1

Раздел 0. Вводный

Тема 0. Введение

Курс «Социально-экономическое прогнозирование» рассчитан на 1 семестр с еже[двух]недельными лекциями, практическими занятиями и домашними работами.

Курс предполагает знание курсов статистики, ОЭТ, ТХС, ВМ, планирования.

Курс завершается экзаменом. Требования к экзамену:

Оценка	Требования
3	Успешное прохождение теста и полный ответ на 2 теоретических вопроса билета
4	То же + Правильное решение 3 задач
5	То же + Правильные ответы на дополнительные вопросы

Пересдача допускается не ранее, чем через неделю.

Альтернативные требования к экзамену на основе балльной оценки результатов семестровой работы представлены в файле Ведомость.xls. Концепция оценки:

- Практические занятия (по 0,1 итого 0,9 балла)

- Домашние работы (по 0,1 итого 1,1 балла)

- Две зачетные работы (1,4 и 0,9 балла)

- Успешное прохождение теста (1,2 балла)

Под своевременной сдачей понимается задержка на 1 неделю (до начала следующего практического занятия).

Общая оценка, как сумма заработанных баллов с округлением в меньшую сторону, может быть изменена путём сдачи экспресс-экзамена (2 теоретических вопроса):



Корректировка оценки	Результат сдачи
+1	Полный ответ на 2 теоретических вопроса билета
0	Полный ответ на 1 из 2х теоретических вопросов билета
-1	Иной

Т.о., имеется возможность набрать 6,5 балла.

Тема 1. Цели и задачи прогнозирования

1.1 Объективная основа прогнозирования

События окружающего мира повторяется. Наряду с линейным временем существует время циклическое. Для живых существ существует возможность повысить адаптивность за счет учета прошлого. Развитие живого - механизм совершенствования обратной связи (реагирующие, примитивно адаптирующиеся, целенаправленно воздействующие и т.д.). Вершиной (продуктом) этого развития является память - механизм влияния прошлого на настоящее.

1.2 Субъективная сторона прогнозирования

Человеческая память является частью мышления, т.е. используется сознанием с помощью языка, как системы символов. Содержательной единицей языка является суждение. Сознание шире объективной реальности за счет наличия ложных суждений. Т.о., все суждения - вероятностные.

1.3 Иерархия понятий прогнозирования

Предсказание - суждение о неизвестном

Предсказания делятся на прорицания и предвидения.

Прорицание не требует доказательств и обоснований (например, интуиция), хотя и может сопровождаться какими-либо процедурами (гадание, хиромантия и т.п., производственное совещание, иногда). Точность прорицания зависит от личности пророка (например, прогноз погоды на основе обострения ревматизма). Недостатки прорицаний: субъективизм, отсутствие осознанной связи между известным и предсказываемым. Достоинства: точность и экономичность при хорошем пророке (например, специалист с большим стажем, но без образования, знает (и предсказывает) предприятие лучше, чем выпускник - медалист).

Предвидение (прогнозирование в широком смысле) - научно обоснованное предсказание.

Научно обоснованное - опирающееся на материальные, существенные, устойчивые, необходимые и повторяющиеся взаимосвязи.

Т.о., предвидение это субъективное суждение об объективных закономерностях. Задача максимально объективизировать суждение определяет требования к организации предвидения.

Предвидение осуществляется на основе познанной закономерности. Установление закономерности - основа предвидения.

Поэтому, в широком смысле слова, любая познавательная деятельность есть часть процесса предвидения. Познание строит модель (например, карта города), свойства которой (например, расстояние между двумя точками) позволяют предвидеть (например, время передвижения).

В узком смысле слова, под предвидением понимают перечень принятых методов и процедур, среди которых:

- математическая статистика,

- математическое программирование,

- сетевое и логическое моделирование,

- имитационное моделирование,

- экспертиза и ряд других.

Предвидение делится по субъективной уверенности автора в достоверности осуществления на гипотезы, прогнозы и планы.

Прогнозирование - вероятностное предвидение.

Прогнозирование - вероятностное, научно обоснованное с помощью принятых процедур, суждение о неизвестном.

Прогнозирование - процесс выработки прогнозов.

Прогностика - наука о прогнозировании.

1.4 Классификация предвидений (прогнозов)

- По детерминированности предвидения:

n прогноз - предвидение, осуществление которого не зависит от предсказателя

n план - предвидение, осуществление которого зависит от предсказателя

n гипотеза - предвидение ненаблюдаемых (сущностных) явлений, обнаружаемых опосредованно.

n Самоподтверждающийся прогноз - социально-экономическое явление, состоящее в наличии социального механизма, приводящего к осуществлению любого обнародованного прогноза. (Например, показ мод будущего сезона).

- По цели исследования:

n поисковые - определение путей развития [из известного состояния]

n нормативные - определение путей достижения [заданного состояния]

- По периоду упреждения (для соц.-эк. систем):

	По времени (обычно)	По фундаментальности закономерности	По соотношению базы и горизонта предвидения
Краткосрочные	До 1 года	На основе недавно возникшей закономерности	Горизонт менее 1/3 базы
Среднесрочные	2-3 года	На основе устоявшейся закономерности	Горизонт порядка 1/3 базы
Долгосрочные	Более 5 лет	На основе классической закономерности	Горизонт более 1/3 базы

- По природе изучаемого объекта:

n социально-экономическое

n техническое

n физическое и т.д.

- По формализации:

n интуитивное

n формализованное

- По методу реализации:

(Методы различаются объектом)

Метод	Объект
Математическая статистика	Вариационные ряды
математическое программирование	Неравенства
сетевое и логическое моделирование	События
имитационное моделирование	Вероятностные распределения
Экспертиза	Качественные показатели

1.5 Принципы организации прогнозирования

При организации прогнозирования с участием нескольких лиц (для организаций) необходимо для обеспечения большей объективности соблюдать следующие требования.

непрерывность - повторение прогнозирования при получении новых данных

многовариантность и согласованность (по всем разрезам классификаций)- проведение прогнозирования различными методами и различных видов

поиск индикаторов(причин) - выявление в процессе прогнозирования причинно-следственных взаимосвязей изучаемого объекта.

экономическая целесообразность - кроме содержательных ограничений, применение методов предвидения в экономике ограничено (1) временем предвидения (как правило - не более среднего времени смены тенденции. Если само прогнозирование длится дольше - прогноз теряет смысл.); (2) стоимостью предвидения (нет смысла прогнозировать, если затраты превышают возможный выигрыш от принятия более точного решения).

1.6 Порядок прогнозирования

Прогнозирование - часть исследования, следовательно сохраняет его общий порядок проведения. (инд, дед; латер) ???

Прогнозирование можно разбить на 3 стадии: две содержательные (постановка, заключение) и одну формальную - проведение расчетов. (В зависимости от важности этих частей метод прогнозирования относят к интуитивному или формализованному. Т.к., содержательная часть присутствует даже в самом формализованном методе, не существует однозначно наилучшего прогноза.) Каждая стадия прогнозирования вводит в рассмотрение принимаемые по умолчанию гипотезы, верность которых ничем конкретно не обоснована и подлежит проверке после получения прогноза. Если прогноз неудачен (невалиден), гипотезы пересматриваются и прогнозирование повторяется.

- Постановка задачи прогнозирования:

o Определение цели и объекта исследования

Объект - часть окружающего мира, на которую направлено исследование.

Гипотеза (Локализация) состоит в том, что данный объект существует. (В некоторых случаях это спорно - существует ли «экономика региона» или это набор несвязанных предприятий).

o Изучение объекта - определение предмета и элемента исследования

Предмет - свойство объекта, определяющее целевой признак.

Элементы - части объекта, взаимодействие которых определяет целевой признак

Гипотеза (Существенность) - изучаемое свойство определяет целевой признак (Пример. Цель - анализ ДТП. Объект - Автомобили. Предмет - Цвет автомобиля. Т.е., предполагается, что ДТП зависит от цвета автомобиля)

Гипотеза (Адекватность) - на основании выделенных элементов можно объяснить свойство объекта. (Пример. Цель - анализ производительности труда. Объект - Завод. Предмет - Производственные отношения. Элементами могут быть люди, но могут быть и бригады)

o Выбор метода

Метод - Последовательность преобразования исходных данных в результат.

Гипотезы (Применимость, эффективность) - данный метод можно эффективно применить к имеющимся данным.

o Сбор и подготовка данных

Гипотеза (Достоверность) - данные соответствуют действительности (в т. ч. не произошло их искажения в процессе сбора и передачи).

- Проведение вычислений

Гипотеза (Корректность) - выбранный метод использован корректно.

- Интерпретация и проверка валидности результата

Валидность - соответствие полученного прогноза, прогнозам, полученным альтернативным способом (в т.ч. другим данным, здравому смыслу).

Доп. вопросы (для экзамена на 5)

При каких условиях предсказания на основе положения планет являются планом, прогнозом, гипотезой.

Научное обоснование прогнозов придаёт им точность. Объясните популярность гадалок и расхожее мнение о качестве прогноза погоды.

Чем предвидение человека отличается от предваряющей реакции животного.

Раздел 1. Прогнозирование методами математической статистики

Тема 2. Корреляционные методы

2.1 Графическое представление вариационных рядов

Прогнозирование средствами мат. статистики производится на основе анализа вариационных рядов и их связей.

Варьирование - изменение признака от наблюдения к наблюдению. (Например, варьирование веса или роста в к.-л. группе людей).

Вариационный ряд - количественная характеристика варьирования признака.

Прогнозирование представляет собой суждение на основе знания:

- совместного изменения двух (или более) признаков в ряде наблюдений

- известного значения одного признака (фактора) (или более) в новом наблюдении

о наиболее вероятном значении второго признака.

Фактор[ы] - признак[и] на основе которого производится предсказание значения другого признака - регрессии.

Для выработки такого суждения необходимо:

- описать закономерность связи между регрессией и факторами (в виде: математической функции; перечисления или алгоритма)

- оценить силу этой закономерности - степень зависимости между признаками (фактором и регрессией). Количественная оценка такой зависимости существенно определяется шкалой измерения признаков.

2.2 Зависимость применимости метода прогнозирования от шкалы

Количество может быть измерено в различных шкалах.

Шкала	Допустимая операция	Пример
Номинальная	=	Имена
Порядковая	= <>	Баллы
Разностная	= <> + -	Температура, Прибыль
Абсолютная	= <> + - * /	Вес, Выручка

2.1.1 Номинальная шкала

Заключение о связи признаков можно получить графическим (зрительным) и расчётным (аналитическим) путём. Взаимосвязь признаков номинальной шкалы отображается Пузырьковой диаграммой. Из двух признаков один рассматривается как независимый (фактор) - ось абсцисс(X), а другой как определяемый им (зависимый) - ось ординат(Y). Деление признаков на «независимый» и «зависимый» зависит от исследователя.

Рисунок 1_1 Пузырьковые диаграммы признаков «Район» и «Орг.-правовая форма» Для ответа на вопрос есть ли связь между признаками, нужно сопоставить диаграммы с крайними случаями, когда признаки независимы или зависимы полностью.

Рисунок 1_2 Предельные случаи Пузырьковой диаграммы

Из примера видно, что зависимость одного признака от второго и обратная зависимость второго от первого просматриваются различным образом. Формальная мера близости для номинальной шкалы - условная энтропия (см. курс «ТХС») отражает это:

.

Прогнозом является суждение о том, что если у нового объекта известно значение одного признака (фактора), то значение другого признака он принимает с определённой вероятностью. Например, если фирма Приморского района (3), то это скорее всего ООО (1) и вряд ли АООТ(5). Если же фирма - ИЧП, то, почти наверняка из Приморского р-на.

2.1.2 Ранговая шкала

Взаимосвязь ранговых признаков отображается на двухосной диаграмме. Каждому объекту соответствует отрезок (ступенька лестницы), связывающий значения признаков этого объекта.

Рисунок 1_3 Двухосная (лестничная) диаграмма

Нарушение согласованности в порядке варьирования признаков (инверсия порядков - Inv) отображается пересечением ступенек лестницы. Чем меньше инверсий - тем сильней однонаправленная связь признаков, чем больше - тем сильнее разнонаправленная связь. Связь отсутствует, когда инверсий - «в среднем» от максимально возможного числа, равного N*(N-1)/2, где N-число объектов.

Рисунок 1_4 Предельные случаи двухосной диаграммы

Тема 3. Трендовая модель прогнозирования

3.1 Понятие временного ряда

Временной (динамический) ряд - изменение признака со временем. Или: это вариационный ряд, где наблюдения - моменты времени.

При прогнозировании динамического ряда изучается зависимость признака от номера наблюдения - момента времени.

Предполагается, что эта зависимость может быть разбита на три составляющие: тренд, цикличность и ошибку. Другими словами, выдвигается гипотеза о том, что исходный динамический ряд Yt можно разложить на сумму трёх компонент - тренда , цикличности (от ни одной до нескольких) и ошибки. Данные компоненты непосредственно не наблюдаемы - т.е. гипотетичны.

Тренд - [гипотетическая] детерминированная составляющая динамического ряда, описываемая математической функцией, как правило - монотонной.

Цикличность - детерминированная циклическая составляющая динамического ряда.

Иногда, вышеназванные понятия, соединяют в понятие тренда в широком смысле слова, как детерминированной составляющей.

Ошибка - случайная (недетерминированная) составляющая.

Под случайной здесь понимается - математически неописанная исследователем.

3.2 Задачи анализа временного ряда

Задачи - выявление и анализ его компонент, прежде всего - тренда.

Этапы анализа тренда:

1. Первоначальная подготовка данных (сопоставимость, разрывы, выбросы)

2. Анализ временного ряда

- Выбор базы построения тренда

- Выбор типа тренда (графический, выравнивание, тестирование, смысловой)

- Расчёт параметров уравнения тренда

- Анализ сезонности

- Анализ ошибки

3. Заключение о необходимости рассмотрения других вариантов компонент.

3.3 Первоначальная подготовка данных

Собранные в динамический ряд данные должны быть сопоставимы:

- по физической единице измерения (метры, тонны; тонны, кг)

- по стоимостной оценке (учет инфляции)

- по интервалу времени (стандартный месяц)

Из динамического ряда желательно устранить разрывы и выбросы.

Разрыв - отсутствие данных за часть периодов.

Выброс - резко отличное по величине наблюдение от соседних.

Разрывы и выбросы устраняются содержательно (собираются дополнительные данные, проверяется наличие ошибок) и формально - проведением аппроксимации.

Аппроксимация - заполнение значений в динамическом ряду на основании известных соседних значений.

Способы аппроксимации:

- повторить последнее известное значение (слева или справа)

- взять среднее (в различных видах) значение от известных соседних

- взять трендовое значение (Способ применим, если тренд уже построен)

3.4 Задача построения аналитического тренда

Тренд может строиться для (см.3.10):

Цель	Критерий	Тип математ. функции
заполнения пропущенных наблюдений внутри известных данных	Наилучшее описание наблюдаемых значений [ряда]	[скорее] сложный, [чем простой]
определения наиболее вероятных значений за временными границами известных данных	описание тенденции [ряда], достаточно устойчивой для сохранения за пределами его	[скорее], простой [чем сложный]

3.5 Определение базы построения тренда

База тренда должна соответствовать периоду сохранения тенденции [и задаче построения тренда].

Для соц.-эк. систем считается типичным выбор базы тренда длиной в три горизонта предсказания.

Для определения смены тенденции обычно применяют [эмпирический] метод каналов и/или сигнальных (пиковых) значений рядов абсолютных и относительных приростов (см. прим. - №00 Анализ ряда.xls). При желании, вместо прямых границ канала можно использовать произвольные кривые [границы].

3.6 Наиболее употребимые виды трендов

Таблица 1_1 Тренды

Вид Тренда	Формула	Осн. Характеристика	Достоинства	Недостатки	Область применения
Полиномы:			Простота, сводимость, легкая интерпретация	Малая точность	краткосрочное пронозирование, аппроксимация
Константа	Y=a	Пост. уровень
Прямая	Y=at+b	Пост. рост
Парабола	Y=att+bt+c	Пост. прирост		Чрезмерный рост со временем
Показательная	Y=a*b^t	Пост. темп роста	Смысл Простота	Функция принимает только положительные значения	Процессы неограниченного роста (население, НТП)
Экспоненциальная	Y=a*exp(bt)
Степенная	Y=a*t^b	(вид полинома)			Физ. законы (притяжение)
Логарифмическая	Y=a*log bt	(производная от линейной) - линейный процесс при экспоненциальном времени	Замедляет рост со временем	Непонятна интерпретация	Процессы условного насыщения, энтропия
логистическая, S - образная	(варианты)	Отражение идеи о развитии процесса	Теоретическое обоснование	Сложность расчетов	Процесс развития в замкнутой среде

Прим. логистическая кривая сложна для математического описания. Поэтому делится точкой перелома на экспоненциальную и логарифмическую.

3.7 Графический способ определения вида уравнения (типа) тренда

В соответствии ряда виду функции тренда.

3.8 Определение тренда на основе сглаживания ряда

Выявить сразу (графически) тип тренда бывает трудно, поэтому можно произвести сглаживание ряда.

Сглаживание - построение производного ряда меньшей колеблемости.

Мерой колеблемости могут служить первичные характеристики ряда - среднее, мода, медиана, дисперсия, СКО (ст.ошибка), минимум, максимум и т.д.

Размах колебаний уменьшается за счет усреднения значений в исходном ряду за ряд наблюдений. Различают механическое (карандашом по бумаге) и аналитическое (математическим преобразованием) сглаживание.

3.8.1 Механическое сглаживание

Пример 1. Берётся циркуль. Раскрывается на к.л. ширину по усмотрению исследователя. Проводится окружность с центром в первой точке графика. Центр окружности соединяется отрезком с точкой пересечения окружности с графиком. Строится вторая окружность с центром в предыдущей точке пересечения. И т.д. Полученная ломаная - искомый сглаженный ряд.

Недостатком метода является множественность точек пересечения (Рисунок 1_5 - справа). Плохо и то, что точки пересечения, вообще говоря, лежат между точками графика (не соответствуют однозначно моментам времени исходного ряда).

Рисунок 1_5 Сглаживание циркулем.

Пример 2. На усмотрение исследователя выбираются ключевые точки (как правило - чередующиеся минимумы и максимумы) графика. В эти точки забивается по гвоздю. На каждый гвоздь надевается резинка. Через все резинки «по ходу времени» продевается нитка. Растягивая нитку в оба конца получаем сглаженный ряд (степень сглаживания зависит от силы натяжения).

Рисунок 1_6 Сглаживание шнурком.

С развитием ПК механическое сглаживание отошло в область курьёзов, хотя математическое описание (достаточно сложное) получаемых кривых сохраняет теоретический интерес.

Наиболее употребимы методы математического сглаживания на основе медианы, среднего арифметического и экспоненциально-взвешенного среднего.

3.8.2 Аналитическое сглаживание

3.9 Тестовый способ определения вида уравнения (типа) тренда

Способ основан на определении того, какая из основных характеристик ряда (Таблица 1_1) наиболее постоянна. Для этого:

1. Строятся соответствующие производные ряды.

2. Определяется, какой из них более постоянен (похож на константу).

Для этого рассчитывают параметры линейного тренда производного ряда Y`=at+b. Отношение a/b характеризует «похожесть» ряда на константу. (Очевидно, что похожесть возрастает с убыванием a, если же a=0 - ряд есть константа b).

Рисунок 1_7 иллюстрирует выбор между тремя видами тренда. Для этого рассчитаны три производных от дохода ряда. На основании параметров тренда рассчитаны коэффициенты «похожести». Наименьший (по модулю) коэффициент у ряда темпов роста (5,9%), следовательно ряд доходов описывается экспоненциальным трендом.

Рисунок 1_7 Тестовое определение вида тренда.

3.10 Прогнозирование по тренду

На основании проведённого моделирования основных компонент ряда (тренда и сезонности) можно производить предсказания о возможных значениях этого ряда. В статистике это выражается в экстра- и интерполяции.

Экстраполяция - распространение сложившейся в динамическом ряду закономерности за временные границы ряда. Выражением экстраполяции является прогнозный ряд, как суждение о наиболее вероятном развитии процесса. При этом распространение в будущее называют прогнозом, а в прошлое - постпрогнозом.

Гипотеза экстраполяции: продолжение тенденции в будущем (инертность процессов).

Интерполяция - распространение общей для всего динамич. ряда закономерности на отдельные моменты ряда. Выражением интерполяции является тренд в широком смысле, как суждение об истинном значении ряда.

Гипотеза - тренд отражает основную (скрытую, истинную) закономерность.

Прогнозирование осуществляется подстановкой в уравнение тренда номера периода времени. Трендовое значение корректируется на влияние сезонности. В результате получается точечный прогноз, т.к на графике ему соответствует точка - одно значение за период (Рисунок 1_14). Характеризует наиболее вероятное значение. Недостаток точечного прогноза в том, что вероятность реализации именно этого прогноза =0. Для оценки вероятности реализации того или иного значения используют функцию распределения вероятностей, имеющую нормальный вид. Точечный прогноз соответствует вершине распределения. Смысл распределения - вероятность попасть ближе к точечному прогнозу выше, чем к любому другому значению.

2 одинаковых Вопроса - с какой вероятностью расхождение реальных данных с прогнозом не превысит заданной величины / какова величина расхождения, которая не будет превышена с заданной вероятностью. Прогноз, включающий в себя границы возможного отклонения от точечного прогноза в пределах заданной вероятности, называется интервальным. Вероятность - надёжность, отклонение - доверительный интервал. Как правило 95%. Доверительные границы...

5(35)пример

3.11 Оценка качества прогнозов

факторы качества: длина базы, разброс значений, горизонт планирования.

апостер:,абсолютная ошибка (факт - прогноз), относит., средняя абс(относ 10 20 50%) ошибка, ско

апио:стр57.

Формула r2, границ

Вопросы на 5

Excel и другие не строят прогноз назад. Какой приём можно использовать?

Какие части сплайн-функции используются для экстраполяции / интерполяции?

Какие экономические факторы ограничивают повышение точности прогноза?

Вопросы на 5

Какая величина служит прогнозом стационарного ряда.

В системе образования США оценки ставят буквами. Насколько это корректно с точки зрения применённой шкалы.

Как выглядит тест на степенную функцию, логарифмическую?

Тема 4. Графический анализ динамического ряда

4.1 Цели и задачи графического анализа

4.2 Виды графиков представления динамического ряда

4.3 Построение графического тренда на основе канала

Тема 5. Сглаживание методом скользящего среднего и его использование в прогнозировании

Сглаживание по методу среднего (или сглаживание методом скользящей средней) ориентировано на устранение влияния, привносимого циклическими отклонениями. Лучшие результаты получаются при выборе базы сглаживания длинной равной периоду цикличности. Определить наиболее вероятный период цикла можно:

- по графику - расстояние между двумя максимами (минимумами)

- по графику - длина динамического ряда делится на количество максимумов (минимумов)

- расчетным путём - построить функцию автокорреляции

Выбрав базу сглаживания в N периодов, поступают далее так: Берут первые N значений ряда, находят среднее между ними - получают первое значение сглаженного ряда. Затем берут N значений, начиная со второго, - получают второе сглаженное значение. И т.д., «скользя» вдоль исходного ряда, получают сглаженный. Как правило, сглаженное значение относят к среднему моменту времени для значений, подвергшихся усреднению.

Различают следующие виды скользящего среднего:

- с нечётной / четной базой сглаживания

- простое / взвешенное среднее.

5.1 Определение периода цикличности на основе функции автокорреляции

Под автокорреляцией R_a (лага в t периодов) понимают корреляцию ряда с рядом, полученным из исходного сдвигом на t периодов. При этом в расчет не принимаются граничные значения рядов.

, где

COV (Y,G) - ковариация,

D - смещенная дисперсия

Рассмотрим пример расчета автокорреляции лага 1 (Рисунок 1_8). В расчете использовались данные, выделенные жирной рамкой ( с янв. по май). Расчет с помощью функции КОРРЕЛ проверен по вышеприведенной формуле. Обратите внимание, что дисперсия рассчитана по функции ДИСПРА.

Рисунок 1_8 Расчет автокорреляции.

Функцией автокорреляции от времени R_a (t) называют зависимость коэффициента автокорреляции от лага t.

Возьмем явно периодичный ряд с циклом 5 лет (Рисунок 1_9). Построим 5 сдвинутых рядов и рассчитаем коэффициенты автокорреляции, тем самым построим функцию автокорреляции.

Рисунок 1_9 Использование функции автокорреляции для определения длины цикла.

На рисунке видно, что исходный ряд (Y) больше всего похож по колебаниям (коррелирует на 100%) на ряд, сдвинутый на величину цикла (Y-5). Т.о., наибольшие значения функции автокорреляции соответствуют лагам, кратным длине цикла. Наименьшие значения - лагам, равным полуциклам. (В данном примере полцикла -2,5 периода, что соответствует приблизительно равным минимумам коэф. Корреляции - 0,41 и 0,49).

Вывод: период цикличности можно определить на основе максимума функции автокорреляции.

5.2 Сглаживание по нечётной базе

Сглаженный ряд рассчитывается по формуле:

.

В частности, если длина базы n=3, имеем:

.

Т.е., значение сглаженного ряда в момент t, определяется как среднее значений исходного ряда в тот же момент времени и в (n-1)/2 моменты времени до и после момента t.

Рисунок 1_10 показывает сглаживание по базам в 3 и 5 периодов. Чем больше база - тем меньше длина сглаженных рядов.

Рисунок 1_10 Скользящее среднее нечётной базы.

5.3 Сглаживание по четной базе

Перенести формулу сглаживания по нечетной базе на четную базу непосредственно не удаётся - непонятно к какому периоду относить усреднённые значения. В зависимости от целей сглаживания используют следующие подходы.

1. Отнесение результата сглаживания к моменту, разделяющему средние периоды.

.

Если длина базы n=2, имеем:

.

Данный способ часто используется в статистике, но неудобен тем, что исходный и сглаженный ряд несопоставимы, т.к. их значения относятся к различным периодам.

2. Отнесение результата сглаживания к последнему периоду.

3.

.

Если длина базы n=2, имеем:

.

Сглаженный ряд, полученный данным способом, отстаёт от ряда, полученного предыдущим способом, на n/2-0.5 периода. Т.е., является смещённым. (На его основе, однако, можно определить форму тренда). Это сглаживание используется как один из индикаторов биржевой конъюнктуры.

MS Excel использует именно этот метод.

4. Отнесение результата сглаживания к среднему периоду расширенной базы сглаживания.

У четной базы нет среднего периода. Если расширить её на 1 период - средний период появится. Чтобы «количество» периодов осталось чётным, будем считать крайние периоды за полпериода.

.

При n=2 имеем:

.

При n=4 - и т.п.

Сглаженный ряд, полученный данным способом, идентичен сглаженному ряду, полученному первым способом и повторно сглаженным по базе = 2.



Данный способ получил наибольшее распространение.

5.4 Взвешенное сглаживание

В предыдущем методе крайние наблюдения включались в сглаживание с весами ?. Данный подход можно расширить, в зависимости от представлений о природе изучаемого явления. Например, если предполагается, что колебания могут быть вызваны случайными задержками передачи информации, - веса должны напоминать нормальное распределение. Если же предполагать наличие затухающего последействия (например - внесение удобрений), то веса должны убывать со временем. Выбор весов - задача содержательного исследования. «Нормальное» распределение иногда моделируется на основе треугольника Паскаля.

	Треугольник Паскаля - в первой строчке и первом столбце содержит 1. Значение прочих ячеек определяется как сумма двух ячеек - сверху и слева. Сумма элементов диагонали треугольника из N элементов равна 2N-1. Очевидно, что для расчета весов используются только диагонали с нечётным числом элементов.

При n=3 имеем: - то же, что и в предыдущем случае.

При n=5 имеем и т.п.

5.5 Достоинства и недостатки метода

Достоинства	и недостатки
простота, наглядность, лёгкость интерпретации	Сокращение длины ряда при сглаживании

Иногда может быть недостатком то, что:

Период влияние наблюдений конечен (в границах базы сглаживания)

В сглаживании участвуют как предыдущие, так и будущие наблюдения.

5.6 Прогнозирование на основе сглаживания

Сглаженный ряд для прогнозирования может быть использован по-разному.

Во-первых, для сглаженного ряда может быть построен тренд (см. - Тема 7), на основе которого - прогноз. С одной стороны, тренд сглаженного ряда, по сравнению с трендом исходного, более точен, т.к. устранены выбросы. С другой стороны, он менее точен, т.к. сглаженный ряд короче (т.е. увеличивается горизонт прогноза).

Во-вторых, сглаженный ряд может быть рассмотрен как прогноз, если результат усреднения относить не к середине базы и даже не к её концу, а к какому-либо моменту за границами базы.

,

где g - горизонт прогноза.

Данный прогноз целесообразен только для чисто колебательных процессов, при прогнозировании на 1 цикл вперёд (g=n).

Тема 6. Метод экспоненциального сглаживания и его использование в прогнозировании

Сглаживание по методу экспоненциально-взвешенного среднего ориентировано на устранение влияния случайных колебаний, как правило, в ряду без тренда, т.е. для выявления цикличности.

Сглаженный ряд рассчитывается по формуле:

	Первое значение сглаженного ряда равно первому значению исходного. Последующие значения оцениваются как доля влияния нового наблюдения + доля совокупного влияния всех предыдущих наблюдений (представлением этого влияния является предыдущее значение сглаженного ряда)

и называются соответственно коэффициентами адаптации и затухания.

Итеративную формулу можно расписать подробнее для первых значений ряда:

В такой записи видно, что вес каждого наблюдения со временем уменьшается в раз, т.е. затухает по экспоненте, что и дало название методу.

6.1 Выбор параметра сглаживания

Параметр (или ) подбирается опытным путём. Как правило, наилучшие результаты при =0,3 (от 0,2 до 0,5)..

Очевидно, что при =0 сглаженный ряд есть константа - сглаживание негибкое;

при =1 сглаженный ряд есть исходный - сглаживания нет.

Рисунок 1_11 Экспоненциальное сглаживание

2 Прогнозирование на основе сглаживания

Из рисунка видно, что сглаженный ряд идет ниже исходного. Поэтому прогнозирование по тренду на основе сглаженного ряда неадекватно. Прогнозируются иногда колебательные ряды.

Однако, сглаживание можно использовать для определения типа тренда, т.к. тип у исходного и сглаженного рядов совпадает.

MS Excel использует в качестве параметра фактор затухания .

6.2 Достоинства и недостатки метода

Вопросы на 5

Какое понятие включает в себя другое: тренд или сглаженный ряд?

Каков порядок проведения медианного сглаживания?

Какое сглаживание целесообразно производить первым - экспоненциальное или скользящим средним?

Тема 7. Расчёт параметров уравнения тренда

После того, как определён тип тренда, необходимо рассчитать его параметры. Т.е. из всех возможных линий данного типа выбрать наиболее похожую на исходный ряд. Существенную роль играет конкретизация «похожести» (критерий меры близости рядов). В зависимости от критерия находятся методы расчета параметров.

Иногда, для различных участков ряда строят свои тренды. Их согласование приводит к построению сплайн-функций.

7.1 Меры близости рядов

После того как определён вид уравнения тренда, необходимо определить (провести, построить) сам тренд, т.е. - определить его параметры. Из бесконечного множества трендов [определённого ранее вида] нужно выбрать тренд наипохожий на исходный ряд. Критерий выбора - минимизация расхождений [значений тренда и ряда]. Однако, что считать мерой близости (= расхождения)?.

Близость тренда к ряду в каждый из моментов времени можно оценить разницей значений в этот момент (чем меньше, тем лучше): . Но как оценить близость в целом (по всем наблюдениям) [на основе близости в каждый момент]?

Существует множество подходов в рамках т.н. «функций коллективного выбора» (см. Мулен Э. Кооперативное принятие решений), рассмотрим простейшие.

Оценка в целом (мера) близости может быть построена как:

максимум
сумма	расхождений по всем наблюдениям
произведение

При этом следует учитывать, что отклонение тренда от ряда в одну сторону, может компенсироваться удалением в другую сторону в другой момент. Для устранения этого в функции меры можно использовать вместо также модуль и квадрат:.

Из полученных 9 вариантов меры, применительно к критерию на min, здравы лишь 4 (а то и 2):

	Бессмысленно (тренд уходит вниз).	Неоднозначность решения
		Неоднозначность решения	Наиболее распространён
	Бессмысленно из-за множественности решений. Минимум (0) достигается любым трендом, совпадающим с рядом хотя бы в один момент.

(Меры на основе произведения применимы, если в качестве отклонения в момент времени принять не разницу , а отношение ).

Рисунок 1_12 демонстрирует, что [линейный] тренд можно построить по-разному. При этом тренд, параметры которого рассчитаны на основе минимизации максимального модуля, даёт особо отличный результат (расчет произведён методом математического программирования).



Рисунок 1_12 Влияние меры близости рядов на построение тренда

Т.о., результат прогнозирования существенно зависит от выбранной меры.

Меры на основе суммирования можно усовершенствовать, введя взвешивание. Вполне логично предположить, что более поздние наблюдения имеют для прогнозирования большее значение.

7.2 Метод наименьших квадратов

Из рассмотренных выше мер распространение получила сумма квадратов, т.к. на её основе параметры тренда могут быть получены сравнительно (с методом математического программирования) легко - алгебраическим путём. Подобный расчет получил название метода наименьших (критерий) квадратов.

7.2.1 Общая система уравнений

В соответствии с критерием, необходимом подобрать такие параметры тренда, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений трендовых значений от фактических.

По методу Лапласа, решение этой экстремальной задачи находится из системы уравнений. В данной системе приравнены к нулю все частные производные целевой функции по параметрам тренда.

,

где a,b,c…- параметры тренда.

7.2.2 Система уравнений для линейного тренда

Подставим уравнение прямой (с параметрами a,b) в функцию критерия:

	Линейный тренд Критерий МНК Расписан квадрат Взяты и приравнены к 0 производные по параметрам

Т.о., для определения параметров тренда необходимо сосчитать четыре суммы , и, подставив их вместе с количеством известных наблюдений n в систему уравнений, решить её.

7.2.3 Система уравнений для экспоненциального тренда

Прежде чем подставить уравнение экспоненциальной функции (с параметрами a,b) в функцию критерия, прологарифмируем её:

	Тем самым получена линейная зависимость

По методу МНК, будем минимизировать расхождения логарифмов:

Т.о., для определения параметров тренда необходимо сосчитать четыре суммы , и, подставив их вместе с количеством известных наблюдений n в систему уравнений, решить её.

7.3 Расчёт параметров тренда в MS Excel

- табличным способом по системе уравнений МНК

- по графику (опция «Добавить линию тренда»)

Рисунок 1_13 МНК

Табличный способ дольше, но расчет тренда через график неточен (см. на погрешность коэффициентов - Рисунок 1_13), а иногда и явно ошибочен.

Значения (без промежуточного расчета параметров) линейного тренда могут быть получены функциями ПРЕДСКАЗ и ТЕНДЕНЦИЯ (идентичны) (Рисунок 1_14).

7.4 Прогнозирование на основе тренда

	Для [поискового] прогнозирования в уравнение тренда необходимо подставить номер прогнозного периода. При нормативном прогнозе требуется выяснить, какая из тенденций ряда позволит достичь цели.

Рисунок 1_14 Использование функций Excel для расчёта линейного тренда и прогнозирования

Цель - заранее известное значение в прогнозном периоде. Т.о., мы имеем модифицированную разрывную базу (Рисунок 1_15). Подбирая линию тренда по общим принципам, получаем прогноз - часть тренда, соответствующая разрыву базы. (Прогноз - требуемая траектория движения).



Рисунок 1_15 Нормативный прогноз

Из примера получается, что для достижения целевого дохода (20) на третий день необходимо реализовать постоянный прирост прироста (красный пунктир). Экспоненциального роста (зелёный пунктир) недостаточно. Конкретные значения прогноза можно рассчитать по полученной формуле.

7.5 Тренды на основе сплайн-функций ???

Если в результате анализа ряда не удаётся подобрать простой тип тренда для всего ряда, можно попытаться разбить ряд на части.

10(65)гладкость тренда - трудно при смене тенденции (стр. 22)

сплайн - непрерывная [линейно] кусочная функция.

точки перелома x`

задание линейного сплайна по 1. Точкам перелома 2. Через алгоритм. Функцию

(последовательный учёт влияния)

Wj=X-X`j-1, при X> X`j-1 (иначе - 0)

S=b0+Summ BjWj,

где В - угловой коэфф. (изменение его в точке перегиба)

использование для анализа структуры динамики.

10(75)пример

Деление ряда на (3) части

Расчёт функций тренда - они не состыкованы.

Стыкуем как среднее арифметическое..

Задание тренда точками перелома - коррекция функций тренда (где b - средние)

Через алгоритм - коррекция B по новым а.

Скользящий тренд по базе m Y=SUM 1 n-m (Vj j+m)

Вопросы на 5

Составить систему нормальных уравнений для квадратичной функции.

Можно ли отнести заполнение пропущенных наблюдений в ряду к прогнозу.

Приведите другие примеры критериев меры близости рядов.

Тема 8. Анализ цикличности (сезонности)

8.1 Задача выявления сезонных колебаний

Цикличность - закономерное периодическое отклонение от основной тенденции (тренда)

Сезонность - вид цикличности, обусловленный временем года. В общем - в рамках года. (электроснабжение, транспорт, с-х и т.д.)

Фаза цикла - номер наблюдения внутри периода цикла. Если период цикла - N, говорят о наличии N фаз.

Задачи:

- определение наличия циклов, их периодов; силы и характера в различных фазах

- выявление факторов, вызвавших их

- оценка последствий для выявления тренда и уточнения трендового прогноза

- математическое моделирование

Методы расчета сезонной составляющей (наиболее применимые):

- коэффициенты и индексы сезонности

- аналитическая функция

- изменяющееся по фазам цикла семейство трендов

8.2 Определение сезонной составляющей при аддитивной сезонности

Если ряд отклоняется от значений тренда в каждой фазе цикла на одну и ту же величину, говорят об аддитивной сезонности.

Аддитивная сезонность моделируется расчётом коэффициентов сезонности. Число коэффициентов равно числу фаз. Коэффициент [фазы] показывает [величину] отклонение ряда от тренда [в данной фазе].

Коэффициент рассчитывается как среднеарифметическое отклонение ряда от тренда в данной фазе.

Пусть N-период сезонности, M-длина ряда. Тогда N/M - количество циклов. Kn - коэффициент фазы n.

При аддитивной сезонности уравнение разложения динамического ряда на компоненты имеет вид:

.

Пример: Прогноз моделирования налоговых поступлений (тыс. руб) по месяцам.

Рисунок 1_16 Аддитивная сезонность

Периодичность явно равна 3-м (квартальная). Следовательно, нужно рассчитать 3 коэффициента сезонности. Проиллюстрирован расчет коэффициента для третьего месяца квартала (К3).

8.3 Определение сезонной составляющей при мультипликативной сезонности.

Если ряд отклоняется от значений тренда в каждой фазе цикла в одно и то же число раз, говорят о мультипликативной сезонности.

Наглядно разница между аддитивной и мультипликативной сезонностью при растущем тренде такова: размах аддитивной неизменен, а мультипликативной - растёт со временем.

Рисунок 1_17 Сравнительный вид аддитивной (add) и мультипликативной (mult) сезонностей

Мультипликативная сезонность моделируется расчётом индексов сезонности, которые показывают [разы] отклонения ряда от тренда [по фазам].

Индекс рассчитывается как среднее относительное отклонение ряда от тренда в данной фазе.

Варианты вычисление индексов

При мультипликативной сезонности уравнение разложения динамического ряда на компоненты имеет вид:

8.4 Выявление сезонности с использованием тригонометрических функций

Если в динамическом ряду много плавных, симметричных колебаний (интенсивность роста = падению), удобно произвести разложение в ряды Фурье:

,

где w-момент начала цикла, i - номер цикла, d - период цикла (в радианах).

Исходный ряд предполагается состоящим из тренда и серии волн различной длины и амплитуды. В основном, применяется в техническом прогнозировании (регулярные, периодические процессы).

8.5 Выявление сезонности методом изменяющегося тренда

8(15)концепция жизненного цикла - кратковременный толчок в инертной среде.

График

характерный наклон прямых.

условность понятия цикличности - всего одна жизнь.8.6 Компьютерная реализация расчета параметров сезонности

Excel не предоставляет других способов, кроме таблиц.

Тема 9. Анализ ошибки

9.1 Задачи анализа ошибки

9.2 Критерии случайности

(Выдержка из - Кендел М. Временные ряды. М.: Финансы и статистика, - 1981.)

Простейшей гипотезой, которую можно выдвинуть относительно колеблющегося ряда, является предположение, что колебания случайны. Па практике бывает достаточно лишь посмотреть на данные, чтобы отбросить эту гипотезу, но в некоторых случаях необходимы более точные критерии, например при изучении остатков, полученных вычитанием из исходного ряда систематических элементов, когда требуется установить, не осталось ли в них какой-либо систематизации.

В случайных рядах, согласно гипотезе, наблюдения независимы и могут следовать в любом порядке. Возможно применение неограниченного числа критериев случайности, но одни критерии по определенным соображениям лучше, чем другие.

Желательно, чтобы критерий не требовал каких-либо ограничений на вид распределения совокупности, из которой, по предположению, извлекаются наблюденные значения.

Необходимые вычисления должны быть сведены к минимуму,

Вычисления должны легко обновляться; другими словами, необходимо, чтобы не требовалось проводить все вычисления с самого начала, если после подсчета критерия с течением времени добавляются новые наблюдения.

Выбор критерия до некоторой степени зависит от того, какие выдвигаются альтернативные гипотезы. Работа Неймана и Пирса по проверке гипотез подтверждает, что никто не проверяет гипотезу саму по себе, а лишь в сравнении с другими возможными гипотезами. Не всегда легко точно определить, какие альтернативные гипотезы, целесообразно выдвинуть, но обычно имеются некоторые соображения, которые могут в значительной степени помочь при выборе критерия. Например, в случае, когда данные по виду как будто имеют тренд, требуется критерий, отличный от того, который используется при подозрении па периодичность.

9.2.1 Поворотные точки

Наиболее простой для применения критерий, особенно если ряд изображен графически, состоит в подсчете пиков и впадин. «Пик»-- это величина, которая больше двух соседних. «Впадина», наоборот, - значение, которое меньше двух соседних, Оба эти значения называются «поворотными точками» и нам предстоит рассмотреть вопрос: каково распределение числа поворотных точек в случайном ряду?

Рассмотрим конечный ряд из n величин . Начальное значение нельзя считать поворотной точкой, так как неизвестно; и аналогично, нельзя рассматривать в качестве поворотной точки последнее значение, так как неизвестно . Для определения поворотной точки требуются три последовательных значения. Если ряд случаен, то эти три значения могут следовать в любом из шести возможных порядков с равной вероятностью. Только в четырех из них будет поворотная точка, а именно когда наибольшее или наименьшее из трех значений находится в середине. Следовательно, вероятность обнаружения поворотной точки в любой группе из трех значений равна 2/3.

Для группы из n величин определим «счетную» переменную вершин X как

Тогда число поворотных точек р в ряде есть просто

,

и сразу же получаем:

Это - ожидаемое число поворотных точек (другими словами, поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения). Если их больше (редкий случай), то ряд является быстро колеблющимся, и это не может быть объяснено только случайностью. Если же их меньше, то последовательные значения положительно коррелированны. Однако для того, чтобы сделать вывод, существенна ли разница между наблюденным и ожидаемым числом, требуется знать дисперсию р. Можно показать, что с ростом n, распределение быстро приближается к нормальному с дисперсией

9.2.2 Длина фазы

Определенный интерес представляет не только число поворотных точек, но и распределение интервалов между ними. Интервал между двумя поворотными точками называется «фазой». Таким образом, если -- впадина, a -- пик, то между ними будет фаза длины 1.

Для того, чтобы установить наличие фазы длины d (скажем, восходящей), нужно обнаружить d + 3 членов, содержащих падение первого члена ко второму, затем последовательный подъем до (d+2)-го члена и падение к (d+3)-му члену. Рассмотрим такую группу из (d+3) значений в порядке их возрастания. Если, не трогая двух крайних членов, извлечь пару чисел из оставшихся d+1 и одно из них поставить в начало, а другое в конец, получим фазу длины d. Существует 1/2d(d+1) способов такого выбора пары чисел, и каждый член пары может быть поставлен в любой конец, следовательно, число восходящих фаз равно d(d+1). Кроме того, можно первый член поставить в конец, а любой другой, кроме второго, в начало и получить ещё (d+1) случаев. Можно также последний член поставить в начало, а любой другой, кроме предпоследнего, в конец, что даёт ещё (d+1) случаев. При этом надо исключить двойной счет случая, когда первый член становится на последнее место, а последний на первое. Всего существует

фаз случаев роста. Следовательно, вероятность либо восходящей, либо нисходящей фазы в группе чисел равна

В ряде длины n последовательно можно выделить n-d-2 групп по d+3 членов. Таким образом, математическое ожидание числа фаз длины d во всем ряде равно

а математическое ожидание общего числа фаз длины от 1 до n-3, которое обозначим через N, будет

Пример

В данных имеется 34 фазы. Фактическое число фаз различной длины и их теоретическое число, определяемое выражением для N, будет следующим:

Длина фазы	Число наблюдаемых фаз	Теоретическое число фаз
1	23	21,25
2	7	9,17
3	4	2,59
ИТОГО	34	33,01

Согласие хорошее, поэтому проверка существенности вряд ли необходима.

Сравнение наблюденного и теоретического числа фаз с помощью критерия обычного вида неправомерно вследствие того факта, что длины фаз не являются независимыми. Уоллис и Мур пришли к выводу, что при разбиении длин фазы на три группы, d = 1, 2, >= 3, при значениях >= 6,3 может быть использован критерий с 2? степенями свободы, а для более низких значений - критерий 6/7 с двумя степенями свободы.

9.2.3 Критерий, основанный на знаках разностей

Несколько более сложный критерий состоит в подсчете числа положительных разностей первого порядка в ряде, иначе говоря, числа точек возрастания ряда. Для ряда из n членов получаем n -- 1 разностей. Как и прежде, определим «счетную переменную»:

Если теперь обозначить через с число точек возрастания случайного ряда, то:

Распределение довольно быстро стремится к нормальности. Можно показать, что дисперсия стремится к:

Очевидно, что критерий, основанный на знаках разностей, совершенно бесполезен для выявления ряда, описывающего колебательное движение, в котором число точек возрастания всегда будет приблизительно равно ?n. В основном он рекомендуется для проверки наличия линейного тренда. С другой стороны, критерий, основанный на поворотных точках, плохо подходит для обнаружения тренда, так как наложение заметных случайных колебаний на умеренный тренд приводит примерно к тому же множеству поворотных точек, что и при отсутствии тренда. Более совершенным, но и более сложным критерием для обнаружения линейного тренда являются регрессия и проверка значимости регрессионного коэффициента или использование коэффициента , описанного в следующем параграфе.

9.2.4 Критерии, основанные на ранговой корреляции

Идею сравнения соседних значений ряда можно развить до сравнения всех значений. Для данного ряда подсчитаем число случаев, в которых . Обозначим это число через Р. Всего для сравнения имеется ? n(n-1) пар и математическое ожидание числа Р для случайного ряда равно ? n(n-1). Если Р превышает это число и превышение значимо, то это указывает на наличие возрастающего тренда; Р, меньшее, чем это число, указывает на падающий тренд. В действительности, число Р связано простым соотношением с коэффициентом ранговой корреляции Кендэла :