18

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра экономики и менеджмента

Контрольная работа

по дисциплине “Моделирование экономики”

Тема: «Классификация экономико-математических методов и моделей»

Выполнил студент

Проверил

Харьков 2009

1. Классификация экономико-математических методов и моделей

Существует значительное разнообразие видов, типов экономико-математических моделей, необходимых для использования в управлении экономическими объектами и процессами. Экономико-математические модели подразделяются на макроэкономические и микроэкономические в зависимости от уровня моделируемого объекта управления, динамические, которые характеризуют изменения объекта управления во времени, и статические, которые описывают взаимосвязи между разными параметрами, показателями объекта именно в то время. Дискретные модели отображают состояние объекта управления в отдельные, фиксированные моменты времени. Имитационными называют экономико-математические модели, используемые с целью имитации управляемых экономических объектов и процессов с применением средств информационной и вычислительной техники. По типу математического аппарата, применяемого в моделях, выделяются экономико-статистические, модели линейного и нелинейного программирования, матричные модели, сетевые модели.

Факторные модели. В группу экономико-математических факторных моделей входят модели, которые с одной стороны включают экономические факторы, от которых зависит состояние управляемого экономического объекта, а с другой - зависимые от этих факторов параметры состояния объекта. Если факторы известны, то модель позволяет определить искомые параметры. Факторные модели чаще всего предоставлены простыми в математическом отношении линейными или статическими функциями, которые характеризуют связь между факторами и зависимыми от них параметрами экономического объекта.

Балансовые модели. Балансовые модели как статистические, так и динамические широко применяются в экономико-математическом моделировании. В основе создания этих моделей лежит балансовый метод - метод взаимного сопоставления материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Описывая экономическую систему в целом, под её балансовой моделью понимают систему уравнений, каждое из которых выражает потребность баланса между изготовленными отдельными экономическими объектами количества продукции и совокупной потребностью в этой продукции. При таком подходе экономическая система состоит из экономических объектов, каждый из которых выпускает некоторый продукт. Если вместо понятия «продукт» ввести понятие «ресурс», то под балансовой моделью необходимо понимать систему уравнений, которые удовлетворяют требования между определенным ресурсом и его использованием.

Наиболее важные виды балансовых моделей:

· Материальные, трудовые и финансовые балансы для экономики в целом и отдельных ее отраслей;

· Межотраслевые балансы;

· Матричные балансы предприятий и фирм.

Основу информационного обеспечения балансовых моделей в экономике составляет матрица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. Выстраивая модель межотраслевого баланса (МОБ), применяют специфическое понятие чистой, или технологической отрасли, т.е. условной отрасли, которая соединяет все производство соответствующего продукта независимо от форм собственности предприятий и фирм, которые его изготовляют.

Существуют четыре составляющие схемы МОБ, которые имеют разное экономическое содержание - так называемые квадранты баланса.

Квадрант 1 - это шахматная таблица межотраслевых материальных связей. Показатели, размещенные на пересечении её рядов и столбцов, представляют значения межотраслевых потоков продукции.

В квадранте 2 предоставлен конечный продукт всех отраслей материального производства. Под конечным понимают продукцию, которая поступает со сферы производства в отрасль конечного использования.

Квадранта 3 характеризует национальный доход.

Квадранта 4 отображает конечное распределение и использование национального дохода.

Оптимизационные модели. Большой класс экономико-математических моделей образуют оптимизационные модели, которые позволяют выбрать со всех решений наилучший оптимальный вариант. В математическом содержание оптимальность понимается как достижение экстремума критерия оптимальности, называемой также целевой функцией. Оптимизационные модели чаще всего используются в задачах нахождения лучшего способа использования экономических ресурсов, что позволяет достичь максимальный целевой эффект. Математическое программирование образовалось на основе решения задачи про оптимальный раскрой листов фанеры, что обеспечивает наиболее полное использование материала. Поставив такую задачу, известный российский математик и экономист академик Л.В.Канторович был признан достойным Нобелевской премии в экономике.

При анализе структурных взаимосвязей в национальной экономике в системе национального счетоводства используется балансовый метод, получивший названия «затраты-выпуск». В его основе лежит идея о том, что описание экономической системы можно осуществлять путём редукции процессов и продуктов, т.е. выражения через другие процессы и продукты.

Первым шагом к практическому использованию теории общего равновесия была таблица затраты - выпуск Василия Леонтьева. Эта таблица впервые была опубликована в работе "Структура американской экономики в 1919-1929 гг."

С появлением метода затраты - выпуск возникло убеждение, что теория общего равновесия, выступавшая до сих пор в исключительно абстрактной форме сможет быть наполнена практическим содержанием. Этому способствовало и появление быстродействующих электронно-вычислительных машин. Складывалось мнение, что экономисты, в конце концов, выйдут за пределы статистического изучения временных рядов и анализа по методу регрессии, с помощью которых исследовались лишь отдельные стороны экономической действительности.

Но самый ценный вклад в методику численного решения экономических моделей был сделан в 1940-х годах Леонтьевым, создавшим метод затраты - выпуск. Отныне стало возможным численное решение больших систем уравнений. Современная электронно-вычислительная машина способна с феноменальной скоростью решить систему из тридцати уравнений с таким же числом неизвестных. Метод затраты - выпуск вполне себя оправдывает, по крайней мере в теоретическом плане.

Прежде всего отмечают, что с точки зрения общей модели равновесия классическая (исходная) модель Леонтьева имеет следующие особенности:

· рассматривается экономика, состоящая из "чистых" отраслей, т.е. когда каждая отрасль выпускает один и только свой вид продукта;

· взаимосвязь между выпуском и затратами описывается линейными уравнениями (линейная и постоянная технология);

· вектор спроса на товары считается заданным, т.е. в модели отсутствуют как таковые оптимизационные задачи потребителей;

· вектор выпуска товаров вычисляется, исходя из спроса, т.е. отсутствуют как таковые оптимизационные задачи фирм;

· равновесие понимается как строгое равенство спроса и предложения, т.е. стоимостной баланс отсутствует, более того, цены товаров в модели не рассматриваются вообще.

В зависимости от цели исследования экономику можно изучать в различных разрезах - от уровня национальной экономики до уровня отдельных фирм и потребителей. Целью построения модели Леонтьева является анализ перетока товаров между отраслями экономики, обеспечивающего такое функционирование производственного сектора, когда объем выпуска соответствует суммарному (т.е. производственному и конечному) спросу на товары. Поэтому экономика рассматривается в разукрупненном до уровня отраслей виде. Предполагается, что каждая отрасль является "чистой", т.е. выпускает только один и только свой продукт. Это допущение и ряд других упрощений (постоянство технологии производства, отсутствие инвестиций, игнорирование невоспроизводимых ресурсов и др.) касаются, в основном, исходной модели. Их не следует относить к недостаткам модели, ибо она в дальнейшем обобщается и конкретизируется до разных уровней детализации.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Итак, ниже в Приложении 1 в табл. 1 приведена схема межотраслевого баланса производства и распределения совокупного общественного продукта в стоимостном выражении.

В основу схемы положено разделение совокупного продукта на две части: промежуточный и конечный продукт, всё народное хозяйство представлено в виде совокупности n отраслей (имеются ввиду чистые отрасли), при этом каждая фигурирует как производящая и как потребляющая.

Рассмотрим схему МОБ в разрезе его крупных составных частей. Выделяются четыре части, имеющие различное экономическое содержание, они называются квадрантами баланса и на схеме обозначены римскими цифрами.

Первый квадрант МОБ - это шахматная таблица межотраслевых материальных связей. Показатели, помещённые на пересечениях строк и столбцов, представляют собой величины межотраслевых потоков продукции и в общем виде обозначаются хij, где i и j - соответственно номера отраслей производящих и потребляющих. Так величина х23 понимается как стоимость средств производства, произведённых в отрасли с номером 2 и потреблённых в качестве материальных затрат в отрасли с номером 3. таким образом первый квадрант по форме представляет собой квадратную матрицу порядка n, сумма всех элементов которой равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере.

Во втором квадранте представлена конечная продукция всех отраслей материального производства, при этом под конечной понимается продукция, выходящая из серы производства в область конечного использования ( на потребление и накопление).. в табл. 1 этот раздел дан укрупнено в виде одного столбца величины Yi; в развёрнутой схеме баланса конечный продукт каждой отрасли показано дифференцировано по направлениям использования на личное потребление населения, общественное потребление, на накопление, возмещение потерь, экспорт и др. итак, второй квадрант характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода на фонд потребления и фонд накопления, структуру накопления и потребления по отраслям производства и потребителям.

Третий квадрант МОБ также характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продукции и амортизации; чистая продукция понимается при этом как сумма оплаты труда и чистого дохода отраслей. Сумму амортизации (cij) и чистой продукции (vj + mj) некоторой j-той отрасли называют условно чистой продукцией этой отрасли ( в дальнейшем в курсовой работе обозначим её как Zj).

Четвёртый квадрант баланса находиться на пересечении второго квадранта (конечной продукции) и строк третьего квадранта (условно чистой продукции). Этим определяется содержание квадранта: он отражает конечное распределение и использование национального дохода. В результате перераспределения первоначально созданного национального дохода образуются конечные доходы населения, предприятий, государства. Данные четвёртого квадранта важны для отражения в межотраслевой модели баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капиталовложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей. Важным является то, что итог четвертого квадранта, так же как второго и третьего, должен быть равен созданному за год национальному доходу.

Таким, образом, в целом межотраслевой баланс в рамках единой модели объединяет балансы отраслей материального производства, баланс совокупного общественного продукта, балансы национальных доходов и расходов населения. Следует отметить, что хотя валовая продукция не входит в рассмотренные выше четыре квадранта, она представлена на схеме баланса в виде столбца, расположенного справа от второго квадранта, и в виде строки ниже третьего квадранта. Эти столбец и строка валовой продукции замыкают схему МОБ и играют важную роль как для проверки правильности заполнения квадрантов (т.е. для проверки самого баланса), так и для разработки экономико-математической модели межотраслевого баланса.

При этом выделяют два важнейших соотношения, отражающих сущность МОБ и являющиеся основой его экономико-математической модели:

Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам, делают вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и её условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли:

Хi = ?хij +Zj; j=1,..n.

Данное соотношение отражает стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы.Во-вторых, рассматривая схему по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих её продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

Xi = ?xij + Yj; i=1,..n.

Формула описывает систему из n уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

Просуммировав по отраслям уравнения, в результате получим:

?Xj = ??xij + ?Zj

При этом аналогичное суммирование уравнений даст следующее:

?Xi = ??xij + ?Yi

Левые части равенств равны, так как представляют собой весь валовой общественный продукт. Первые слагаемые правых частей этих равенств также равны, их величина равна итогу первого квадранта. Следовательно, должно соблюдаться соотношение:

?Zj = ?Yi

Левая часть уравнения есть сумма третьего квадранта, а правая часть - итог второго квадранта. В целом же это уравнение показывает, что в межотраслевом балансе соблюдается важнейший принцип единства материального и стоимостного состава национального дохода.

Основу информационного обеспечения балансовых моделей в экономике составляет матрица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. В модели межотраслевого баланса такую роль играет так называемая технологическая таблица - таблица межотраслевого баланса, составленная из коэффициентов прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении. Предполагается, что для производства единицы продукции j-той отрасли требуется определённое количество затрат промежуточной продукции i-той отрасли, равное aij. Оно не зависит от объёма производства в отрасли и является довольно стабильной величиной во времени. Величины aij называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

aij = xij / Xj , (i,j = 1, 2,...,n)

Итак, коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-той отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-той отрасли.

С учётом формулы (2.1) систему уравнений баланса можно переписать в виде:

Хi = (ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn) + Yi ,

(i = 1, 2,...,n),

Система уравнений в матричной форме примет вид:

X=AX+Y

где A - постоянная технологическая матрица и называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение AX как затраты, эту систему часто называют моделью "затраты-выпуск”.С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

· задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Хi), можно определить объёмы конечной продукции каждой отрасли (Yi):

Y= (E-A)X,

(при этом E обозначает единичную матрицу n-го порядка).

· задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):

X=(E-A) Y,

(при этом (E-A )-1 обозначает матрицу, обратную (E-A)).

· для ряда отраслей, задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объёмы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объёмы валовой продукции вторых, в этом варианте расчёта удобнее пользоваться не матричной формой модели, а системой линейных уравнений.

Итак, основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Переписав матричное уравнение в виде:

(E - A) X = Y, можно сделать следующие выводы:

Если матрица (E-A) невырожденная (т.е. если ее определитель не равен нулю), тогда имеем:

X = (E - A) -1 Y.

Обозначим обратную матрицу

В=(E - A)-1

Эта матрица В = (E - A)-1 называется матрицей полных затрат. В матричной форме уравнение теперь запишется как:

X=BY

Элементы матрицы В будем обозначать через bij, тогда из матричного уравнения для любой i-той отрасли можно получить следующее соотношение:

Xi =?biYj, I=1…n

В отличие от коэффициентов прямых затрат aij коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

В конце 40-х - начале 50-х гг. все больше стран начинают разрабатывать балансы «затраты-выпуск», использовать их в прогнозировании, государственных программах социально-экономического развития. Наиболее резкое критическое замечание о системе Леонтьева сводилось к тому, что его таблицы затраты - выпуск - это лишь немногим большее, чем удобная классификация данных, относящихся к прошлому. Но, как отметил Р. Голдсмит, леонтьевские таблицы представляются разумной аппроксимацией к вальрасовским уравнениям, если сообщить последним динамический характер. Главная трудность их практического применения заключается в невозможности своевременного получения данных, ибо если таблицы затраты - выпуск не составляются достаточно часто, то они превращаются в своего рода историческую статистику.

Подводя итоги, можно следующим образом вывести достоинства и недостатки метода «затраты-выпуск»:

Достоинства метода:

· Позволяет планировать отрасли системно с учетом места и веса каждой отрасли.Дает возможность планирования на ряд лет, позволяя найти пути подъема, как всей экономики страны, так и отдельных отраслей. (Успехи Леонтьева в Германии и Японии после войны.) Практическое применение метода затраты выпуск достаточно широко. В США после Второй мировой войны по руководством Леонтьева составлена матричная таблица включающая 400 отраслей экономики США. Результаты экономического анализа были использованы для прогнозирования занятости населения в послевоенный период. Модели Леонтьева позволили смягчить топливный кризис 1970 года, продовольственный 1972-74 годов, экологический конца 70-х начала 80-х годов.)

Недостатки:

· Опора на матрицу коэффициентов полных затрат приводит к трудоемкому процессу сбора и обработки большого объема статистической информации. Процесс производится с периодичностью 5 лет, что не дает полной картины динамики отрасли.

· Нет учета технологических изменений в отраслях за период между сбором информации о матрице затрат.

Задача № 3

Для потребителя с функцией полезности найти функцию спроса на оба товара по ценам и доходам . Определить вектор, который равняется значению спроса на товары по конкретным ценам и доходам .

Решение.

Найдем точку спроса потребителя по функции полезности . Имеем:

Зависимость между производными функциями полезности и ценами такая:

.

Получаем:

.

Поэтому:

+ = Q,

2=Q.

Откуда,

,

.

Подставляем значения:

=64/(2*2)=16, =64

=64/(2*8)=4, ₁=8

Задача № 17

Для фирмы с производственной функцией найти оптимальный размер, если период амортизации основных фондов 27 месяца, зарплата работника в месяц 1000 грн.

Решение:

Рассмотрим систему уравнений:

Отсюда,

/=/

*=

/=

Отсюда,

Выполнив расчеты в программе MathCAD:

К = 4,44*10⁶ L = 0,999

Перечень ссылок

1. Аникин А.В.Василий Леонтьев, или экономика на шахматной доске//природа.- М.,2008, №7.С.41-57.

2. Бункина М.К. Экономические модели Василия Леонтьева.//Финансовый менеджмент.- М., 2002, №1.С. 13-28.

3. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов.- М., 2008.- 304 с.

4. Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика М.,2007. -315 с.

5. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов /В.В.Федосеев, А.Н. Гармаш и др.-М., 2001. -264 с.

6. www.wassily.leontief.net - Сервер Леонтьева В.В.

Приложение 1

Схема статического межотраслевого баланса.