1

Міністерство освіти і науки України

Харківський національний Університет радіоелектроніки

Факультет прикладної математики та менеджменту

(заочного навчання)

Кафедра економічної кібернетики

курсовий проект

на тему " Моделі міжгалузевих зв'язків "

з дисципліни “Моделювання економіки”

Пояснювальна записка

Харків 2009

Реферат

Курсовая работа: с. 23, рис. 1, табл. 4, источников 10.

Об'єкт - типові економіко-математичні моделі.

Ціль - закріплення теоретичних знань про типові економіко-математичні моделі, набуття навичок практичної роботи з ними, програмна реалізація цих моделей.

Методи - аналіз, конкретні розрахунки, табличний та графічний матеріали, програмна реалізація.

Отже, метою роботи буде вивчення специфіки міжгалузевого балансу як балансового методу, а також дослідження його історичного розвитку, що виразився в моделі «витрати-випуск» Леонтьєва. Наступними завданнями є аналіз таблиць міжгалузевого балансу, їх вистави в статичному та динамічному вигляді, а також можливостей практичного вживання. Також в цій роботі виконані розрахунки, які необхідні для дослідження типових економіко-математичних моделей. Одна з головних задач курсового проекту - це розробка схеми алгоритму та програмна реалізація моделі.

Зміст

Вступ

1.Принципова схема міжгалузевого балансу

2.Економіко-математична модель міжгалузевого балансу

3.Міжгалузеві балансові моделі в аналізі економічних показників

4. Застосування балансових моделей у задачах маркетингу

5.Розрахункова частина

5.1.Дослідження виробничих функцій

5.2.Дослідження моделі "витрати-випуск" Леонтьєва

5.3.Дослідження моделі міжгалузевого балансу витрат праці

5.4.Дослідження моделі Неймана

5.5.Дослідження моделі Солоу

Висновки

Перелік посилань

Вступ

Основу інформаційного забезпечення балансових моделей в економіці становить матриця коефіцієнтів витрат ресурсів за конкретними напрямками їх використання. Скажімо, у моделі міжгалузевого балансу зазначену роль відіграє так звана технологічна матриця -- таблиця міжгалузевого балансу, складена з коефіцієнтів (нормативів) прямих витрат на виробництво одиниці продукції в натуральному виразі. З багатьох причин вихідні дані реальних господарських об'єктів не можуть бути використані в балансових моделях безпосередньо, тому підготовка інформації для введення в модель є доволі важливою проблемою.

Так, будуючи модель міжгалузевого балансу (МГБ), застосовують специфічне поняття чистої, або технологічної галузі, тобто умовної галузі, яка поєднує все виробництво відповідного продукту незалежно від відомчої (адміністративної) підпорядкованості та форм власності підприємств і фірм, що його виробляють.

Балансові моделі належать до матричного типу економіко-математичних моделей, оскільки вони будуються у вигляді матриць -- прямокутних таблиць чисел. Отже, матрична структура притаманна міжгалузевому і міжрайонному балансу виробництва й розподілу продукції в народному господарстві, моделям розвитку галузей, міжгалузевим балансам виробництва й розподілу продукції окремих регіонів, моделям підприємств і фірм. Завдяки цьому структуру, зміст і основні залежності матричних моделей можна досліджувати на прикладі однієї з них, а саме моделі міжгалузевого балансу виробництва й розподілу продукції в економіці. Цей баланс відбиває виробництво й розподіл суспільного продукту за галузями, міжгалузеві виробничі зв'язки, використання матеріальних і трудових ресурсів, створення й розподіл національного доходу.

1.Принципова схема міжгалузевого балансу (МГБ)

Балансові моделі широко використовують в економічних дослідженнях, аналізі, плануванні. Ці моделі будуються на підставі балансового методу, тобто узгодженні матеріальних, трудових і фінансових ресурсів. Якщо описувати економічну систему загалом, то під балансовою моделлю мають на увазі систему рівнянь, кожне з яких виражає балансові співвідношення між виробництвом окремими економічними об'єктами обсягів продукції й сукупною потребою в цій продукції. За такого підходу розглядувана економічна система складається з об'єктів, кожен з яких випускає певний продукт, частина якого споживається ним же та іншими об'єктами системи, а решта виводиться за межі системи як її кінцева продукція. Якщо замість поняття «продукт» увести більш загальне поняття «ресурс», то під балансовою моделлю розуміють систему рівнянь, котрі задовольняють вимоги відповідності щодо наявності ресурсу та його використання. Можна також розглядати приклади балансової відповідності, як-от: відповідність наявної робочої сили й кількості робочих місць, платоспроможного попиту населення та продукції (товарів і послуг) тощо.

Розгляньмо деякі відомі види балансових моделей:

часткові матеріальні, трудові й фінансові баланси стосовно до народного господарства чи окремих галузей (регіонів);

міжгалузеві баланси;

матричні техпромфінплани підприємств і фірм.

Балансові моделі на підставі звітних балансів характеризують наявні пропорції, де ресурсна частина завжди дорівнює витратній. Для виявлення диспропорцій використовують балансові моделі, в котрих фактичні ресурси узгоджувались би не тільки з їх фактичним споживанням, а й з потребою в них. Балансові моделі не містять якогось механізму порівняння окремих варіантів економічних рішень. Власне, це й визначає деяку обмеженість балансових моделей і балансового методу загалом.

Основу інформаційного забезпечення балансових моделей в економіці становить матриця коефіцієнтів витрат ресурсів за конкретними напрямами їхнього використання. Наприклад, у моделі міжгалузевого балансу таку роль відіграє так звана технологічна матриця -- таблиця міжгалузевого балансу, що складається з коефіцієнтів (нормативів) прямих витрат на виробництво одиниці продукції в натуральному вираженні. З багатьох причин вихідні дані реальних господарюючих об'єктів не можуть бути використані в балансових моделях безпосередньо, тому підготовка інформації до введення в модель є досить складною проблемою. Так, для побудови моделі міжгалузевого балансу використовується специфічне поняття чистої (чи технологічної) галузі, що поєднує все виробництво певного продукту незалежно від адміністративної підпорядкованості й форм власності підприємств і фірм. Перехід від господарських галузей до чистих галузей вимагає спеціального перерахунку реальних даних господарських об'єктів.

Балансові моделі будуються як числові матриці -- прямокутні таблиці чисел. У зв'язку з цим балансові моделі належать до типу матричних економіко-математичних моделей. У матричних моделях балансовий метод дістає чітке математичне вираження. Отже, матричну структуру мають міжгалузевий і міжрегіональний баланси виробництва та розподілу продукції окремих регіонів, моделі промфінпланів підприємств і фірм тощо. Попри специфіку цих моделей їх об'єднує не лише спільний математичний апарат побудови та єдиний алгоритм обчислень, а й аналогічність низки економічних характеристик. Це дає змогу розглядати структуру, зміст і основні залежності матричних моделей на прикладі міжгалузевого балансу та розподілу продукції в народному господарстві. Даний баланс відображає виробництво та розподіл суспільного продукту в галузевому розрізі, міжгалузевих виробничих зв'язків, використання матеріальних і трудових ресурсів, створення й розподіл національного доходу.

Принципова схема міжгалузевого балансу (МГБ) виробництва й розподілу суспільного продукту у вартісному вираженні наведена в таблиці 1. У підґрунтя цієї схеми покладено поділ сукупного продукту на дві частини: проміжний і кінцевий продукт; усе народне господарство подане тут як сукупність галузей (чисті галузі). Кожна з цих галузей фігурує в балансі як виробник і як споживач. Розгляньмо схему МГБ в розрізі його блоків, що мають різний економічний зміст, -- їх заведено називати квадрантами балансу (на схемі квадранти позначені римськими цифрами).

Таблиця 1

Принципова схема міжгалузевого балансу (МГБ)

Галузі-виробники	Галузі-споживачі	Кінцевий продукт	Валовий продукт
	1	2	3	…	n
1	х11	х12	х13	…	х1n	Y1	X1
2	х21	х22	х23	…	х2n	Y2	X2
3	х31	х32	х33	…	х3n	Y3	X3
				І.		ІІ
n	хn1	хn2	хn3		хnn	Yn	Xn
Амортизація	C1	C2	C3		Cn	IV
Оплата праці	v1	v2	v3	III	vn
Чистий дохід	m1	m2	m3		mn
Валовий продукт	X1	X2	X3		Xn

Перший квадрант МГБ -- це таблиця міжгалузевих потоків. Показники, що містяться на перетині рядків і стовпців, є обсягами міжгалузевих потоків продукції x_ij, i та j -- відповідно номери галузей виробників і споживачів. Перший квадрант за формою є квадратною матрицею n-го порядку, сума всіх елементів якої дорівнює річному фонду відтворення амортизації засобів виробництва у матеріальній сфері.

У другому квадранті подана кінцева продукція всіх галузей матеріального виробництва, де під кінцевою продукцією мається на увазі продукція, що виходить зі сфери виробництва в кінцеве використання (на споживання та накопичення). У табл. 11.1 цей розділ подано в узагальненому вигляді як один стовпчик величин Y_і,; у розгорнутій схемі балансу кінцевий продукт кожної галузі можна подати диференційовано за напрямами використання: на особисте споживання населення, суспільне споживання, на накопичення, покриття збитків, експорт тощо.

Третій квадрант МГБ також характеризує національний дохід, але з боку його вартісного складу -- як суму чистої продукції й амортизації; чисту продукцію тлумачать як суму оплати праці та чистого доходу галузей. Обсяг амортизації (C_j) та чистої продукції (v_j + m_j) деякої галузі називають умовно чистою продукцією цієї галузі й позначають у подальшому через Z_j.

Четвертий квадрант відбиває розподіл і використання національного доходу. В результаті перерозподілу створеного національного доходу утворюються скінченні доходи населення, підприємств, держави.

Дані четвертого квадранта важливі для відображення в міжгалузевій моделі балансу доходів і витрат населення, джерел фінансування капіталовкладень, поточних витрат невиробничої сфери, для аналізу загальної структури доходів за групами споживачів. Загалом МГБ у межах єдиної моделі об'єднує баланси галузей матеріального виробництва, баланс сукупного суспільного продукту, баланс національного доходу, баланс доходів і витрат населення.

Якщо, як показано в табл. 1, позначити валовий продукт j-ї галузі літерою X_j, то можна записати два співвідношення, що відбивають сутність МГБ та є підґрунтям його економіко-математичної моделі.

По-перше, розглядаючи схему балансу по стовпчиках, можна зробити висновок, що сума матеріальних витрат будь-якої галузі-споживача та її умовно чистий продукт дорівнює валовій продукції цієї галузі:

X_j

По-друге, розглядаючи МГБ по рядках для кожної галузі-виробника, бачимо, що валова продукція будь-якої галузі дорівнює сумі матеріальних витрат галузей, які споживають її продукцію, і кінцевої продукції даної галузі:

X_i

Підсумовуючи за j систему рівнянь

Аналогічно, підсумовуючи за i систему рівнянь

Звідси легко помітити, що

Це рівняння показує, що в міжгалузевому балансі виконується принцип еквівалентності матеріального та вартісного складу національного доходу.

2.Економіко-математична модель міжгалузевого балансу

Основу інформаційного забезпечення моделі міжгалузевого балансу становить технологічна матриця, що містить коефіцієнти прямих матеріальних витрат на виробництво одиниці продукції. Ця матриця є базою економіко-математичної моделі міжгалузевого балансу.

Припускається гіпотеза, згідно з якою для виробництва одиниці продукції в j-й галузі необхідна певна кількість витрат проміжної продукції і-ї галузі, що становить a_ij, і ця величина не залежить від обсягів виробництва в j-й галузі та є досить стабільною величиною в часі. Величини a_ij називають коефіцієнтами прямих матеріальних витрат та обчислюють таким чином:

Якщо ввести до розгляду матрицю коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А = (а_ij), вектор-стовпчик валової продукції X та вектор-стовпчик кінцевої продукції Y:

то система рівнянь у матричній формі матиме вигляд

X = AX + Y .

Систему рівнянь, чи у матричній формі, називають економіко-математичною моделлю міжгалузевого балансу (моделлю Леонтьєва, моделлю «витрати -- випуск»). За допомогою цієї моделі можна виконати три варіанти обчислень:

задаючи в моделі обсяги валової продукції кожної галузі (Х_i), можна визначити обсяги кінцевої продукції кожної галузі (Y_i):

Y = (E - A)X,

де Е -- одинична матриця n-го порядку;

задаючи обсяги кінцевої продукції всіх галузей (Y_i), можна визначити обсяги валової продукції кожної галузі (Х_i):

X = (E - A)-¹Y;

для низки галузей задаючи обсяги валової продукції, а для решти -- обсяги кінцевої продукції, можна відшукати величини кінцевої та валової продукції всіх галузей.

У попередніх формулах Е позначає одиничну матрицю n-го порядку, а (Е - А)-¹ -- матрицю, обернену до матриці (Е - А).

Якщо визначник матриці (Е - А) не дорівнює нулеві, тобто ця матриця не вироджена, тоді існує матриця, обернена до неї. Позначимо цю матрицю через В:

B = (Е - А)-¹.

Систему рівнянь у матричній формі можна записати:

X = BY .

Елементи матриці В позначатимемо через b_ij , тоді з матричного рівняння для будь-якої і-ї галузі можна отримати співвідношення:

Із співвідношення випливає, що валова продукція постає як зважена сума обсягів кінцевої продукції, ваговими коефіцієнтами тут є b_іj, котрі показують, скільки всього необхідно виробити валової продукції і-ї галузі для випуску у сферу кінцевого використання одиниці продукції j-ї галузі. На відміну від коефіцієнтів прямих витрат a_ij , коефіцієнти b_іj називають коефіцієнтами повних матеріальних витрат, і вони включають у себе як прямі, так і опосередковані витрати всіх порядків. Якщо прямі витрати відбивають кількість засобів виробництва, використаних безпосередньо на виготовлення певних обсягів даного продукту, то опосередковані стосуються попередніх стадій виробництва і входять у виробництво продукції не прямо, а через інші (проміжні) засоби виробництва.

Коефіцієнти повних матеріальних витрат b_ij показують, який обсяг продукції j-ї галузі необхідно виробити, щоб з урахуванням прямих і опосередкованих витрат цієї продукції отримати одиницю кінцевої продукції j-ї галузі.

Коефіцієнти повних матеріальних витрат можна застосовувати, коли необхідно визначити, як вплинуть на валовий випуск певної галузі деякі зміни щодо обсягів випуску кінцевої продукції всіх галузей:

де X_i та Y_j -- зміни (прирости) обсягів валової й кінцевої продукції відповідно.

Здійснюючи аналіз моделі міжгалузевого балансу, потрібно розглянути основні властивості матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А. Ці коефіцієнти за визначенням є невід'ємними, отже, матриця А в цілому є невід'ємною: А 0. Процес відтворення не можна було б здійснити, якщо б для власного відтворення в галузі витрачався більший обсяг продукту, ніж створювався. Звідси очевидно, що діагональні елементи матриці А менші ніж одиниця: a_ii <1, i = 1, ..., n.

Система рівнянь міжгалузевого балансу відображає реальні економічні процеси, в котрих сенс можуть мати лише невід'ємні значення валових випусків; таким чином, вектор валової продукції складається з невід'ємних компонентів вектора Х, який є невід'ємним вектором: X > 0. Називатимемо невід'ємну матрицю А продуктивною, якщо існує такий невід'ємний вектор Х, що

X > AX.

Очевидно, що ця умова означає існування невід'ємного вектора кінцевої продукції Y > 0 для моделі міжгалузевого балансу.

Щоб матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А була продуктивною, необхідно і достатньо, аби виконувалася одна з перелічених нижче умов:

матриця (Е - А ) має бути невід'ємно оберненою, тобто повинна існувати обернена матриця (Е - А) ^-1 0;

матричний ряд має збігатися, A^k  0, k  , а його сума дорівнює оберненій матриці (Е - А)-¹;

найбільший за модулем розв'язок (власне значення) характеристичного рівняння має бути строго меншим від одиниці;

усі головні мінори матриці (Е - А), тобто визначники матриць, що утворені елементами перших рядків і перших стовпчиків цієї матриці порядку від 1 до n, мають бути додатними.

Більш простою, але лише достатньою ознакою продуктивності матриці А є обмеження на величину її норми, тобто на величину найбільшої із суми елементів матриці А в кожному стовпчику. Якщо норма матриці А строго менша від одиниці, то ця матриця є продуктивною. Дана умова є лише достатньою, і матриця А може виявитися продуктивною й у разі, якщо її норма буде більшою за одиницю.

Найбільший за модулем корінь характеристичного рівняння, наведеного в третій умові продуктивності матриці А (позначимо його через ^*), може слугувати за оцінку загального рівня коефіцієнтів прямих матеріальних витрат, а отже, величина (1 - ^*) характеризує залишок після витрат, тобто продуктивність. Чим більшим є (1 - ^*), тим більшими є можливості досягнення інших цілей, окрім поточного виробничого процесу. Іншими словами, чим вищим є загальний рівень коефіцієнтів матриці А, тим більшим -- максимальне за модулем власне значення (^* ) і нижчим -- рівень продуктивності, і навпаки, чим нижчий загальний рівень коефіцієнтів матриці А, тим меншим є максимальне по модулю власне значення (^* ) і вищою продуктивність.

Проаналізуймо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат, тобто матрицю В = (Е - А)-¹. Елемент цієї матриці b_ij показує, скільки всього необхідно виробити продукції і-ї галузі, щоб одержати одиницю кінцевої продукції j-ї галузі.

Дамо інше означення коефіцієнта повних матеріальних витрат з огляду на те, що окрім прямих витрат існують опосередковані витрати тієї чи іншої продукції для виробництва продукції даної галузі. Розгляньмо для прикладу формування витрат електроенергії на випуск стального прокату, обмежуючись технологічним ланцюжком «руда--чавун--сталь--прокат». Витрати електроенергії для отримання прокату зі сталі називатимемо прямими витратами, ті самі витрати для отримання сталі з чавуну -- опосередненими витратами 1-го порядку, а витрати електроенергії для отримання чавуну з руди -- опосередкованими витратами електроенергії на випуск сталевого прокату 2-го порядку тощо. Отже, можна дати таке означення:

Коефіцієнтом квазіповних матеріальних витрат c_ij називають суму прямих і опосередкованих витрат продукції і-ї галузі для виробництва одиниці продукції j-ї галузі через проміжні продукти на всіх попередніх стадіях виробництва. Якщо коефіцієнти опосередкованих матеріальних витрат k-го порядку позначати через , то має місце формула

a якщо ввести до розгляду матрицю коефіцієнтів квазіповних матеріальних витрат C = (c_ij) та матриці коефіцієнтів опосередкованих матеріальних витрат різних порядків, то поелементну формулу можна подати в матричній формі:

З огляду на змістовну суть коефіцієнтів опосередкованих матеріальних витрат можна записати такі математичні співвідношення:

за використання котрих матрична формула набирає вигляду

Якщо матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А є продуктивною, то з другої умови продуктивності існує матриця В = (Е - А)-¹, яка є сумою збіжного матричного ряду:

Порівнюючи вирази дістанемо:

В = Е + С,

або в поелементному записі:

Це визначає економічний сенс, що пояснює відмінність між коефіцієнтами (елементами) матриць В та С: на відміну від коефіцієнтів матриці С, що враховують лише витрати на виробництво продукції, коефіцієнти матриці В включають у себе, окрім витрат, також одиницю кінцевої продукції, котра виходить за сферу виробництва.

3. Міжгалузеві балансові моделі в аналізі економічних показників

Різноманітні модифікації моделі міжгалузевого балансу виробництва й розподілу продукції в народному господарстві дозволяють розширити коло показників, що їх охоплює модель. Розгляньмо застосування міжгалузевого балансового методу для аналізу таких важливих економічних показників, як праця, фонди, ціни.

Важливими аналітичними можливостями даного методу є, зокрема, визначення прямих і повних витрат праці на одиницю продукції та розроблення на підставі цього балансових продуктово-трудових моделей; вихідною моделлю тут слугує звітний міжпродуктовий баланс у натуральному вираженні.

Позначимо витрати живої праці для виробництва j-го продукту через L_j, а обсяг виробництва цього продукту (валовий випуск), як і раніше, через X_j, тоді прямі витрати праці на одиницю j-го виду продукції (коефіцієнта прямої трудомісткості) можна подати формулою:

Уведемо таке поняття, як повні затрати праці -- сума прямих затрат живої праці та затрат уречевленої праці, які переносяться на продукт через використані засоби виробництва. Якщо позначити величину повних затрат праці на одиницю продукції j-го виду через T_j, то добутки a_ij T_j відбивають затрати уречевленої праці, перенесеної на одиницю j-го продукту через і-й засіб виробництва. Припускається, що коефіцієнти прямих матеріальних витрат a_ij виражені в натуральних одиницях. Тоді повні трудові затрати на одиницю j-го виду продукції (коефіцієнти повної трудомісткості) дорівнюватимуть:

Уведемо до розгляду вектор-рядок коефіцієнтів прямої трудомісткості

i вектор-рядок коефіцієнтів повної трудомісткості

Тепер, із використанням розглядуваної вище матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А (у натуральному вираженні), систему рівнянь можна подати в матричному вигляді:

Виконавши відповідні математичні перетворення з використанням одиничної матриці Е, а власне:



дістанемо таке співвідношення:

де

є матрицею коефіцієнтів повних матеріальних витрат, отже,

Позначимо через L величину сукупних затрат живої праці за всіма видами продукції, котрі з урахуванням дорівнюватимуть

Використовуючи співвідношення дістанемо:

де t і Т -- вектор-рядки коефіцієнтів прямої та повної трудомісткості, а Х та Y -- вектор-стовпці валової та кінцевої продукції відповідно.

Рівняння є основним балансовим рівнянням у теорії міжгалузевого балансу праці. Його конкретний економічний сенс полягає в тому, що вартість кінцевої продукції, яка оцінена за повними затратами праці, дорівнює сукупним затратам живої праці. Порівнюючи споживчий ефект різних взаємозамінюваних продуктів з повними трудовими затратами на їх випуск, можна аналізувати порівняльну ефективність їх виробництва.

За допомогою показників повної трудомісткості більш повно й точно, ніж за використання існуючих вартісних показників, виявляється структура витрат на випуск різних видів продукції, а також співвідношення між затратами живої й матеріалізованої праці.

На підставі використання коефіцієнтів прямої та повної трудомісткості можуть розроблятися міжгалузеві й міжпродуктові баланси затрат праці та використання трудових ресурсів. Схематично ці баланси будуються за спільним типом матричних моделей, а всі показники в них (міжгалузеві зв'язки, кінцевий продукт, умовно чиста продукція тощо) виражаються в трудових вимірювачах.

4.Застосування балансових моделей у задачах маркетингу

Розгляньмо розв'язування однієї із задач маркетингу на підставі моделі міжгалузевого балансу.

У моделях міжпродуктових балансів до обсягів кінцевої продукції Y_i, як правило, входить обсяг продукції, що спрямовується на приріст запасів і резервів. Обсяги цього приросту за кожним видом продукції часто задаються поза моделлю (екзогенно), що визначає загальний обсяг продукції кожного найменування, котрий іде на приріст запасів, але не дає можливості дізнатися, в якому саме обсязі необхідні ці запаси для забезпечення неперервності виробництва, якими повинні бути оптимальні обсяги сукупних запасів. Аби відповісти на ці запитання, треба разом з прямими витратами відображати обсяги запасів і резервів у тому розділі балансу, де у рядках розміщені виробничі зв'язки та витрати, а у стовпчиках -- витрати різних продуктів на виробництво продукту даного виду.

Ці проблеми можна вирішити введенням так званих коефіцієнтів запасомісткості. Коефіцієнт запасомісткості S_ij показує, який обсяг запасу продукції і-го виду потрібно мати у виробництві одиниці продукції j-го виду. Якщо S_ij -- це величина запасу продукції i-го виду, що використовується для виробництва j-ї продукції, а X_j -- загальний обсяг виробництва j-ї продукції, то величину коефіцієнта запасомісткості можна визначити таким чином:

На практиці коефіцієнти запасомісткості можна обчислити на підставі статистичних даних за попередні роки.

Якщо до схеми міжпродуктового балансу ввести показник запасомісткості, то рівняння матиме вигляд

або у матричному вигляді:

де S = (s_ij) -- матриця коефіцієнтів запасомісткості. Звідси маємо:

Матриця B^S = (E - A - S)-¹ аналогічна матрицi (В) коефіцієнтів нових матеріальних витрат. Поряд з прямими та опосередкованими витратами вона містить також обсяги запасів на одиницю кінцевої продукції.

Балансові моделі можуть бути корисними й у реалізації збутової функції маркетингу, зокрема в питаннях ціноутворення. В умовах формування ринкових цін ці моделі допомагають, наприклад, виявити дисбаланс міжгалузевих і внутрішньогалузевих цін в умовах вільного ринкового ціноутворення.

5.Розрахункова частина

5.1Дослідження виробничих функцій

Розглянемо виробничу функцію Кобба-Дугласа для першої галузі. Виробнича функція Кобба-Дугласа ( CDPF ) належить до найбільш відомих, широко використовуваних функцій. Функція має вигляд

X₁=aK₁ ^бL₁^1-б,

(a,б,(1-б))>0, б<1,

де (a,б) - параметри моделі.

Параметр a залежить від одиниць вимірювання змінних.

Для функції Кобба-Дугласа виконуються такі вимоги:

Перша похідна характеризує граничну фондовіддачу. З виразу видно, що для цієї функції гранична фондовіддача пропорційна середній фондовіддачі та менше її. Середня фондовіддача визначається за формулою:

де K - обсяг виробничих фондів у вартісному або натуральному вигляді (вартість або кількість обладнання), L - обсяг трудових ресурсів (кількість робітників, кількість людино-днів) , X - обсяг продукції (валової) у вартісному або натуральному вигляді.

Гранична фондовіддача:

Аналогічно визначається середня та гранична продуктивність праці. Середня продуктивність праці визначається за формулою:

Гранична продуктивність праці:

Для них також виконується відношення: гранична продуктивність праці пропорційна середній продуктивності і менше її.

Знайдемо тепер еластичність продукції за основними фондами:

та еластичність продукції за трудовими ресурсами:



Еластичність показує, як зміниться величина Х₁, якщо величина К₁ або L₁ зміниться на 1%.

Знайдемо також граничні норми заміщення основних фондів трудовими ресурсами:

та трудових ресурсів основними фондами

Ці норми показують, як при незмінній величині продукції можна змінити співвідношення між факторами.

Виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд:

Для другої галузі необхідно розглянути лінійну виробничу функцію

₂=b₁₂+b₂L₂,

b₁=10i=260, b₂=і=26,

Визначимо середню фондовіддачу:

та граничну фондовіддачу:

Середня продуктивність праці визначається за формулою:

гранична продуктивність праці:

Еластичність продукції за основними фондами:

та еластичність продукції за трудовими ресурсами:

Гранична норма заміщення основних фондів трудовими ресурсами визначається за формулою:

та трудових ресурсів основними фондами:

.

5.2Дослідження моделі "витрати-випуск" Леонтьєва

За даними А та побудувати модель Леонтьєва для двох галузей та знайти вектор валової продукції . Для цього виконати такі дії:

1. знайти матрицю (I-A), де І - одинична матриця

I=,

2. обчислити визначник матриці |I-A|.

3. знайти мінори для елементів матриці (I-A). Наприклад, мінор М₁₁ дорівнює

,

М₁₁ = 0,6; М₁₂ = -0,2; М₂₁ = -0,125; М₂₂ = 0,75.

4.знайти алгебраїчні доповнення для елементів матриці (I-A). Позначимо алгебраїчне доповнення ,; . Алгебраїчним доповненням зветься мінор, який береться зі знаком (-1)^i+k

=(-1)^i+kM_ik.

А₁₁ = (-1)²*0,6 = 0,6

А₁₂ = (-1)³*(-0,2) = 0,2

А₂₁ = (-1)³*(-0,125) = 0,125

А₂₂ = (-1)⁴*0,75 = 0,75

(I-A) =

5. Транспонувати матрицю ,

(I-A)^/ =

6. Знайти обернену матрицю (І-А)^-1 за формулою

,

7.Знайти вектор валової продукції: =(І-А)^-1,

8.Знайти міжгалузеві потоки продукції за формулою .

х₁₁ = 1,559; х₁₂ = 0,67675; х₂₁ = 1,2472; х₂₂ = 2,1656.

Таким чином, модель має вигляд (табл. 2)

Виробляючі галузі	Споживаючі галузі	Кількість кінцевої продукції	Кількість валової продукції
	1	2
1	1,559	0,67675	4	6,236
2	1,2472	2,1656	2	5,414

5.3Дослідження моделі міжгалузевого балансу витрат праці

На основі міжгалузевого балансу виробництва та розподілення продукції побудувати міжгалузевий баланс витрат праці. Використати таку кількість трудових ресурсів

Користуючись даними попереднього підрозділу розробимо схему міжгалузевого балансу виробництва та розподілу продукції. Ця схема включає чотири квадранти. Перший квадрант - це шахматна таблиця міжгалузевих потоків продукції. В другому квадранті показана кінцева продукція всіх галузей. Третій квадрант характеризує умовно-чисту продукцію, до якої відносяться амортизаційні відрахування, оплата праці, чистий дохід тощо. Складові третього квадранта можна знайти за формулою

E_i=X_i-,

Таким чином Е₁ = 3,43, а Е₂ = 2,57.

Четвертий квадрант знаходиться на перетині стовпця другого квадранта та рядка третього квадранта. Сума елементів другого квадранта має дорівнювати сумі елементів третього квадранта.

Міжгалузевий баланс виробництва та розподілу продукції (табл. 3)

Виробляючі галузі	Споживаючі галузі	Кількість кінцевої продукції	Кількість валової продукції
	1	2
1	1,559	0,67675	4	6,236
2	1,2472	2,1656	2	5,414
Кількість умовно-чистої продукції	3,43	2,57	6
Кількість валової продукції	6,236	5,414		11,65

Знаходимо коефіцієнти прямої трудомісткості за формулою:

;

Далі обчислюємо коефіцієнти повної трудомісткості:

Помножуючи всі рядки першого та другого квадрантів міжгалузевого балансів на відповідні коефіцієнти прямої трудомісткості,

;

;

;

одержуємо схему міжгалузевого балансу витрат праці (табл. 4):

Виробляючі галузі	Споживаючі галузі
	Міжгалузеві витрати упредметненої праці	Витрати праці на кінцеву продукцію	Витрати праці в галузях (трудові ресурси)
	1	2
1	779,99	1197,90	3119,99	3120
2	338,59	2079,99	5199,98	5200

Тепер перевіримо виконання рівняння

Похибки округлення під час обчислень дають різницю між даними.

5.4Дослідження моделі Неймана

Розв'яжемо задачу, використовуючи модель Дж. Неймана. Є матриці: технологічних процесів вектор цін та вектор початкових запасів .

Нехай вектор-стовпець інтенсивностей, які треба визначити. Тоді для їх обчислення маємо задачу лінійного програмування. У матрично-векторній формі задача має вигляд:

в розгорнутій формі задача має вигляд:

Обмеження в розгорнутій формі мають такий вигляд:

Розв'яжемо цю задачу графічним методом лінійної оптимізації (мал. 1).

Точка максимуму (0; 0,6) і максимальна вартість продукції , яка може бути вироблена за один цикл, дорівнює 14,4.

5.5Дослідження моделі Солоу

За даними для функції Кобба-Дугласа та нормою накопичення с=б=1/3, коефіцієнтом вибування фондів м=0,03і=0,78 за рік, долею приросту трудових ресурсів =0,05і=1,3 знайти значення фондоозброєності та продуктивності праці на стаціонарній траєкторії. Тут і - номер заданого варіанта (i=26).

Позначимо стаціонарне значення фондоозброєності через . Для функції Кобба-Дугласа

Y₁= f(K₁,L₁)=F(K₁,L₁)/2=aK₁^бL₁^1-б /2,

воно обчислюється за формулою

₁ = [сa /( 2м +2 )]^{1/(1 - б)}.

₁=

На стаціонарній траєкторії позначимо продуктивність праці . Для функції Кобба-Дугласа можна знайти за формулою:

₁=a[сa / (2м +2 )]^{б / (1 - б)} / 2.

₁=

Висновки

Отже, можна зробити наступні короткі висновки по даній курсовій роботі:

1.Аналітичний метод «витрати випуск» наповнив практичним вмістом теорію загальної економічної рівноваги, він сприяв удосконаленню математичного апарату.

2.Метод Леонтьєва відрізняє ясність і простота, універсальність і глобальність, іншими словами придатність для економіки окремих країн і регіонів, для світового господарства в цілому

На думку Леонтьєва, міжгалузевий аналіз може служити основним інструментом стратегічного планерування.

3.В даний час в національній економіці існують і продовжують виникати складні проблеми, що вимагають міжгалузевих обгрунтувань. Використання ж методу “затрати-випуск” міжгалузевого балансу дозволяє не лише вивчити взаємозалежність між різними галузями економіки, що виявляється у взаємовпливі цін, обсягів виробництва, капіталовкладень і доходів, але і вирішувати наступні завдання:

-прогноз основних макроекономічних показників (випуск валового і кінцевого продукту, чиста продукція, матеріальні витрати, виробничий вжиток продукції і ін. в розрізі галузей матеріального виробництва) залежно від зміни як зовнішніх, так і внутрішніх чинників;

-прогноз оптових цін продукції галузей матеріального виробництва, рівня інфляції, вартості споживчої корзини;

-прогноз рівня безробіття;

-прогноз екологічної обстановки і оцінка витрат на проведення природоохоронних заходів;

-оцінка ефективності конкретних пропозицій по розміщенню продуктивних сил;

-оцінка ефективності міжтериторіальних економічних зв'язків.

Таким чином, на основі моделей В. Леонтьєва може бути розроблений комплекс моделей функціонування економіки з метою визначення раціональних стратегій управління соціально-економічним розвитком регіону і країни в цілому

Перелік посилань

1.Економіко-математичні методи и прикладні моделі.: В.В. Федосеєв, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Під редакцією В.В. Федосеєва. - М.: ЮНИТИ, 2009. - 391 с.

2.Малихін В.И. Математичне моделювання економіки.: Практичний посібник. - М.: Видавництво УРАО, 2008. - 160 с.

3.Губін Н.М. Економіко-математичні методи та моделі в плануванні та управлінні в галузі зв'язку.: - М.: Радіо та зв'язок, 2003. - 376 с.

4.Вітлінський В.В. Моделювання економіки: Навч. посібник. - К.: КНЕУ, 2008. - 408 с.

5.Пономаренко О.І. Пономаренко В.О. Системні методи в економіці, менеджменті та бізнесі. : Навч.посібник. - К.: Либідь, 2005. - 240 с.

6.Клебанова Т.С., Забродский В.А., Полякова О.Ю., Петренко В.Л. Моделирование экономики: Учебное пособие. - Харьков: Изд. ХГЭУ, 2001. - 140 с.

7.Бережная А.В., Бережной В.Г. Математические методы моделирования экономических систем. Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 368 с.

8.Хачатрян С.Р. Прикладные методы математического моделирования экономических систем. Научно-метод. пособие / Московская академия экономики и права. - М.: “Экзамен”, 2002. - 192 с.