Численное интегрирование дифференциальных уравнений

Содержание

Введение

1. Численное интегрирование дифференциальных уравнений

1.1 Метод Эйлера

1.2 Метод Рунге-Кутта

1.3 Метод Адамса

2. Приближенное решение уравнений

2.1 Метод хорд

2.2 Метод касательных (метод Ньютона)

2.3 Комбинированный метод хорд и касательных

3. Численное интегрирование по методу Симпсона

3.1 Численные методы интегрирования

3.2 Вывод формулы Симпсона

3.3 Геометрическая иллюстрация

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Возможность постановки вычислительного эксперимента на ЭВМ приводит к существенному ускорению процессов математизации науки и техники, к постоянному расширению области приложения современных разделов математики. Количественные методы внедряются практически во все сферы человеческой деятельности, что приводит к расширению круга профессий, для которых математическая грамотность становится необходимой. Однако, развитие науки и техники, современная технология производства ставят перед специалистами задачи, для которых либо не возможно, либо крайне громоздко и сложно получение алгоритма классическими методами математического анализа. Отсюда стремление использовать различные численные методы, разрабатываемые вычислительной математикой и позволяющие получить конечный числовой результат с приемлемой для практических целей точностью.

Численный метод решения задачи - это определенная последовательность операций над числами, т.е. вычислительный алгоритм, языком которого являются числа и арифметические действия. Такая примитивность языка позволяет реализовать численные методы на ЭВМ, что делает их мощными и универсальными инструментами исследования. Численные методы используются в тех случаях, когда не удается найти точное решение возникающей математической задачи. Это происходит главным образом, потому, что искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементах или других известных функциях. Даже для достаточно простых математических моделей иногда не удается получить результат решения в аналитической форме. В таких случаях основным инструментом решения многих математических задач выступают численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами, при этом результаты получаются также в виде числовых значений.

Многие численные методы разработаны давно, однако при ручных вычислениях они могли использоваться лишь для решения узкого круга не слишком сложных задач, и только с появлением высоко производительных ЭВМ начался период бурного развития методов вычислительной математики и их внедрения в практику. Численные методы приобрели важнейшее значение как мощное математическое средство решения практических задач в различных областях науки и техники.

В этом нам видится актуальность выбранной темы работы.

Целью исследования в работе является изучение Численных методов.

Исходя из цели в работе, постановлены следующие задачи:

- показать различные решения численными методами;

- проанализировать приближенное решение уравнений;

- проанализировать численное интегрирование по методу Симпсона;

- рассмотреть численное интегрирование дифференциальных уравнений.

1. Численное интегрирование дифференциальных уравнений

1.1 Метод Эйлера

На отрезке [x0;b] требуется найти приближенное решение

для уравнения,

удовлетворяющее начальному условию

при

или

Значение

где i=(0,1,2,…,n). Отыскиваются в некоторых точках

,

принадлежащих отрезку [x0;b] которые называются узлами интегрирования. Для этого отрезок [x0;b] разбивается на n частей, т.е.

называется шагом интегрирования. это приращение аргумента.

.

Приращение искомого приближенного решения

и приращение аргумента на каждом шаге интегрирования в численных методах называются конечностными разностями, а их отношения разностными отношением

.

По определению производной функции

в точке



имеем

.

Используя бесконечно малые величины можно выразить

,

где - бесконечно малая величина.

Метод Эйлера интегрирование дифференциального уравнения

основан на приближенной замене производной искомого решения

в узлах интегрирования

или их разностными отношениями

.

Тогда отбрасывая в равенстве, содержащем бесконечно малую функцию получим,

.

Тогда для узловых точек согласно уравнению

получим

Учитывая, геометрический смысл дифференциального уравнения

с точностью до бесконечно малой функции получим

,

выразим

,

обозначив через - направление, указывающее направление поля в точке получим

.

Последнее равенство дает возможность найти приближенное значение решения

дифференциального уравнения

в узле с номером по известному значению этого решения в предыдущем узле. Таким образом подставляя вместо последовательно число от 0 до определяются приближенные значения частного решения уравнения

во всех узлах отрезка интегрирования [x0;b]. При применении метода Эйлера абсолютная ошибка на каждом шаге интегрирования равная модулю разности точного и приближенного значения решений уравнения

пропорционально квадрату шага

.

Метод Эйлера имеет геометрический смысл в том, что интегральная кривая, проходящая, через точку приближенно заменяется кривой названной кривой Эйлера, каждое звено которой совпадает с направлением поля в точке

Пример. На отрезке [0;0,5] с шагом h=0,1 применяя метод Эйлера проинтегрировать уравнение

с начальными условиями при .

Расчет приближенных значений решения заданного дифференциального уравнения в точках узлах интегрирования выполняется в таблице применяя, метод Эйлера по формуле:

.

Первый столбец таблицы содержит номера узлов интегрирования. Второй столбец содержит значения абсцисс узлов интегрирования по формуле:



Третий столбец это значение приближенного решения дифференциального уравнения. Четвертый столбец это величины угловых коэффициентов поля направлений

в точках . Пятый столбец это приращение

приближенного решения на каждом шаге интегрирования.

Сначала в нулевую строку третьего столбца заносится заданное начальное условие , затем расчет производится, построчно при этом согласно формуле

содержимое последнего столбца строки с номером прибавляется, к содержимому третьего столбца этой же строки и записывается в следующую стоку того же третьего столбца.



В результате получается, что на правом конце отрезка интегрирования х=х5=0,5 значение функции у=у5=1,7210.

i	xi	yi
0	0	1	1	0,1
1	0,1	1,1	1,2	0,12
2	0,2	1,22	1,42	0,142
3	0,3	1,362	1,662	0,1662
4	0,4	1,5282	1,9282	0,19282
5	0,5	1,7210

1.2 Метод Рунге-Кутта

Метод приближенного интегрирования дифференциального уравнения

предложенное Рунге и усовершенствованный Куттом основан на том, что приращение

на каждом шаге интегрирования представляется в виде линейной комбинации

,

Где

,

- шаг интегрирования.

Геометрически данный метод представляет собой следующее. На каждом шаге интегрирования сначала вычисляется направление поля в точке , затем вычисляется середина отрезка с таким же направлением и определяется направление поля в этой точке и т.д. Метод Рунге-Кутты по сравнению с методом Эйлера обеспечивает высокую точность решения задачи Коши, но требует больших вычислительных затрат, т.к. для его применения на каждом шаге интегрирования требуется вычислять направление поля не в одной, а в четырех точках.

Пусть функция определяется дифференциальным уравнением

при начальном условии

.

При численном интегрировании такого уравнения методом Рунге - Кутта определяют четыре числа:

, ,

, ),

, .

Если положить

то модно доказать, что

Схема вычислений имеет вид

Таблица 1.2.1.

			Добавка

Пример. Методом Рунге-Кутта проинтегрировать уравнение

при начальном условии y(1)=0 в промежутке [1, 2]; шаг [точное решение

].

Здесь

Найдем числа:

Следовательно,

,

т.е. .

Аналогичным образом находим

Следовательно,

,

т.е. и т.д.

1.3 Метод Адамса

Метод Адамса решения задачи Коши для дифференциального уравнения

объединяет особенности метода Эйлера и метода Рунге-Кутта. Данный метод обеспечивает высокую точность вычислений т.к. при его реализации абсолютная погрешность вычислений решения на каждом шаге интегрирования пропорционально

,

и алгоритм выполняется гораздо быстрее т.к. на каждом шаге интегрирования, как и по методу Эйлера требуется вычислять значение функции только 1 раз. Данный метод основан на разложении по формуле Тейлора искомого решения

дифференциального уравнения

задачи Коши в окрестности точки , в которой уже известно решение этого уравнения. Для реализации этого метод вместе с конечными разностями

для функции , где - номер узла интегрирования. Вводится понятие разностей второго порядка, т.е.

.

Аналогично построим разности первого и второго порядков для интегрирования производной



Чтобы получить алгоритм метода Адамса приближенного решения дифференциального уравнения

запишем решение искомой функции в точке

.

По формуле Тейлора с точностью до остаточного члена ограничиваем с четырьмя членами

Так, как решение в узле известно, то первая производная в этой точке может быть подсчитана исходя из уравнения

.

Для того, чтобы выразить вторую и третью производную и через известное значение решения в соседних узлах запишем выражение первой и второй производной искомого решения дифференциального уравнения в точках и



по формуле Тейлора, ограничиваясь тремя её членами.

Подставляя, найденное выражение производных, получи формулу Адамса с четырьмя членами

которая дает возможность по значениям решения в трех узлах получить решение в узле .

Так как алгоритм метода Адамса использует значение искомого решения в трех предыдущих узлах, то для начала расчетов по этому методу кроме задания начальных условий необходимо, найти решение задачи Коши и во втором узлах применяя, другие численные методы, если требуется высокая точность вычисления, то применяют метод Ренге-Кутты.

Пример. Применяя метод Адамса найти решение задачи Коши в трех последних узлах отрезка [0;0,5] с шагом h=0,1 проинтегрировав уравнение

,

y0=1 при x0=0.

Пусть были найдены значения искомого частного решения заданного дифференциальным уравнением в первом и во втором узлах y1=1,1103, y2=1,2428.

Для реализации алгоритма метода Адамса по формуле вычисление первых и вторых конечных разностей производных искомого решения удобно выполнять в таблице. Первые четыре столбца, которые содержат ту же информацию, что и столбцы таблицы 1.2.1., пятый столбец содержит значение первых разностей производных, а шестой, значение разностей вторых производных.

Для начала выполнения расчетов в таблице 1.3.1. заносятся начальные условия и значении решения в первом и втором x1 и x2 узлах и вычисляются направлением поля в х1, х0 и узлах интегрирования. Затем находятся

.,

подсчитываются значения первых конечных разностей производной искомого решения в нулевом и первом узле, а затем значение вторых разностей в х0 узле. Вычитая в предыдущем столбце число, находящееся в этой же строке из числа находящегося в следующей строке. Полученные результаты подставляем в формуле Адамса для подсчета приближенного значения искомого решения задачи Коши в х3 узле. Подставив в эту формулу i=2.



i	xi	yi
0	0	1,0000	1	0,2103	0,0222
1	0,1	1,1103	1,2103	0,2325	0,0243
2	0,2	1,2428	1,4428	0,2568	0,027
3	0,3	1,3996	1,6996	0,2838
4	0,4	1,5834	1,9834
5	0,5	1,7970

2. Приближенное решение уравнений

2.1 Метод хорд

Пусть дано уравнение

,

где - непрерывная функция, имеющая в интервале (a,b) производные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится на отрезке [a,b].

Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке [a,b] дугу кривой

можно заменить хордой и в качестве приближенного значения корня принять точку пересечения с осью абсцисс. Рассмотрим случай (рис.2.1.1), когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т.е.

.

Уравнение хорды - это уравнение прямой, проходящей через две точки (a, f(a)) и (b, f(b)).

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки:

Подставляя в эту формулу значения, получим уравнение хорды AB:

.

Пусть x1 - точка пересечения хорды с осью x, так как y = 0, то

x1 может считаться приближенным значением корня.

Аналогично для хорды, проходящей через точки и , вычисляется следующее приближение корня:

В общем случае формулу метода хорд имеет вид:

(1)

Если первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е.

,

то все приближения к корню выполняются со стороны правой границы отрезка (рис.2.1.2.) и вычисляются по формуле:

(2)

Выбор формулы в каждом конкретном случае зависит от вида функции и осуществляется по правилу: неподвижной является такая граница отрезка изоляции корня, для которой знак функции совпадает со знаком второй производной. Формула (1) используется в том случае, когда

.

Если справедливо неравенство

,

то целесообразно применять формулу (2).

Итерационный процесс метода хорд продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень с заданной степенью точности. При оценке погрешности приближения можно пользоваться соотношением

Если обозначить через m наименьшее значение |f'(x)| на промежутке [a, b], которое можно определить заранее, то получим формулу для оценки точности вычисления корня:

или

где - заданная погрешность вычислений.

Пример. Методом хорд найти положительный корень уравнения с точностью до 0,01.

Положительный корень заключен в промежутке (1;1,7), так как

, а

Найдем первое приближенное значение корня по формуле

Так как f(1,558)= -0,817<0, то снова применив метод хорд к промежутку (1,588; 1,7):

Найдем третье приближенное значение:

Найдем четвертое приближенное значение:

Следовательно, с точностью до 0,01 искомый корень равен 1,64.

2.2 Метод касательных (метод Ньютона)

Пусть уравнение

имеет на интеграле [a,b] единственный корень, причем существует - непрерывная на [a,b]. Метод Ньютона служит для уточнения корней нелинейных уравнений в заданном интервале. Его можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если

Тогда итерационный процесс осуществляется по формуле:

(3)

Геометрически (рис.2.2.1.) этот процесс означает замену на каждой итерации графика кривой касательной к ней в точках

Достаточное условие сходимости обеспечивается выбором начальной точки . Начальным приближением служит один из концов отрезка [a,b] в зависимости от того, в каком из них выполняется достаточное условие сходимости

(4)

При произвольном нулевом приближении итерации сходятся, если:

Метод Ньютона рекомендуется применить для нахождения простых действительных корней уравнения , когда дифференцируема на [a,b].

Достоинством метода является то, что он обладает быстрой скоростью сходимости, близкой к квадратичной. Недостаток метода в том, что не при любом начальном приближении метод Ньютона сходится, а лишь при том, где выполнено достаточное условие сходимости при

Кроме того, если

то происходит переполнение разрядной сетки ЭВМ; если же



то итерационный процесс зацикливается.

Последних трудностей можно избежать, применив модификацию метода Ньютона, рабочая формула которого имеет вид

Пример. Методом касательных найти положительный корень уравнения x4-2x-4=0 с точностью до 0,01.

Здесь

Так как и при имеют один и тот же знак, а именно

и

то воспользуемся формулой

, где

Тогда

Применив снова метод касательных. Имеем

, где , ;

значит,

Аналогичным образом находим

т.е.

Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.

2.3 Комбинированный метод хорд и касательных

Пусть требуется найти действительный корень уравнения , изолированный на отрезке [a,b]. Предполагается, что и имеют разные знаки, а каждая из производных сохраняет определенный знак на отрезке изоляции. Возьмем на отрезке [a,b] такую точку , что и (при принадлежащем промежутку изоляции) имеют одинаковые знаки.

Воспользуемся формулами методов хорд и касательных:

;

Величины и принадлежат промежутку изоляции, причем и имеют разные знаки.

Построим новую пару приближений к корню:

;

Точки и на числовой оси расположены между точками и , причем и имеют разные знаки.

Вычислим теперь значения

;

и т.д.

Каждая из последовательностей

стремится к искомому корню, причем одна из последовательностей монотонно возрастает, а другая - монотонно убывает. Пусть, например,

тогда

.

Задав заранее достаточно малое , мы можем, увеличивая n, добиться выполнения неравенства

;

следовательно, при этом же значении n будет выполняться неравенство

Таким образом, является приближенным значением корня , вычисленным с погрешностью, не превышающей .

Пример. Используя комбинированный метод хорд и касательных, найти приближенное значение корня уравнения

,

изолированного на промежутке (1, 2), с точностью до 0,001.

Имеем

, , .

В указанном промежутке

,

поэтому за первое приближение в способе касательных берем

,

так как

:

;

Искомый корень принадлежит промежутку (1,9; 1,94); имеем

Так как значения и , вычисленные с точностью до 0,001, совпали, то приближенное значение корня , вычисленное с точностью до 0, 001, есть 1, 936.

3. Численное интегрирование по методу Симпсона

3.1 Численные методы интегрирования

Задача численного интегрирования заключается в вычислении интеграла

посредством ряда значений подынтегральной функции

.

Задачи численного интегрирования приходится решать для функций, заданных таблично, функцией, интегралы от которых не берутся в элементарных функциях, и т.д. Рассмотрим только функции одной переменной.

Вместо функции, которую требуется проинтегрировать, проинтегрируем интерполяционный многочлен. Методы, основанные на замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом, позволяют по параметрам многочлена оценить точность результата или же по заданной точности подобрать эти параметры.

Численные методы условно можно сгруппировать по способу аппроксимации подынтегральной функции.

Методы Ньютона-Котеса основаны на аппроксимации функции полиномом степени . Алгоритм этого класса отличается только степенью полинома. Как правило, узлы аппроксимирующего полинома - равноотносящие.

Методы сплайн-интегрирования базируются на аппроксимации функции сплайном-кусочным полиномом.

В методах наивысшей алгебраической точности (метод Гаусса) используются специально выбранные неравноотносящие узлы, обеспечивающие минимальную погрешность интегрирования при заданном (выбранном) количестве узлов.

Методы Монте-Карло используются чаще всего при вычислении кратных интегралов, узлы выбираются случайным образом, ответ носит вероятностный характер.

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность. Погрешность уменьшается при увеличении n-количества разбиений отрезка . Однако при этом возрастает погрешность округления за счет суммирования значений интегралов, вычисленных на частичных отрезках.

Погрешность усечения зависит от свойств подынтегральной функции и длины частичного отрезка.

3.2 Вывод формулы Симпсона

Если для каждой пары отрезков построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.

Рассмотрим подынтегральную функцию на отрезке

.

Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с в точках

:

Проинтегрируем :

Формула:

и называется формулой Симпсона.

Полученное для интеграла

значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми

,

и параболой, проходящей через точки

Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у на отрезке

существуют непрерывные производные . Составим разность

К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку непрерывна на

и функция

неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором (то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому:



(мы воспользовались теоремой о среднем, поскольку - непрерывная функция; ).

Дифференцируя дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для другое выражение:

, где

Из обеих оценок для следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона, например, в виде:

,.

Если отрезок интегрирования слишком велик, то его разбивают на равных частей, полагая

после чего к каждой паре соседних отрезков

, ,...,

применяют формулу Симпсона, именно:

Запишем формулу Симпсона в общем виде:

(1)

(2)

Погрешность формулы Симпсона - метода четвертого порядка:

, (3)

Так как метод Симпсона позволяет получить высокую точность, если не слишком велика. В противном случае метод второго порядка может дать большую точность.

Например, для функции

форма трапеции при для

дает точный результат

,

тогда как по формуле Симпсона получаем

3.3 Геометрическая иллюстрация

На отрезке

длиной 2h строится парабола, проходящая через три точки

,.

Площадь под параболой, заключенная между осью OX и прямыми

,

принимают равной интегралу

.

Особенностью применения формулы Симпсона является тот факт, что число разбиений отрезка интегрирования - четное.

Если же количество отрезков разбиения - нечетное, то для первых трех отрезков следует применить формулу, использующую параболу третьей степени, проходящую через четыре первые точки, для аппроксимации подынтегральной функции.

(4)

Это формула Симпсона «трех восьмых».

Для произвольного отрезка интегрирования формула (4) может быть «продолжена»; при этом число частичных отрезков должно быть кратно трем ( точек).

, m=2,3,... (5)

- целая часть

Можно получить формулы Ньютона-Котеса старших порядков:

(6)

 - количество отрезков разбиения;

- степень используемого полинома;

- производная -го порядка в точке ;

- шаг разбиения.

В таблице 3.3.1. выписаны коэффициенты . Каждая строка соответствует одному набору промежутков узлами для построения многочлена k-ой степени. Чтобы воспользоваться этой схемой для большего количества наборов (например, при k=2 и n=6), нужно «продолжить» коэффициенты, а затем сложить их.

Таблица 3.3.1:

k	C0	A0	a1	a2	a3	a4	a5	a6
2		1	4	1
				1	4	1
						1	4	1
		1	4	2		2	4	1

Алгоритм оценки погрешности формул трапеции и Симпсона можно записать в виде:

(7),

где - коэффициент, зависящий от метода интегрирования и свойств подынтегральной функции;

h - шаг интегрирования;

p - порядок метода.

Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путем двойного просчета интеграла с шагами h и kh.

(8)

(8) - апостериорная оценка. Тогда

Iуточн.= +Ro (9),

уточненное значение интеграла

.

Если порядок метода неизвестен, необходимо вычислить I в третий раз с шагом , то есть:

из системы трех уравнений:

с неизвестными I,А и p получаем:

(10)

Из (10) следует

(11)

Таким образом, метод двойного просчета, использованный необходимое число раз, позволяет вычислить интеграл с заданной степенью точности. Выбор необходимого числа разбиений осуществляется автоматически. Можно при этом использовать многократное обращение к подпрограммам соответствующих методов интегрирования, не изменяя алгоритмов этих методов. Однако для методов, использующих равноотносящие узлы, удается модифицировать алгоритмы и уменьшить вдвое количество вычислений подынтегральной функции за счет использования интегральных сумм, накопленных при предыдущих кратных разбиениях интервала интегрирования. Два приближенных значения интеграла

и, вычисляемые по методу трапеции с шагами и , связаны соотношением:

(12)

Аналогично, для интегралов, вычисленных по формуле с шагами и , справедливы соотношения:

,

(13)

Пример. Вычислить интеграл

.

Имеем

.

Отсюда

h==0.1

Результаты вычислений приведены в таблице 3.3.2

Таблица 3.3.2 Вычисление интеграла по формуле Симпсона

i
0	0		y0=1,00000
1	0.1	0,90909
2	0.2		0,83333
3	0.3	0,76923
4	0.4		0,71429
5	0.5	0,66667
6	0.6		0,62500
7	0.7	0,58824
8	0.8		0,55556
9	0,9	0,52632
10	1,0		0,50000=yn
		3,45955(1)	2,72818(2)

По формуле Симпсона получим:

Подсчитаем погрешность полученного результата. Полная погрешность складывается из погрешностей действий и остаточного члена . Очевидно:

= ;

где - коэффициенты формулы Симпсона и - максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции.

= .

Оценим остаточный член. Так как

, то .

Отсюда max при

и, следовательно,

.

Таким образом, предельная полная погрешность есть

R=

и, значит .

Заключение

Численные методы приобрели важнейшее значение как мощное математическое средство решения практических задач в различных областях науки и техники. В данной курсовой работе были выявлены следующие задачи: был сделан анализ приближенного решения уравнений (Метод хорд, метод касательных (метод Ньютона), комбинированный метод хорд и касательных); также численного интегрирования по методу Симпсона(численные методы интегрирования, вывод формулы Симпсона, геометрическая иллюстрация); рассмотрены численное интегрирование дифференциальных уравнений. По результатам выполненной работы можно сделать вывод, что численные методы позволяют вместо нахождения функции У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. В ходе работы удалось построить интерполяционный многочлен и вычислить по нему значение функции для заданного значения аргумента, а также показать приближенное решение уравнений.

Список используемой литературы

1. Архангельский Н.А. Вычислительные методы алгебры в приемах и задачах. -М .: МАИ, 1976. - 264с.

2. Бахвалов Н.С., Жтдков Н.П., Кобельников Г.М. Численные методы. - М.: Наука, 1987. - 367с.

3. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задачь. - М.: Наука,1988. - 256с.

4. Васильков Ф.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. Пособие. - М.: Финансы и статистика, 1999. - 275с.

5. Волков Е.А., Численные методы. - М.: Наука, 1984. - 193с.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. Пособие для вузов. - 5-е изд. Испр. - М.: Высш. Шк., 1996. - 416с.

7. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1970. - 295.

8. Калиткин Н.Н., Численные методы. -М .: Наука, 1987. - 153с.

9. Кацман Ю.Я., Прикладная математика. Численные методы. ТПУ, 2000. - 375с.

10. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989.- 258с.

11. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 264с.

12. Тихонов А.Н., Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984. - 298с.

13. Фильчаков П.Ф., Справочник по высшей математике. Киев: Наука , 1974. - 238с.

14. Фильчаков П.Ф., Численные методы. Киев: Наука, 1976. - 291с.

15. Большая математическая энциклопедия. М.: Олма-Пресс, 2004.- 497с.