Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло
Понятие метода статистического моделирования систем. Предмет и общая схема метода Монте-Карло. Разыгрывание дискретной случайной величины. Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло. Разыгрывание полной группы событий.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.09.2009 |
| Размер файла | 84,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
ФАЖТ ГОУВПО РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Математика
Контрольная работа №5-6
тема: Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло
Рязань, 2009 год
Содержание
Введение
1. Понятие метода статистического моделирования систем
2. Предмет метода Монте-Карло.
3. Общая схема метода Монте-Карло
3.1 Случайные числа
3.2Разыгрывание дискретной случайной величины
3.3Разыгрывание противоположных событий.
3.4 Разыгрывание полной группы событий.
3.5 Разыгрывание непрерывной случайной величины.
4. Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло
Заключение
Список литературы
Введение
В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации [1].
Метод моделирования широко применяют в таких областях, как автоматизация проектирования и организации в автоматизированных системах научных исследований, в системах исследования и проектирования, в системах массового обслуживания, анализ различных сторон деятельности человека, автоматизированное управление производственными и другими процессами.
Важно подчеркнуть, что моделирование используется при проектировании, создании, внедрении, эксплуатации систем, а также на различных уровнях их изучения, начиная от анализа работы элементов и кончая исследованием системы в целом при их взаимодействии с окружающей средой.
1. Понятие метода статистического моделирования систем
На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод статистического моделирования (Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел, т.е. возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятностей. Статистическое моделирование представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе. Для получения представляющих интерес оценки характеристик моделируемой системы S с учетом воздействий внешней среды Е статистические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов математической статистики. Сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы S некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды Е, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ. Различают две области применения метода статистического моделирования: - для изучения стохастических систем; - для решения детерминированных задач [2]. Основной идеей, которая используется для решения детерминированных задач методом статистического моделирования, является замена детерминированной задачи эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики последней совпадают с результатом решения детерминированной задачи. При такой замене погрешность уменьшается с увеличением числа испытаний (реализации моделирующего алгоритма) N. В результате статистического моделирования системы S получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализации N достаточно велико, то полученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы S. При статистическом моделировании систем одним из основных вопросов является учет стохастических воздействий. Количество случайных чисел, используемых для получения статистически устойчивой оценки характеристики процесса функционирования системы S при реализации моделирующего алгоритма на ЭВМ, колеблется в достаточно широких пределах в зависимости от класса объекта моделирования, вида оцениваемых характеристик, необходимой точности и достоверности результатов моделирования. Для метода статистического моделирования на ЭВМ характерно, что большое число операций, а соответственно большая доля машинного времени расходуются на действия со случайными числами. Кроме того, результаты статистического моделирования существенно зависят от качества исходных (базовых) последовательностей случайных чисел. Поэтому наличие простых и экономичных способов формирования последовательностей случайных чисел требуемого качества во многом определяет возможность практического использования машинного моделирования системы. Понятие “статистическое моделирование” тесно связано с понятием “метод Монте-Карло” и почти ему тождественно. Для решения задач методом Монте-Карло необходимо получать на ЭВМ последовательность выборочных значений случайной величины с заданным распределением. Такой процесс принято называть моделированием случайной величины. Случайные величины обычно моделируют с помощью преобразований одного или нескольких независимых значений случайной величины а, равномерно распределенной в интервале (0,1). Независимые случайные величины, равномерно распределенные в интервале (0,1). Можно выделить следующие этапы моделирования случайных величин [3]:
· генерирование N реализации случайной величины с требуемой функцией распределения;
· преобразование полученной величины, определяемой математической моделью;
· статистическая обработка реализации. Особенностью первого этапа является то, что все методы для получения заданного распределения используют преобразование равномерно распределенной величины. Конструктивно задаются случайная величина, равномерно распределенная в интервале (0,1), (0,l), далее производится отображение и получается новая случайная величина с распределением, определяемым решаемой задачей, в общем случае может быть довольно сложным. Далее следует получение некоторых характеристик. При параметрических оценках вычисляется некоторая функция. При непараметрическом задании функций распределения обычно вычисляются плотности или функции распределения. Чаще всего находят оценки математической ожидания. Погрешность оценки определяется дисперсией (если она известна) по числу экспериментов N. В результате можно выделить следующие этапы: - подготовка исходных данных, - генерирование равномерно распределенных случайных чисел, - преобразования для получения заданного закона распределения; - выполнение дополнительных преобразований в соответствии с проблем ной областью; - статистическая обработка. Технологический процесс в Монте-Карло системах где: - ПИД - подготовка исходных данных, - ГРРСЧ - генерирование равномерно распределенных случайных чисел; - ГПЗ - генерирование произвольного (заданного) закона распределения; - ДПр - дополнительные преобразования; - СО -статистическая обработка. Имитационные системы имеют следующие функциональные блоки: - имитации входных процессов; - имитации правил переработки входной информации исследуемой системы;
- накопления информации в результате моделирования; - анализа накопленной информации; - управления имитирующей системы. Традиционный подход использует все классы задач, что и в методе Монте-Карло. Рассмотрим подробнее аналитический подход задания экзогенных переменных (первый случай). Они являются выходными другой подсистемы макросистемы и сами представляют собой макромодель. В рассматриваемом случае характеристики заданы аналитически. Технологический процесс имитационной системы ГСП - генерирование случайных (входных) процессов; ИС - имитационная система. На первом этапе находят наиболее подходящие методы и алгоритмы для описания аналитических функций распределения и проводят вычисления для определения исходных данных, например, при аппроксимационных методах - координаты узлов, коэффициентов и т.п. Во втором и третьем блоках производится генерирование случайных чисел с равномерным распределением x, и экзогенных случайных процессов z. Блок 4 имитирует работу исследуемой системы, результаты его работы накапливаются для последующей статистической обработки. В последнем, пятом, блоке осуществляется статистическая обработка. При моделировании систем на ЭВМ программная имитация случайных воздействий любой сложности сводится к генерированию некоторых стандартных (базовых) процессов и к их последующему функциональному преобразованию. В качестве базового может быть принят любой удобный в случае моделирования конкретной системы S процесс (например, пуассоновский поток при моделировании Q-схемы). Однако при дискретном моделировании базовым процессом является последовательность чисел, представляющих собой реализации независимых, равномерно распределенных на интервале (0,1) случайных величин или - в статистических терминах - повторную выборку из равномерно распределенной на (0,1) генеральной совокупности значений величины x [5].
2. Предмет метода Монте-Карло
Метод Монте-Карло используют для вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, для исследования различного рода сложных систем (автоматического управления, экономических, биологических и т. д.) [2].
Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой равно а:М(Х) =а.
Практически же поступают так: производят п испытаний, в результате которых получают п возможных значений X, вычисляют их среднее арифметическое и принимают его в качестве оценки (приближенного значения) а* искомого числа а.
Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину X, как найти ее возможные значения.
3. Общая схема метода Монте-Карло
Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М (Х)=а.
Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое и принимают x в качестве оценки (приближённого значения) a* искомого числа a:
.
Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти её возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а* [4].
Рассмотрим пример, иллюстрирующий метод статистических испытаний.
Система контроля качества продукции состоит из трех приборов. Вероятность безотказной работы каждого из них в течение времени Т равна 5/6. Приборы выходят из строя независимо друг от друга. При отказе хотя бы одного прибора вся система перестает работать. Найти вероятность Ротк того, что система откажет за время Т.
Решим задачу аналитически и методом статистических испытаний.
Аналитическое решение. Событие А (выход из строя хотя бы одного из трех приборов за время Т) и событие А (ни один из трех приборов не выйдет из строя за время Т) - противоположные. Вероятность Р (А) =(5/6)3. Искомая вероятность
Теперь решим задачу методом статистических испытаний. Напомним, что при использовании данного метода возможны два подхода: либо непосредственно проводят эксперименты, либо имитируют их другими экспериментами, имеющими с исходными одинаковую вероятностную структуру. В условиях данной задачи «натуральный» эксперимент- наблюдение за работой системы в течение времени Т. Многократное повторение этого эксперимента может оказаться трудноосуществимым или просто невозможным. Заменим этот эксперимент другим [6].
Для определения того, выйдет или не выйдет из строя за время Т отдельный прибор, будем подбрасывать игральную кость. Если выпадет одно очко, то будем считать, что прибор вышел из строя; если два, три, ..., шесть очков, то будем считать, что прибор работал безотказно. Вероятность того, что выпадет одно очко, так же как и вероятность выхода прибора из строя, равна 1/6, а вероятность того, что выпадет любое другое число очков, как и вероятность безотказной работы прибора, равна 5/6 [4].
Чтобы определить, откажет или нет вся система за время Т, будем подбрасывать три игральные кости (или одну кость три раза). Если хотя бы на одной из трех костей выпадет одно очко, то это будет означать, что система отказала. Повторим испытание, состоящее в подбрасывании трех игральных костей, много раз подряд и найдем отношение числа т «отказов» системы к общему числу п проведенных испытаний. Вероятность отказа
3.1 Случайные числа
Ранее было указано, что метод Монте-Карло основан на применении случайных чисел; дадим определение этих чисел. Обозначим через R непрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале (0, 1).
В действительности пользуются не равномерно распределенной случайной величиной R, возможные значения которой имеют бесконечное число десятичных знаков, а квазиравномерной случайной величиной R*, возможные значения которой имеют конечное число знаков. В результате замены R на R* разыгрываемая величина имеет не точно, а приближенно заданное распределение.
Случайная величина R* обладает свойством: вероятность попадания ее в любой интервал, принадлежащий интервалу (0; 1) равна длине этого интервала. Функция плотности fR*(x)=1; интегральная функция FR*(x)= x; математическое ожидание МR*(x)=1/2; дисперсия DR*(x)= 1/12 [2].
3.2 Разыгрывание дискретной случайной величины
Пусть требуется разыграть ДСВ с известным законом распределения:
|
X |
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
|
p |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Обозначим равномерно распределенную СВ в интервале (0, 1) через R, а ее возможные значения (случайные числа) - rj.
Разобьем интервал [0, 1) точками с координатами р1, р1+р2, , р1+р2+р3, …, р1+р2+р3 +…+рn-1 на n частичных интервалов : .
Длина i каждого из них равна вероятности рi .
Далее поступаем так: выбираем из таблицы случайных чисел либо случайное число rj, если оно попало в интервал i, то разыгрываемая СВ приняла возможное значение хi.
Пример: ДСВ задана законом распределения:
|
X |
3 |
11 |
24 |
|
|
p |
0,25 |
0,16 |
0,59 |
Разыграть 8 значений данной ДСВ.
Разобьем интервал (0, 1) на частичные интервалы:
Выпишем из таблицы случайных чисел 8 значений : 0,1; 0,37; 0,08; 0,99; 0,12; 0,66; 0,31; 0,85.
Определим какому интервалу принадлежит каждое из этих чисел и получим соответствующие значения ДСВ:
Аналогично получаем остальные значения ДСВ. Итак, возможные значения Х равны: 3, 11, 3, 24, 3, 24, 11, 24.
3.3 Разыгрывание противоположных событий
Пусть требуется разыграть испытания в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р и не появляется с вероятностью 1-р [4].
Заменим противоположные события А и А случайной величиной Х. Будем считать, что, если значение СВХ равно 0, то произошло А, если СВХ приняла значение 1, то произошло событие А. Тогда разыгрывание противоположных событий сводится к разыгрыванию ДСВХ с известным законом распределения.
Пример: Разыграть 5 испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р= 0,35.
Заменим А и А ДСВХ, которая имеет закон распределения:
|
Х |
1 |
0 |
|
|
Р |
0,35 |
0,65 |
Получим два интервала:
Из таблицы выпишем 5 случайных чисел: 0,1; 0,36; 0,08; 0,99; 0,12.
Получим следующие значения ДСВХ: 1, 0, 1, 0, 1. Им соответствуют события: А, А, А, А, А.
3.4 Разыгрывание полной группы событий
При разыгрывании полной группы несовместных событий поступают также, как при разыгрывании противоположных событий. События полной группы, заменяют какими- либо числами, например последовательностью натуральных чисел 1,2,3…, тогда получаем ДСВХ с известным законом распределения, правило разыгрывания значений, которой уже было рассмотрено [7].
Пример: События А и В независимы и совместны. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых, вероятность появления А равна 0,6, вероятность появления В равна 0,2.
Составим полную группу событий и вычислим вероятности их появлений, используя теорему умножения вероятностей независимых событий.
Возможны 4 исхода:
Проверка: 0,12+0,48+0,08+0,32=1.
Заменим события числами 1, 2, 3, 4 с соответствующими вероятностями, получим ДСВХ с законом распределения:
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
Р |
0,12 |
0,48 |
0,08 |
0,32 |
Разобьем интервал (0, 1) на частичные интервалы (0; 0,12), (0,12; 0,6), (0,6; 0,68), (0,68; 1).
Выпишем 6 случайных чисел: 0,45; 0,65; 0,06; 0,59; 0,33; 0,7.
Получим значения ДСВХ: 2, 3, 1, 2, 2, 4. Определяем соответствующие события: А2, А3, А1, А2 ,А2, А4.
3.5 Разыгрывание непрерывной случайной величины
Метод обратных функций
Пусть требуется разыграть НСВХ, зная функцию распределения F(x). Воспользуемся теоремой:
Если ri- случайное число, то возможное значение хi разыгрываемой НСВХ с заданной функцией распределения F(x), соответствующее ri , является корнем уравнения F(xi) =ri .
На основании данной теоремы сформулируем правило разыгрывания значений НСВХ, зная ее функцию распределения F(x): Необходимо выбрать случайное число ri, приравнять его функции распределения и решить относительно хi уравнение: F(xi) =ri . Пример: НСВХ распределена по показательному закону. требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений Х. Известно, что функция распределения при показательном законе имеет вид
Составим и решим относительно х уравнение: откуда:
Выбирая случайные числа ri , подставляя их в полученную явную формулу, разыграем возможные значения НСВХ.
Если известна плотность распределения НСВХ, то для разыгрывания значений НСВХ , решают уравнение:
Метод суперпозиции
Пусть функция распределения разыгрываемой НСВХ задана линейной комбинацией двух функций распределения: F(x) = C1 F1(x) +C2 F2(x), где C1>0, C2>0. При х каждая из функций распределения стремится к единице, поэтому C1 + C2 =1 [8].
Введем вспомогательную ДСВZ с законом распределения:
|
Z |
1 |
2 |
|
|
p |
C1 |
C2 |
Выберем два независимых случайных числа r1 и r2 . По числу r1 разыграем возможное значение Z. Если z=1, то возможное значение х найдем из уравнения F1(x) = r2, а если z =2, то из уравнения F2(x) = r2.
Пример: Найти явные формулы для разыгрывания НСВХ, заданной функцией распределения: F(x) = 1- 0, 25(e-2x + 3e-x).
Используя метод суперпозиций, представим функцию в виде
F(x) =0,25(1 - e-2x) +0,75 (1 - e-x).
Откуда С1 =0,25; С2 =0,75; F1(x) = 1 - e-2x, F2(x) = 1 - e-x.
Введем ДСВZ:
|
Z |
1 |
2 |
|
|
p |
0,25 |
0,75 |
Интервал (0;1) разобьем на частичные интервалы (0; 0,25) и (0,25; 1).
Выберем случайные числа r1 и r2 . Если r1 принадлежит интервалу (0; 0,25), то решаем уравнение: 1 - e-2x= r2, если r1 принадлежит интервалу (0,25; 1), то - уравнение: 1 - e-x = r2. Таким образом, получаем возможные значения НСВХ.
4. Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло
В реальных условиях функционирования СМО имеются переходные режимы, а входящие и исходящие потоки требований являются далеко не простейшими. В этих условиях для оценки качества функционирования систем обслуживания широко используют метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Основой решения задачи исследования функционирования СМО в реальных условиях является статистическое моделирование входящего потока требований и процесса их обслуживания (исходящего потока требований) [6].
Для решения задачи статистического моделирования функционирования СМО должны быть заданы следующие исходные данные:
? описание СМО (тип, параметры, критерии эффективности работы системы);
? параметры закона распределения периодичности поступлений требований в систему;
? параметры закона распределения времени пребывания требования в очереди (для СМО с ожиданием);
? параметры закона распределения времени обслуживания требований в системе.
Решение задачи статистического моделирования функционирования СМО складывается из следующих этапов.
1. Вырабатывают равномерно распределенное случайное число .
2. Равномерно распределенные случайные числа преобразуют в величины с заданным законом распределения:
? интервал времени между поступлениями требований в систему ();
? время ухода заявки из очереди (для СМО с ограниченной длиной очереди);
? длительность времени обслуживания требования каналами ().
3. Определяют моменты наступления событий:
? поступление требования на обслуживание;
? уход требования из очереди;
? окончание обслуживания требования в каналах системы.
4. Моделируют функционирование СМО в целом и накапливают статистические данные о процессе обслуживания.
5. Устанавливают новый момент поступления требования в систему, и вычислительная процедура повторяется в соответствии с изложенным.
6. Определяют показатели качества функционирования СМО путем обработки результатов моделирования методами математической статистики.
Методику решения задачи рассмотрим на примере моделирования СМО с отказами.
Пусть система имеет два однотипных канала, работающих с отказами, причем моменты времени окончания обслуживания на первом канале обозначим через t1i , на втором канале - через t2i . Закон распределения интервала времени между смежными поступающими требованиями задан плотностью распределения f1(tT). Продолжительность обслуживания также является случайной величиной с плотностью распределения f1(to).
Процедура решения задачи будет выглядеть следующим образом:
1. Вырабатывают равномерно распределенное случайное число .
2. Равномерно распределенное случайное число преобразуют в величины с заданным законом распределения, используя формулы табл. 5.1. Определяют реализацию случайного интервала времени () между поступлениями требований в систему.
3. Вычисляют момент поступления заявки на обслуживание:
.
4. Сравнивают моменты окончания обслуживания предшествующих заявок на первом t1(i-1) и втором t2(i-1) каналах.
5. Сравнивают момент поступления заявки ti c минимальным моментом окончания обслуживания (допустим, что t1(i-1) < 2(i-1)):
? если [] < 0, то заявка получает отказ и вырабатывают новый момент поступления заявки описанным способом;
? если , то происходит обслуживание.
6. При выполнении условия 5 б) определяют время обслуживания i-й заявки на первом канале путем преобразования случайной величины в величину (время обслуживания и заявки) с заданным законом распределения.
7. Вычисляют момент окончания обслуживания i-й заявки на первом канале
.
8. Устанавливают новый момент поступления заявки, и вычислительная процедура повторяется в соответствии с изложенным.
9. В ходе моделирования СМО накапливаются статистические данные о процессе обслуживания.
10. Определяют показатели качества функционирования системы путем обработки накопленных результатов моделирования методами математической статистики.
Заключение
Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений.
Возникновение идеи использования случайных явлений в области приближённых вычислений принято относить к 1878 году, когда появилась работа Холла об определении числа p с помощью случайных бросаний иглы на разграфлённую параллельными линиями бумагу. Существо дела заключается в том, чтобы экспериментально воспроизвести событие, вероятность которого выражается через число p, и приближённо оценить эту вероятность. Отечественные работы по методу Монте-Карло появились в 1955-1956 годах. С того времени накопилась обширная библиография по методу Монте-Карло. Даже беглый просмотр названий работ позволяет сделать вывод о применимости метода Монте-Карло для решения прикладных задач из большого числа областей науки и техники [3].
Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались мало пригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию.
Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики (например, развитие методов численного интегрирования) и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.
Применение метода имитации Монте-Карло требует использования специальных математических пакетов, в то время как метод сценариев может быть реализован даже при помощи обыкновенного калькулятора
Список литературы
1. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. - М.: Наука, 1978.- 400 с.
2. Бычков С.П., Храмов А.А. Разработка моделей в системе моделирования GPSS. Учебное пособие. М.: МИФИ, 1997. - 32с.
3. Варфоломеев В.И. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем: Практикум. Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2000.- 280 с.
4. Вендров А.М. CASE-технологии. Современные методы и средства проектирования информационных систем. - М.: Финансы и статистика, 1998.-176 с.
5. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. - М.: Статистика, 1975.- 471 с.
6. Калашников В.В., Рачев С.Т. Математические методы построения стохастических моделей обслуживания. - М.: Наука, 1988.- 310 с.
7. Калянов Г.Н. CASE структурный системный анализ (автоматизация и применение). М.: Издательство "ЛОРИ", 1996.- 242 с.
8. Киндлер Е. Языки моделирования. - М.: Энергия, 1985.- 288 с.
9. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании. - М.: Статистика, 1978.- 235 с.
10. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. -М.:Мир, 1979.-600 с.
11. Математическая теория планирования эксперимента /Под ред. С.М. Ермакова. - М.: Наука, 1983.- 392 с.
12. Математическое моделирование: Методы, описания и исследования сложных систем / Под ред. А.А. Самарского. - М.: Наука, 1989.- 128 с.
13. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Практикум. - М.: Высшая школа, 1999.-224 с.
14. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Учебник для ВУЗов. - М.: Высшая школа, 1985.-320 с.
15. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - Искусство и наука. - М.: Мир, 1978.- 418 с.
16. Шрайбер Т.Дж.Моделирование на GPSS.-М.:Машиностроение,1980.-592с.
Подобные документы
Связь стохастических процессов и дифференциальных уравнений. Алгоритм Бюффона для определения числа Пи. Геометрический алгоритм Монте-Карло интегрирования. Применение метода Монте-Карло в логистике. Алгоритм Метрополиса, квантовый метод Монте-Карло.
курсовая работа [258,0 K], добавлен 26.12.2013Изучение особенностей метода статистического моделирования, известного в литературе под названием метода Монте-Карло, который дает возможность конструировать алгоритмы для ряда важных задач. Решение задачи линейного программирования графическим методом.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 17.12.2014Случайная выборка из генеральной совокупности. Сущность метода Монте-Карло. Определение адекватности принятой эконометрической модели. Линейная регрессионная модель вида. Система нормальных уравнений в матричной форме. Параметры регрессионной модели.
контрольная работа [323,5 K], добавлен 08.12.2010Марковские цепи с конечным числом состояний и дискретным временем, с конечным числом состояний и непрерывным временем и работа с ними. Основные понятия и классификация систем массового обслуживания, их типы и отличия. Сущность метода Монте-Карло.
дипломная работа [581,9 K], добавлен 25.08.2009Характеристика метода Монте-Карло. Его преимущество и недостатки, области применения. Решение задач по оптимизации использования ресурсов, управлению запасами и системе массового обслуживания с помощью средств аналитического и имитационного моделирования.
контрольная работа [1,4 M], добавлен 22.11.2013Понятие имитационного моделирования, применение его в экономике. Этапы процесса построения математической модели сложной системы, критерии ее адекватности. Дискретно-событийное моделирование. Метод Монте-Карло - разновидность имитационного моделирования.
контрольная работа [26,7 K], добавлен 23.12.2013Общие понятия теории массового обслуживания. Особенности моделирования систем массового обслуживания. Графы состояний СМО, уравнения, их описывающие. Общая характеристика разновидностей моделей. Анализ системы массового обслуживания супермаркета.
курсовая работа [217,6 K], добавлен 17.11.2009Финансовый анализ инвестиционного проекта с использованием модулей "Анализ чувствительности", "Анализ по методу Монте-Карло" и "Анализ безубыточности" компьютерной имитирующей системы Project Expert 6 Holding. Стратегия формирования капитала проекта.
лабораторная работа [1,4 M], добавлен 15.03.2009Решение системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта. Исследованы возможности применения имитационного моделирования для исследования систем массового обслуживания. Результаты моделирования базового варианта системы массового обслуживания.
лабораторная работа [234,0 K], добавлен 21.07.2012Определение площади фигуры аналитическим методом (с помощью вычисления определенного интеграла) и методом статистических испытаний Монте-Карло. Построение графиков для наглядной демонстрации результатов эксперимента. Вычисление доверительного интервала.
лабораторная работа [211,9 K], добавлен 15.10.2013
