Построение математических моделей

Кафедра ________________________________________

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине: ЭКОНОМЕТРИКА

Тула, 2009г

Содержание

1. Условие задачи……………………………………………………..……..3

2. Решение задачи…………………………………………………………...4

а) построение линейной модели…………………………………………....4

б) построение степенной модели………………………………….………..6

в) построение показательной модели……………………………….……...8

г) построение гиперболической модели…………………………….…….10

3. Выбор лучшей модели…………………………………………………...12

1. Условие задачи

Построить следующие модели:

а) линейную,

б) степенную,

в) показательную,

г) гиперболическую.

Выбрать лучшую модель.

Исходные данные:

Переменная х: 1) 18, 2) 22, 3)17, 4) 26, 5) 28, 6) 19, 7) 20.

Переменная у: 1) 78, 2) 75, 3) 59, 4) 79 , 5) 82, 6) 76, 7) 64

2. Решение задачи

а) построение линейной модели

Используются данные, указанные в таблице 1.1

Уравнение линейной регрессии имеет вид: = a + bx

a = y - bx

b = , т.о.

= 1,3321 , тогда а = 73,2857-1,3321 · 21,4285= 73,2857 - 28,5449 = 44,7408

= 44,7408 + 1,3321х

Определим линейный коэффициент парной корреляции:

ryx = b ,

- дисперсии.

,

ух = = ·103,7142 = 3,8492

уу = = ·431,4281 = 7,8506

ryx = 1,3321 = 1,3321 · 0,4903 = 0,6531

Коэффициент детерминации:

RІ= 0,6531І = 0,4265

Таблица 1.1.

F-критерий Фишера:

F = (n -2) = · 5 = 3,72

Средняя относительная ошибка:

· 100% = 6,75 %

В среднем расчетные модели отличаются от фактических значений на 6,75 %.

б) Построение степенной модели

Степенная модель парной регрессии имеет вид:

=ax

Для построения этой модели проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения:

lg= lg a + b · lg x

Обозначим У= lg x = lg x, A = lg a.

Тогда уравнение примет вид: У=А + b · X.

Используются данные, указанные в таблице 1.3.

a = y - bx

b =

b == 0,4035

A= 1,8624 - 0,4035 · 1,3243= 1,3280

Уравнение линейной регрессии имеет вид: У= 1,3280+0,4035Х.

Переходим к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения, получим уравнение степенной модели регрессии:

=101,3280 · х0,4035 = 21,2814 · х0,4035

Определим индекс корреляции:

== 0,6552

Коэффициент детерминации:

R2 = 0,65522 = 0,4293

F= (n-2) = 0,4293/0,5707 · 5 = 3,76

Средняя относительная ошибка:

· 100 % = 6,72 %

Таблица 1.2.

Таблица 1.3

в) Построение показательной модели

Уравнение показательной кривой имеет вид: = a · bx

Используются данные, указанные в таблице 1.4.

Для построения этой кривой произведем линеаризацию переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

lg y = lg a + x, обозначим Y = lg , B = lg b, A = lg a

Получим линейное уравнение регрессии:

B = = 0,0081

А = = 1,8624 - 0,0081 · 21,4286 = 1,6888

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

У = 1,6888 + 0,0081х

Переходим к исходным переменным:

у = 101,6888 · (100,0081)х

у = 48,8427 · 1,0188х

Индекс корреляции: = = 0,6492

Коэффициент детерминации:

R2 = 0,64922 = 0,4215

F - критерий Фишера:

F = · (n-2) = 3,6

Средняя относительная ошибка:

· 100% = 6,84%

Таблица 1.4.

г) Построение гиперболической модели

Уравнение гиперболической функции имеет вид:

= a + b - линеаризируется при замене х = 1/х

Используются данные, указанные в таблице 1.5.

b = = - 0,0414 / 0,0001= - 414

а = = 73,2857 + 414 · 0,0481 = 93,1991

Уравнение гиперболической модели имеет вид:

= 93,1991 - 414х

Индекс корреляции:

= = 1-0,6205 = 0,6160

Коэффициент детерминации: R2 = 0,61602 = 0,3795

F-Фишера:

F = · (n - 2) = 3,06

Средняя относительная ошибка:

· 100% = 7,64%

Таблица 1.5.

3. Выбор лучшей модели

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но большее значение F - критерия Фишера и большее значение коэффициента детерминации имеет степенная модель.