16

СОДЕРЖАНИЕ

• 1. Использование алгебры матриц в экономике
• 2. Использование систем линейных уравнений в экономике
• 3. Модель Леонтьева в многоотраслевой экономики
• 4. Линейная модель обмена (модель международной торговли)
• Список литературы
• 1. Использование алгебры матриц в экономике
• Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики - матричная алгебра - имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное - компактной матричной форме.
• С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.):

8	Отрасли экономики
	Промышленность	Сельское хозяйство
Электроэнергия	5,3	4,1
Трудовые ресурсы	2,8	2,1
Водные ресурсы	4,8	5,1

• Может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

		||	5,3	4,1	||
A	=	||	2,8	2,1	||
		||	4,8	5,1	||

• В данной записи, например, матричный элемент а₁₁ = 5,3 показывает, сколько электроэнергии употребляет промышленность, а элемент а₂₂ = 2,1 - сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

2. Использование систем линейных уравнений в экономике

К системам линейных уравнений приводит множество экономических задач.

Задача

Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов: S₁, S₂, S₃. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей:

Виды сырья	Нормы расхода сырья на одну пару, усл. ед.	Расход сырья на 1 день, усл. ед.
	Сапоги	Кроссовки	Ботинки
S1	5	3	4	2700
S2	2	1	1	900
S3	3	2	2	1600

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

Решение 1.

Пусть ежедневно фабрика выпускает x₁ пар сапог, x₂ пар кроссовок, x₃ пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:

5x1	+	3x2	+	4x3	=	2700	,
2x1	+	x2	+	x3	=	900	,
3x1	+	2x2	+	2x3	=	1600	.

Решим систему по теореме Крамера.

				|	5	3	4
|	A	|	=	|	2	1	1
				|	3	2	2

= 5 x 1 x 2 + 3 x 1 x 3 + 2 x 2 x 4 - 3 x 1 x 4 - 2 x 3 x 2 - 2 x 1 x 5 = 1,

Т.е. система имеет единственное решение:

				|	2700	3	4
|	A1	|	=	|	900	1	1
				|	1600	2	2

= 2700 x 1 x 2 + 3 x 1 x 1600 + 900 x 2 x 4 - 1600 x 1 x 4 - 900 x 3 x 2 - 2 x 1 x 2700 = 200,

x₁ = | A₁ | / | A | = 200 / 1 = 200.

				|	5	2700	4
|	A2	|	=	|	2	900	1
				|	3	1600	2

= 5 x 900 x 2 + 2700 x 1 x 3 + 2 x 1600 x 4 - 3 x 900 x 4 - 2 x 2700 x 2 - 1600 x 1 x 5 = 300,

x₂ = | A₂ | / | A | = 300 / 1 = 300.

				|	5	3	2700
|	A3	|	=	|	2	1	900
				|	3	2	1600

= 5 x 1 x 1600 + 3 x 900 x 3 + 2 x 2 x 2700 - 3 x 1 x 2700 - 2 x 3 x 1600 - 2 x 900 x 5 = 200,

x₃ = | A₃ | / | A | = 200 / 1 = 200.

Т.е. фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 пар кроссовок и 200 пар ботинок.

Ответ: (200, 300, 200).

3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

В настоящее время большое число работ посвящается модели Леонтьева многоотраслевой экономики. Эта модель хорошо отражает многие существенные особенности современного производства и в то же время сравнительно легко поддается расчету. Во многих странах мира балансовый метод используется для экономического анализа, планирования и прогнозирования.

Основной задачей данной модели является нахождении вектора валового выпуска (X) по известному вектору конечного потребления (Y) и матрице коэффициентов прямых затрат (A), что эквивалентно решению балансового уравнения (в матричной записи): X=A*X+Y (1).Откуда:

X=(E-A)^-1Y.

Матрицу (E-A)^-1 называют матрицей коэффициентов косвенного потребления.

Условием разрешимости балансового уравнения является существование и неотрицательность данной матрицы (под неотрицательностью матрицы понимается неотрицательность каждого ее элемента).

Справедливо соотношение (E-A)^-1=E+A+A²+…. Откуда

X=Y+AY+A²Y+… (2).

Соотношение (2) показывает, что весь валовой выпуск слагается из затрат: 0-го порядка (Y), 1-го порядка (AY), 2-го порядка (A²Y) и т.д.

Можно отметить, что при решении относительно простого балансового уравнения (1) возникает ряд подзадач:

· нахождение произведения матриц;

· вычисление обратной матрицы;

· учет ошибок округления при вычислениях.

Кроме того, собственные векторы и собственные значения матрицы A характеризуют степень сбалансированности торговых отношений.

Таким образом, расчет балансовой модели Леонтьева позволяет не только познакомить студентов с современными экономическими методами, но и рассмотреть некоторые алгоритмы матричной алгебры. Кроме того, студенты знакомятся с экономическим смыслом матрицы A и ее степеней. Описанный выше алгоритм позволяет рассматривать матрицы достаточно большого размера.

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).

Цель балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Связь между отраслями, как привило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Введем следующие обозначения:

x_i - общий (валовой) объем продукции i-й отрасли (i = 1,2,...,n);

x_ij - объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (i,j = 1,2,...,n);

y_i - объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то

x_i = (x_i1 + x_i2+ ... + x_in) + y_i , (i = 1,2,...,n).

Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения, имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат:

a_ij = x_ij / x_j , (i,j = 1,2,...,n),

показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы стоимости j-й отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты a_ij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

x_ij = a_ijx_j , (i,j = 1,2,...,n),

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Теперь соотношения баланса примут вид:

x_i = (a_i1x₁ + a_i2x₂ + ... + a_inx_n) + y_i , (i = 1,2,...,n),

Обозначим

||

x1

||

||

a11

a12

...

a1n

||

||

y1

||

||

x2

||

||

a21

a22

...

a2n

||

||

y2

||

X

=

||

...

||

,

A

=

||

...

...

...

...

||

,

Y

=

||

...

||

,

||

xn

||

||

a1n

a2n

...

ann

||

||

yn

||

где

X - вектор валового выпуска;

A - матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица);

Y - вектор конечного продукта.

Тогда соотношения баланса можно записать в виде:

X = AX + Y.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Перепишем матричное уравнение в виде:

(E - A) X = Y.

Если матрица (E - A) невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю, тогда:

X = (E - A)^-1 Y.

Матрица S = (E - A)^-1 называется матрицей полных затрат.

Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S = (s_ij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта.

Следовательно, каждый элемент s_ij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения x_i должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях y_i и a_ij.

Матрица А называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.

Задача

В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл. ден. ед.:

Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
	Энергетика	Машиностроение
Производство	Энергетика	7	21	72	100
	Машиностроение	12	15	123	150

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.

Решение

Имеем

x₁ = 100, x₂ = 150, x₁₁ = 7, x₁₂ = 21, x₂₁ = 12, x₂₂ = 15, y₁ = 72, y₂ = 123.

По формуле a_ij = x_ij / x_j находим коэффициенты прямых затрат: a₁₁ = 0,07; a₁₂ = 0,14; a₂₁ = 0,12; a₂₂ = 0,10.

		||	0,07	0,14	||
A	=	||	0,12	0,1	||

Т.е. матрица прямых затрат имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:

max {0,17 + 0,12; 0,14 + 0,10} = max {0,19; 0,24} = 0,24 < 1.

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле X = (E - A)^-1 Y.

Напишем матрицу полных затрат S = (E - A)^-1:

		||	0,93	-0,14	||
E - A	=	||	-0,12	0,9	||	.

Так как |E - A| = 0,8202, то

					||	0,9	0,14	||
S	=	| E - A |-1	=	(1 / 0,8202)	||	0,12	0,93	||	.

По условию вектор конечного продукта:

		||	144	||
Y	=	||	123	||	.

Тогда по формуле X = (E - A)^-1 Y получаем вектор валового выпуска:

||

0,9

0,14

||

||

144

||

=

||

179

||

X

=

(1 / 0,8202)

||

0,12

0,93

||

||

123

||

=

||

160,5

||

,

т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а в машиностроительной - до 160,5 усл. ед.

4. Линейная модель обмена (модель международной торговли)

В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).

Пусть имеется n стран S₁ , S₂ , ... , S_n, национальный доход каждой из которых равен соответственно x₁ , x₂ , ... , x_n. Обозначим коэффициентами a_ij долю национального дохода, которую страна S_j тратит на покупку товаров у страны S_i. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.

a_1j + a_2j + ... + a_nj = 1 (j = 1,2,...,n).

		||	a11	a12	...	a1n	||
		||	a21	a22	...	a2n	||
A	=	||	...	...	...	...	||	,
		||	an1	an2	...	ann	||

Рассмотрим матрицу которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с предыдущим равенством сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.

Для любой страны S_i (i = 1,2,...,n) выручка от внутренней и внешней торговли составит:

p_i = a_i1 x₁ + a_i2 x₂ + ... + a_in x_n.

Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны S_i, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода:

p_i > = x_i (i = 1,2,...,n).

Если считать, что p_i > x_i (i = 1,2,...,n), то получаем систему неравенств:

a11

x1

+

a12

x2

+

...

+

a1n

xn

>

x1

,

a21

x1

+

a22

x2

+

...

+

a2n

xn

>

x2

,

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1

x1

+

an2

x2

+

...

+

ann

xn

>

xn

.

Сложив все неравенства системы, получим после группировки:

x₁(a₁₁ + a₂₁ + ... + a_n1) + x₂(a₁₂ + a₂₂ + ... + a_n2) + ... + x_n(a_1n + a_2n + ... + a_nn) > x₁ + x₂ + ... + x_n.

Учитывая, что выражения в скобках равны единице, мы приходим к противоречивому неравенству:

x₁ + x₂ + ... + x_n > x₁ + x₂ + ... + x_n.

Таким образом, неравенство p_i > x_i (i = 1,2,...,n) невозможно, и условие p_i > = x_i принимает вид p_i = x_i (i = 1,2,...,n). (С экономической точки зрения это понятно, так как все страны не могут одновременно получать прибыль.)

Вводя вектор x = (x₁ , x₂ , ... , x_n) национальных доходов стран, получим матричное уравнение:

AX = X,

где X - матрица-столбец из координат вектора x, т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы A, отвечающего собственному значению, равному единице.

Список литературы

1. Красс М. Математика для экономических специальностей. Учебник. 3-е изд., перераб и доп. М, Экономист, 1999.

2. Курант Р. Математика. М., Наука, 1967.

3. Курош А.Г.. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1976.

4. Серпинский В.С. 250 задач по элементарной теории чисел. М., 1968.