Применение теории катастроф для исследования экономических систем

РЕФЕРАТ

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

• Содержание
• 1. Устойчивость развивающихся экономических систем
• 2. Общие понятия теории катастроф
• 3. Катастрофа «складка»
• 4. Катастрофа «сборка»

1. Устойчивость развивающихся экономических систем

При моделировании развития экономических систем большой интерес представляет изучение их поведения под действием различных внешних возмущений. Такие вопросы рассматривает теория устойчивости.

В классических работах по теории устойчивости анализировались возмущения, возникающие в начальном состоянии системы или на ее внешнем входе. Для современного подхода характерно изучение возмущений в структуре самой системы. Однако в обоих случаях цели изучения - определить, будет ли существенно меняться поведение системы в результате незапланированных изменений в режиме управления. Практическая ценность такого исследования состоит в возможности своевременного предвидения возникающего несоответствия в структуре системы, определение момента попадания в критическую область, что служит сигналом для разработки и внедрения мероприятий, позволяющих воздействовать на объект, не допуская падения роста его эффективности.

Перейдем от общих понятий к строгим количественным определениям устойчивости по Ляпунову.

Для этого рассмотрим основы теории систем, описываемых двумя дифференциальными уравнениями второго порядка. Такая двумерная система может быть представлена в следующем виде:

(2.1.1)

где f₁(Y₁,Y₂) , f₂(Y₁,Y₂) - непрерывные функции, определенные в некоторой области G - евклидовой плоскости и имеющие в этой области непрерывные производные порядка не ниже первого. Переменные (Y₁,Y₂), изменяясь во времени согласно системе уравнений (2.1.1), определяют состояние системы так, что каждому состоянию системы соответствует определенная пара значений неизвестных.

Применительно к системе двух уравнений определение устойчивости выглядит следующим образом. Состояние равновесия устойчиво, если для любой заданной области допустимых отклонений от состояния равновесия ( область ? )? мы можем указать область ????, окружающую это состояние и обладающую тем свойством, что ни одна траектория изображающей точки, начинающейся внутри ?, никогда не достигнет границы области ?.

Исследование свойств устойчивости базируется на топологических методах анализа систем и представлении о ее фазовом портрете. Рассмотрим плоскость с осями координат, на которых отложены значения переменных Y₁,Y₂. Каждая точка К(Y₁,Y₂) на этой плоскости соответствует определенному состоянию системы. Такая плоскость называется фазовой плоскостью, а точка К - изображающей точкой. Совокупность всех точек К(Y₁,Y₂) на фазовой плоскости называется фазовой траекторией.

Фазовая плоскость, разбитая на траектории, дает фазовый портрет системы и позволяет сразу охватить всю совокупность изменений переменных (Y₁,Y₂) при всевозможных начальных условиях. Методы исследования устойчивости позволяют, не решая систему уравнений (2.1.1), а руководствуясь только видом уравнений, построить фазовый портрет системы.

Топологические методы анализа систем, определяемых дифференциальными уравнениями, позволяют получить полное представление о качественном характере решения и определяют ряд количественных данных . В процессе исследования устойчивости поведения систем топологическими методами решения дифференциальных уравнений ищутся не в виде явных функций времени, а как интегральные кривые в фазовом пространстве. Особый интерес для анализа представляют условия равновесия системы в состоянии покоя, соответствующего особой точке на фазовой плоскости.

Рассмотрим классификацию особых точек в зависимости от характера интегральных кривых вблизи этих точек, т.е. в зависимости от вида корней характеристического уравнения системы (2.1.1). Для определения вида особых точек по корням характеристического уравнения системы (2.1.1) введем следующие обозначения:

Z₁ = Y₁ - Y_1(s) ; Z₂ = Y₂ - Y_2(s) ,

где Y_{i(s) -} стационарные значения Y_i. Разложим функции f_i(Y₁,Y₂) в ряд Тейлора в окрестности их стационарных значений:

(2.1.2)

Так как f₁(Y_1(s),Y_2(s))=0; f₂(Y_1(s) ,Y_2(s))=0, то после упрощения уравнений (3) получим

f₁(Y₁,Y₂) = aZ₁ + bZ₂ ,

f₂(Y₁,Y₂) = cZ₁ + dZ₂ . (2.1.3)

, , ,

С учетом (2.1.3) система примет вид:

. (2.1.4)

Сопоставим между собой свойства диссипативных и консервативных систем на основе исследования свойств оператора

(2.1.5)

Известно, что для всякой консервативной системы существует гамильтониан, такой, что система преобразуется к следующему виду:

,

. (2.1.6)

В области линейных приближений (2.1.4) имеем

-т.е. получим, что

a = - d или Sp(tr)L = 0 . (2.1.7)

Таким образом, для консервативных систем след линейного оператора L равен 0, что говорит о симметричности спектра этого оператора, собственные частоты при этом ?_???_??

Известно, что для системы (2.1.4) решение можно искать в виде

Z_i = X_ie^?t ; (2.1.8)

подставляя (2.1.8) в (2.1.4), получим

?X₁e^?t = a X₁e^?t + bX₂e^?t ,

?X₂e^?t = cX₁e^?t + dX₂e^?t . (2.1.9)

Сокращая уравнение (2.1.9) на e^?t ,имеем

?X₁ = a X₁ + bX₂ ,

?X₂ = cX₁ + dX₂ . (2.1.10)

Преобразуем (2.1.10) к виду

(a-?)X₁ + bX₂ = 0 ,

cX₁ + (d-?)X₂ = 0 . (2.1.11)

Условие существования нетривиального решения (2.1.11) приводит к следующему характеристическому уравнению для оператора

L: :

или

??????????????^????(a+d)? +ad ? bc = 0. (2.1.12)

С учетом обозначения: ????Sp(tr)L - след матрицы оператора L; ??- определитель матрицы оператора L характеристическое уравнение имеет вид

?^? ? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????(2.1.13)

Для анализа характера траекторий системы на фазовой плоскости запишем в общем виде решения (2.1.4):

? ₁ = ae^??t? + be^??t ,

?₂ = ce^??t + de^??t . (2.1.14)

Применим к первой части системы (2.1.4) линейное преобразование координат

??????? ₁ ?????₂ ,

? = ??? ₁ ???? ?₂ . (2.1.15)

Тогда система (2.1.4) приводится к виду

,

(2.1.16)

разделив одно уравнение на другое, получим

??????????

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

Интегрируя это уравнение, легко получить

????c₀|?|^b0 , где . (2.1.18)

???????????

Условимся под ?_??понимать больший корень характеристического уравнения.

Если ?_??и ?_? одного знака, то мы имеем дело с интегральными кривыми параболического типа. Все интегральные кривые (кроме оси ?, которой соответствует с₀= ) касаются в начале координат оси ? - также интегральной кривой (2.1.18). Выясним направление движения на фазовой плоскости. Если (?_?, ?_?) - отрицательные, то, как следует из уравнений (2.1.16), ??????????убывают с течением времени. Изображающая точка с течением времени приближается к началу координат.

Рисунок 1. Узел.

Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые подобно тому, как семейство парабол (y=c₀x^b,b<0) проходит через начало координат, называется “узел”. Нетрудно видеть, что состояние равновесия, соответствующее узлу (при ?_?<0,?_?<0), устойчиво по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется к началу координат (устойчивый узел) (рис.2а). Если же ?_?>0, ?_?>0,то |????????возрастают с течением времени, и изображающая точка удаляется из начала координат (неустойчивый узел) (рис.2б).

Рассмотрим случай, когда ?_?и ?_? - действительные, но разных знаков.

В этом случае имеем

???

Рисунок 2. Изображение на фазовой плоскости особых точек: а) устойчивый узел; б) неустойчивый узел

Интегрируя, получим

? = c₀ |?? ^{- b0} ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????(2.1.19)?

Выражение (2.1.19) определяет семейство кривых гиперболического типа, имеющих в качестве асимптот обе оси координат.

Рисунок 3. Изображение особой точки типа “седло”: а) на плоскости канонических координат ; б) на фазовой плоскости

Рассматриваемое семейство интегральных кривых имеет единственную особую точку в начале координат, через которую проходят только две интегральные кривые, являющиеся асимптотами. Такая особая точка называется “особой точкой типа седло” (рис.3).

Исследуем поведение изображающей точки вблизи состояния равновесия. При ?_?>0, ?_?<0 изображающая точка ,помещенная на оси ,будет неограниченно приближаться к началу координат, не достигая его в конечное время. Следовательно, особая точка типа “седло” всегда неустойчива.

Рассмотрим случай, когда ?_?, ?_? - комплексно сопряженные корни характеристического уравнения (2.1.12) и имеют вид

?_?????_?? i ?_???

?_?????_??? i ?_????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

Введя некоторое промежуточное преобразование, можно свести рассмотрение к действительному линейному однородному преобразованию

? = u + iv,

? = u - iv , (2.1.21)

где ?_?, ?_?, u, v - действительные величины. Очевидно, преобразование от (Z₁,Z₂) к (u,v) является действительным, линейным, однородным, с определителем, отличным от нуля.

Сопоставив (2.1.16) и (2.1.21), получим

(2.1.22)

откуда имеем

(2.1.23)

Разделив первое уравнение на второе, получим

 (2.1.24)

Введем полярную систему координат: u = r cos? ,v = r sin? .

Тогда du = dr cos? - sin?d? , dv=dr sin??? cos?d?. После подстановки имеем

(2.1.25)

откуда

r = c₀e ^{????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????}(2.1.26)

Уравнение (2.1.26) определяет на фазовой плоскости семейство логарифмических спиралей с общей асимптотической точкой в начале координат.

Установим характер движения точки по фазовым траекториям. Для этого преобразуем (2.1.23) к виду

(2.1.27)

Получим

где ? =u²+v²

Пусть ?_?<0 (?_?= Re?), тогда изображающая точка непрерывно приближается к началу координат (не достигая его в конечное время).Фазовые траектории соответствуют колебательным, но затухающим движениям, стремящимся к положению равновесия. Особая точка семейства интегральных кривых, имеющих вид спиралей, вложенных друг в друга, называется фокусом. В силу вышесказанного фокус устойчив (рис.4).

Заметим, что в случае устойчивого фокуса выполняется не только условие устойчивости по Ляпунову, но и более жесткое требование. При любых начальных отклонениях по прошествии достаточно длительного времени система вернется как угодно близко к положению равновесия. Такую устойчивость называют абсолютной.

При ?_?>0 (?_?= Re?) имеем неустойчивый фокус.

Рассмотрим случай, когда ?_??обращается в нуль (?_?=0).Тогда ? = u²+v² = const, т.е. фазовыми траекториями на плоскости (u,v) будут концентрические окружности. Если перейти к исходным координатам, то получим

(2.1.28)

Рисунок 5. Изображение особой точки типа “центр” на фазовой плоскости (Y₁, Y₂)

т.е. уравнение (2.1.28) представляет собой уравнение эллипса.

Такая изолированная точка, вблизи которой интегральные кривые представляют собой замкнутые кривые (например, эллипсы), “вложенные” друг в друга и охватывающие особую точку, называется центром (рис.5).

Подведя итог проведенному исследованию, можно отметить, что в зависимости от свойств линейного оператора Z возможны четыре типа состояния равновесия, которые отражены в таблице 1.

Классификация типов особых точек в зависимости от корней характеристического уравнения

Таблица 1

Тип особой точки

Корни характеристического уравнения

Устойчива Неустойчива

1. w₁, w₂ - действительные величины Узел

а) w₁, w₂<--_

б) w₁, w_2-->_--__{----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------}Узел

2. w₁, w_2--- _--действительные величины

а) w₁>_--_, w₂<--_

_{------------------------}б)--w₁<--_, w₂>_--_--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Седло

3. w₁, w_2---_----комплексные величины

а) Rew-->_--_----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Фокус

б) Rew--<--_---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Фокус

4. w₁, w_2----- чисто мнимые величины Центр

Теперь выразим это в строго математической форме. Перепишем характеристическое уравнение (2.1.12) ?^??????????????, где ??= SpL,



В общем виде можно записать выражение для корней характеристического уравнения (2.1.12):

????????

Очевидно, что условием устойчивости будет наличие отрицательной действительной части у корней характеристического уравнения {?_i}. Необходимое и достаточное условие этого - выполнение неравенств

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

Запишем теперь аналитические выражения для различных типов особых точек:

фокус (?_????_??- комплексные величины)

??^??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

центр (?_????_??- чисто мнимые величины)

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

седло (?_????_??- действительные величины разных знаков)

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

Если коэффициенты линейного оператора

зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра будут соответственно меняться ? и???? происходит изменение (деформация) фазового портрета системы.

рис. 6

Плоскость параметров .

На рис.6 изображена бифуркационная (граничная) кривая в плоскости (?,??). Эта кривая описывается следующим соотношением:

????????

По рисунку видно, что в результате бифуркации:

особая точка типа седло может переходить в узел ( как устойчивый, так и неустойчивый);

устойчивый узел может переходить либо в седло, либо в устойчивый фокус;

устойчивый фокус может через центр переходить в неустойчивый фокус и обратно.

Случай равных корней (??^?????????) соответствует границе между узлами и фокусами.

Как видно из проведенного исследования, смысл устойчивости по Ляпунову заключается в том, что если решение начинается на небольшом расстоянии от начала координат, то оно должна быть заключено внутри более широкого канала

Определение асимптотической устойчивости отвечает требованию Y(t) 0 при t , т.е. необходимо, чтобы система, в конечном счете возвращалась бы к точке равновесия. Понятия устойчивости и асимптотической устойчивости независимы, однако оба они подразумевают наличие известной точки равновесия с ее ближайшей окрестностью, представляющей собой особенность типа “центр”.

Говоря об устойчивой точке равновесия, необходимо упомянуть об окружающей ее открытой области, называемой областью притяжения. Такое название связано со свойством устойчивости точки равновесия, как было показано на рис.6.

Особенность классических понятий устойчивости состоит в том, что они относятся к конкретной системе и поведению ее траекторий в окрестности точки равновесия. Современный анализ устойчивости систем часто оперирует понятием “структурная устойчивость” и требует иного, отличного от классического подхода к анализу объекта. Особенность такого подхода - анализ семейства траекторий, “близких” к стандартной системе.

Концепция структурной устойчивости тесно связана с теорией бифуркаций и ее современной разновидностью - теорией катастроф.

2.2 Общие понятия теории катастроф

В процессе самоорганизации технико-экономических систем возникают диссипативные структуры. Моделями диссипативных структур в фазовом пространстве служат аттракторы. В процессе самоорганизации возможен случай, когда система перескакивает от одного аттрактора к другому (эти резкие переходы иногда называют сменами фаз). Этим свойством обладают так называемые градиентные динамические системы, т. е. такие системы, движение которых в фазовой плоскости может быть представлено уравнением

Y= - grad. V(Y;U) (2.2.1)

где У - вектор траектории движения системы; Р - вектор управляющих параметров (например,???????? - для технико-экономической системы).

Будем считать, что по сравнению с изменением параметров 0 точка в фазовой плоскости гораздо быстрее достигает минимума и останавливается там (быстрое движение).

Подобное математическое описание скачкообразных изменений поведения системы в фазовой плоскости и дает элементарная теория катастроф.

Впервые термин “теория катастроф” был введен французским топологом Р. Томом для математического описания явлений, связанных с резкими скачками и качественными изменениями картины изучаемого процесса. Значение исследований Р. Тома состоит в том, что он соединил с теорией бифуркаций идеи Уитни об особенностях гладких отображений. Это открыло возможности системного применения развитой теории катастроф к широчайшему кругу прикладных исследований в физике, экономике, экологии и т. д.

Долгое время считалось, что теория катастроф способна лишь качественно отражать явления. Но часто и количественные методы дают ответ на вопросы чисто качественного характера, например, обрушится ли мост или упадет ли на Землю вращающийся вокруг нее спутник. И лишь выход в свет книги Т. Постона и М. Стюарта “Теория катастроф и ее приложения” развеял мнение о чисто качественном характере теории катастроф.

Как отмечалось Р. Томом, программа создания теории катастроф базируется на формировании структурно устойчивых эволюционирующих во времени динамических систем, переходящих одна в другую. Эти переходы Том назвал катастрофами, а их последовательность во времени - морфологией процесса. Развитие этой программы было сопряжено с рядом трудностей математического характера, а именно с описанием поведения странных аттракторов, аттракторов существенно хаотической природы. В настоящее время программа Тома, названная элементарной теорией катастроф, полностью выполнена и нашла применение в исследованиях широкого класса динамических градиентных систем.

Кратко изложим ее основные моменты. На некотором многообразии (чаще всего это n-мерное евклидово пространство Rⁿ) рассматривается динамическая система, поведение которой описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенной относительно производных, правые части которой зависят от параметров

Y = f(Y ; U) , (2.2.2)

где Y=(Y₁, Y₂,...,Y_n)?Rⁿ, U = (U₁, U₂,...,U_n)?Rⁿ и f - гладкая функция.

Такая система стремится к единственному предельному состоянию (в некоторых случаях существует несколько таких предельных точек), которым может быть замкнутая траектория, некоторая поверхность, а также некоторое многообразие. Связное множество таких предельных точек системы дифференциальных уравнений называют центром притяжения. Множество траекторий поля, притягивающихся к некоторому центру притяжения, образует в пространстве область действия ( “бассейн”) центра притяжения.

Если в системе имеется несколько пересекающихся центров притяжения (несколько локальных минимумов функции V), то между ними возникает конкуренция. Система остается в состоянии равновесия, соответствующего данному локальному минимуму до тех пор, пока этот минимум не исчезнет. В этом случае система скачком переходит в другое состояние равновесия, соответствующее другому локальному минимуму .

Области действия, отвечающие разным центрам притяжения, отделяются гиперповерхностям и тока гребня, регулярно расположенными в пространстве. Считаем, что точки равновесия системы совпадают с критическими точками функции f_c , т.е. точками, в которых частные производные обращаются в нуль.

В процессе изменения U изменится как сама система, так и ее интегральные кривые в фазовом пространстве Rⁿ . Важно для каждого значения параметра отметить в фазовой плоскости точки минимума функции (9). Главное - проследить за характером изменения стационарных особых точек (минимумы, максимумы, седла и вырожденные особые точки) при изменении параметров. Особые точки, непрерывно меняясь во времени, могут исчезать и появляться, как правило, парами.

Рассмотрим соответствующие изменения нашей динамической системы на бифуркационной диаграмме в области OU.

Как уже отмечалось, рассматривается градиентная динамическая система (2.2.2), движение которой совершается в фазовой плоскости по градиентным линиям некоторой функции V к минимуму. Предполагается, что скорость этого движения выше скорости изменения параметра. В силу этого предположения процесс перехода от одного состояния равновесия системы к другому устойчивому состоянию при плавном изменении параметра протекает практически мгновенно; поэтому в теории катастроф принято считать, что система всегда находится в состоянии равновесия, соответствующем точке минимума функции V_u при изменяющемся параметре U.

Точки бифуркационной диаграммы, вблизи которых стационарные точки функции V меняются непрерывно, но число их не меняется, образуют в пространстве параметров ряд областей - ”фаз”, а поверхность, разделяющая две такие области, состоит из точек, где при перемещении параметра от одной области к другой исчезает или возникает одна пара стационарных точек функции, сливающихся при этом над самой поверхностью. Точки, в которых происходит слияние большего числа стационарных точек, образуют множество меньшей размерности, по которому сливаются разделяющие гиперповерхности. Следует подчеркнуть, что над каждой областью бифуркационной диаграммы лежит определенное число стационарных точек, которые при изменении параметра В описывают соответствующее число листов поверхности, пара из которых склеивается над каждой граничной поверхностью области, а остальные переходят через нее в листы такой же поверхности над соседней ячейкой (возможен также случай, когда все листы переходят через границу и появляются два новых). Множество К параметров U, при которых происходит смена фаз, называется множеством катастроф.

Множеству катастроф К принадлежат такие точки U?R², для которых в некоторой точке Y выполнено условие

(2.2.3)

при i = 1, ..., n и

.

Совокупность катастрофических точек процесса (множество К) определяет морфологию процесса. На первый взгляд кажется практически невозможным определение положения гребней (ударных волн), разделяющих сферы действия различных центров притяжения. Однако если необходимо определить лишь качественную (топологическую) структуру разграничивающих поверхностей, то проблема решается с помощью правила Максвелла (система находится в положении равновесия, отвечающем наименьшему из локальных минимумов). В этом случае можно показать, что разграничивающие поверхности образованы лишь небольшим числом устойчивых сингулярностей (особенностей), всегда одних и тех же.

Полный список таких сингулярностей (или “элементарных катастроф”) был составлен Р. Томом (табл. 1).

Таким образом, изучение динамических систем градиентного типа сведено к классификации семейств гладких функций V?Rⁿ R^r R. Такие семейства классифицируются с точностью до эквивалентности, определяемой следующим образом: r-параметрические семейства V и W эквивалентны в случаях:

1) диффеоморфизма ? : R^r R;

2) гладкого отображения f: Rⁿ*R^h Rⁿ такого, что при каждом U?Rⁿ отображение f_U является диффеоморфизмом;

3) гладкого отображения ?: R^r R, такого, что

W(Y,U) = V(f_U(Y), ?(Y)) + ?(U).

Семейство V называется структурно устойчивым, если для любого малого возмущения W выполняется соотношение V~ V + W.

Таблица 2

Число Каноническая форма Название особенности параметров

₃ Складка - разрушение центра притяже-

1 Y₁ + UY₁ ния и поглощение его центром притя-

жения с меньшим потенциалом

₂

₄ Y₁

2 (Y₁+U₁---- +U₂Y₁) Сборка - разделение центра притяжения

2 на два отдельных центра

_{5 3 2} Ласточкин хвост-поверхность “фронта

3 Y+U₁Y+U₂Y+U₃Y фронта волны образует борозду, дном

которой служит ударная волна

_{6 4 3 2} Бабочка-возникает в результате отслое-

4 (Y+U₁Y+U₂Y+U₃Y+U₄Y) ния,”вздутия” ударной волны вдоль гра-

ницы

_{2 3 2} Гиперболическая “омбилическая точ-

3 Y₁Y₂+Y₂+U₁Y₁+U₂Y₁+U₃Y₂ ка”-представляет собой гребень распа-

дающейся волны

_{2 3 2} Эллиптическая “омбилическая точ-

3 Y₁Y₂-Y₂+U₁Y₁+U₂Y₁+U₃Y₂ ка”-представляет собой кончик шипа

типа заостренной пирамиды с треуголь-

_{2 4 2 2} ным основанием

4 (Y₁Y₂+Y₂+U₁Y₁+U₂Y₂+U₃Y₁+U₄Y₂) Параболическая “омбилическая точ-

ка” - структура, переходная между ги-

перболическим и эллиптическим типом,

форму гриба, образуемого разбиваю-

щейся струей

B классификационной теореме Тома, иногда называемой основным результатом теории катастроф, показано, что при r < 4 в типичном случае семейство V структурно устойчиво и эквивалентно одному из семейств в таблице 1.

Основные приложения теории катастроф в науке и технике представляют собой катастрофы типа “сборка” и “складка”.

2.3 Катастрофа «складка»

Катастрофа складка зависит от одного управляющего параметра U₁ и задаётся однопараметрическим семейством функций следующего вида:

. (2.3.1)

При U₁ < 0 V(Y; U₁) имеет две критические точки, при U₁ = 0 критические точки отсутствуют. Бифуркационное множество складки состоит из единственной точки Y = 0. Местонахождение критических точек определяется решением уравнения :

V_Y = Y ² + U₁ = 0. (2.3.2)

Критическое многообразие, определяемое (2.3.2), представлено на рисунке 1.

В критических точках функция V(Y; U₁) принимает следующие значения:

для

для

Рисунок.1

2.4 Катастрофа «сборка»

Катастрофа «сборка» зависит от двух управляющих параметров и задаётся следующим семейством функций:

V(Y; U₁;U₂) = 1/4Y⁴ + 1/2U₁Y² + U₂Y. (2.4.1)

График этой функции представлен на рисунке 1. Внутри области, имеющей форму сборки, V(Y; U₁;U₂) имеет три изолированные критические точки, а вне этой области всего одну; на границе функция данного семейства имеет изолированную критическую точку и дважды вырожденную критическую точку; начало координат - трижды вырожденная критическая точка катастрофы «сборка».

Поведение катастрофы “ сборка ” при различных значениях управляющих параметров.

Критические, дважды вырожденные и трижды вфрожденные критические точки катастрофы “ сборка ” определяются приравниванием соответственно первой, второй и третьей производной функции V(Y;U₁,U₂) нулю:

Y³+U₁Y+U₂=0, (2.4.2)

3Y²+U₁=0, (2.4.3)

6Y=0. (2.4.4)

Условие (2.4.2) выполняется в критических точках; условия (2.4.2), (2.4.3) в дважды вырожденных критических точках, а все три условия (2.4.2 ) - (2.4.4) в трижды вырожденных критических точках.

Так как точки пространства управляющих параметров, которые параметрируют функции с дважды вырожденными критическими точками, определяются из уравнений (2.4.2),(2.4.3), то, выражая из (2.4.4) значение U₁, получим U₁=-3Y² и, подставляя это выражение в (2.4.3) вместо Y, получим соотношение

. (2.4.5)

Оно определяет параметрическое представление связи между U₁ и U₂ .

Таким образом, уравнение (2.4.2) определяет множество критических точек. Слияние двух критических точек происходит при выполнении (2.4.3). Проекция этого множества на плоскость параметров дает множество катастроф K; его уравнение представлено полукубической параболой (2.4.5). Бифуркационная диаграмма катастрофы “ складка ” представляет собой кривую с точкой возврата в нуле.

Рассмотрим бифуркационную диаграмму, а точнее два возможных пути от А к В. При медленном перемещении по верхнему пути от А к В ничего не произойдет. При перемещении по нижнему пути в точке Д от А стороне “ клюва” произойдет скачок с одного листа на другой. Над областью внутри “клюва” лежат три листа, которые парами исчезают при переходе во внешнюю область, над которой лежит один лист.

Если же вернуться от В к А по нижнему пути, то скачок произойдет в точке С, на ближней к А стороне.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнольд В.И. «Теория катастроф» М.: Наука, 1990.

2. Алексеев Ю.К. «Введение в теорию катастроф» М.: МГУ, 2000

3. Кучин В. А., Якушев Н.Е. «Управление развитием экономических систем» М.: Наука, 1990

4. «Интеллектуальное управление динамическими системами» под ред. Васильева В.В., М.: Физмат, 2000.

5. А.П.Кузнецов Колебания, катастрофы, бифуркации, хаос. - Издательство ГосУНЦ «Колледж», Саратов 2000. - 87 с.

6. Быстрай Г. П. «Аналитическая макроэкономика. Динамика неравновесных макроэкономических процессов»:. Свердловск, 2000.