Прогноз цін на продукцію на основі експоненційної середньої

Міністерство освіти і науки України

Чернігівський державний технологічний університет

Кафедра ФІНАНСИ

Контрольна робота

з дисципліни: «Прогнозування фінансової діяльності»

на тему : ПРОГНОЗ ЦІН НА ПРОДУКЦІЮ НА ОСНОВІ ЕКСПОНЕНЦІЙНОЇ СЕРЕДНЬОЇ

Виконав:

студент групи ЗФКВ

Керівник:

ст. викладач

Коробко В. І.

Чернігів 2008

ЗМІСТ

Завдання 1

Завдання 2

Завдання 3

Список використаної літератури

ЗАВДАННЯ 1

Варіант 1, В1, 366. Складіть прогноз цін на продукцію підприємства на наступні два роки і вкажіть точність прогнозу, виходячи з наступних ретроспективних даних.

Таблиця 1.1 - Дані про ціни на продукцію підприємства по рокам

Назва продукту	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
Продукт А, грн./шт.	4,8	4,1	5,1	4,2	5,8	3,5	4,9	6,2
Продукт Б, грн./шт.	3,1	4,2	3,2	4,3	5,1	6,1	7,9	10,3

Продовження табл. 1.1

1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
6,0	6,1	8,2	8,8	10,9	12,8	12,1
10,4	11,1	12,2	11,2	8,9	10,8	13,2

• Прогноз зробити на основі експоненційної середньої по обом продуктам, а по продукту А перевірити на основі методу найменших квадратів.
• Один з найпростіших засобів згладжування ряду з урахуванням «застарівання» даних полягає в розрахунку спеціальних показників, які отримали назву експоненціальних середніх і використовуються в короткостроковому прогнозуванні. Основна ідея методу полягає у використанні в якості прогнозу лінійної комбінації минулих і поточних спостережень. Експоненціальна середня має вигляд:
• де Q_t - експоненціальна середня на момент t;
• y_t - рівень ряду;
• - коефіцієнт, що характеризує вагу поточного спостереження (параметр згладжування), 0<1.
• Для оцінки параметру згладжування оцінимо рівень автокореляції фактичних даних (динамічного ряду). При невеликій кількості спостережень коефіцієнт кореляції зручно розраховувати за формулою:
• де х і у - два динамічних ряди, які отримані з вихідного шляхом зсуву;
• n - кількість спостережень.
• Якщо r>0,5, то це означає високий рівень автокореляції і можна застосовувати константу >0,8 (0,8…0,9), в противному випадку - =0,3…0,5.

Для визначення коефіцієнтів кореляції складемо розрахункові таблиці.

Таблиця 1.2 - Проміжні розрахунки для продукту А

Рік	x	y	xy	х2	y2
1990	4,8	4,1	19,68	23,04	16,81
1991	4,1	5,1	20,91	16,81	26,01
1992	5,1	4,2	21,42	26,01	17,64
1993	4,2	5,8	24,36	17,64	33,64
1994	5,8	3,5	20,3	33,64	12,25
1995	3,5	5,2	18,2	12,25	27,04
1996	5,2	5,8	30,16	27,04	33,64
1997	5,8	7,1	41,18	33,64	50,41
1998	7,1	7,9	56,09	50,41	62,41
1999	7,9	5,9	46,61	62,41	34,81
2000	5,9	9,5	56,05	34,81	90,25
2001	9,5	10,2	96,9	90,25	104,04
2002	10,2	12,8	130,56	104,04	163,84
2003	12,8	12,1	154,88	163,84	146,41
2004	12,1	-	-	146,41	-
Сума	104,0	99,2	737,3	842,24	819,20

Таблиця 1.3 - Проміжні розрахунки для продукту Б

Рік	x	y	xy	х2	y2
1990	3,1	4,2	13,02	9,61	17,64
1991	4,2	3,2	13,44	17,64	10,24
1992	3,2	4,3	13,76	10,24	18,49
1993	4,3	5,1	21,93	18,49	26,01
1994	5,1	6,1	31,11	26,01	37,21
1995	6,1	8,2	50,02	37,21	67,24
1996	8,2	6,8	55,76	67,24	46,24
1997	6,8	12,2	82,96	46,24	148,84
1998	12,2	14,1	172,02	148,84	198,81
1999	14,1	13,6	191,76	198,81	184,96
2000	13,6	13,1	178,16	184,96	171,61
2001	13,1	8,2	107,42	171,61	67,24
2002	8,2	10,8	88,56	67,24	116,64
2003	10,8	13,2	142,56	116,64	174,24
2004	13,2	-	-	174,24	-
Сума	126,2	123,1	1162,48	1295,02	1285,41

На основі даних двох останніх таблиця розрахуємо коефіцієнти кореляції для продуктів А та Б:

Отже, для продукту А r_А<0,5, тому приймаємо значення параметру згладжування: =0,4. Для продукту Б r_Б>0,5, тому приймаємо значення параметру згладжування: _Б=0,8.

Прогнозування з використанням методу експоненціальної середньої ведеться на один крок у перед, тому для визначення прогнозу на два періоди, спершу згладимо вихідний ряд, а після - вже згладжений. Для цього будемо застосовувати рівняння:

Таблиця 1.4 - Прогнозування на основі експоненційної середньої

Рік	Продукт А	Продукт Б
	Вихідний ряд	Q`t+1	Q"t+2	Вихідний ряд	Q`t+1	Q"t+2
1990	4,8	-	-	3,1	-	-
1991	4,1	4,80	-	4,2	3,1	-
1992	5,1	4,52	4,80	3,2	3,98	3,1
1993	4,2	4,50	4,69	4,3	3,40	3,80
1994	5,8	4,74	4,51	5,1	4,08	3,52
1995	3,5	4,84	4,60	6,1	4,94	3,94
1996	5,2	4,88	4,78	8,2	5,90	4,77
1997	5,8	4,18	4,86	6,8	7,78	5,71
1998	7,1	5,44	4,60	12,2	7,08	7,40
1999	7,9	6,32	4,68	14,1	11,12	7,22
2000	5,9	7,42	5,79	13,6	13,72	10,31
2001	9,5	7,10	6,76	13,1	13,70	13,20
2002	10,2	7,34	7,29	8,2	13,20	13,70
2003	12,8	9,78	7,20	10,8	9,18	13,30
2004	12,1	11,24	8,32	13,2	10,28	9,98
2005	-	12,2	10,36	-	12,2	10,6
2006	-	-	11,75	-	-	12,3

Отримані результати зобразимо графічно (рисунки 1.1 та 1.2).



Рисунок 1.1 - Результати згладжування по продукту А

Рисунок 1.2 - Результати згладжування по продукту Б

Перевіримо точність прогнозу. Для цього визначимо процент відхилення згладжених рівнів ряду від середнього значення вихідних даних:

де m - кількість співпадаючих пар.

Будемо вважать, що отримані відхилення згладжених показників характеризуватимуть також і точність пронозу по ним.

Таблиця 1.5 - Розрахунок відхилень згладжених даних по продукту А

Рік	Вихідний ряд (yt)	Результати першого згладжування (Qt1)	Результати другого згладжування (Qt2)	|yt- Qt1|	|yt- Qt2|
1990	4,8	-	-	-	-
1991	4,1	4,80	-	0,70	-
1992	5,1	4,52	4,80	0,58	0,30
1993	4,2	4,50	4,69	0,30	0,49
1994	5,8	4,74	4,51	1,06	1,29
1995	3,5	4,84	4,60	1,34	1,10
1996	5,2	4,88	4,78	0,32	0,42
1997	5,8	4,18	4,86	1,62	0,94
1998	7,1	5,44	4,60	1,66	2,50
1999	7,9	6,32	4,68	1,58	3,22
2000	5,9	7,42	5,79	1,2	0,1
2001	9,5	7,10	6,76	2,40	2,74
2002	10,2	7,34	7,29	2,86	2,91
2003	12,8	9,78	7,20	3,02	5,60
2004	12,1	11,24	8,32	0,86	3,78
Сума	104,0	-	-	19,82	25,40

Для першого згладжування:

Для другого згладжування:

Отже, точність прогнозу по продукту А на 2005 рік складає 20,42%, а на 2006 рік - 28,18%. Це говорить про низьку точності прогнозу.

Таблиця 1.6 - Розрахунок відхилень згладжених даних по продукту Б

Рік	Вихідний ряд (yt)	Результати першого згладжування (Qt1)	Результати другого згладжування (Qt2)	|yt- Qt1|	|yt- Qt2|
1990	3,1	-	-	-	-
1991	4,2	3,1	-	1,10	-
1992	3,2	3,98	3,1	0,78	0,10
1993	4,3	3,40	3,80	0,90	0,50
1994	5,1	4,08	3,52	1,02	1,58
1995	6,1	4,94	3,94	1,16	2,16
1996	8,2	5,90	4,77	2,30	3,43
1997	6,8	7,78	5,71	0,98	1,09
1998	12,2	7,08	7,40	5,12	4,80
1999	14,1	11,12	7,22	2,98	6,88
2000	13,6	13,72	10,31	0,12	3,29
2001	13,1	13,70	13,20	0,60	0,10
2002	8,2	13,20	13,70	5,00	5,50
2003	10,8	9,18	13,30	1,62	2,50
2004	13,2	10,28	9,98	2,92	3,22
Сума	126,2	-	-	26,60	35,14

Для першого згладжування:

Для другого згладжування:

Точність прогнозу по продукту Б на 2005 та 2006 роки складає відповідно 22,58% і 32,13%, що свідчить про низьку точність прогнозу.

Вказані відхилення викликані передусім приблизністю прогнозування за методом експоненційних середніх.

По продукту А перевіримо прогноз моделлю змінної середньої.

Модель змінної середньої базується на методі плинної середньої, яка дозволяє прогнозувати дані на основі вирівняного ряду, що найбільш точно характеризує тенденцію розвитку. Виберемо за критерій згладжування три роки, матимемо такий вирівняний ряд (таблиця 1.7).

Таблиця 1.7 - Згладжування по продукту А методом плинної середньої

Рік	Фактична динаміка цін, грн./шт.	Згладжені показники, грн./шт.
1	2	3
1990	4,8	-
1991	4,1	4,667
1992	5,1	4,467
1993	4,2	5,033
1994	5,8	4,500
1995	3,5	4,833
1996	5,2	4,833
1997	5,8	6,033
1998	7,1	6,933
1999	7,9	6,967
2000	5,9	7,767
2001	9,5	8,533
2002	10,2	10,833
2003	12,8	11,700
2004	12,1	-

Покажемо на рисунку 1.3 вихідний та вирівняний динамічні ряди.

За допомогою методу найменших квадратів визначимо параметри регресійної моделі, яка описує зміну вирівняного ряду у часі і на її основі зробимо прогноз. Як видно з рисунку 1.3, в якості базової моделі слід використати параболу:



Рисунок 1.3 - Вирівнювання за методом плинної середньої

y_t=a₀+a₁х+a₂х²,

де х - параметр часу;

а₀, а₁, а₂ - коефіцієнти регресійної моделі.

Опишемо методику розрахунку коефіцієнтів а₂, а₁, а₀ рівняння параболічної регресії загальним МНК.

Параметри а₂, а₁ і а₀ параболічної регресії визначаються по МНК з умови:

S(а₂, а₁, а₀) = ,

S(а₂, а₁, а₀) = 0, S(а₂, а₁, а₀) = 0, S(а₂, а₁, а₀) = 0,

звідки для визначення а₂, а₁ і а₀ виникає СЛАР, що складається з трьох рівнянь, A = з матрицею A і вектором вільних членів :

A = = ,

вирішувати яку можна методом Крамера, обчислюючи а₂, а₁ і а₀ по формулах:

D=det A,

D₀=det

D₁ = det

D₂=det

а₀=, а₁=, а₂=.

Формула для обчислення визначника третього ступеня для довільної матриці A має вид:

det =a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂a₁₃a₂₂a₃₁a₁₁a₂₃a₃₂a₁₂a₂₁a₃₃.

Проведемо попередні обчислення (таблиця 1.8).

Таблиця 1.8 - Проміжні розрахунки для продукту А (згладжені дані)

Рік	x	Згладжені рівні (y)	x2	x3	x4	y*x	y*x2
1991	-6	4,667	36	-216	1296	-28,000	168,000
1992	-5	4,467	25	-125	625	-22,333	111,667
1993	-4	5,033	16	-64	256	-20,133	80,533
1994	-3	4,500	9	-27	81	-13,500	40,500
1995	-2	4,833	4	-8	16	-9,667	19,333
1996	-1	4,833	1	-1	1	-4,833	4,833
1997	0	6,033	0	0	0	0,000	0,000
1998	1	6,933	1	1	1	6,933	6,933
1999	2	6,967	4	8	16	13,933	27,867
2000	3	7,767	9	27	81	23,300	69,900
2001	4	8,533	16	64	256	34,133	136,533
2002	5	10,833	25	125	625	54,167	270,833
2003	6	11,700	36	216	1296	70,200	421,200
Разом	0	87,100	182	0	4550	104,200	1358,133

Запишемо матриці А и :

Визначимо коефіцієнти квадратичної моделі:

а₀=27140701,4667/47367325,7298368;

а₁=2711909,2/47367320,5725275;

а₂=328243,0667/47367320,0692974.

Регресійна модель, отримана на основі згладжених даних, матиме вигляд:

Y=5,7298368+0,5725275х+0,0692974х².

На основі отриманої регресійної моделі обчислимо прогнозне значення цін на продукт А в 2005 та 2006 роках:

Y₂₀₀₅=5,7298368+0,5725275*8+0,0692974*8²14,745 (грн./шт.);

Y₂₀₀₆=5,7298368+0,5725275*9+0,0692974*9²16,496 (грн./шт.).

Таким чином, рівень цін на продукцію А у 2005 році становитиме 14,745 грн./шт., а у 2006 р. - 16,496 грн./шт. Ці дані більш точно відображають загальну динаміку розвитку ознаки.

ЗАВДАННЯ 2

Знайдіть лінійну залежність рентабельності фірми від наявних сумарних активів і середньорічної вартості нормованих обігових засобів, використовуючи методику множинної регресії і визначити прогнозні значення рентабельності при наступних значеннях:

а) сума активів	б) вартість обертових коштів
1. 3,5	0,7
2. 10,8	1,8
3. 21,4	8,6
4. 37,2	18,1
5. 100,4	20,8

Таблиця 2.1 - Значення показників по різним підприємствам

№ об'єкту	Сумарні активи,млн. грн.	Середньорічна вартість обертових засобів, млн. грн.	Рентабельність, %
1	16,2	4,2	15
2	30,1	6,1	25
3	2,7	0,7	8
4	115,6	31,2	37
5	30,6	11,1	31
6	2,8	1,3	13

Лінійна залежність рентабельності (Y) від сумарних активів (X₁) та середньорічної вартості обігових коштів (X₂) матиме вигляд:

Для визначення коефіцієнтів регресії складемо і розвяжемо систему нормальних рівнянь:

В таблиці 2.2 виконаємо проміжні розрахунки.

Таблиця 2.2 - Проміжні розрахунки

№	x1	x2	y	x12	x22	x1x2	yx1	yx2
1	16,2	4,2	15	262,44	17,64	68,04	243,0	63,0
2	30,1	6,1	25	906,01	37,21	183,61	752,5	152,5
3	2,7	0,7	8	7,29	0,49	1,89	21,6	5,6
4	115,6	31,2	37	13363,36	973,44	3606,72	4277,2	1154,4
5	30,6	11,1	31	936,36	123,21	339,66	948,6	344,1
6	2,8	1,3	13	7,84	1,69	3,64	36,4	16,9
Сума	198,0	54,6	129	15483,30	1153,68	4203,56	6279,3	1736,5

Отримаємо наступну систему лінійних рівнянь

Запишемо матриці А та :



Визначимо коефіцієнтиквадратичної моделі:

а₀=8977047,8964/657768,770413,64773;

а₁=-137658,5400/657768,7704-0,20928;

а₂=1066781,5920/657768,77041,62182.

Отримали наступну залежність рентабельності від сумарних активів та вартості обігових коштів:

Y=13,64773-0,20928х₁+1,62182х₂.

При збільшенні сумарних активів на 1 млн. грн. рентабельність зросте на 0,20928% при незмінній вартості обігових коштів, а при збільшенні вартості обігових коштів на 1 млн. грн. рентабельність знизиться на 1,62182%.

Підставимо в отримане рівняння вихідні дані про сумарні активи та обігові кошти і отримаємо прогнозне значення рентабельності (таблиця 2.3).

Таблиця 2.3 - Обчислення прогнозних значень

№ з/п	Прогнозні значення
	x1	x2	y
1	3,5	0,7	14,051
2	10,8	1,8	14,307
3	21,4	8,6	23,117
4	37,2	18,1	35,217
5	100,4	20,8	26,370

ЗАВДАННЯ 3

Визначить, використовуючи алгоритм МГОА з послідовним виділенням трендів, часткові описи для другого ряду селекції при наступних даних:

Таблиця 3.1 - Дані про діяльність фірми за минулі роки

Показники	1 рік	2 рік	3 рік	4 рік	5 рік	6 рік	7 рік	8 рік
Попит на продукцію, млн. грн.	19,4	16,5	13,8	10,9	11,0	9,2	8,8	6,8
Ціна, грн.	24	38	41	51	49	71	77	82

В якості залежної змінної прийміть попит на продукцію, а незалежних змінних - час, ціну. В якості апроксимуючої функції - лінійну залежність.

Розділимо усі кількість даних (N=8) на дві частини за часом. Перші шість будемо використовувати для розрахунків, а двома останніми (n=2) будемо перевіряти.

Визначимо, який вид залежності найбільш точні описує залежність попиту на продукцію (Y) від незалежних змінних: часу (Х₁) та попиту (Х₂):

y=а₀+а₁x₁;

y=а₀+а₁x₂;

y=а₀+а₁x₁+а₂x₂.

Визначимо лінійну залежність попиту на продукцію від часу. Лінійна залежність має вигляд:

y=а₀+а₁X₁.

Для визначення коефіцієнтів рівняння складемо і розв'яжемо систему вигляду:



Таблиця 3.2 - Результати проміжних розрахунків (незалежний фактор - час)

Рік	X1	Y	X12	YX1
1	1	19,4	1	19,4
2	2	16,5	4	33,0
3	3	13,8	9	41,4
4	4	10,9	16	43,6
5	5	11,0	25	55,0
6	6	9,2	36	55,2
Сума	21	80,8	91	247,6

• Маємо систему:
• розв'язавши яку методом підстановки, отримаємо:
• а₀=20,50667;
• а₁=-2,01143;
• y=20,50667-2,01143х₁,
• тобто щороку попит знижується в середньому на 2,01143 млн. грн.
• Визначимо прогнозні дані на 7 та 8 роки:
• y₇=20,50667-2,01143*76,427;
• y₈=20,50667-2,01143*84,415.
• Знайдемо середньоквадратичну похибку:
• Аналогічно визначимо лінійну залежність попиту на продукцію від ціни.
• Таблиця 3.3 - Результати проміжних розрахунків (незалежний фактор - ціна)

Рік	X2	Y	X22	YX2
1	24	19,4	576	465,6
2	38	16,5	1444	627,0
3	41	13,8	1681	565,8
4	51	10,9	2601	555,9
5	49	11,0	2401	539,0
6	71	9,2	5041	653,2
Сума	274	80,8	13744	3406,5

• Маємо систему:
• розв'язавши яку методом підстановки, отримали:
• а₀=23,97593;
• а₁=-0,23013;
• y=23,97593-0,23013х₂,
• тобто при зростанні ціни на 1 грн. попит знижується в середньому на _0,23013 млн. грн.
• Визначимо прогнозні дані на 7 та 8 роки:
• y₇=23,97593-0,23013*776,256;
• y₈=23,97593-0,23013*825,105.
• Знайдемо середньоквадратичну похибку:
• Визначаємо лінійну залежність попиту від двох факторів: часу та ціни на продукцію. Рівняння, що описує залежність матиме вигляд:
• y=а₀+а₁x₁+а₂x₂.

Для визначення параметрів рівняння складемо і розв'яжемо систему нормальних лінійних рівнянь:

Таблиця 3.4 - Результати проміжних розрахунків (незалежні фактори: час, ціна)

Рік	X1	X2	Y	X12	X22	X1X2	YX1	YX2
1	1	24	19,4	1	576	24	19,4	465,6
2	2	38	16,5	4	1444	76	33,0	627,0
3	3	41	13,8	9	1681	123	41,4	565,8
4	4	51	10,9	16	2601	204	43,6	555,9
5	5	49	11	25	2401	245	55,0	539,0
6	6	71	9,2	36	5041	426	55,2	653,2
Сума	21	274	80,8	91	13744	1098	247,6	3406,5

Коефіцієнти з системи знайдемо за методом Крамера. Запишемо матриці А та :

Визначимо коефіцієнти квадратичної моделі:

а₀=281138,8/1336421,03702;

а₁=-23729,8/13364-1,77565;

а₂=-396,7/13364-0,02968.

Лінійна залежність попиту на продукцію від часу та ціни має вигляд:

у=21,03702-1,77565х₁-0,02968х₂.

Коефіцієнти лінійної багатофакторної моделі показують, що при незмінних цінах щороку попит на продукцію знижується в середньому на 1,77565 млн. грн. В середині року при зростанні цін на 1 грн., попит на продукцію скорочується в середньому на 0,02968 млн. грн.

Визначаємо прогнозні значення та середньоквадратичну похибку.

у₇=21,03702-1,77565*7-0,02968*776,322;

у₈=21,03702-1,77565*8-0,02968*824,398;

З проведених розрахунків видно, що найбільш повно зміну попиту на продукцію описує її залежність від часу, оскільки дана модель має найменші середньоквадратичні похибки. Отже, слід прийняти для прогнозування модель

=23,97593-0,23013х₂.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Горелова В.Л., Мельникова Е.Н. Основы прогнозирования систем: Учебн. пособие. - М.: Высш. шк., 1986. - 287 с.

2. Основы экономического и социального прогнозирования: Учебн. пособие / Под ред. В.Н. Мосина, Д.М. Крука. - М.: Высш. шк., 1985. - 200 с.

3. Статистическое моделирование и прогнозирование: Учебное пособие / Под ред. А.Г. Гранберга. - М.: Финансы и статистика, 1990. - 382 с.