Задание 9

Администрация страховой компании приняла решение о введении нового вида услуг - страхование на случай пожара. С целью определения тарифов по выборке из 10 случаев пожаров анализируется зависимость стоимости ущерба, нанесенного пожаром от расстояния до ближайшей пожарной станции:

9.1. Построить диаграмму рассеяния результирующей величины (общая сумма ущерба) и независимой переменной (расстояние до ближайшей станции)

На основании диаграммы рассеяния можно сделать вывод, что между факторным (Х) и результативным (Y) признаками существует прямая зависимость.

9.2. Определить параметры а и b уравнения парной линейной регрессии:

где n - число наблюдений в совокупности (в нашем случае 10)

a и b - искомые параметры

x и y - фактические значения факторного и результативного признаков.

Для определения сумм составим расчетную таблицу из пяти граф, в графе 6 дадим выравненное значение y (y).

В графах 7,8,9 рассчитаем суммы, которые использованы в формулах пунктов 4,5 данной задачи.

Коэффициент регрессии (b) показывает абсолютную силу связи между вариацией x и вариацией y. Применительно к данной задаче можно сказать, что при применении расстояния до ближайшей пожарной станции на 1 км общая сумма ущерба изменяется в среднем на 4,686 млн.руб.

Таким образом, управление регрессии имеет следующий вид:

9.3. Рассчитать линейный коэффициент корелляции

Линейный коэффициент корреляции определяется по формуле:

В соответствии со шкалой Чеддока можно говорить о высокой тесноте связи между y и x, r = 0.957.

Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации

Это означает, что доля вариации y объясненная вариацией фактора x включенного в уравнение регрессии равна 91,6%, а остальные 8,4% вариации приходятся на долю других факторов, не учтенных в уравнении регрессии.

9.4. Проверить статистическую значимость коэффициента регрессии «b» с помощью t-критерия Стъюдента

Статистическую значимость коэффициента регрессии «b» проверяем с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого сначала определяем остаточную сумму квадратов:

и ее среднее квадратическое отклонение:

Найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии по формуле:

Фактическое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии «b» рассчитывается как

Полученное фактическое значение tb сравнивается с критическим tk , который получается по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости L=0,05 (для вероятности 0,95) и числа степеней свободы

Полученный коэффициент регрессии признается типичным, т.к. t_b?t_k 11,05?2,3

9.5. Оценить статистическую значимость построенной модели регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера

Оценка статистической значимости построенной модели регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера

Фактическое значение критерия для уравнения определяется как

Fфакт сравнивается с критическим значением Fк, которое определяется по таблице F-критерия с учетом принятого уровня значимости L=0,05 (для вероятности 0,95) и числа степеней свободы:

Следовательно, при Fфакт>Fк уравнении регрессии в целом признается существенным.

По исходным данным полагают, что расстояние до ближайшей пожарной станции уменьшится на 5% от своего среднего уровня

Следовательно, значения факторного признака для точечного прогноза:

а точечный прогноз:

Строим доверительный интервал прогноза ущерба с вероятностью 0,95 (L=0,05) по формуле

Табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости L=0,05 и числа степеней свободы п-2=10-2=8,

Стандартная ошибка точечного прогноза рассчитываемая по формуле

Отсюда доверительный интервал составляет:

Из полученных результатов видно, что интервал от 19,8 до 28,6 млн. руб. ожидаемой величины ущерба довольно широкий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии, это видно из формулы связана прежде всего с малым объемом выборки (n=10), а также тем, что по мере удаления xk от ширина доверительного интервала увеличивается.

Задание 10

Имеются следующие данные о ценах и дивидендах по обыкновенным акциям, также о доходности компании.

Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров

Составим расчетную таблицу

Определяем

По данным таблицы составим систему нормальных уравнений с тремя неизвестными:

Разделим каждое уравнение на коэффициент при a.

Вычтем первое уравнение из второго и третьего

Разделим каждое уравнение на коэффициент при b₁

Сложим оба уравнения и найдем

Таким образом, уравнение множественной регрессии имеет вид

Экономический смысл коэффициентов b₁ и b₂ в том, что это показатели силы связи, характеризующие изменение цены акции при изменении какого-либо факторного признака на единицу своего измерения при фиксированном влиянии другого фактора. Так, при изменении доходности капитала на один процентный пункт, цена акции измениться в том же направлении на 0,686 долларов; при изменении уровня дивидендов на один процентный пункт цена акции изменится в том же направлении на 11,331 доллара.

Рассчитать частные коэффициенты эластичности

Будем рассчитывать частные коэффициенты эластичности для среднего значения фактора и результата:

Э- эластичность цены акции по доходности капитала

Э- эластичность цены акции по уровню дивидендов

Определить стандартизованные коэффициенты регрессии

Формулы определения:

где j- порядковый номер фактора

- среднее квадратическое отклонение j-го фактора (вычислено раньше)

=2,168 = ,0484

- среднее квадратическое отклонение результативного признака

=6,07

Сделать вывод о силе связи результата с каждым из факторов

Коэффициенты эластичности факторов х₁ и х₂ говорят о том, что при отклонении величины соответствующего фактора от его средней величины на 1% (% как относительная величина) и при отвлечении от сопутствующего отклонения другого фактора входящего в уравнение множественной регрессии, цена акции отклонится от своего среднего значения на 0,403% при действии фактора х₁ (доходность капитала) и на 1,188% при действии фактора х₂ (уровень дивидендов).

Таким образом сила влияния фактора х₂ на результат (цену акции) больше, чем фактора х₁, а сами факторы действуют в одном и том же положительном направлениии.

Количественно фактор х₂ приблизительно в три раза сильнее влияет на результат чем фактор х₁.

()

Анализ уравнения регрессии по стандартизованным коэффициентам показывает, что второй фактор влияет сильнее на результат, чем фактор х₁ (), т.е. при учете вариации факторов их влияние более точно.

Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции

Парные коэффициенты корреляции определяются по формулам:

Частные коэффициенты корреляции определяются по ф-ле:

Множественный коэффициент корреляции определяется по формуле:

Матрица парных коэффициентов корреляции

Из таблицы видно, что в соответствии со шкалой Чеддока связь между и можно оценить как слабую, между и - как высокую, между и связь практически отсутствует.

Таким образом, по построенной модели можно сделать вывод об отсутствии в ней мультиколлениарности факторов.

Частные коэффициенты корреляции рассчитывались как оценки вклада во множественной коэффициент корреляции каждого из факторов ( и ). Они характеризуют связи между результативными признаками (ценой акции) и соответствующим фактором x.

Причина различий между значениями частных и парных коэффициентов корреляции состоит в том, что частный коэффициент отражает долю вариации результативного признака (цены акции), дополнительно объясняемой при включении фактора (или ) после другого фактора (или ) в уравнение регрессии, не объяснимой ранее включенным фактором (или ).