Исследование социально-экономических показателей

Построить модель для прогнозирования реальный социально-экономических показателей РФ (оборот розничной торговли, непродовольственные товары) за 1999-2003 год, используя статистическую информацию из журнала "вопросы статистики" № 6. Спрогнозировать значения показателя на 2004 и 2005год. Сравнить прогнозное значение с реальным. Оценить качество экономико-математической модели. Исходные данные в таблице 7.

Таблица 7.

Теоретическая часть

Линейная однофакторная модель имеет следующий вид:

. (1.1)

По статистическим данным определяются параметры модели. С использованием МНК получены зависимости для определения этих коэффициентов:

(1.2)

(1.3)

Логарифмическая однофакторная модель имеет следующий вид:

(1.4)

Полулогарифмическая однофакторная модель имеет вид:

(1.5)

Обратная однофакторная модель имеет следующий вид:

(1.6)

Значимость коэффициентов модели определяется по критерию Стьюдента.

1) Значимость коэффициента

Выдвигается нулевая гипотеза :

:

Расчетное значение критерия:

(1.7)

2) Значимость коэффициента

(1.8)

Затем определяется табличное значение .

Если гипотеза отвергается, модель значима. В обратном случае гипотеза принимается, модель незначима.

Ошибка аппроксимации определяется по формуле:

(1.9)

Стандартная ошибка прогноза определяется по формуле:

 (1.10)

Значимость модели проверяется по критерию Фишера.

Выдвигаются гипотезы:

:

:

Определяется расчетное значение критерия Фишера по формуле:

(1.11)

(1.12)

(1.13)

Определяется табличное значение критерия

Где - уровень значимости,

-степень свободы факторной дисперсии,

-степень свободы остаточной дисперсии.

Если расчетное значение критерия больше табличного, то гипотеза отвергается, модель значима.

Коэффициент эластичности определяется по следующей формуле:

 (1.14)

Коэффициенты модели в матричной форме определяются по следующим зависимостям:

(1.15)

где - транспонированная матрица,

x- матрица факторных значений,

- обратная матрица,

y- вектор-столбец значений показателя,

,- коэффициенты модели.

Адекватность модели определяется следующим образом:

1) Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности.

Определим значение

(1.16)

По критерию пиков определяется число поворотных точек- р.

Проверяется выполнение следующего неравенства:

(1.17)

(1.18)

(1.19)

Если неравенство выполняется, то можно переходить к следующему пункту проверки адекватности модели. В обратном случае делается вывод о том, что модель не адекватна.

2) Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения.

Проверяем выполнение следующих неравенств:

(1.20)

(1.21)

(1.22)

(1.23)

(1.24)

(1.25)

Если неравенства выполняются, то можно переходить к следующему пункту проверки адекватности модели. В обратном случае делается вывод о том, что модель не адекватна.

3) Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю.

(1.26)

Если , то можно переходить к следующему пункту проверки адекватности модели. В обратном случае делается вывод о том, что модель не адекватна.

4) Проверка независимости значений уровней случайной компоненты.

Вычисляется значение:

(1.27)

Если , то это свидетельствует об отрицательной связи и нужно посчитать:

(1.28)

и в дальнейшем работать только с .

Расчетное значение d или сравнивается с верхним и нижним статистики Дарвина-Уотсона.

Если -модель адекватна,

- модель неадекватна,

-нет достаточных оснований для вывода об адекватности или неадекватности.

Прогнозирование социально-экономических показателей на основе экспоненциального сглаживания.

Построение модели осуществляется по исходным данным как и при регрессионном анализе, но здесь параметры модели на каждой итерации корректируются. Основная идея сглаживания исходных данных заключается в расчете экспоненциальных средних. Она определяется по зависимости:

(1.29)

Если параметр принимает значение равное нулю или близок к нулю, то будет полная фильтрация исходного ряда. Если принимает значение равное единице или близкое к ней, то полная адаптация.

Из зависимости (29) видно, что если параметр сглаживания больше 0,5, то новым данным представляется больший вес, чем предыдущим, а если меньше 0,5, то рассмотрим экспоненциальную среднюю на момент времени:

(1.30)

Для определения параметров модели рассчитываются промежуточные экспоненциальные средние. Они определяются по формуле:

(1.31)

Коэффициенты модели определяются по следующим зависимостям:

(1.32)

(1.33)

Анализ колебательных процессов и определение параметров модели.

Для i=1 модель имеет следующий вид:

(1.34)

Параметры определяются по следующим зависимостям:

(1.35)

(1.36)

(1.37)

Для i=2 модель имеет следующий вид:

(1.38)

Параметры определяются по следующим формулам:

(1.39)

(1.40)

Линейная многофакторная модель имеет следующий вид:

(1.41)

Коэффициенты модели определяются решением следующей системы:

(1.42)

Нелинейная многофакторная модель имеет следующий вид:

(1.43)

Коэффициенты модели определяются решением следующей системы:

(1.44)

Определение сезонной компоненты:

1) Сглаживание исходного ряда, т.е. выделение тренда или первая оценка тренда. Сглаживание исходных данных проводится по следующей зависимости:

(1.45)

(1.46)

2) Определение разности между исходными значениями показателя и выровненными.

(1.47)

3) Определение СКО случайной величины

(1.48)

4) определение нормированного значения случайной величины

,т.о. случайная компонента элиминируется.

5) определение сезонной компоненты:

. (1.49)

Практическая часть

Задача 1.

По номинальной и среднемесячной заработной плате населения Пензенской области и заработной плате в сфере образования с 1999 по 2003 год были построены четыре модели (линейная и нелинейная). Расчеты были произведены средствами MS EXCEL. По зависимостям (1.2) и (1.3) были найдены коэффициенты модели. Получим уравнение для заработной платы населения следующего вида:

Ошибка аппроксимации определяется по формуле (1.9). Получим .

Для заработной платы в сфере образования модель примет вид:

Ошибка аппроксимации: .

Аналогично по формуле (1.5) построим модель вида: или .

При получим . Получим модель для заработной платы населения вида: или . Ошибка аппроксимации по формуле (1.9): . Для заработной платы в сфере образования модель имеет вид: или . Ошибка аппроксимации: .

Видно, что лучшая модель по ошибке аппроксимации имеет общий вид:

По этой модели спрогнозируем среднюю заработную плату населения в Пензенской области на 2004 и 2005 гг. соответственно:

руб.

руб.

Спрогнозируем среднюю заработную плату в сфере образования по этой же модели на 2004 и 2005 года соответственно:

руб.

руб.

По реальным статистическим данным средняя заработная плата населения Пензенской области за 2004 г. составляет 6976 руб., в сфере образования 3630 руб. Прогнозное значение заработной платы населения равно 5192,44 руб., что меньше реального на 1783,6 руб., и в сфере образования прогнозное равно 3874,01 руб., что превышает реальное на 244,01 руб. Такое несоответствие данных может быть вызвано малым объемом исходных данных.

Задача 2

Построена однофакторная линейная модель, связывающая выпуск изделий с их запуском. По зависимостям (1.2) и (1.3) были найдены коэффициенты модели. Построенная модель имеет следующий вид:

Ошибку аппроксимации определим по формуле (1.9).

- модель можно использовать для прогнозирования, так как ошибка аппроксимации меньше 10 %.

Определим коэффициент эластичности при x=13. Данный коэффициент определим по зависимости (1.14). Получаем:

Проверим значимость модели по F критерию Фишера. Для этого определим расчетное значение критерия по формуле (1.11) и сравним его с табличным значением. Получаем:

,

.

- гипотеза отвергается, модель значима.

Проверим значимость коэффициентов по критерию Стьюдента. Для этого по формулам (1.7) и (1.8) находим расчетные значения и , затем определим табличное значение и сравним их. Получаем:

,

.

Из этого можно сделать вывод о том, что

-гипотеза отвергается, коэффициент значим,

-гипотеза принимается, коэффициент незначим.

Коэффициенты модели в матричной форме определяются по формуле (15).

Получаем:

Проверим модель на адекватность:

I Проверка случайности колебаний уровня остаточной последовательности. Критерий пиков. Проверим выполнение неравенства (1.18):

.

Таблица 2.1

Выполнение критерия пиков

Неравенство выполняется, можно переходить к следующему пункту проверки модели.

II Проверка соответствия распределения случайных компонентов нормальному закону распределения.

Проверим выполнение неравенств (1.20) и (1.21).

.

.

Неравенства выполняются, можно переходить к следующему пункту проверки модели на адекватность.

III Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю.

.

IV Проверка независимости значений уровней случайной компоненты.

По формуле (1.27) найдем значение :

.

Это говорит об отрицательной связи.

По формуле (1.28) определим :

.

По критическим значениям статистики Дарвина-Уотсона при уровне значимости , числе факторов k=1 и объеме выборке n=6 получаем ; .

, следовательно гипотеза принимается, модель адекватна.

Спрогнозируем выпуск изделий при .

.

Построена линейная многофакторная модель, связывающая продолжительность жизни населения в Российской Федерации с количеством врачей на тысячу жителей и реальной среднемесячной заработной платой одного работника.

Модель имеет следующий вид:

Определим значимость модели по критерию Фишера.

По формуле (1.11) определим фактическое значение критерия

.

Определим табличное значение критерия Фишера

Определим стандартную ошибку прогноза по формуле (1.10)

.

Определим частные коэффициенты эластичности при и .

Проверим значимость коэффициентов по критерию Стьюдента. Для этого по формулам (1.7) и (1.8) находим расчетные значения и , затем определим табличное значение и сравним их. Получаем:

,

.

Из этого можно сделать вывод о том, что

-гипотеза отвергается, коэффициент значим,

-гипотеза отвергается, коэффициент значим.

Оба коэффициента значимы, но более значим, чем .

Спрогнозируем продолжительность жизни населения , если , .

Прогноз: 66.503.

При выполнении курсовой работы были построены однофакторные модели разными методами: по определению трендовых моделей, матричным методом, с использованием метода экспоненциального сглаживания. По каждой модели была найдена ошибка аппроксимации, которая практически во всех случаях оказалась незначительная, т.е., судя по ней, модели можно применять на практике. Судя о наименьшей ошибке аппроксимации, по лучшим моделям были сделаны прогнозы исходных данных. Для качественной оценки был проведен дальнейший анализ (за исключением задания 1) построенных моделей: проверка модели на адекватность, определение значимости коэффициентов модели по критерию Стьюдента и значимости самой модели по критерию Фишера. Получили, что в одном случае коэффициенты модели значимы и модель сама значима, кроме этого полученная модель адекватна (задание 2). Можно сделать вывод о том, что по моделям можно прогнозировать и отклонения от реальных данных будет несущественно.

Так же в ходе выполнения курсовой работы были построены многофакторные модели матричным методом и с использованием МНК. При определении значимости коэффициентов регрессии было установлено, один коэффициент значим, а другой - незначим и его можно исключить из уравнения. Так же были даны рекомендации по решению выявленной проблемы на основе подсчета коэффициентов эластичности и прогнозного значения.

В задании 6 были построены 2 многофакторные модели: линейная и нелинейная. При оценке их качества были найдены коэффициенты детерминации, по которым можно судить о том, на сколько исходное значение зависит от исследуемых факторов. Выяснилось, что линейная модель более качественная, чем нелинейная, т.к. у нее коэффициент детерминации больше. Но судить о том, можно ли применять данную модель в практических целях нельзя, т.к. необходим дальнейший ее анализ.

В задании 4 были подсчитаны сезонные колебания. Их необходимо учитывать при прогнозировании каких-либо показателей, т.к. они влияют на качество прогнозных значений.

Заключение