіях регіону за 199Х рік. Число k розраховується за формулою

k = 100+10і+j=107.

Потрібно:

1). Побудувати поле кореляції.

2) Для характеристики залежності у від х :

a) побудувати лінійне рівняння парної регресії у від х.

b) оцінити тісноту зв'язку за допомогою показників кореляції і коефіцієнта детермінації,

c) оцінити якість лінійного рівняння за допомогою середньої помилки апроксимації,

d) дати оцінку сили зв'язку за допомогою середнього коефіцієнта еластичності і в-коефіцієнта,

e) оцінити статистичну надійність результатів регресійного моделювання за допомогою F-критерія Фішера,

f) оцінити статистичну значимість параметрів регресії і кореляції;

3) обчислити параметри показникової парної регресії . Оцінити статистичну надійність зазначеної моделі за допомогою F-критерію Фішера.

4) обґрунтовано вибрати найкращу модель і обчислити за нею прогнозне значення результату, якщо прогнозне значення фактора збільшиться на 5% від середнього рівня. Визначити довірчий інтервал прогнозу при рівні значущості б=0,05.

Табл. 2

№ регіону	Середній прож. мінімум на 1 день на 1 особу.Х	Середня заробітна плата за день, грнY.
1	97,000	107
2	79,000	79
3	86,000	114
4	77,000	107
5	104,000	107
6	69,000	107
7	100,000	100
8	93,000	121
9	81,000	107
10	102,000	107
11	74,000	86
12	90,000	107

Розв'язок

Метод найменших квадратів (1 МНК). В основу методу 1 МНК покладено принцип мінімізації суми квадратів залишків економетричної моделі. Реалізація цього принципу дає змогу дістати систему нормальних рівнянь:

де 12 - кількість спостережень.

- величини, значення яких можна обчислити на основі спостережень над змінними Х і Y , які зручно оформити в такій таблиці: Розв'язавши систему нормальних рівнянь, дістанемо оцінки невідомих параметрів моделі а₀ і а₁, після чого модель набуде вигляду:

12a₀+1052a₁=1249

1052a₀+93742a₁=110002

a₀=74,8162, a₁=0,3338

1. Y_new= а₀ + а₁Х.

2. Залишки моделі

u_i=Y_i-Y_c.

3. Дисперсія залишків і дисперсія залежної змінної обчислюється відповідно за формулами:

де n-кількість спостережень, m - кількість змінних моделі.

4. Коефіцієнт детермінації:

Коефіцієнт детермінації RІ = 0,119 свідчить (визначає) про те, що варіація заробітної плати на 11,9 % визначається прожитковим мінімумом.

5. Коефіцієнт кореляції:

Коефіцієнт кореляції R = 0,345 показує, що існує середній (не дуже тісний) зв'язок між цими економічними показниками.

6. Середня помилка апроксимації:

7. Коефіцієнт еластичності:

Э_YX=

Отже, зі збільшенням вантажообігу на 1% витрати обігу зменшуються на 0,281 %.

8. Лінійний коефіцієнт парної кореляції:

9. Оцінимо статистичну надійність результатів регресійного моделювання за допомогою F - критерію Фішера. Спочатку обчислимо лінійний коефіцієнт парної кореляції:

=

Знаходимо F - статистику за формулою:

=

По таблиці для критерію Фішера для

k₁=n-m=12-2=10,

k₂=m-1=2-1=1

F_kp=4,9646.

Оскільки

¦Fфакт¦<¦Fкр¦,

то за критерієм Фішера дана модель адекватна експериментальним даним тому нульова гіпотеза (h0) про відсутність зв'язку ознак відхиляється

Будуємо показникову модель парної регресії

a₁=1,054 a₀=1,000 ? a₁=0,002 ? a₀=

R²=0,985 ?y=0,586 F=742,383 K=11,000

Регресійна сума квадратів=254,646 Залишкова сума квадратів=3,773

№	X	Y	Ynew=a0+a1*X	(Y-Ynew)І	(X-Xcp)І	(Y-Ycp)І
1	97	107,000	103,190	14,519	87,111	8,507
2	79	79,000	84,227	27,318	75,111	629,174
3	86	114,000	91,601	501,708	2,778	98,340
4	77	107,000	82,120	619,032	113,778	8,507
5	104	107,000	110,564	12,703	266,778	8,507
6	69	107,000	73,692	1109,448	348,444	8,507
7	100	100,000	106,350	40,325	152,111	16,674
8	93	121,000	98,976	485,071	28,444	286,174
9	81	107,000	86,334	427,098	44,444	8,507
10	102	107,000	108,457	2,123	205,444	8,507
11	74	86,000	78,959	49,574	186,778	327,007
12	90	107,000	95,815	125,101	5,444	8,507
SUM	1052	1249,000	1120	3414,021	1517	1417
ср	88	104,083	93,357	284,502	126,389	118,076

Знаходимо F - статистику за формулою:

 =

По таблиці для критерію Фішера для

k₁=n-m=12-2=10,

k₂=m-1=2-1=1

F_kp=4,9646.

Оскільки

¦Fфакт¦<¦Fкр¦ ,

то за критерієм Фішера дана модель адекватна експериментальним даним тому нульова гіпотеза (h0) про відсутність зв'язку ознак відхиляється

Завдання №3

Нехай на витрати обігу впливають:обсяг вантажообігу (грн.),запаси вантажообігу (грн.) та трудомісткість одиниці вантажообігу (люд-год). Потрібно дослідити на наявність мультиколінеарності . Номер таблиці 7+0=7.

№п/п	Вантажообіг, грн.,X1	Запаси, грн.,Х2	Трудомісткість,грн.,Х3
1	11,7	44,2	2,85
2	18,3	42,4	1,81
3	18,2	38,9	1,88
4	15,6	36,4	2,25
5	17,4	35,2	1,98
6	13,8	45,5	2,48
7	15,0	35,2	2,25
8	18,6	41,6	1,85
9	16,2	42,2	2,15
10	15,7	40,4	2,25

1. Знаходимо нормалізацію змінних:

де i- кількість спостережень (i=1,n);

k- кількість пояснювальних зміних (k=1,m);

X_k- середня арифметична k-ї пояснювальної змінної;

у²_Xk- дисперсія k-ї пояснювальної змінної;

2. Знаходимо кореляційну матрицю:

де X^*- матриця нормалізованих пояснювальних змінних;

X^*'- матриця транспонована до матриці X^*.

3. Визначаємо критерій:

де - визначник кореляційної матриці r.

Фактичне значення X²_крит більше X²_табл, тобто в масиві пояснювальних змінних (Х) присутня мультиколінеарність.

3. Розрахунок F-критеріїв:

де - діагональні елементи матриці оберненої до кореляційної

F_табл=4,7374

Фактичне значення F2крит < Fтабл, тобто відповідна змінна (2) мультиколінеарна з іншими.

4. Знаходимо частинні коефіцієнти кореляції:



де - елементи матриці С, що містяться в k-му рядку і j-му стовпці.

Зв'язок між змінними Х1 та Х3 тісний обернений

5. Розраховуємо t-критеріїв:

t_{табл =2,3646}

Табличне значення t - критерію при n - m = 7 ступенях свободи і рівні значущості б = 0,05 дорівнює 2,3646.

Значення обчислення t - критеріїв за абсолютним значенням менші за табличне для першої та третьої пар. Отже, ці пари незалежних змінних не є мультиколінеарними.

№	Х1	Х2	Х3	(Х1-Х1ср)	(Х1-Х1ср)2	(Х2-Х2ср)	(Х2-Х2ср)2	(Х3-Х3ср)	(Х3-Х3ср)2	Х1*	Х2*	Х3*
1	11,7	44,2	2,85	-4,3500	18,9225	4,0000	16,0000	0,6750	0,4556	-0,6600	0,3635	0,6999
2	18,3	42,4	1,81	2,2500	5,0625	2,2000	4,8400	-0,3650	0,1332	0,3414	0,2000	-0,3785
3	18,2	38,9	1,88	2,1500	4,6225	-1,3000	1,6900	-0,2950	0,0870	0,3262	-0,1182	-0,3059
4	15,6	36,4	2,25	-0,4500	0,2025	-3,8000	14,4400	0,0750	0,0056	-0,0683	-0,3454	0,0778
5	17,4	35,2	1,98	1,3500	1,8225	-5,0000	25,0000	-0,1950	0,0380	0,2048	-0,4544	-0,2022
6	13,8	45,5	2,48	-2,2500	5,0625	5,3000	28,0900	0,3050	0,0930	-0,3414	0,4817	0,3163
7	15	35,2	2,25	-1,0500	1,1025	-5,0000	25,0000	0,0750	0,0056	-0,1593	-0,4544	0,0778
8	18,6	41,6	1,85	2,5500	6,5025	1,4000	1,9600	-0,3250	0,1056	0,3869	0,1272	-0,3370
9	16,2	42,2	2,15	0,1500	0,0225	2,0000	4,0000	-0,0250	0,0006	0,0228	0,1818	-0,0259
10	15,7	40,4	2,25	-0,3500	0,1225	0,2000	0,0400	0,0750	0,0056	-0,0531	0,0182	0,0778
У	160,5000	402,0000	21,7500	0,0000	43,4450	0,0000	121,0600	0,0000	0,9301	0,0000	0,0000	0,0000
Ср	16,05	40,2	2,175