Построение модели экономического роста

Содержание

1. Основные модели экономического роста

2. Математическая модель экономического роста

3. Численный пример

3.1 Постановка задачи

3.2 Решение

3.3 Анализ

Список литературы

1. Основные модели экономического роста

Основные современные модели экономического роста, как и любые модели, представляют собой абстрактное, упрощенное выражение реального экономического процесса в форме уравнений или графиков. Целый ряд допущений, предваряющих каждую модель, уже изначально отодвигает результат от реальных процессов, но, тем не менее, дает возможность проанализировать отдельные стороны и закономерности такого сложного явления как экономический рост.

Большинство моделей роста исходят из того, что увеличение реального объема выпуска происходит, прежде всего, под влиянием роста основных факторов производства труда (L) и капитала (К). Фактор “труд” обычно слабо поддается воздействию извне, тогда как величина капитала может быть скорректирована определенной инвестиционной политикой. Как известно, запас капитала в экономике со временем сокращается на величину выбытия (амортизации) и увеличивается за счет роста чистых инвестиций. Вполне очевидно, что экономический рост ценен не сам по себе, а в качестве основы повышения благосостояния населения, поэтому качественная оценка роста часто дается через оценку динамики потребления.

Кейнсианские модели роста используют в основном тот же логический инструментарий, что и кейнсианские модели долгосрочного равновесия. Но теперь анализ со стороны спроса необходимо соединить с факторами, определяющими динамику предложения, и выяснить условия динамического равновесия спроса и предложения в экономике. Стратегической переменной, с помощью которой можно управлять экономическим ростом являются инвестиции.

Модель Е.Домара. Наиболее простой кейнсианской моделью является модель Е.Домара, предложенная в конце 40-х годов. Технология производства представлена в ней производственной функций Леонтьева с постоянной предельной производительностью капитала (при условии, что труд не является дефицитным ресурсом). Модель Домара исходит из того, что на рынке труда существует избыточное предложение, что обуславливает постоянство уровня цен. Выбытие капитала отсутствует, отношение K/Y и норма сбережений - постоянны. Выпуск зависит фактически от одного ресурса- капитала.

Фактором увеличения спроса и предложения в экономике служит прирост инвестиций, если в данном периоде инвестиции выросли на ?I, то, в соответствие с эффектом мультипликатора, совокупный спрос возрастет на

Где m- мультипликатор расходов,

b- предельная склонность к потреблению

s- предельная склонность к сбережению

Увеличение совокупного предложения составит,

где ? - предельная производительность капитала (по условию - постоянна). Прирост ?K капитала обеспечивается соответствующим объемом инвестиций I, потому можно записать:

Равновесный экономический рост будет достигнут при условии равенства спроса и предложения ??/s = ?I или ?I/I = ?s, т.е. темп прироста инвестиций должен быть равен произведению предельной производительности капитала и предельной склонности к сбережению. Величина задается технологией производства и, в соответствии с принятыми предпосылками, постоянна, а значит увеличить темпы прироста инвестиций может лишь рост нормы сбережений s (но для рассматриваемого периода она берется постоянной).

Поскольку в условиях равновесия инвестиции равны сбережениям, I=S, a S=sY при s=const, уровень дохода является величиной пропорциональной уровню инвестиций, и тогда

Таким образом, согласно теории Домара, существует равновесный тип прироста реального дохода в экономике, при котором полностью используются имеющиеся производственные мощности. Он прямо пропорционален норме сбережений и предельной производительности капитала, или приростной капиталоотдаче (?Y/?K). Инвестиции доход растут с постоянным одинаковым во времени темпом.

Такое динамическое равновесие может оказаться неустойчивым, как только темп роста плановых инвестиций частного сектора отклоняется от уровня, заданного моделью.

Модель Е. Домара не претендовала на роль теории роста. Это была попытка расширить условия краткосрочного кейнсианского равновесия на более длительный период и выяснить, какими будут эти условия для развивающейся системы.

Модель Харрода. Харрод построил специальную модель экономического роста (1939г.), включив в нее эндогеннннуюфункцию инвестиций (в отличие от экзогенно заданных инвестиций у Домара) на основе принципа акселератора и ожиданий предпринимателей.

Согласно принципу акселератора, любой рост (сокращение) дохода вызывает рост (сокращение) капиталовложений, пропорциональный изменению дохода:

Где v - акселератор.

Предприниматели планируют объем собственного производства, исходя из сложившейся ситуации в предшествующий период: если их прошлые прогнозы относительно спроса оказались верными и спрос полностью уравновесил предложение, то в данном периоде предприниматели оставят темпы роста объема выпуска неизменными; если спрос в экономике был выше предложения, они увеличат темпы расширения производства; если предложение превышало спрос в предшествующем периоде, они снизят темпы роста.

Формализовать это можно следующим образом:

Где а=1, если спрос в предшествующем периоде (t-1) был равен предложению; а>1, если спрос превысил предложение и а<1,если спрос был ниже предложения, Отсюда получим объем предложения в экономике:

Для определения совокупного спроса используется модель акселератора (а также условие равенства I=S):

Равновесный экономический рост предлагает равенство совокупного спроса и предложения:



После небольшого преобразования получим:

Предположим, что в предшествующем периоде спрос был равен предложению, т.е. а=1. Тогда, в соответствии с принятыми условиями поведения, предприниматели и в текущем периоде сохранят темпы роста производства такими же, как и предшествующем периоде, т.е.

Тогда предыдущее выражение можно представить следующим образом:

Отсюда равновесный темп прироста объема выпуска составит:

Харрод назвал выражение “гарантированным” темпом роста: поддерживая его, предприниматели будут полностью удовлетворенны своими решениями, поскольку спрос будет равен предложению и их ожидания будут сбываться. Такой темп роста обеспечивает полное использование производственных мощностей (капитала), но полная занятость при этом не всегда достигается.

Анализ соотношений между гарантированным и фактическим темпами роста позволил сделать следующий вывод: если фактически запланированный предпринимателями темп роста предложения отличается от гарантированного темпа роста (превышает или не достигает его), то система постепенно отдаляется от состояния равновесия .

Помимо гарантированного темпа роста Харрод вводит понятие “естественного” темпа роста. Это максимальный темп допускаемый ростом активного населения и техническим прогрессом. При таком темпе достигается полная занятость факторов - труда и капитала. Если гарантированный темп роста, удовлетворяющий предпринимателей, выше естественного, то вследствие недостатка трудовых ресурсов фактический темп окажется ниже гарантированного: производители будут разочаровываться в своих ожиданиях, снизят объем выпуска и инвестиции, в результате чего система будет находиться в состоянии депрессии.

Если гарантированный темп роста ниже естественного, то фактический темп может превысить гарантированный, поскольку существующий избыток трудовых ресурсов дает возможность увеличить инвестиции. Экономическая система будет переживать бум. Фактический темп роста может быть также равен гарантированному и тогда экономика будет развиваться в условиях динамического равновесия, вполне удовлетворяющих предпринимателей, но при наличии вынужденной безработицы. Идеальное развитие экономической системы достигается при равенстве гарантированного, естественного и фактического темпов роста в условиях полной занятости ресурсов.

Но поскольку всякое отклонение инвестиций от условий гарантированного темпа как известно выводит систему из равновесия и сопровождается все более увеличивающимся расхождением между спросом и предложением, динамическое равновесие в модели Харрода также оказываются неустойчивым.

Часто обе модели объединяют в одну модель Харрода - Домара. Обе модели приводят к выводу, что при данных технических условиях производства темп экономического роста определяется величиной предельной склонности к сбережению, а динамическое равновесие может существовать в условиях не полной занятости.

Ограниченность данных моделей заданно уже предпосылками их анализа. Например, используемая в них производственная функция Леонтьева характеризуется отсутствием и взаимозаменяемости факторов производства - труда и капитала, что в современных условиях не всегда соответствует действительности.

Модели Харрода и Домара неплохо описывали реальные процессы экономического роста 1920 - 1950 гг., но для более поздних наблюдений (1950 - 1970 гг.) наиболее успешно использовалась неоклассическая модель Р. Солоу Рыночная экономика. Учебник. Том 1, часть 1. - М., 1992. - С. 57-59.

Математическая модель экономического роста

Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление (конечный продукт), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. - М., 1997. - С. 170.

Обозначим через x_i валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через y_i - конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление (средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д.).

Таким образом, разность x_i - y_i составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

Обозначим через x_ik часть продукции i-й отрасли, которая потребляет.

Очевидно, эти величины связаны следующими балансовыми равенствами :

х₁ - (х₁₁ + х₁₂ + + х_1n) = у₁

х₂ - (х₂₁ + х₂₂ + … + х_2n) = у₂ (1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x_n - (x_n1 + x_n2 + … + x_nn) = y_n

Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихом (х'_ik , y'_i и т.д.) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха - аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства (1) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будем называть совокупность значений y₁ , y₂ , … , y_n , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором:

у = (у₁ , у₂ , … , y_n) , (2)

а совокупность значений x₁ , x₂ , … , x_n ,определяющих валовый выпуск всех отраслей вектор-планом : x = (x₁ , x₂ , … , x_n). (3)

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами (1). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных х_k , содержат n----² неизвестных x_ik , которые в свою очередь зависят от x_k.

Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины a_ik из соотношений :

 x_ik

a_ik = --- (i , k = 1 , 2 , … , n).

x_k

Величины a_ik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты a_ik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

x'_ik x_ik

--- = --- = a_ik = const (4)

x'_k x_k

Исходя из этого предложения имеем

x_ik = a_ikx_k , (5)

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска x_k. Поэтому равенство (5) называют условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат a_ik по формуле (4), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу

 a₁₁ a₁₂ … a_1k … a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2k … a_2n

A= ………………….

a_i1 a_i2 … a_ik … a_in

a_n1 a_n2 … a_nk … a_nn

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы a_ik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением.

Подставляя значения x_ik = a_ik = x_k во все уравнения системы (1), получим линейную балансовую модель :

x₁ - (a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n) = y₁

x₂ - (a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n) = y₂ (6)

…………………………………

x_n - (a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n) = y_n ,

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции.

Уравнения (6) содержат 2n переменных (x_i и y_i). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы (6) найти остальные n - переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = (y₁ , y₂ , … , y_n) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = (х₁ , х₂ , … х_n).

Из равенства вытекает следующее:

Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х₁=S_1k, во 2-й х₂=S_2k и т.д., в i-й отрасли выпустить x_i=S_ik и, наконец, в n-й отрасли выпустить x_n=S_nk единиц продукции.

Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта, то величины S_1k, S_2k, …, S_ik, …, S_nk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a_1k, a_2k, …, a_ik, …, a_nk на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве a_ik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли (a_1k), 2-й отрасли (a_2k) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли (a_i1, a_i2, … и т.д.)

Динамическая модель межотраслевого баланса

Производящие отрасли

межотраслевые потоки текущих затрат

Прирост фондов

Конечный продукт

Вся продук- ция

1k

2k

3k

…

n

1

2

3

…

n

1i

х11

х12

х13

…

х1n

ДФ11

ДФ12

ДФ13

…

ДФ1n

z1

Х1

2i

x21

x22

x23

…

х2n

ДФ21

ДФ22

ДФ23

…

ДФ2n

z2

Х2

3i

x31

x32

x33

…

х3n

ДФ31

ДФ32

ДФ33

…

ДФ3n

z3

Х3

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

n

xn1

xn2

xn3

…

хnn

ДФn1

ДФn2

ДФn3

…

ДФnn

zn

Хn

Матрица текущих затрат x_ik совпадает с соответствующей матрицей статического баланса.

Элементы матрицы межотраслевых потоков производственных капиталовложений ДФik показывают количество продукции i-й отрасли, направляемое в текущем периоде в k-ю отрасль в качестве производственных капиталовложений. Материально это выражается приростом в потребляющих отраслях запасов сырья и материалов, увеличением производственного оборудования, сооружений, площадей и т. д.

В статическом балансе потоки вложений не дифференцируются по отрслям-потребителям, а отражаются общей величиной в составе конечной продукции. В динамической схеме конечный продукт zi включает продукцию i-й отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление непроизводственной сферы, в прирост незавершенного строительства, на экспорт.

Сумма потоков производственных капиталовложений и конечного продукта динамической модели равна конечной продукции статического баланса, т.е.

Таким образом, уравнение распределения продукции вида преобразуется в динамическом балансе в следующее уравнение:

Потоки текущих затрат, как и в статической модели, выразим через валовую продукцию отраслей с помощью коэффициентов прямых материальных затрат: хik = aikXk

Если потоки текущих затрат связаны со всей величиной выпуска продукции, то потоки вложений обусловливают прирост продукции. Если это период t, то прирост продукции ДХk равен разнице абсолютных уровней производства в период t и в предшествующий (t-1)-й период, а именно:



Полагая, что прирост продукции пропорционален приросту фондов, можно записать: ДФik = bikДXk , (9)

где bik - коэфициенты пропорциональности, равные отношению прироста фондов к приросту продукции:

bik =

Таким образом, коэффициенты пропорциональности bik показывают, сколько продукции i-й отрасли должно быть вложено в k-ю отрасль в целях увеличения ее производственной мощности для расширения выпуска на единицу продукции, т. е., иными словами. Характерзуют фондоемкость единицы прироста выпуска продукции k- й отрасли.

Коэффициенты пропорциональности bik называют коэффициентами вложений.

С помощью коэффициентов текущих затрат и коэффициентов вложений уравнение (8) можно представить в следующем виде:

Система (10) представляет собой систему так называемых линейных разностных уравнений первого порядка. Ее можно привести к обычной системе линейных уравнений, если исходить из того, что все объемы производства и конечная продукция относятся к некоторому периоду t, а прирост продукции определен в сравнении с периодом (t-1). Тогда имеем:

Отсюда следует:

Предположим, что нам известны уровни производства всех отраслей в предыдущем периоде и конечный продукт t-го периода. Тогда очевидно, что выражение (11) представляет собой обычную систему n линейных уравнений с n неизвестными. В рассмотренной динамической модели межотраслевого баланса предполагается, что прирост продукции текущего периода обусловлен вложениями, произведенными в этом же периоде.

2. Численный пример

2.1 Постановка задачи

Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из трех взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление, а частично используется в качесте производственных капиталовложений в основные или оборотные фонды. На основании имеющихся данных определить экономический рост в каждой отрасли за счет вложений.

Производящие отрасли	межотраслевые потоки текущих затрат	Прирост фондов	Конечный продукт (Y) статич. баланс	Конечный продукт (Z)	Вся продук- ция
	1.Промыш-ть	2.Сельское хозяйство	3.Прочие	1.Промыш-ть	2.Сельское хозяйство	3.Прочие
1.Промышленность	30.6	10.3	5.3	6.3	10.1	8.6	56	31	102.2
2.Сельское хозяйство	15.3	4.9	0.8	3.5	2.3	3.2	20	11	41
3. Прочие	10.2	2.1	2.1	1.9	2.7	2.4	12	5	26.4
Чистая продукция	46.1	23.7	18.2	-	-	-	-	-	-
Вся продукция	102.2	41	26.4	-	-	-	-	-	169.6

0.30 0.25 0.20 0.4 0.2 0.1

аik = 0.15 0.12 0.03 ; bik = 0.3 0.1 0.5 ; ДХk = 10 .

0.10 0.05 0.08 0.6 0.3 0.4

2.2 Решение

1. Находим прирост продукции.

ДФ11 = 0.4х10=4; ДФ12 = 0.2х10=2; ДФ13 = 0.1х10=1

ДФ21 = 0.3х10=3; ДФ22 = 0.1х10=1; ДФ23 = 0.5х10=5

ДФ31 = 0.6х10=6; ДФ32 = 0.3х10=3; ДФ33 = 0.4х10=4

2. Найдем валовый выпуск всех отраслей.

Х1= (0.30+0.25+0.2)102.2 + (4+2+1) +56 = 139.6

Х2= (0.15+0.12+0.03)41 + (3+1+5) +20 =41.3

Х3= (0.10+0.05+0.08)12 + (6+3+4) +12 =27.76

Производящие отрасли	межотраслевые потоки текущих затрат	Прирост фондов	Конечный продукт (Y) статич. баланс	Конечный продукт (Z)	Вся продук- ция
	1.Промыш-ть	2.Сельское хозяйство	3.Прочие	1.Промыш-ть	2.Сельское хозяйство	3.Прочие
1.Промышленность	30.6	10.3	5.3	4	2	1	93.4	86	139.6
2.Сельское хозяйство	15.3	4.9	0.8	3	1	5	20.3	11.3	41.3
3. Прочие	10.2	2.1	2.1	6	3	4	13.36	0.36	27.76
Чистая продукция	46.1	23.7	18.2	-	-	-	-	-	-
Вся продукция	139.6	41.3	27.76	-	-	-	-	-	208.6

2.3 Анализ

Решение динамической системы уравнений позволяет определить выпуск продукции в последующем периоде в зависимости от уровня, достигнутого в предыдущем периоде. Связь между периодами устанавливается именно через коэффициенты вложений, характеризующих фондоемкость единицы прироста.

Список литературы

1. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. - М., 1997.

2. Макроэкономика. Учебное пособие. М.К.Бункина, В.А.Семенов. - М., 1996.

3. Рыночная экономика. Учебник. Том 1, часть 1. - М., 1992.

4. Терехов Л.Л. Экономико-математические методы. М.,1968.